1、第一单元长方体与正方体第一单元长方体与正方体 一、选择题一、选择题 1把下图正方体的表面展开，得到的展开图是（ ） A B C 2 如图是一个正方体的平面展开图， 折叠成正方体后， 相对面上的两数之和为 0， 则图中的 xy 的值是 （ ） 。 A2 B0 C1 D2 3把一个长方体铁块熔铸成一个正方体铁块， （ ）不变。 A形状 B体积 C表面积 4下面 3 个物体是由同样大小的正方体摆成的，比较它们的体积， （ ）的体积最大。 A B C 5一个菜窖能容纳 6 立方米白菜，这个菜窖的（ ）是 6 立方米。一个正方体木箱的占地面积是指木箱的（ ） 。 （ ） A体积，表面积 B容积，底面积
2、C表面积，体积 D底面积，容积 6长为 6 厘米，宽为 4 厘米，高为 2 厘米的长方体，最多可以分割成（ ）个棱长为 2 厘米的小正方体。 A48 B6 C12 D24 7把棱长 2 厘米的正方体切割成两个完全一样的长方体，每个长方体的表面积是（ ）平方厘米。 A16 B20 C32 8下图是一个棱长 4 厘米的正方体，在正方体上面正中向下挖一个棱长是 2 厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长是 1 厘米正方体小洞，最后得到的立方体图形的表面积是（ ）平方厘米。 A96 B116 C128 D132 二、填空题二、填空题 9一个正方体，如果高减少 3 厘米，表面积就比原来减
3、少 108 平方厘米。现在长方体的体积是( )立方厘米。 10下图是用体积 1 立方厘米的小正方体摆成的物体。 （1）这个物体的表面积是( )平方厘米。 （2）如果现在你手里还有一些相同的小正方体可添放在这个物体上，要保持前面和右面看到的形状不变，则最多可以添加( )个小正方体。 （3）如果增加同样的小正方体，把这个物体补成一个大正方体，至少还需要( )个这样的小正方体。 11用一根长 48 分米的铜丝围成一个正方体框架，它的棱长是( )分米；如果用这根铜丝围成一个长 6 分米、宽 4 分米的长方体框架，长方体的高是( )分米，表面积是( )平方分米。 12一根长方体木料长 4 米，沿横截面切
4、成三段，表面积增加了 240 平方分米，原来这根木料的体积是( )立方米。 13 一种长方体通风管， 长 1.5 米， 横截面是边长为 1 分米的正方形， 做这样 10 节通风管， 至少需要( )平方米的铁皮。 14做一个长 5 厘米，宽 5 厘米，高 10 厘米的长方体框架，至少需要铁丝( )厘米；在这个框架外面加一层铁皮，至少需要铁皮( )平方厘米。 （接头处不算） 15386 立方厘米( )立方分米 0.18 立方米( )立方分米 1.45 升( )毫升 35小时( )分 125 平方分米( )平方米 4.03 升( )立方分米( )立方厘米 16一个正方体的表面积是 12 平方分米，3
5、 个这样的正方体拼成一个长方体，拼成后长方体的表面积是( )平方分米。 三、图形计算三、图形计算 17计算下面物体的表面积和体积 （单位：厘米） （1） （2） 四、解答题四、解答题 18将一个表面积为 48 平方厘米的正方体等分成两个长方体，再将这两个长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积是多少平方厘米？ 19一个长方体，如果高减少 2 厘米，就变成一个正方体。这时表面积比原来减少 48 平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？ 20用三个棱长为 9 厘米的正方体木块拼成一个长方体，长方体的表面积是多少？棱长之和是多少？ 21把一块长 30 厘米、宽 25 厘米的长方形铁皮，从四个角
6、剪去边长 5 厘米的正方形，再焊接成一个无盖的长方体铁盒。这个铁盒的容积是多少立方厘米？ 22一间会议室的长是 12 米，宽是 8 米，高是 4 米，要粉刷会议室的平顶和四面墙壁，除去门窗面积 28.5平方米，粉刷的面积是多少平方米？ 23一个长方体容器长 10 厘米、宽 8 厘米、高 20 厘米，内装有水，水深 15 厘米，在水里完全浸没一个铁球，水面上升了 3 厘米，这个铁球的体积是多少立方厘米？ 24一个长方体如图，高减少2cm正好成为一个正方体，表面积减少232cm，求原长方体的体积。 参考答案参考答案 1C 【分析】由题可知：、 和是正方体的 3 个相邻面。展开图中，如果两个图案的位
7、置是“一线三格”或者“Z”字型，便是相对面，可排除。 【详解】A和 是相对面，不可能得到； B和是相对面，不可能得到； C、 和是正方体的 3 个相邻面，可能得到； 故答案为：C 【点睛】本题考查正方体的展开图，熟记找相对面的方法是解答此题的关键。 2C 【分析】 根据正方体的平面展开图的特点， 相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共的顶点，再根据相对面上的数互为相反数的，求得 x、y 的值，然后代入数值计算即可。 【详解】根据分析可知：x 的相对面是3，y 的相对面是 2，又因为相对面上的两数之和为 0，所以 x3，y2 则：xy3（2）1 故答案为：C 【点睛】本题考查了正方体相
8、对两个面上的文字，熟记正方体展开图的特点是解答此类问题的关键。 3B 【分析】根据体积的意义，物体所占空间的大小叫做物体的体积，所以把一个长方体铁块熔铸成一个正方体铁块，形状虽然改变了，但是体积没变。 【详解】由分析得：把一个长方体铁块熔铸成一个正方体铁块，形状虽然改变了，但是体积没变。 故答案为：B 【点睛】此题考查的目的是理解掌握体积的意义，深刻理解体积的意义是解答本题的关键。 4A 【分析】根据体积的意义，物体所占空间的大小叫做物体的体积；由题意可知，每一个小正方体的体积相同，细数每一个物体所需的小正方体的个数，个数多，摆成的体积越大，据此解答。 【详解】A观察 A 图形，有 11 个小
9、正方体组成； B观察 B 图形，有 9 个小正方体组成； C观察 C 图形，有 10 个小正方体组成。 由此可知，ACB A 的体积最大。 故答案选：A 【点睛】本题考查体积的意义和应用。 5B 【分析】容器所能容纳物体体积的大小是容器的容积；占地面积指的是底面积的大小，据此选择。 【详解】由分析可知，一个菜窖能容纳 6 立方米白菜，这个菜窖的容积是 6 立方米。一个正方体木箱的占地面积是指木箱的底面积。 故选择：B 【点睛】此题主要考查对容积、体积、表面积和底面积的认识，掌握概念认真选择即可。 6B 【分析】根据题意，长方体的长可以切出几个正方体的棱长，用长方体的长除以正方体的棱长；长方体的
10、宽可以切出几个正方体的棱长， 用长方体的宽除以正方体的棱长； 长方体的高可以切出几个正方体的棱长，用长方体的高除以正方体的棱长，再把它们相乘，就是最多切割的正方体。 【详解】6 23（个） 4 22（个） 2 21（个） 3 2 1 6 1 6（个） 故答案选：B 【点睛】本题考查长方体的切割小正方体的方法：小正方体的个数等于长方体长、宽、高分割出的小正方体的个数之积。 7A 【分析】根据题意可知，长方体的长和宽都是 2 厘米，高是 2 21（厘米）根据长方体的表面积（长宽长 高宽 高） 2，代入数据计算即可。 【详解】2 21（厘米） （2 22 12 1） 2 （422） 2 8 2 16
11、（平方厘米） 故选择：A 【点睛】此题考查了立体图形的切拼，找出长方体的长、宽、高是解题关键。 8B 【分析】观察图可知：最后得到的立方体图形的表面积大正方体的表面积两个小正方体 4 个侧面面积的和，将数值代入正方体表面积公式中计算即可。 【详解】最后得到的立方体图形的表面积： 42 622 412 4 96164 116（平方厘米） 故答案为：B 【点睛】本题考查正方体表面积公式的应用，关键要理解求得是哪几个面的面积和。 9486 【分析】根据题意，高减少 3 厘米，表面积就减少了 108 平方厘米，表面积减少的只是 4 个侧面的面积，减少的 4 个侧面是完全相同的长方形，用减少的面积除以
12、4 求出减少的一个面的面积，用面积除以宽（3 厘米） ，即可求出正方体的棱长，现在长方体的高为：棱长减 3，再根据长方体的体积公式：Vabh，解答即可。 【详解】正方体的棱长：108 4 3 30 3 9（厘米） 长方体的高：936（厘米） 长方体的体积：9 9 6 81 6 486（立方厘米） 【点睛】此题考查的是体积的计算，解答关键是理解高截去 3 厘米，表面积就减少了 108 平方厘米，表面积减少的只是 4 个侧面的面积，底面积不变，进而求出正方体的棱长，再根据体积公式解答即可。 10 36 4 17 【分析】 （1）观察图形可知，这个立体图形一共有 6 个面，每一个面有 6 个小正方形
13、，这个立体图形一共有 6 6 个小正方形组成，一个小正方体的体积是 1 立方厘米，一个小正方形的面积是 1 平方厘米，这个立体图形的面积就是 36 136 平方厘米。 （2）最底下一层，从前往后数第一行第二列的位置添加一个，第二行第三列的位置可添加 2 个，第二行的位置可以添加 1 个。最多添加：1214 个，据此解答； （3）观察图形可知，大正方体的棱长是 3 个小正方体棱长的和，大正方体的棱长1 33 厘米，大正方形的体积3 3 327 立方厘米， 现有图形的体积是 63110 立方厘米， 用大正方体的体积减去现有图形的体积，即 271017 立方厘米，再用 17 立方厘米 1 立方厘米，
14、就是需要的小正方体个数，据此解答。 【详解】 （1）这个物体的表面积是 36 平方厘米； （2）如果现在你手里还有一些相同的小正方体可添放在这个物体上，要保持前面和右面看到的形状不变，则最多可以添加 4 个小正方体； （3）1 33（厘米） 3 3 3 9 3 27（立方厘米） 27（1 10） 2710 17（立方厘米） 17 117（个） 如果增加同样的小正方体，把这个物体补成一个大正方体，至少还需要 17 个这样的小正方体 【点睛】本题考查不规则物体的表面积的求法，以及正方体体积公式的应用。 11 4 2 88 【分析】根据正方体的特征，12 条的棱的长度都相等，已知一根铜丝长 48 分
15、米，如果做一个正方体框架，也就是正方体的棱长总和是 48 分米， 用棱长总和 12棱长； 根据长方体的特征， 12 条棱分为互相平行 （相对）的 3 组，每组 4 条棱的长度相等，长方体的棱长总和（长宽高） 4，已知长方体的棱长总和是48 分米，用棱长总和 4（宽长）高，据此列式解答；根据长方体表面积（长 宽长 高宽 高） 2 计算长方体的表面积。 【详解】正方体棱长：48 124（分米） 长方体的高： 48 4（64） 1210 2（分米） 长方体的表面积： （6 46 22 4） 2 （24128） 2 88（平方分米） 【点睛】此题主要根据长方体、正方体的特征、棱长总和和长方体表面积计算
16、公式来解决问题。 122.4 【分析】截成三段后，表面积比原来增加了 4 个横截面的面积，因为表面积是增加了 240 平方分米，由此即可求出横截面的面积是 240 460 平方分米，由此再乘以木料的长就是这个长方体的体积。 【详解】240 460（平方分米） 60 平方分米0.6 平方米 0.6 42.4（立方米） ； 【点睛】此题考查的是长方体体积应用，抓住长方体的切割特点和增加的表面积求出长方体的横截面的面积是解决此题的关键。 136 【分析】通风管只需要计算 4 个侧面的面积即可，先计算做 1 节这样的通风管需要铁皮的面积，结果再乘10，据此解答。 【详解】1 分米0.1 米 1.5 0
17、.1 4 10 0.15 4 10 0.6 10 6（平方米） 【点睛】计算通风管的表面积需要去掉两个横截面的面积，只计算 4 个面的面积。 14 80 250 【分析】根据长方体的棱长总和（长宽高） 4 求出需要的铁丝长度；再根据长方体的表面积（长宽长 高宽 高） 2 进行计算即可。 【详解】 （5510） 4 20 4 80（厘米） 5 5 25 10 4 50200 250（平方厘米） 【点睛】此题主要考查了长方体的表面积计算公式以及棱长总和的应用，熟记公式是解题关键。 15 0.386 180 1450 36 1.25 4 30 【分析】1 立方分米1000 立方厘米；1 立方米100
18、0 立方分米；1 升1000 毫升；1 时60 分；1 平方米100 平方分米；1 升1 立方分米；高级单位换算成低级单位，乘进率；低级单位换算成高级单位，除以进率。 【详解】386 立方厘米0.386 立方分米 0.18 立方米180 立方分米 1.45 升1450 毫升 35时36 分 125 平方分米1.25 平方米 4.03 升4 立方分米 30 立方分米 【点睛】本题考查单位名数的互换，关键是熟记进率。 1628 【分析】根据题意可知，把三个一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积比三个正方体的表面积和减少了正方体的 4 个面的面积，据此判断。 【详解】12 62（平方分米）
19、12 32 4 368 28（平方分米） 【点睛】此题考查的目的是理解掌握正方体、长方体的表面积公式及应用。 17表面积：52 平方厘米 体积：24 立方厘米 表面积：54 平方分米 体积：27 立方分米 【详解】略 1856 平方厘米 【分析】等分成两个长方体后，表面积会增加 2 个正方形的面，也就是说有 8 个正方形的面积；一个正方形的面积：48 68（平方厘米） ；再拼成的大长方体的拼法是把最小面（8 的一半）粘合，即粘合了 1 个面积为 8 平方厘米的正方形；这样大长方体的表面积其实就是 7 个正方形的面的面积；据此解答即可。 【详解】48 6 （621） 48 6 7 8 7 56（
20、平方厘米） 答：这个大长方体的表面积是 56 平方厘米。 【点睛】解答此题的关键：明确后来拼成的长方体的面积其实就是 7 个正方形的面的面积，是解答本题的关键所在。 19288 立方厘米 【分析】根据高减少 2 厘米，就剩下一个正方体可知，这个正方体比原长方体表面积减少了 4 个长为正方体边长、宽为 2 厘米的长方形面，根据已知表面积减少 48 平方厘米，求出减少面的长，也就是乘下的正方体的棱长，即：48 4 26（厘米） ，然后求出原长方体的高，即：628（厘米） ，再根据长方体体积公式：Vabh，计算原来长方体的体积即可。 【详解】减少的面的宽（剩下正方体的棱长） ：48 4 26（厘米）
21、 原长方体的高：628（厘米） 原长方体体积为：6 6 8288（立方厘米） 答：原来长方体的体积是 288 立方厘米。 【点睛】根据高减少后剩下是正方体，可知减少的部分是 4 个长为正方体边长、宽为 2 厘米的长方形面，从而可以分别求出长方体的长、宽、高，进而利用长方体的表面积和体积的计算方法即可求解。 201134 平方厘米；180 厘米 【分析】棱长是 9 厘米的正方体的一个面的面积是：9 981（平方厘米） ；三个正方体拼组成一个长方体后， 表面积减少了 4 个正方形的面，由此即可计算出这个长方体的表面积； 三个正方体拼成一个长方体后，长是：99927（厘米） ，宽和高都是 9 厘米，
22、据此利用长方体的棱长总和（长宽高） 4 计算即可解答。 【详解】9 9 6 39 9 4 1458324 1134（平方厘米） （9 399） 4 45 4 180（厘米） 答：长方体的表面积是 1134 平方厘米，棱长之和是 180 厘米。 【点睛】抓住 3 个正方体拼组长方体的方法，得出表面积减少部分的面以及拼组后的长方体的长、宽、高的值，是解决此类问题的关键。 211500 平方厘米 【分析】根据题意，折成的长方体铁盒的长、宽、高分别为（305 2）厘米、 （255 2）厘米、5 厘米，根据长方体的体积长 宽 高，将数据代入公式，即可求出这个容器的容积。 【详解】 （305 2） （25
23、5 2） 5 （3010） （2510） 5 20 15 5 1500（立方厘米） 答：这个铁盒的容积是 1500 立方厘米。 【点睛】此题主要考查长方体体积的计算方法，关键是求出长方体容器的长、宽、高。 22227.5 平方米 【分析】 由题意可知， 这间会议室粉刷了 5 个面， 教室的地面不粉刷， 所以“长 宽”的只求一个面， “长 高、宽 高”各求两个面，用这 5 个面的总面积减去门窗 28.5 平方米即可。 【详解】12 8（12 48 4） 228.5 96（4832） 228.5 9680 228.5 9616028.5 25628.5 227.5（平方米） 答：粉刷的面积是 22
24、7.5 平方米。 【点睛】此题属于长方体的表面积的实际应用解答；关键是搞清粉刷的是哪几个面，再根据长方体的表面积的计算方法解答。 23240 平方厘米 【分析】往盛水的长方体容器里放入一个铁球后，水面升高了，升高了的水的体积就是这铁球的体积，升高的部分是一个长 10 厘米、宽 8 厘米、高 3 厘米的长方体，根据长方体的体积计算公式列式解答即可。 【详解】10 8 3 80 3 240（立方厘米） 答：这个铁球的体积是 240 立方厘米。 【点睛】此题主要考查特殊物体体积的计算方法，将物体放入或取出水中，水面上升或下降的体积就是物体的体积；也考查了长方体的体积长 宽 高；在解答时要注意：选择有
25、用的数据和单位之间的转化。 2496 立方厘米 【分析】根据高减少 2 厘米，正好是一个正方体可知，这个正方体比原长方体表面积减少的 4 个面是相同的，根据已知表面积减少 32 平方厘米，32 4 24 厘米，求出减少面的宽，也就是剩下的正方体的棱长，然后 426 厘米求出原长方体的高，再计算原长方体的体积即可 【详解】32 4 2 8 2 4（厘米） 426（厘米） 6 4 4 24 4 96（立方厘米） 答：原长方体的体积是 96 立方厘米。 【点睛】根据截去后剩下是正方体，可知减少的部分是宽为 2 厘米的 4 个面，从而可以分别求出长方体的长、宽、高，进而利用长方体的表面积和体积的计算方法即可求解。
