1、福建省龙岩市上杭县福建省龙岩市上杭县二校联考二校联考八年级八年级上第一次综合训练数学试卷上第一次综合训练数学试卷 一、选择题： （每题一、选择题： （每题 4 分，合计分，合计 40分）分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，能说明12 的是( ) A. B. C. D. 3. 等腰三角形一边长等于 5，一边长等于 10，它的周长是( ) A. 20 B. 25 C. 20 或 25 D. 15 4. 在ABC 和ABC中，AB=AB，B=B，补充条件后仍不一定能保证ABCABC，则补充的这个条件是（ ） A. ACAC B. AA C. BC
2、BC D. CC 5. 已知ABC的三个内角的大小关系为ABC ，则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 6. 观察下列作图痕迹，所作线段CD为ABC的角平分线的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知等腰直角三角形ABC中，90A ，ABAC，BD平分ABC，CEBD于点 E，若BCD的面积为 16，则BD的长为（ ） A. 16 B. 8 C. 6 D. 12 8. 如图，AD 是等腰三角形 ABC 的顶角平分线，BC=10，则 CD等于（ ） A 10 B. 5 C. 4 D. 3 9. 一个正多边形的每个外角都等于 45 ，
3、则这个多边形的边数和对角线的条数分别是（ ） A. 8，20 B. 10，35 C. 6，9 D. 5，5 10. 如图， 在ABC中，90BAC， 高 AD与角平分线 BE相交于点 FDAC平分线 AG分别交 BC、BE于点 G、 O， 连接 FG 下列结论： ABDDAC； AFEAEF ； AGEF； FGAC，其中所有正确结论的序号是（ ） A. B. C. D. 二、填空题： （每题二、填空题： （每题 4 分，合计分，合计 24分）分） 11. 如图 ，AB=AC，点 E、D 分别在 AC、AB 上，要使 ABEACD，则应该添加的一个条件是_（填一种即可） 12. 如图， 在 A
4、BC中， BC=8cm,AB 的垂直平分线交 AB 于点 D， 交边 AC 于点 E， BCE的周长等于 18cm，则 AC的长等于_cm 13. 生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图是由三角尺拼凑得到的，图中ABC=_ 14. 如果一个多边形内角和是 1080，那么这个多边形的边数是_ 15. 已知 a，b，c是三角形的三边长，化简：|abc|bca|cab|_ 16. 已知ABC的三条边长分别为 3，4，6，在ABC所在平面内画一条直线，将ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画_条. 三、解答题： （
5、共三、解答题： （共 86 分）分） 17. 如图，已知 AB=AD，AC=AE，BAE=DAC求证：B=D 18. 如图，在 RtABC中，ACB=90 ，E是 AB上一点，且 BE=BC，DEAB于 E，若 AC=8，求 AD+DE的值 19. 探究多边形内角和时， 我们常把多边形转化成三角形， 再根据三角形内角和为 180 得出多边形内角和 如图是探究多边形内角和一种方法，请根据图示，完成填空 （1）四边形内角和：4 180 360 4 180 2 180 2 180 ； （2）五边形内角和：5 180 360 5 180 2 180 ； （3）六边形内角和：6 180 360 6 18
6、0 2 180 ； （4）n 边形内角和： 20. 如图，在直角坐标系中，AD 是 Rt OAB 的角平分线，已知点 D 的坐标是（0，-4） ，AB的长是 12，求ABD 的面积 21. 如图， ABC 中，AB，AC的垂直平分线分别交 BC于点 D，E，垂足分别是点 M，N （1）若 BC10，求则 ADE 的周长； （2）若BAC110 ，求DAE 的度数 22. 除了教材例题提供的作角平分线的办法，现在还有一种作法如下： “在已知AOB的两边分别截取 OMON， OPOQ （点 M与点 P在同一边上） ， 连接 MQ 和 NP 交于 D 点，画射线 OD，射线 OD 即为AOB 平分线
7、” （1）请在图中按此作法作出射线 OD； （2）试说明OPNOQM 的理由； （3）图中还能判断哪些三角形全等？这些全等三角形中，哪一对也能说明射线 OD是AOB 平分线？依此思路说明此作法正确的理由 23. 如图，已知正方形ABCD，点 E 在边CD上 （1）尺规作图，在BC上找点 F，使得AEDAEF （不写作法，保留作图痕迹） ； （2）探究：DE，EF，BF的数量关系，并说明理由 24. 如图，在ABC中，ABAC18cm，BC10cm，AD2BD动点 P 以 2cm/s 的速度沿射线 BC 运动，同时，点 Q从点 C出发，以 acm/s 的速度向终点 A运动，当 Q点停止运动时，P
8、点也随之停止运动，设点 P的运动时间为 t（s） （t0） （1）用含 t的代数式表示 PC 的长； （2）若点 Q运动速度为 1cm/s，当CQP是以C 为顶角的等腰三角形时，求 t的值； （3）当点 Q的运动速度为多少时，能使BPD 与CQP在某一时刻全等 25. 如图，已知 A（3，0） ，B（0，1） ，连接 AB，过 B 点作 AB的垂线段 BC，使 BABC，连接 AC （1）如图 1，求 C 点坐标； （2）如图 2，若 P 点从 A点出发沿 x 轴向左平移，连接 BP，作等腰直角BPQ，连接 CQ，当点 P在线段OA 上，PA 与 CQ有何位置和数量关系，猜想并证明； （3）在
9、（2）的条件下若 C、P，Q三点共线，求此时APB的度数及 P点坐标 福建省龙岩市上杭县福建省龙岩市上杭县二校联考二校联考八年级八年级上第一次综合训练数学试卷上第一次综合训练数学试卷 一、选择题： （每题一、选择题： （每题 4 分，合计分，合计 40分）分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 根据轴对称图形的意义： 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合， 这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此对各选项一一判断即可 【详解】解：B、C、D均是轴对称图形，A不是轴对称图形 故选：A 【点睛】掌握轴对称图形的意义，判断是不
10、是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合 2. 下列图形中，能说明12 的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 利用对顶角、直角三角形的性质、直角三角形中的等角的余角相等、三角形的内角和外角的关系等分析 【详解】A、根据对顶角相等，得1=2；故本选项错误； B、根据直角三角形的两锐角互余，得1290 , 故本选项错误； C、由同角的余角相等，知1=2；故本选项错误； D、由于三角形的任何一个外角和它不相邻的内角，所以12；故本选项正确； 故选 D 【点睛】考查对顶角、直角三角形的性质、直角三角形中的等角的余角相等、三角形的内角和外角的关系，比较基
11、础，难度不大. 3. 等腰三角形一边长等于 5，一边长等于 10，它的周长是( ) A. 20 B. 25 C. 20 或 25 D. 15 【答案】B 【解析】 题目中没有明确腰和底，故要分情况讨论，再结合三角形的三边关系分析即可. 【详解】当 5为腰时，三边长为 5、5、10，而5 510 ，此时无法构成三角形； 当 5为底时，三边长为 5、10、10，此时可以构成三角形，它的周长5 10 1025 故选 B. 4. 在ABC 和ABC中，AB=AB，B=B，补充条件后仍不一定能保证ABCABC，则补充的这个条件是（ ） A. ACAC B. AA C. BCBC D. CC 【答案】A
12、【解析】 全等三角形的判定可用两边夹一角，两角夹一边，三边相等等进行判定，做题时要按判定全等的方法逐个验证 【详解】解：A、若添加 AC=AC，不能判定ABCABC，故本选项正确； B、若添加A=A，可利用 ASA判定ABCABC，故本选项错误； C、若添加 BC=BC，可利用 SAS判定ABCABC，故本选项错误； D、若添加C=C，可利用 AAS 判定ABCABC，故本选项错误； 故选：A 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定，要认真确定各对应关系 5. 已知ABC的三个内角的大小关系为ABC ，则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三
13、角形 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 根据A、B、C 之间的关系结合三角形内角和定理即可得出A=90 ，进而可得结论 【详解】解：A-B=C，A+B+C=180， A=B+C， 即 2A=180，A=90 ABC为直角三角形， 故选：B 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，求出A的度数是解题的关键 6. 观察下列作图痕迹，所作线段CD为ABC的角平分线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 根据角平分线画法逐一进行判断即可 【详解】A：所作线段为 AB边上的高，选项错误； B：做图痕迹为 AB边上的中垂线，CD 为 AB 边上的中线，选项错误； C：CD 为ACB的角平
14、分线，满足题意。 D：所作线段为 AB边上的高，选项错误 故选：. 【点睛】本题考查点到直线距离画法，角平分线的画法，中垂线的画法，能够区别彼此之间的不同是解题切入点 7. 如图，已知等腰直角三角形ABC中，90A ，ABAC，BD平分ABC，CEBD于点 E，若BCD的面积为 16，则BD的长为（ ） A. 16 B. 8 C. 6 D. 12 【答案】B 【解析】 依据 ASA 证明Rt ABDRt ACF，得BDCF，再证明Rt FBERt CBE得EFEC，进一步得出2BDCE，最后根据三角形面积公式可求出结论 【详解】解：延长 BA，CE 交于点 F， 90BAC，90BEC 又AD
15、BCDE ABDACF 在Rt ABD和Rt ACF中 DBAACF ABAC BADCAF Rt ABDRt ACF BDCF BD平分ABC， FBECBE CEBD 90BEFBEC 在Rt FBE和Rt CBE中 FBECBEBEBEBEFBEC ()Rt FBERt CBE ASA EFEC 2CFCE 2BDCE 1162BD CE 4CE BD=8 故选 B 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质定理是解答本题的关键 8. 如图，AD 是等腰三角形 ABC 的顶角平分线，BC=10，则 CD等于（ ） A. 10 B. 5 C. 4 D.
16、 3 【答案】B 【解析】 根据等腰三角形三线合一的性质即可求解 【详解】解：AD是等腰三角形 ABC 的顶角平分线，BC=10， CD=12BC=12 10=5 故选：B 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 9. 一个正多边形每个外角都等于 45 ，则这个多边形的边数和对角线的条数分别是（ ） A. 8，20 B. 10，35 C. 6，9 D. 5，5 【答案】A 【解析】 利用多边形的外角和是 360 度，正多边形的每个外角都是 45 ，求出这个多边形的边数，再根据一个多边形有 32n n条对角线，即可算出有多少条对角线 【详解】
17、解：正多边形的每个外角都等于 45 ， 360 45=8， 这个正多边形是正 8边形， 8832=20（条） ， 这个正多边形的对角线是 20 条 故选：A 【点睛】本题主要考查的是多边的外角和，多边形的对角线及正多边形的概念和性质，任意多边形的外角和都是 360 ，和边数无关正多边形的每个外角都相等任何多边形的对角线条数为 32n n条 10. 如图， 在ABC中，90BAC， 高 AD与角平分线 BE相交于点 FDAC的平分线 AG分别交 BC、BE于点 G、 O， 连接 FG 下列结论： ABDDAC； A F EA E F ； A G E F； F G A C，其中所有正确结论的序号是
18、（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 根据同角的余角相等即可判断，根据角平分线的意义以及等角的余角相等即可判断，证明ABOGBO，可得AOGO，进而根据垂直平分线的性质的可得AFFG，根据等边对等角以及角平分线的意义即可得出结论 【详解】解：90BAC，ADBC， 90BADABDBADDAC， ABDDAC，故正确； BE 是ABC的角平分线， 12ABEFBDABD ， 90 ,90ABEAEBFBDBFD ， AEFBFD ， 又AFEBFD ， AFEAEF， 故正确， AFEAEF ， AFAE AG 是DAC的平分线， AGBE， 故正确， AGBE， 90AOBG
19、OB， BE是ABC的角平分线， ABOGBO， 又BOBO， ABOGBO， AOGO， BE垂直平分AG， FAFG， FAGFGA， 12FAGDAGGAE ， GAEAGF， FGAC 故正确 故选 D 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键 二、填空题： （每题二、填空题： （每题 4 分，合计分，合计 24分）分） 11. 如图 ， AB=AC， 点 E、 D分别在 AC、 AB上， 要使ABEACD， 则应该添加的一个条件是_（填一种即可） 【答案】AD=AE(或B=C等) 【解析】 【详解
20、】 ：AB=AC，BAE=DAC， 当添加 AD=AE 时，可利用“SAS”判断ABEACD 当添加B=C 时，可利用“ASA”判断ABEACD 故答案为：AD=AE（或B=C 等） 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的 5 种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边 12. 如图， 在ABC中， BC=8cm,AB 的垂直平分线交 AB 于点 D， 交边 AC于点 E， BCE 的周长等于 18cm，则
21、AC的长等于_cm 【答案】10 【解析】 根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可得到结论 【详解】DE是边 AB 的垂直平分线， AE=BE BCE的周长=BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=18 又BC=8， AC=10（cm） 故答案为 10 13. 生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图是由三角尺拼凑得到的，图中ABC=_ 【答案】75 【解析】 由F=30 ，EAC=45 ，即可求得ABF 的度数，又由FBC=90 ，易得ABC 的度数 【详解】解：F=30 ，EAC=45 ， ABF=EAC-F=45 -3
22、0 =15 ， FBC=90 ， ABC=FBC-ABF=90 -15 =75 故答案为：75 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识，注意数形结合思想的应用 14. 如果一个多边形的内角和是 1080，那么这个多边形的边数是_ 【答案】8 【解析】 设这个多边形的边数是 n，根据“n 边形的内角和可以表示成（n2）180”列方程求解即可 【详解】解：设这个多边形的边数是 n， 则（n2）1801080 ， 解得：n8 则这个多边形的边数是 8 故答案为：8 【点睛】本题考查多边行的内角和定理，掌握 n边形的内角和为（n2） 180 是解答本题的关键 15. 已知 a，
23、b，c是三角形的三边长，化简：|abc|bca|cab|_ 【答案】+ab c 【解析】 首先根据三角形的三边关系确定 abc0，cab0，然后去绝对值，化简即可求得 【详解】解：a，b，c 是ABC 的三边的长， b+ca，a+bc， abc0，cab0， |abc|bca|cab| =()()+()bcabcacab =+a b c b ca ca b =+ab c 故答案为：+ab c 【点睛】此题考查了三角形三边关系与绝对值的性质解此题的关键是要注意符号 16. 已知ABC的三条边长分别为 3，4，6，在ABC所在平面内画一条直线，将ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则
24、这样的直线最多可画_条. 【答案】7 【解析】 根据等腰三角形的性质分别利用 AB，AC 为底以及为腰得出符合题意的图形即可 详解】解：如图所示： 当11BCAC，2ACCC，3ABBC，44ACCC，5ABAC，6ABAC，77BCCC时，都能得到符合题意的等腰三角形 故答案为：7 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键 三、解答题： （共三、解答题： （共 86 分）分） 17. 如图，已知 AB=AD，AC=AE，BAE=DAC求证：B=D 【答案】见详解 【解析】 由BAE=DAC可得到BAC=DAE，再根据“SAS”可判断B
25、ACDAE，根据全等的性质即可得到B=D 【详解】证明：BAE=DAC， BAE- -CAE=DAC- -CAE，即BAC=DAE， 在ABC和ADE 中， ABADBACDAEACAE ， ABCADE（SAS） ， B=D 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判断三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应角相等，对应边相等 18. 如图，在 RtABC中，ACB=90 ，E是 AB上一点，且 BE=BC，DEAB于 E，若 AC=8，求 AD+DE的值 【答案】AD+DE 的值为 8 【解析】 连接 BD，先根据 HL定理得出BCDBED，故可
26、得出 DE=DC，由此可得出结论 详解】解：连接 BD ACB=90 ，DEAB， BCD与BED 均是直角三角形 在 RtBCD与 RtBED 中，=BE BCBD BD， BCDBED（HL） ， CD=DE， AD+DE=AD+CD=AC=8 故 AD+DE的值为 8 【点睛】 本题考查的是角平分线的性质，熟知根据题意作出辅助线， 构造出全等三角形是解答此题的关键 19. 探究多边形内角和时， 我们常把多边形转化成三角形， 再根据三角形内角和为 180 得出多边形内角和 如图是探究多边形内角和一种方法，请根据图示，完成填空 （1）四边形内角和：4 180 360 4 180 2 180
27、2 180 ； （2）五边形内角和：5 180 360 5 180 2 180 ； （3）六边形内角和：6 180 360 6 180 2 180 ； （4）n 边形内角和： 【答案】 （2）3 180 ； （3）4 180 ； （4）n 180 360 ；n 180 2 180 ； （n2） 180 【解析】 （2）根据乘法分配律可解决本小题 （3）根据乘法分配律可解决本小题 （4）根据三角形内角和定理，可解决本题 【详解】解： （2）根据乘法分配律，得 5 180 2 180 （52） 180 3 180 故答案为：3 180 ； （3）根据乘法分配律，得 6 180 2 180 （62）
28、 180 4 180 故答案为： 4 180 ； （4）从 n边形内部任取一个点，并连接这个点与多边形的各个顶点，可将这个多边形分成 n个三角形， 多边形内角和：n 180 360 n 180 2 180 （n2） 180 故答案为：n 180 360 ；n 180 2 180 ； （n2） 180 【点睛】本题主要考查多边形内角和定理，涉及了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解决本题的关键 20. 如图， 在直角坐标系中， AD 是 RtOAB 的角平分线， 已知点 D的坐标是 （0， -4） ， AB 的长是 12， 求ABD的面积 【答案】ABD 的面积为 24 【解析】 作
29、DEAB于 E，如图，利用角平分线的性质得 DE=OD=4，然后根据三角形面积公式计算 【详解】解：作 DEAB于 E，如图， 点 D的坐标是（0，-4） ， OD=4， AD是 RtOAB的角平分线， DE=OD=4， 1=?12?4=242ABDS ABD的面积为 24 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 21. 如图，ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交 BC于点 D，E，垂足分别是点 M，N （1）若 BC10，求则ADE 的周长； （2）若BAC110 ，求DAE 的度数 【答案】 （1）10 （2）40 【解析】 （1）由 AB、AC 的垂直平
30、分线分别交 BC于 D、E，垂足分别是 M、N，根据线段垂直平分线的性质，可得AD=BD，AE=EC，继而可得ADE的周长等于 BC 的长； （2）由BAC=110 ，可求得B+C的度数，又由 AD=BD，AE=EC，即可求得BAD+CAE 的度数，继而求得答案 【小问 1 详解】 解：AB、AC 的垂直平分线分别交 BC于 D、E，垂足分别是 M、N， AD=BD，AE=CE BC=10， AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=10，即ADE 的周长是 10 【小问 2 详解】 解：BAC=110， B+C=180 -BAC=70 AD=BD，AE=CE， BAD=B，CAE=C， BA
31、D+CAE=70 ， DAE=BAC-(BAD+CAE)=110 -70 =40 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等 22. 除了教材例题提供的作角平分线的办法，现在还有一种作法如下： “在已知AOB的两边分别截取 OMON， OPOQ （点 M与点 P在同一边上） ， 连接 MQ 和 NP 交于 D 点，画射线 OD，射线 OD 即为AOB 平分线” （1）请在图中按此作法作出射线 OD； （2）试说明OPNOQM 的理由； （3）图中还能判断哪些三角形全等？这些全等三角形中，哪一对也能说明射线 OD是AOB 平分线？依
32、此思路说明此作法正确的理由 【答案】 （1）见解析 （2）见解析 （3） 图中还能判断： ONDOMD， OPDOQD， NDQMDP， 其中， ONDOMD或OPDOQD 也能说明射线 OD是AOB 平分线见解析 【解析】 （1）按照题目要求作出图形即可； （2）利用 SAS即可证明OPNOQM； （3） 先利用 AAS 判断NDQMDP， 推出 MD=ND， DP=DQ， 再利用 SSS证明ONDOMD或OPDOQD 【小问 1 详解】 解：射线 OD即为所求作， ； 小问 2 详解】 证明：由作图知：OM=ON，OP=OQ，且PON=QOM， OPNOQM(SAS)； 【小问 3 详解】
33、 解：OPNOQM， OMD=OND， OM=ON，OP=OQ， PM=PN， 在NDQ和MDP 中， PMD=QND，MDP=NDQ，PM=PN， NDQMDP(AAS)； MD=ND，DP=DQ， 在OND和OMD 中， ON=OM，DO=DO，DN=DM， ONDOMD(SSS)， NOD=MOD，即 OD是AOB 的角平分线； 在OQD 和OPD 中， OQ=OP，DO=DO，DQ=DP， OQDOQD(SSS)， QOD=POD，即 OD是AOB的角平分线； 图中还能判断：ONDOMD，OPDOQD，NDQMDP， 其中，ONDOMD或OPDOQD也能说明射线 OD是AOB平分线 【
34、点睛】本题考查了角平分线的作法，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键 23. 如图，已知正方形ABCD，点 E 在边CD上 （1）尺规作图，在BC上找点 F，使得AEDAEF （不写作法，保留作图痕迹） ； （2）探究：DE，EF，BF的数量关系，并说明理由 【答案】 （1）见解析； （2）EF=DE+BF，理由见解析 【解析】 （1）连接 AE，以点 E 为圆心，以任意长为半径画弧，交交 CD，AE 于点 M，以 N为圆心，MN为半径画弧，两弧在 AE的另一侧交于点 P，过点 E，P作直线交 BC于点 F，则可得结论； （2）连接 AF，过点 A作 AQEF于点 Q
35、，依据 AAS 证明ADEAQE 得 QE=DE，依据 HL 证明AQFABF 可得 QF=BF，从而可得结论 【详解】解： （1）如图，点 F 即为所求作 （2）EF=DE+BF 证明：连接 AF，过点 A作 AQEF 于点 Q，如图， 四边形 ABCD是正方形， 90DB ，AB=AD 又AE=AE，AEDAEF ADEAQE QE=DE，AD=AQ AQ=AB 在 RtAQF 和 RtABF中， AQABAFAF AQFABF BF=QF EF=QE+QF EF=DE+BF 【点睛】本题主要考查了作一个角等于已知角，正方形的性质以作等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答
36、本题的关键 24. 如图，在ABC中，ABAC18cm，BC10cm，AD2BD动点 P 以 2cm/s 的速度沿射线 BC 运动，同时，点 Q从点 C出发，以 acm/s 的速度向终点 A运动，当 Q点停止运动时，P点也随之停止运动，设点 P的运动时间为 t（s） （t0） （1）用含 t的代数式表示 PC 的长； （2）若点 Q的运动速度为 1cm/s，当CQP是以C 为顶角的等腰三角形时，求 t的值； （3）当点 Q的运动速度为多少时，能使BPD 与CQP在某一时刻全等 【答案】 （1）10 2PCt； （2）当103ts时，CQP是以C为顶角的等腰三角形； （3）当 Q 的速度为 2c
37、m/s 或12/5cm s时，BPD与CQP在某一时刻全等 【解析】 （1）根据题意：点 P的运动速度为 2cm/s，可得 BP长度，然后即可得出 PC长度； （2）根据题中CQP以C为顶角的等腰三角形，可知PCCQ，用含 t的式子表示出两条线段长度然后求解即可； （3）分两种情况讨论：当BPCQ时，当BPCQ时，根据全等三角形的性质得出线段相等，然后利用各线段之间的等量关系求解即可 【详解】解： （1）点 P的运动速度为 2cm/s， 2BPt， 10 2PCt； （2）CQP以C为顶角的等腰三角形， 则PCCQ， 10 2PCt，CQt， 即10 2tt， 解得：103t ， 当103ts
38、时，CQP是以C为顶角的等腰三角形； （3）当BPCQ时，BDCP， 此时BPDCQP， 根据题意可得：2BPt，CQat，163BDAB，10 2PCt， 2tat，6102t， 解得：2a，2t ， 当BPCQ时， BPD与CQP全等，BC ， 152BPCPBC，6BDCQ， 52ts， 12/5CQacm st， 综上可得：当 Q的速度为 2cm/s 或12/5cm s时，BPD与CQP在某一时刻全等 【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质及一元一次方程等，理解题意，利用分类讨论思想进行分析是解题关键 25. 如图，已知 A（3，0） ，B（0，1） ，连接 AB，过
39、B 点作 AB的垂线段 BC，使 BABC，连接 AC （1）如图 1，求 C 点坐标； （2）如图 2，若 P 点从 A点出发沿 x 轴向左平移，连接 BP，作等腰直角BPQ，连接 CQ，当点 P在线段OA 上，PA 与 CQ有何位置和数量关系，猜想并证明； （3）在（2）的条件下若 C、P，Q三点共线，求此时APB的度数及 P点坐标 【答案】 （1） （1，4） （2）相等和垂直，见解析 （3）135 ； （1，0） 【解析】 （1） 作 CHy轴于 H， 证明ABOBCH， 根据全等三角形的性质得到 BH=OA=3， CH=OB=1， 求出 OH，得到 C点坐标； （2）证明PBAQBC
40、，根据全等三角形的性质得到 PA=CQ，再证明 CQ OH，即可证垂直； （3）根据 C、P，Q 三点共线，得到BQC=135 ，根据全等三角形的性质得到BPA=BQC=135 ，根据等腰三角形的性质求出 OP，得到 P 点坐标 【小问 1 详解】 解：作 CHy轴于 H， 则BCH+CBH=90 ， ABBC， ABO+CBH=90 ， ABO=BCH， 在ABO和BCH中，=ABOBCHAOBBHCAB BC， ABOBCH， BH=OA=3，CH=OB=1， OH=OB+BH=4， C 点坐标为（1，-4） ； 【小问 2 详解】 解：相等和垂直， PBQ=ABC=90 ， PBQ-AB
41、Q=ABC-ABQ，即PBA=QBC， 在PBA和QBC 中，=BP BQPBAQBCBA BC， PBAQBC， PA=CQ， ABOBCH，PBAQBC， OAB=BCH=QCB， CQ OH， CHOA， PACQ； 【小问 3 详解】 解：BPQ是等腰直角三角形， BQP=45 ， 当 C、P，Q三点共线时，BQC=135 ， 由（2）可知，PBAQBC， BPA=BQC=135 ， OPB=45 ， OP=OB=1， P点坐标为（1，0） 【点睛】本题考查的是坐标与图形、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键
