1、空间向量空间向量 一、选择题：一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40分. 1.在空间直角坐标系中，点(1,2,3)P关于平面 Oyz 对称的点的坐标为( ) A.(1, 2, 3) B.( 1, 2,3) C.( 1,2,3) D.( 1,2, 3) 2.已知空间直角坐标系Oxyz中有一点1, 1,2A ,点B是平面xOy内的直线1xy上的动点,则, A B两点间的最短距离是( ) A.6 B.342 C.3 D.172 3.已知二面角l 的大小为 60 ,动点,P Q分别在平面, 内,点P到平面 的距离为3,点Q到平面 的距离为2 3,则,P Q两点间距离的最小值为( ) A
2、.2 B.2 C.2 3 D.4 4.向量(2,1, ) xa，(2, , 1)yb，若|5a，且ab，则xy的值为( ) A.-1 B.1 C.-4 D.4 5.已知 A，B，C三点不共线，对平面 ABC外的任一点 O，下列条件中能确定点 M，A，B，C共面的是( ) A.OMOAOBOC B.2OMOAOBOC C.1123OMOAOBOC D.111333OMOAOBOC 6.已知空间向量 a，b，c和实数，则下列说法正确的是( ) A.若0a b，则 0a或 0b B.若 0a，则0或 0a C.若22ab，则ab或 ab D.若a ba c，则bc 7.在下列条件中，一定能使空间中的
3、四点 M,A,B,C共面的是( ) A.2OMOAOBOCuuuruuruuu ruuu r B.111532OMOAOBOCuuuruuruuu ruuu r C.MAMBMC 0uuu ruuu ruuu r D.OMOAOBOC 0uuuruuruuu ruuu r 8.如图所示，已知正方体1111ABCDABC D的棱长为 1，则11AB C Buuu r uuu r( ) A.-2 B.2 C.-1 D.1 二二、多项选择题多项选择题：本题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2
4、分. 9.已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点，如果(2, 1, 4)AB uu u r，(4,2,0)AD uuu r，( 1,2, 1)AP uu u r，则下列结论正确的有( ) A.APAB B.APAD C.APuuu r是平面 ABCD的一个法向量 D.APBDuuu ruuu rP 10.已知向量(1, 1,)ma，( 2,1,2)m b，则下列结论中正确的是( ) A.若| 2a，则2m B.若ab，则1m C.不存在实数，使得ab D.若1 a b，则( 1, 2, 2) ab 三、填空题三、填空题：本题共 3小题，每小题 5 分，共 15分. 11.三棱锥P
5、ABC中，PA，PB，PC两两垂直，6PAPBPC，点 Q 为平面 ABC 内的动点，且满足3PQ ，记直线 PQ 与直线 AB 的所成角为，则sin的取值范围为_. 12.正三棱柱111ABCABC的所有棱长都相等,则1AC与平面11BBC C所成角的余弦值为_. 13.已知空间向量,m n,设| 1,| 2,2mnmn与3mn垂直,4,72amn bmn,则, a b_. 四四、解答题：、解答题：本题共 1 小题，共 15分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14.如图，在三棱台111ABCABC中，底面ABC是边长为 2的正三角形，侧面11ACC A为等腰梯形，且1111ACAA
6、，D 为11AC的中点. （1）证明：ACBD； （2）记二面角1AACB的大小为， 2,33时，求直线1AA与平面11BBC C所成角的正弦值的取值范围. 答案以及解析答案以及解析 1.答案：C 解析：点 P关于平面 Oyz对称的点的坐标与点 P 的横坐标相反，故选 C. 2.答案：B 解析：Q点B在平面xOy内的直线1xy上,故设点, ,0B a b,(1,1, 2)ABabuu u r.22222211717|(1)(2)( 2)2292222ABaaaaa , 0ABmuuu r1(1)(1)0,2abab,3 3, 22 2ABuuu r,min34|2AB,故选 B. 3.答案：C
7、 解析：作,PMQN,垂足分别为,M N. 分别在平面, 内作,PEl QFl,垂足分别为,E F,如图所示. 连接,ME NF,则,MEl NFl,PEMQFN均为二面角l 的平面角.60PEMQFN.在Rt PMEV中,32sin60sin60PMPE. 同理4QF .又PQPEEFFQuuu ruu u ruuu ruuu rQ, 22|4 |16222PQEFPE EFPE FQEF FQ uuu ruuu ruu u r uuu ruu u r uuu ruuu r uuu r2220 |224cos12012 |EFEF uuu ruuu r.当2|EFuuu r取最小值 0 时,
8、2PQuuu r最小,此时| 2 3PQ uuu r. 4.答案：C 解析：|5aQ，2415x ，解得0 x . 由ab，得40yxa b， 解得4y ，4xy ，故选 C. 5.答案：D 解析：由空间平面 ABC的向量表示式知，空间一点 M 位于平面 ABC 内的充要条件是存在实数 x，y，使OMOAxAByACuuuruuruu u ruuu r，可以变形为(1)OMxy OAxOByOCuuuruuruu u ruuu r，注意到OAuur，OBuuu r，OCuuu r的系数和为1，满足这个条件的只有选项 D，故选 D. 6.答案：B 解析：对于选项 A，若0a b，则 0a或 0b
9、或ab，故 A 错误； 对于选项 B，由 0a，可得0或 0a，故 B正确； 对于选项 C，由22ab，得| |ab，即向量a, b的模相等，但方向不确定，故 C错误； 对于选项 D，由a ba c，得()0abc，则 0a或bc或()abc，故 D错误.故选 B. 7.答案：C 解析：要使空间中的四点 M,A,B,C 共面，只需满足OMxOAyOBzOCuuuruuruu u ruuu r，且1xyz即可. A 中，2 1 10 xyz ，故此时 M,A,B,C四点不共面； B中，1113153230 xyz,故此时 M,A,B,C四点不共面； C中，MAMBMC 0uuu ruuu ruu
10、u r，即MOOAMOOBMOOC 0uuu ruuruuu ruuu ruuu ruuu r， 即111333OMOAOBOCuuuruuruuu ruuu r，1111333xyz，故此时 M,A,B,C 四点共面； D 中，OMOAOBOC 0uuuruuruuu ruuu r，则OMOAOBOC uuuruuruuu ruuu r，1 1 13xyz ，故此时 M,A,B,C四点不共面.故选 C. 8.答案：C 解析：2111111( 2) cos,AB C BAB D AAB D Auuu r uuu ruuu r uuuruuu r uuur12cos 180602cos12021
11、2 .故选 C. 9.答案：ABC 解析：2240AP AB uuu r uuu rQ，APABuu u ruu u r，APAB，A对； 4400AP AD uuu r uuu rQ，APADuu u ruuu r，APAD，B 对； APABQ，APAD，ABADA，AP平面 ABCD， APuuu r是平面 ABCD的一个法向量，C对； (2,3,4)BDADABuuu ruuu ruu u r，设BDAPuuu ruu u r，即2,32 ,4, 方程组无解，D错. 故选 ABC. 10.答案：AC 解析：由| 2a得2221( 1)2m ， 解得2m ，故 A选项正确；由ab 得21
12、20mm ，解得1m ，故 B选项错误； 若存在实数，使得ab，则12 ， 1(1)m ，2m，显然无解， 即不存在实数使得ab，故 C选项正确； 若1 a b，则2121mm ，解得0m ， 于是( 1, 2,2) ab，故 D选项错误. 11.答案：6,13 解析：因为 PA，PB，PC两两垂直，且PAPBPC，所以由全等三角形可知ABACBC， 所以三棱锥为正三棱锥，记 P 在底面 ABC内的投影为 O， 所以222 3ABACBCPAPB， 因为cos302ABAO ，所以2AO ，所以222POAPAO， 因为3PQ ，所以221OQPQOP，所以 Q的轨迹是以 O 为圆心半径为 1
13、的圆， 取 AB中点 D，连接 CD，可知 CD 经过点 O，建立如下图所示的空间直角坐标系： 设cos ,sin ,0Q，1,3,0 ,1, 3,0 ,0,0, 2ABP， 所以cos ,sin,2 ,0,2 3,0PQAB， 所以2 3sin3cos,sin32 33PQ AB， 所以3coscos,sin3PQ AB ， 所以221sin1cos1sin3，且2sin0,1， 所以2121sin,133，所以6sin,13， 故答案为：6,13. 12.答案：104 解析：设三棱柱的棱长为 1,以B为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,则113 13 1(0,1,1),0 ,12222C
14、AAC uuur,平面11BBC C的一个法向量为1,0,0n.设1AC与平面11BBC C所成角为 ,则1211610sincos,cos1sin44ACACACnnnuuuruuuruuur. 13.答案：0 解析：(2)(3 ),(2) (3 )0mnmnmnmnQ，化简得2 m n. 又22|(4)164 166aamnQ， 22|(72 )49 16563bbmn， 22(4) (72 )28|2|18a bmnmnmnm n， 18cos,1|6 3 a ba ba b，,0 a b. 14.答案：（1）见解析 （2）21 3 13,713 解析：（1）如图，取 AC的中点 M，连
15、接 DM，BM， 在等腰梯形11ACC A中，D，M分别为11AC，AC的中点， ACDM. 在正三角形 ABC 中，M为 AC 的中点，ACBM. DMBMM，DM，BM 平面 BDM， AC平面 BDM.又BD平面 BDM，ACBD. （2）DMAC，BMAC， DMB为二面角1AACB的平面角， 即DMB. AC 平面 BDM， 在平面 BDM内作MzBM，以 M为坐标原点，以MA，MB，Mz的方向分别为 x，y，z 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则(1,0,0)A，(0, 3,0)B，( 1,0,0)C ，330,cos ,sin22D，1133,cos ,sin222C，1133,cos ,sin222A， 则(1, 3,0)CB ，1133,cos ,sin222CC. 设平面11BB C C的法向量为( , , )x y zn， 则有10,0,CBCCnn 即30,133cossin0,222xyxyz 令3x ，则1y ，1cossinz， 则1cos3,1,sin n. 设直线1AA与平面11BB C C所成角为， 又1133,cos ,sin222AA ， 12233sincos,2(1cos )341cossinAAn. 2,33，1 1cos,2 2 ， 21 3 13sin,713.
