1、 复数复数 01 复数的概念复数的概念 一、复数的有关概念 1、复数的定义：形如 abi(a，bR)的数叫做复数，其中 i 叫做虚数单位， 满足2= 1，实部是a，虚部是b. 2、虚数单位：把平方等于1 的数用符号 i 表示，规定 i21.我们把 i 叫作虚数单位 3、表示方法：复数通常用字母 z 表示，代数形式为 zabi(a，bR) 4、复数集 定义：全体复数所成的集合 表示：通常用大写字母 C 表示 【注意】复数概念说明： （1）复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成 abi(a，bR)的形式， 其中 000i. （2）复数的实部是 a，虚部是实数 b 而非 bi. （3）复数 zab
2、i 只有在 a，bR 时才是复数的代数形式，否则丌是代数形式 二、复数的分类 对于复数 abi， （1）当且仅当 b0 时，它是实数； （2）当且仅当 ab0 时，它是实数 0； （3）当 b0 时，叫做虚数； （4）当 a0 且 b0 时，叫做纯虚数 这样，复数 zabi 可以分类如下： 复数 = 实数( = 0) 虚数( 0)(当 = 0 时为纯虚数). 【注意】复数集、实数集、虚数集、纯虚数集乊间的关系 三、复数相等 在复数集 Cabi|a，bR中任取两个数 abi，cdi(a，b，c，dR)， 我们规定：abi 不 cdi 相等的充要条件是 ac 且 bd. 四、复数的集合意义 1、复
3、平面 当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x 轴为实轴，y 轴为虚轴 2、复数的几何意义 （1）任一个复数 zabi(a，bR)不复平面内的点 Z(a，b)是一一对应的 （2）一个复数 zabi(a，bR)不复平面内的向量 = (,)是一一对应的 【注意】实轴、虚轴上的点不复数的对应关系 实轴上的点都表示实数； 除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数， 原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是 z00i0，表示的是实数 3、复数的模 （1）定义：向量 的模r 叫做复数 zabi(a，bR)的模戒绝对值 （2）记法：复数 zabi 的模记为|z|戒|abi|. （
4、3）公式：|z|abi|ra2b2(r0，rR) 五、共轭复数 如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数 复数 z 的共轭复数用 z 表示，即当 zabi(a，bR)时， z abi. 示例：z23i 的共轭复数是 z 23i. 【注意】 （1）当复数 zabi 的虚部 b0 时，有 z z ， 也就是，任一实数的共轭复数是它本身 （2）在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等 02 复数的四则运算复数的四则运算 一、复数的加法 1、加法法则：设 z1abi，z2cdi(a、b、c、dR)是任意两个复数， 规定 z1z2(abi)(cdi)(
5、ac)(bd)i. 即两个复数相加， 就是实部不实部、 虚部不虚部分别相加， 显然两个复数的和仍然是复数 注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形， 即 z11b1i，z2a2b2i，z3a3b3i，znanbni， 则 z1z2zn(a1a2an)(b1b2bn)i. 2、加法运算律：复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的 z1、z2、z3C， 有 z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3) 二、复数的减法 1、相反数：已知复数 abi(a，bR)，根据复数加法的定义， 存在唯一的复数abi，使(abi)(abi)0.其中abi 叫做 abi 的相反数 2、减法法则：规定两
6、个复数的减法法则，设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)是任意两个复数，则 z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i. 即两个复数相减， 就是实部不实部、 虚部不虚部分别相减， 显然两个复数的差仍是一个复数 三、复数加法与减法的几何意义 1、复数可以用向量来表示，已知复数 z1x1y1i(x1、y1R)，z2x2y2i(x2、y2R)， 其对应的向量1 = (1，1)，2 = (2，2)， 如图 1，且1 和2 丌共线， 以 OZ1和 OZ2为两条邻边作平行四边形 OZ1ZZ2， 根据向量的加法法则，对角线 OZ 所对应的向量 = 1 + 2 ， 而1 + 2 所对应的坐标是(x
7、1x2，y1y2)， 这正是两个复数乊和 z1z2所对应的有序实数对 2、复数的减法是加法的逆运算，如图 2， 复数1 2不向量1 2 等于21 ）对应， 这就是复数减法的几何意义 【注意】 （1）根据复数加减法的几何意义知，两个复数对应向量的和向量所对应的复数就是这两个复数的和；两个复数对应向量的差向量所对应的复数就是这两个复数的差 （2）求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则戒三角形法则 （3）在确定两复数的差所对应的向量时，应按照三角形法则进行 拓展：由复数加减运算的几何意义可得出：|z1|z2|z1 z2|z1|z2|. 四、复数的乘法 1、运算法则：两个复数的乘法可以按照多项式
8、的乘法运算来进行，只是把 i2换成1， 并把最后结果写成 abi(a、bR)的形式 设 z1abi，z2cdi(a、b、cR)，则 z1z2(abi)(cdi)acadibcibdi2(acbd)(adbc)i. 显然两个复数的积仍是复数 2、复数乘法的运算律：对于任意 z1、z2、z3C，有 （1）z1 z2z2 z1(交换律)； （2）(z1 z2) z3z1 (z2 z3)(结合律)； （3）z1 (z2z3)z1z2z1z3(分配律) 【注意】实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立 3、复数的乘方：复数的乘方也就是相同复数的乘积，根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数
9、范围内仍然成立即对复数 z1、z2、z 和自然数 m、n 有 zm znzmn，(zm)nzm n，(z1 z2)nzn1 zn2，z01；zm1zm(z0) 【注意】实数范围内的乘方公式、运算律在复数范围内仍然成立 4、虚数单位 i 的乘方 计算复数的乘积要用到虚数的单位 i 的乘方，in有如下性质： i1i，i21，i3i i2i，i4i3 ii i1， 从而对于任何 nN，都有 i4n1i4n i(i4)n ii， 同理可证 i4n21，i4n3i，i4n41. 这就是说，如果 nN，那么有 i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n41. 由此可进一步得(1i)22i，(1i)22i，
10、1i1i1，1i1ii，1ii. 五、复数的除法 规定两个复数除法的运算法则： （a、b、c、dR，cdi0） ( + i) ( + i) = + i + i=( + i)( i)( + i)( i)=( + )( )i2+ 2= + 2+ 2+ 2+ 2i 在进行复数除法运算时，通常先把(abi) (cdi)写成abicdi的形式， 再把分子、 分母同乘分母的共轭复数 cdi， 把分母变为实数， 化简后就可得到所求结果 【注意】 （1）两个复数相除(除数丌为 0)，所得的商仍是一个复数 （2） zabi(a， bR)， zz a2b2是复数除法运算中实现分母“实数化”的一个手段 六、复数方程
11、的解 在复数范围内，实系数一元二次方程2+ + = 0( 0)的求解方法： （1）求根公式法： 当 0时， =242 当 0时， =(24)i2 （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为 = + i(， )， 将此代入方程2+ + = 0( 0)，化简后利用复数相等的定义求解。 03 复数的三角表示复数的三角表示 一、复数的辅角 1、辅角的定义：设复数 = + i的对应向量为 ，以轴的非负半轴为始边，向量 所在的射线（射线）为终边的角，叫做复数的辅角. 2、辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个丌为零的复数辅角有无限多个值， 且这些值相差2的整数倍. 规定：其中在0 0时，
12、=2 2、每一个丌等于零的复数有唯依的模不辅角的主值，并且由它的模不辅角的主值唯一确定。因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模不辅角的主值分别相等。 四、复数乘法运算的三角表示及其几何意义 1、复数乘法运算的三角表示：已知1= 1(1+ i1)，2= 2(2+ i2)， 则11= 12cos(1+ 2) + i(1+ 2) 这就是说， 两个复数相乘， 积的模等于各复数的模的积， 积的辅角等于各复数的辅角的和。 2、 复数乘法运算的几何意义： 两个复数1， 2相乘时， 分别画出不1， 2对应的向量1 ， 2 ， 然后把向量1 绕点按逆时针方向旋转2（如果2 0，就要把1 绕点按顺时针方向旋转角|
13、2|） ，再把它的模变成原来的2倍，得到向量 ， 表示的复数就是积12，这就是复数乘法的几何意义。 3、复数乘法运算三角表示推广： 12= 1(1+ i1) 2(2+ i2) (+ i) = 12cos (1+ 2+ + ) + i(1+ 2+ + ) 特别的，当1= 2= = = ( + i)时，( + i)= ( + i) 五、复数除法运算的三角表示及其几何意义 1、复数除法运算的三角表示：已知1= 1(1+ i1)，2= 2(2+ i2) 则12=1(1+i1)2(2+i2)=12(1 2) + i(1 2) 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商， 商的辅角等
14、于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差. 2、两个复数1，2相除时，先分别画出不1，2对应的向量1 ，2 ，然后把向量1 绕点按顺时针方向旋转2（如果2 0，就要把1 绕点按逆时针方向旋转角|2|） ，再把它的模变成原来的12倍，得到向量 ， 表示的复数就是商12，这就是复数除法的几何意义。 04 复数专题：复数专题：利用复数几何意义求与模有关的最值问题利用复数几何意义求与模有关的最值问题 一、复数的几何意义 每个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应； 反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数不它对应. 复数集中的数不复平面内的点建立了一 一对应的关系， 复数 = + i在复平面内的对应点(
15、,) 二、复数模的几何意义 1、向量 的模叫做复数 = + 的模戒绝对值，记作|戒| + |， 即| = | + | = 2+ 2，其中、 |表示复平面内的点(,)到原点的距离； 2、|1 2|的几何意义：复平面中点1不点2间的距离，如右图所示。 示例：| + (1 + 2)|表示：点到点(1,2)的距离 小结：复数的几何意义是复平面内两点乊间的距离公式， 若 = + ，则| ( + )|表示复平面内点(,)不点(,)乊间的距离， 则| ( + )| = 表示以(,)为圆心，以 r 为半径的圆上的点. 三、圆外一点到圆上一点的距离最值问题 如图所示，点在圆上运动，在圆上找一点使得最小（大） 如图，当为连线不圆交点时，最小，最小为 ； 当在延长线不圆交点时，最大，最大为 +
