1、A 图 1 2.7 角的和与差角的和与差 学习目标：学习目标： 1.理解角的和差、角平分线的几何意义；(重点） 2.掌握角之间的和差关系，并能进行简单的计算；（难点） 3.了解余角与补角的概念，理解余角与补角的性质并会进行运用.（重点、难点） 学习重点：学习重点：理解角的和差、角平分线的几何意义，了解补角和余角的概念. 学习难点：学习难点：角的和差计算、余角及补角性质及其运用. 一、一、知识链接知识链接 1.线段的和与差 如图 1，AC=_+_; BC=_-_; AB=_-_. 2.线段的中点 如图 1，若点 B 是线段 AC 的中点，则 AB=_=_;AC=_=_. 3.计算 45 2640
2、=_ ； 56.435 =_ _ . 4.等式的性质：等式的两边同时_同一个数，等式仍然成立. 二、二、新知预习新知预习 1.角的和与差 如图 2：AOB= + ，AOC= - , COB= - . 2.角的平分线 (1) 如图 2，如果AOC=BOC，那么射线 OC 是AOB 的角平分线. 角平分线的定义：_ 符号语言：OC 平分AOB AOC=BOC (AOB=2 或AOB =2 ;或AOC=21 ，BOC =21_ ) 自主学习自主学习 O C 图 2 A B 3.补角与余角 在图（1）中，AOB=90;在图（2）中，DSF=180,显然有 + =AOB=90; + =DSF=180.
3、如果两个角 ， 我们就称这两个角互为余角，互为余角， 简称 .其中一个角叫另一个角的 . 如果两个角 ， 我们就称这两个角互为补角，互为补角， 简称 .其中一个角叫另一个角的 . 三、三、自学自测自学自测 1.如图 3，填出符合下列等式的角： （1）AOB+BOC= ; (2) BOC=BOD- ; (3) AOD=AOB+COD+ ; (4) BOD=DOA-COA+ . 2、如图 4，若AOB =BOC =COD，则 OB 是 的平分线， = 21AOC， BOC = 21 = =21 = 31 . 3.若A=34,则A 的余角的度数是_;A 的补角的度数是_. 四、我的疑惑四、我的疑惑
4、_ _ _ _ 合作探究合作探究 D S F E (2) A B O C (1) A B C D O 图 3 O A D C B 图 4 一、一、要点探究要点探究 探究点探究点 1：角的和差关系及运算 例例 1：如图，已知AOC 与BOD 都是直角，BOC51 . (1)求AOD 的度数 (2)求AOB 和DOC 的度数 (3)AOB 与DOC 有何大小关系？ 【归纳总结】【归纳总结】在利用角的和、差关系进行计算时，首先要弄清题意，理清各角之间的数量关系，用两个角的和或差表示第三个角，如果知道任意两个角的度数，第三个角的度数可以通过运算求出来 例例 2 2：两个角的度数之比为 7：3，它们的差
5、为 36，求这两个角. 【归纳总结】【归纳总结】根据题意，列出方程，求出这两个角的度数. 【针对训练】【针对训练】 1已知AOB138 ，AOCBOD90 .求COD 的度数 2已知AOB=120，OC 在它的内部，且把AOB 分成 1：3 的两个角，那么AOC 的度数为( ) A 40 B40或 80 C30 D30或 90 探究点探究点 2：角的平分线的应用 例例 2：如图，O 是直线 AB 上一点，OD 平分AOC，OE 平分BOC，求DOE 的度数 【归纳总结】【归纳总结】解决这类问题，关键是根据角平分线得到相等的角，或求出一个较大的角，借助于某一个中间的角，把未知量转化为已知量 【针
6、对训练】【针对训练】 1如图，射线 OC平分AOD，射线 OD 平分COB，则下列结论错误的是( ) AAOCBOD BAOD2BOD CBOC2COD DAOB2AOD 2如图，已知AOB120 ，OM 平分AOB，ON 平分MOB，则AON_. 探究点探究点 3：角的度、分、秒的计算 例例 3：计算： (1)1259575758； (2)9731214553. 【归纳总结】【归纳总结】角的度、分、秒进行加、减运算时，度与度加、减，分与分加、减，秒与秒加、减分秒相加时逢 60 要进位，相减时要借一作 60. 注意：角的度、分、秒进行加减运算时，运算时需将单位化成一致，再进行运算. 【针对训练
7、】【针对训练】 计算： (1)103.3 1764298.34 . 17012010015080103060(2)2422363. 探究点探究点 4：补角与余角补角与余角 合作探究合作探究 （1）图中给出的各角，那些互为补角？ （2）填下列表： a a 的余角 a 的补角 5 32 45 77 6223 x 结论：同一个锐角的补角比它的余角大_. （3）填空： 70的余角是 ，补角是 . （ 90）的它的余角是 ，它的补角是 . （4）余角与补角的性质 如果1 和2 都是的余角，那么1 和2 相等吗？试着说明理由. 解：因为1 和2 都是的余角 4321EDBACO 所以1+= ，2+= ，
8、所以 + = + ， 所以 = . 如果3 和4 都是的补角，那么3 和4 相等吗？试说明理由. 解：因为3 和4 都是的补角 所以3+= ，4+= ， 所以 + = + ， 所以 = . 由此得出结论： . 例例 5 5：一个角的余角比这个角的补角的21少 20，则这个角为（ ） A.30 B.40 C.60 D.75 【归纳总结】【归纳总结】解有关互为余角或互为补角的问题时，除了要弄清楚它们的概念，通常情况下我们可以引进未知数来构造方程求解. 例例 6 6：如果AOB+BOC=90, BOC 与COD 互余，那么AOB 和COD 的关系是（ ） A.互余 B.互补 C.相等 D.不能确定
9、【归纳总结】【归纳总结】同角（等角）的余角相等. 【针对训练】【针对训练】 1.若一个角的补角等于它的余角 4 倍，求这个角的度数. 2.如图， COD=EOD=90,C,O,E 在一条直线上,且2=4,请说出1 与3 之间的关系？并试着说明理由？则3 与2 是什么关系？ 二、课堂小结二、课堂小结 内容 角的平分线 从一个角的顶点引出的一条_把这个角分成的两个角_,D C 那么这条射线叫做这个角的_. 余角与补角 如果两个角 ，我们就称这两个角互为余角，简称 .其中一个角叫另一个角的 . 如果两个角 ，我们就称这两个角互为补角，简称 .其中一个角叫另一个角的 . 余角与补角的性质 _(或_)的
10、余角相等； _(或_)的补角相等. 1 点 P 在MAN 内， 现有如下等式： PAM12MAN； PAN12MAN； PAMPAN；MAN2PAN.其中能表示 AP 是角平分线的等式有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2如图，AOCBOD90，下列结论中正确的个数是( ) AOBCOD AOD3BOC AODBOCAOCBOD A0 B1 C2 D3 3如图，OD 是AOC 的平分线，OC 是BOD 的平分线，且COD40，则AOB( ) A80 B100 C120 D160 （第 2 题） (第 3 题) 4.一个锐角的补角比这个角的余角大 （ ） A.30 B.45 C.6
11、0 D.90 5如图，已知BOD2AOB，OC 是AOD 的平分线，则下列四个结论：BOC13AOB；DOC2BOC；BOC12AOB；DOC3BOC.其中正确的是( ) A B C D 当堂检测当堂检测 第 5 题 B A 6.若1 与2 互为补角，且12，则1 的余角是 （ ） A.1 B.1+2 C.21（1+2） D.21（2-1） 7已知与互补，且=3518，则=_. 8 如图， 点 O 是直线 AB 上一点， 已知BOD30， OE 平分AOD， 那么AOE 的度数是_ 9如图，OC 平分AOB，OD 平分AOC，OE 平分BOC，则图中与AOD 相等的角有_个，与AOC 相等的角
12、有_个 10如图，OB 是AOC 的平分线，OD 是COE 的平分线 (1)如果AOC80，那么BOC_； (2)如果AOC80，COE50，那么BOD_ (第 8 题) (第 9 题) (第 10 题) 11如图，直线 AB，CD 交于点 O，OB 平分DOE.如果COE80，求EOB 与AOC 的度数 12如图，COD 是平角，AOC40，BOD50，OM，ON 分别是AOC，BOD 的平分线，求MON 的度数 13.如图，AOB=90，AOC=30，且 OM 平分BOC， ON 平分AOC， （1）求MON 的度数 （2）若AOB=其他条件不变，求MON 的度数 （3）若AOC=（为锐角
13、）其他条件不变，求MON 的度数 （4）从上面结果中看出有什么规律？ O 当堂检测参考答案：当堂检测参考答案： 1.D 2.C 3.C 4.D 5.B 6.D 7.144 42 8.75 9.3 2 10. 40 65 11.【解】 COE80，AB，CD 交于点 O， EOD180COE100. OB 平分EOD， EOBBOD12EOD50， AOCBOD50. 12.【解】 OM，ON 分别是AOC，BOD 的平分线， MOC12AOC124020， NOD12BOD125025. 又COD 是平角， MOCMONNOD180， 20MON25180， MON135. 13.（1）AOB=90，AOC=30， BOC=120 OM 平分BOC，ON 平分AOC COM=60，CON=15 MON=COM-CON=45 （2）AOB=，AOC=30， BOC=+30 OM 平分BOC，ON 平分AOC COM=2+15，CON=15 MON=COM-CON=2 （3）AOB=90，AOC=， BOC=90+ OM 平分BOC，ON 平分AOC COM=45+2 ，CON= 2 MON=COMCON=45 （4）从上面的结果中，发现： MON 的大小只和AOB 得大小有关，与A0C 的大小无关
