1、 第十四章第十四章 整式的乘法与因式分解整式的乘法与因式分解 一、选择题一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1.(2021 广东深圳中考)下列运算中,正确的是( ) A.2a2 a=2a3 B.(a2)3=a5 C.a2+a3=a5 D.a6 a2=a3 2.(2021 山东泰安中考)下列运算正确的是( ) A.2x2+3x3=5x5 B.(-2x)3=-6x3 C.(x+y)2=x2+y2 D.(3x+2)(2-3x)=4-9x2 3.(2019 湖南株洲中考)下列各选项中因式分解正确的是( ) A.x2-1=(x-1)2 B.a3-2a2+a=a2(a-2) C.-2y2+4y=-
2、2y(y+2) D.m2n-2mn+n=n(m-1)2 4.若 a+b=3,x+y=1,则 a2+2ab+b2-x-y+2 015 的值为( ) A.2 023 B.2 021 C.2 020 D.2 019 5.(2021 江苏南通如皋期末)如图,由 4 个全等的小长方形与 1 个小正方形密铺成正方形图案,该图案的面积为 64,小正方形的面积为 9,若分别用 x,y(xy)表示小长方形的长和宽,则下列关系式中不正确的是( ) A.x+y=8 B.x-y=3 C.4xy+9=64 D.x2+y2=25 6.若 3x2-5x+1=0,则 5x(3x-2)-(3x+1)(3x-1)=( ) A.-
3、1 B.0 C.1 D.-2 7.已知多项式 ax+b与 2x2+2x+3 的乘积展开式中不含 x 的一次项,且常数项为 9,则 ab的值为( ) A. B.- C.-8 D.-6 8.如图,从边长为(a+4)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a+1)cm的正方形(a0),剩余部分沿虚线剪开拼成一个长方形(不重叠,无缝隙),则长方形的面积为( ) A.(2a2+5a)cm2 B.(3a+15)cm2 C.(6a+9)cm2 D.(6a+15)cm2 9.(2019 四川资阳中考)4 张长为 a、宽为 b(ab)的长方形纸片按如图所示的方式拼成一个边长为a+b 的正方形,图中空白部分的面积为 S
4、1,阴影部分的面积为 S2.若 S1=2S2,则 a、b 满足( ) A.2a=5b B.2a=3b C.a=3b D.a=2b 10.如图,长方形 ABCD的周长是 10 cm,分别以 AB,AD为边向外作正方形 ABEF和正方形 ADGH,若正方形 ABEF和正方形 ADGH的面积之和为 17 cm2,则长方形 ABCD的面积是( ) A.3 cm2 B.4 cm2 C.5 cm2 D.6 cm2 二、填空题二、填空题(每小题 3 分,共 24 分) 11.(2021 山东临沂中考)分解因式:2a3-8a= . 12.(2022 四川宜宾期末)化简:(8x3y3-4x2y2) 2xy2=
5、. 13.(2019 四川乐山中考)若 3m=9n=2,则 3m+2n= . 14.(2022 独家原创)如图,小明制作了一块长方形滑板模具,其长为 2a,宽为 a,中间开出两个边长为 b的正方形孔.当 a=15.7,b=4.3 时,阴影部分的面积为 . 15.已知 a2-6a+9 与|b-1|互为相反数,则 a3b3+2a2b2+ab 的值是 . 16.(2022 云南昆明三中期末)若(a+b)2=17,(a-b)2=11,则 a2+b2= . 17.李老师做了个长方形教具,其中一边长为 2a+b,其邻边长为 a-b,则该长方形的面积为 . 18.若(x2-2x-3)(x3+5x2-6x+7
6、)=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则 a0+a1+a2+a3+a4+a5= . 三、解答题三、解答题(共 46分) 19.(2021 江苏苏州中学期末)(6 分)计算: (1)-2x3y2 (x2y3)2; (2)3x x5+(-2x3)2-x12 x6. 20.(6 分)计算: (1)(3x-2)(2x+3)-(x-1)2; (2)(x+2y)(x-2y)-2y(x-2y)+2xy. 21.(8 分)先化简,再求值: (1)(2+x)(2-x)+(x-1)(x+5),其中 x= ; (2)(2a-b)2-(4a+b)(a-b)-2b2,其中 a= ,b=- . 22.
7、(2021 北京一零一中学期末)(8分)先阅读下面的内容,再解决问题: 例题:若 m2+2mn+2n2-6n+9=0,求 m和 n 的值. 解:m2+2mn+2n2-6n+9=0, (m2+2mn+n2)+(n2-6n+9)=0, (m+n)2+(n-3)2=0, m+n=0,n-3=0,m=-3,n=3. 问题: (1)若 x2+2y2-2xy+6y+9=0,求 x2的值; (2)已知ABC的三边长 a,b,c都是正整数,且满足 a2+b2-6a-4b+13+|3-c|=0,请问ABC是什么形状的三角形? 23.(2022 河南郑州实验学校期末)(8 分)从边长为 a的正方形中剪掉一个边长为
8、 b 的正方形(如图 1),然后将剩余部分拼成一个长方形(如图 2). (1)上述操作能验证的等式是 ;(请选择正确的一个) A.a2-2ab+b2=(a-b)2 B.b2+ab=b(a+b) C.a2-b2=(a+b)(a-b) D.a2+ab=a(a+b) (2)应用你从(1)中选出的等式,完成下列各题: 已知 x2-4y2=12,x+2y=4,求 x 的值; 计算:( - )( - )( - )( - )( - ). 24.(10分) 许多恒等式可以借助图形的面积关系直观表达,如图,根据图中面积关系可以得到(2m+n)(m+n)=2m2+3mn+n2. (1)如图,根据图中面积关系写出一
9、个关于 m、n 的等式: ; (2)利用(1)中的等式求解:若 a-b=2,ab= ,则(a+b)2= ; (3)小明用 8 个全等的长方形(宽为 a,长为 b)拼图,拼出了如图甲、乙所示的两种图案,图案甲是一个大的正方形,中间的阴影部分是边长为 3 的小正方形;图案乙是一个大的长方形,求 a,b的值. 答案全解全析答案全解全析 1.A 2a2 a=2a3,原计算正确,(a2)3=a6,原计算错误,a2与 a3不是同类项,不能合并,a6 a2=a4,原计算错误,故选 A. 2.D A选项,2x2与 3x3不是同类项,不能合并,故该选项计算错误;B选项,(-2x)3=-8x3,故该选项计算错误;
10、C选项,(x+y)2=x2+2xy+y2,故该选项计算错误;D选项,(3x+2)(2-3x)=22-(3x)2=4-9x2,故该选项计算正确,故选 D. 3.D A.x2-1=(x+1)(x-1),故此选项错误; B.a3-2a2+a=a(a2-2a+1)=a(a-1)2,故此选项错误; C.-2y2+4y=-2y(y-2),故此选项错误; D.m2n-2mn+n=n(m2-2m+1)=n(m-1)2,故此选项正确.故选 D. 4.A a2+2ab+b2-x-y+2 015=(a+b)2-(x+y)+2 015, 当 a+b=3,x+y=1 时, 原式=32-1+2 015=8+2 015=2
11、 023.故选 A. 5.D 如图,图案的面积为 64,小正方形的面积为 9, 大正方形的边长为 8,小正方形的边长为 3, x+y=AQ+DQ=AD=8,因此选项 A不符合题意; x-y=HP-EP=HE=3,因此选项 B不符合题意; 一个小长方形的面积为 xy,4xy+9=64,因此选项 C不符合题意; x+y=8,x-y=3,(x+y)2=64,(x-y)2=9, 即 x2+2xy+y2=64,x2-2xy+y2=9,x2+y2= , 因此选项 D符合题意.故选 D. 6.A 3x2-5x+1=0,3x2-5x=-1, 5x(3x-2)-(3x+1)(3x-1)=15x2-10 x-9x
12、2+1=6x2-10 x+1=2(3x2-5x)+1=2 (-1)+1=-1.故选 A. 7.C (ax+b)(2x2+2x+3) =2ax3+2ax2+3ax+2bx2+2bx+3b =2ax3+(2a+2b)x2+(3a+2b)x+3b, 乘积展开式中不含 x 的一次项,且常数项为 9, 3a+2b=0 且 3b=9,a=-2,b=3, ab=(-2)3=-8,故选 C. 8.D 长方形的面积为(a+4)2-(a+1)2=(a+4+a+1)(a+4-a-1)=3(2a+5)=(6a+15)cm2.故选 D. 9.D 由题图可知 S1= b(a+b) 2+ ab 2+(a-b)2=a2+2b
13、2,S2=(a+b)2-S1=(a+b)2-(a2+2b2) =2ab-b2,S1=2S2,a2+2b2=2(2ab-b2),整理得(a-2b)2=0,a-2b=0,a=2b.故选 D. 10.B 设 AB=x cm,AD=y cm, 正方形 ABEF和正方形 ADGH的面积之和为 17 cm2,x2+y2=17, 长方形 ABCD的周长是 10 cm, 2(x+y)=10,x+y=5, (x+y)2=x2+2xy+y2,25=17+2xy,xy=4, 长方形 ABCD的面积为 4 cm2,故选 B. 11.2a(a+2)(a-2) 解析解析 原式=2a(a2-4)=2a(a+2)(a-2).
14、 12.4x2y-2x 解析解析 原式=8x3y3 2xy2-4x2y2 2xy2=4x2y-2x. 13.4 解析解析 3m=9n=2,3m+2n=3m 32n=3m (32)n=3m 9n=2 2=4. 14.456 解析解析 阴影部分的面积=2a a-2b2=2(a2-b2)=2(a+b)(a-b), 当 a=15.7,b=4.3 时, 阴影部分的面积=2(a+b)(a-b)=2 (15.7+4.3) (15.7-4.3)=2 20 11.4=456. 15.48 解析解析 依题意得 a2-6a+9+|b-1|=0,即(a-3)2+|b-1|=0,则 a-3=0,b-1=0,解得 a=3
15、,b=1,所以a3b3+2a2b2+ab=ab(a2b2+2ab+1)=ab(ab+1)2=3 (3+1)2=3 16=48. 16.14 解析解析 (a+b)2=a2+b2+2ab=17, (a-b)2=a2+b2-2ab=11, +得 2(a2+b2)=28,a2+b2=14. 17.2a2-ab-b2 解析解析 该长方形的面积为(2a+b)(a-b)=2a2-2ab+ab-b2=2a2-ab-b2. 18.-28 解析解析 (x2-2x-3)(x3+5x2-6x+7)=x5+5x4-6x3+7x2-2x4-10 x3+12x2-14x-3x3-15x2+18x-21=x5+3x4-19x
16、3+4x2+4x-21=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0, a0=-21,a1=4,a2=4,a3=-19,a4=3,a5=1, a0+a1+a2+a3+a4+a5=-21+4+4-19+3+1=-28. 19.解析解析 (1)-2x3y2 (x2y3)2=-2x3y2 x4y6=-2x7y8. (2)3x x5+(-2x3)2-x12 x6=3x6+4x6-x6=6x6. 20.解析解析 (1)原式=6x2+9x-4x-6-x2+2x-1=5x2+7x-7. (2)原式=x2-4y2-2xy+4y2+2xy=x2. 21.解析解析 (1)(2+x)(2-x)+(x-1)(
17、x+5) =4-x2+x2+5x-x-5=4x-1, 当 x= 时,原式=4 -1=5. (2)(2a-b)2-(4a+b)(a-b)-2b2 =4a2-4ab+b2-(4a2-3ab-b2)-2b2=-ab, 当 a= ,b=- 时,原式=- (- )= . 22.解析解析 (1)x2+2y2-2xy+6y+9=0, x2-2xy+y2+y2+6y+9=0, (x-y)2+(y+3)2=0,x-y=0,y+3=0, 解得 x=-3,y=-3,x2=9. (2)a2+b2-6a-4b+13+|3-c|=0, a2-6a+9+b2-4b+4+|3-c|=0, (a-3)2+(b-2)2+|3-c
18、|=0, a-3=0,b-2=0,3-c=0, 解得 a=3,b=2,c=3,a=cb, ABC是等腰三角形. 23.解析解析 (1)题图 1中阴影部分的面积是 a2-b2, 题图 2 的面积是(a+b)(a-b), 则 a2-b2=(a+b)(a-b).故选 C. (2)x2-4y2=(x+2y)(x-2y)=12,x+2y=4, 12=4(x-2y),x-2y=3, 联立 - 两方程相加得 2x=7,解得 x= . ( - )( - )( - )( - )( - ) =( - )( )( - )( )( - )( )( - )( )( - )( ) = = = . 24.解析解析 (1)由题图中大正方形的面积等于各个小长方形和小正方形的面积之和,可得等式(m+n)2=4mn+(m-n)2. (2)由(1)中等式可得(a+b)2=(a-b)2+4ab. a-b=2,ab= ,(a+b)2=22+4 =9. (3)由题意得 - 整理得 - - -,得 a=3, 把 a=3 代入,得 b-3 3=0,b=9, 故 a=3,b=9.
