1、第2章特殊三角形1、 单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1下列定理中，没有逆定题的是（）内错角相等，两直线平行等腰三角形两底角相等对顶角相等直角三角形的两个锐角互余A1个B2个C3个D4个2如图，在中，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点E，将沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则等于（）A19B20C24D253如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到ECF若BC1，则ECF的周长为（）ABCD4如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是AB边的中点，点E是BC边上的一个动点，以DE为边作等边三角形DEF，连接AF，则AF的最小值为（）A2B CD5如图，在中
2、，过点作于点，点是上一点，将沿着翻折得到，连接，若，三点恰好在同一条直线上，则的度数是（）ABCD6在中，点是边上两点，且垂直平分平分，则的长为（）ABCD7如图，在中，为边上的高，为边的中点，点在边上，若，则边的长为（）ABCD8如图，已知点C为线段AB的中点，按下列步骤作图：（1）分别以点A和C为圆心，以AC长为半径画弧，两弧相交于点D；（2）作射线AD，并在射线AD上截取；（3）连接CE，设CE的中点为F，连接BF则BF的长为（）ABCD9如图，中，点O在边BC上，OD垂直平分BC，AD平分BAC，过点D作于点M，则（）A3B4C5D610如图，在中，点，分别是，上的动点，将沿直线翻折，
3、点的对点恰好落在边上，若是等腰三角形，那么的度数为（）A或B或C，或D，或2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11如图，在第1个中，往上取一点，延长到，使得；在上取一点，延长到，使得；按此作法进行下去，第个三角形中以为顶点的内角的度数为_12如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，点在边上，连接，则_13如图，在等腰中，于点，以为边作等边三角形，与在直线的异侧，直线交直线于点，连接交于点若，则_14如图，在RtABC中，BAC90，点D在BC上，过D作DFBC交BA的延长线于F，连接AD，CF，若CFE32，ADB45，则B_15如图，点为上一点，连接，则的最小值为_16已
4、知P是平分线上一点，点C在射线OA上，且，点D在射线OB上运动若，则_17如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，P都在格点上，连接AP，CP，CD，则PABPCD_18如图，在中，点D、E是线段AC上两动点，且，AM垂直BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F当时，_三、解答题（本大题共6小题，共60分）19（8分）已知，ABC是等边三角形，点D在AC边上，且DB=DE，点E在 BC延长线上(1) 如图1，若点D是AC的中点，求证：AD=CE；(2) 如图2，若点D不是AC的中点，在CB上截取CF=CD，连接DF，则（1）中的结论还成立
5、吗？若成立给出证明，若不成立，说明理由20（8分）（1）如图1，在等腰ABC中，AB=AC和等腰ADE中，AE=AD，BAC=DAE=90，B，E，D三点在同一直线上，求证：BDC=90；（2）如图2，等腰ABC中，AB=AC，BAC=90，D是ABC外一点，且BDC=90，求证：ADB=4521（10分）如图，已知ABCADC90，BCCD，CACE(1) 求证：ACBACD；(2) 过点E作MEAB，交AC的延长线于点M，过点M作MPDC，交DC的延长线于点P 连接PE，交AM于点N，证明AM垂直平分PE； 点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点O与点E重合22（10分）知
6、RtABC和RtADE，ABAC，ADAE连接BD、CE，过点A作AHCE于点H，反向延长线段AH交BD于点F(1)如图1，当ABAD时请直接写出BF与DF的数量关系：BF_DF（填“”、“”、“”）求证：CE2AF(2)如图2，当ABAD时，上述结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由23（10分）如图，ABC是等边三角形，在BC的上方作DBC，使BCDC，BCD，直线BD与直线AC相交于点F，点E在直线BD上，且AED120，连接CE(1) 如图1，若60180， 请直接写出EAC与DBC的数量关系； 猜想线段BD，AE，CE之间的数量关系，并证明你的猜想；(2) 若060时
7、，在图2中画出图形，（2）中的结论是否成立，如果成立，请说明理由，如果不成立，请直接写出你的结论24 （12分）如图，MAN是一个钝角，AB平分MAN，点C在射线AN上，且ABBC，BDAC，垂足为D(1) 求证：；(2) 动点P，Q同时从A点出发，其中点Q以每秒3个单位长度的速度沿射线AN方向匀速运动；动点P以每秒1个单位长度的速度匀速运动已知AC5，设动点P，Q的运动时间为t秒 如图，当点P在射线AM上运动时，若点Q在线段AC上，且，求此时t的值； 如图，当点P在直线AM上运动时，点Q在射线AN上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得APB与BQC全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说出
8、理由参考答案1A解：根据题意可知：的逆命题是两直线平行，内错角相等，是真命题，是逆定理；的逆命题是有两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题，是逆定理；的逆命题是相等的两个角是对顶角，是假命题，不是逆定理；的逆命题是有两个锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，是逆定理.只有一个不是逆定理.故选A2B【分析】根据垂直平分线和等腰三角形性质，得；根据三角形外角性质，得；根据轴对称的性质，得，；根据补角的性质计算得，根据三角形内角和的性质列一元一次方程并求解，即可得到答案解：BD的垂直平分线交AB于点E， 将沿AD折叠，点C恰好与点E重合， 故选：B【点拨】本题考查了轴对称、三角形内角和、三角形外
9、角、补角、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、三角形内角和、三角形外角的性质，从而完成求解3A【分析】第一次翻折可得，EM=1，ADM=EDM=45，第二次折叠，可得，由DCN=45，可得，则，再求的周长即可解：如图，第一次折叠，如图，由折叠的性质，第二次折叠，如图，的周长，故选：A【点拨】本题考查翻折的性质，熟练掌握翻折的性质，对应两次翻折求出EDM=45是解题的关键4B【分析】当AFAB时，AF的值最小，过D作DGBC，可证ADF=DEG，进一步证明DEGGFA可求解解：当AFAB时，AF的值最小，过D作DGBC，DGBC，AFABDGB=DGE=DAF=90B+BDG=90，
10、GDE+DEG=90ABC和DEF都是等边三角形DF=EF，B=FDE=60，BDG=30ADF+GDE=180-BDG-FDE=180-60-30=90ADF=DEG又DGE=DAF=90，DE=DFDEGFDA（AAS）AF=DG故选：B【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键5B【分析】根据余角和等腰三角形的性质得=48、，根据等要三角形的性质，得=48；根据全等三角形的性质，通过证明，得；根据轴对称的性质，得，；设，根据三角形外角的性质，通过列一元一次方程并求解，得的值，再根据等腰三角形的性质和三角形内
11、角和计算，即可得到答案解： , 在和中 将沿着翻折得到， 设， 故选：B【点拨】本题考查了轴对称、全等三角形、等腰三角形、余角、三角形内角和、三角形外角、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、等腰三角形、三角形外角的性质，从而完成求解6A【分析】根据CE垂直平分AD，得AC=CD，再根据等腰在三角形的三线合一，得，结合角平分线定义和，得，则解：CE垂直平分ADAC=CD6cm，CD平分故选：A【点拨】本题考查的知识点主要是等腰三角形的性质的“三线合一”性质定理及判定“等角对等边”，熟记并能熟练运用这些定理是解题的关键7D【分析】作AB的中点M，连接ME，过F点作，首先证得是等边三
12、角形，再证明，从而得到，利用勾股定理求得DF的长度，从而得到DE的长度，再根据在中E是中点，从而计算出BC的长度解：如下图所示，作AB的中点M，连接ME，过F点作，垂足为N在中，M是中点，是等边三角形，M、E为中点， ，在中，在中，在中，E是中点，故选：D【点拨】本题考虑直角三角形、等边三角形、全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形、等边三角形、全等三角形的相关知识8C【分析】根据作图可知，为等边三角形，再结合可计算，即可判断，然后在和中，由勾股定理依次计算CE、BF的长即可解：如下图，连接CD，C为线段AB的中点，以点A和C为圆心，以AC长为半径画弧，两弧相交于点D，为等边三角形，
13、即，在中，F为CE的中点，在中，故选：C【点拨】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解题意并综合运用相关知识是解题关键9A【分析】如图（见分析），先根据角平分线的性质可得，再根据直角三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据垂直平分线的性质可得，又根据直角三角形全等的判定定理与性质可得，设，从而可得，最后根据建立等式求解即可得解：如图，过点D作，交AC延长线于点N，连接BD、CD，AD平分，在和中，OD垂直平分BC，在和中，设，又，解得，即，故选：A【点拨】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、直角三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线
14、，构造全等三角形是解题关键10D【分析】由，得，分三种情况讨论：当时，可得；当时，即得，即得；当时，可得解：，分三种情况讨论：当时，如图：，；当时，如图：，；当时，如图：，；综上所述，为或或，故选：D【点拨】本题考查了含直角三角形，折叠问题，解题的关键是掌握等腰三角形性质，分类讨论11【分析】首先利用等腰三角形性质求出BA1A=80，再利用外角性质结合等腰三角形底角相等依次A1A2C =80，A2A3D= ，得到变化规律是的指数比角右下角的序号少1，得出结果解：在中，BA=BA1，BA1A=BAA1= ，又A1C=A1A2，A1A2C=A1CA2=BA1A=80，同理：A2A3D=CA2A1=
15、80= ，A2A3D=，故答案为：【点拨】本题考查数形结合找规律，解决问题的关键是通过计算得到变量和角的序号之间的变化关系1290#90度【分析】设BD、EF交于点G，先证明BDEF，则有AFE=90+ABC，再证明2BDE=BDC=90-ABC，即可求解解：设BD、EF交于点G，如图，BF=BE，BEF是等腰三角形，BD平分ABC，ABD=DBC，BDEF，BGE=BGF=90，AFE=BGF+ABG，AFE=90+ABC，DE平分BDC，2BDE=BDC，C=90，BDC+DBC=90，BDC+ABC=90，2BDE=BDC=90-ABC，故答案为：90【点拨】本题考查了等腰三角形的判定与
16、性质、角平分线的性质、三角形外角的性质等知识，证明BDEF，是解答本题的关键136【分析】根据等腰三角形的性质得出12，由直线AD垂直平分BC，求出FBFC，根据等腰三角形的性质得出34，然后求出ABAE，根据等腰三角形的性质得出35，等量代换求出即可得到；在FC上截取FN，使FNFE，连接EN，根据等边三角形的判定得出EFN是等边三角形，求出FEN60，ENEF，再求出56，根据SAS推出EFAENC，根据全等得出FANC，从而得到，据此求解即可解：如图1， ，直线垂直平分，即，在等边三角形中，在等边三角形中，；在上截取，使，连接，是等边三角形，为等边三角形，即，在和中，故答案为：6【点拨】
17、本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键1477【分析】CF的中点T，连接DT，AT，证明ATCF ，AC= AF，得到AFC = 45， 根据直角三角形的两锐角互余计算即可解：取CF的中点T，连接DT，AT， BAC90，FDBC，CAFCDF90，ATDT=CF，TDTCTA，TDATAD，TDCTCD，ADB45，ADT+TDC135，DAT+TCD135，ATC360213590，ATCF，CTTF，ACAF，AFC45，BFD453213，BDF90，B90BFD77，故答案为：7
18、7【点拨】本题考查的是直角三角形斜边中线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是正确添加斜边上的中线153【分析】过P点作PMBC于点M，将ACB沿AB向上翻折得到ADB，过P点作PNBD于点N，先证得PM=，即有PC+=PC+PM，根据翻折的性质可知PN=PM，即PC+=PC+PM=PC+PN，当P、N、C三点共线时根据垂线段最短的原理即可求解解：过P点作PMBC于点M，将ACB沿AB向上翻折得到ADB，且ACBADB，过P点作PNBD于点N，如图，在RtACB中，AC=2，AB=4，ABC=30，BC=，PMBC，在RtPMB中，有PM=，PC+=PC+PM，ACBADB，ABD=ABC=3
19、0，PNBD，PB=PB，PMB=PNB=90，RtPNBRtPMB，PN=PM，PC+=PC+PM=PC+PN，要求PN+PC的最小值，可知当P、N、C三点共线，根据垂线段最短可知，当CNBD时，CN最小，如图，CNBD，CBD=ABC+ABD=60，BC=，在RtABN中，CN=3，则PC+=PC+PM=PC+PN的最小值是3，即PC+最小为3，故答案为：3【点拨】本题考查了翻折的性质、接含特殊角的直角三角形、全等三角形的判定与性质以及垂线段最短的知识，构造出PC+=PC+PM=PC+PN是解答本题的关键16135或45【分析】由于点D在射线OB上运动，当DP=CP时，满足条件的点D在射线
20、OB上有两个位置，则分两种情况解答即可解：如图，过P作PMOB于M，PNOA于N,P是平分线上一点PM=PN.在RtPMD与RtPNC中，DP=CP，PM=PNRtPMDRtPNC（HL），PDM=PCNOCP=135PCN=45PDM=45当D落在D1的位置时，ODP=135；当D落在D2的位置时，ODP=45.即ODP=135或45故填：135或45【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线并掌握分类讨论思想是解答本题的关键1745【分析】如图，取CD边上的格点E，连接AE，PE，易得BAEPCD,证明为等腰直角三角形，从而可得答案解：如
21、图，取CD边上的格点E，连接AE，PE，易得BAEPCD由题意可得AP2PE212+225，AE212+3210AE2AP2+PE2APE是等腰直角三角形PAE45PABPCDPABBAEPAE45【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键18【分析】过点C作CPAC，交AM的延长线于点P，根据全等三角形的判定和性质得出BADACP，AD=CP，CEN=P，继续证明CPNCEN，得出DEF=EDF=60，然后结合图形利用勾股定理解直角三角形，最后求比值即可解：如图所示，过点C作CPAC，交AM的延长线于点P，RtABC中，AB=AC，BAC=90，AC
22、B=45，PCN=ACB=ECN，AMBD，ABD+BAM=BAM+CAP=90，ABD=CAP，在BAD与ACP中，BADACP，AD=CP，CEN=P，AD=EC，CE=CP，CN=CN，CPNCEN，P=NEC，EDF=DEF，ABD=30，ADB=60，DEF=EDF=60，EF=DE，P=60，CP=CE=，AE=AC-CE=AD=，CD=AC-CD=EF=AC-AE-CD=，BC=，故答案为：【点拨】题目主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形等，作出辅助线构造出全等三角形是解题关键19(1)证明见分析；(2)（1）中的结论还成立，理由见分析【分析】（1）先证明ECDE
23、，推出CDCE，根据中点定义得出ADDC，即可得出答案；（2）证明BF=AD，再证明BDFEDC得到BF= EC，从而得到AD=CE（1）证明：是等边三角形，AB=BC=AC，又是的中点，平分，又，；（2）解：（1）中的结论还成立，理由如下：BC=AC，CF=CD，BF=CB-CF， AD=CA-CD，.BF=AD，FCD=60，CF=CD，CDF为等边三角形，CFD=60，DFB=180-DFC=120，DCE=180-DCB=120DFB=DCE，DB=DE，DBE=DEB，在BDF和EDC中，BDFEDC（AAS），BF= EC，BF=AD，AD=CE【点拨】本题考查了等边三角形的判定及
24、性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定与性质，选择恰当的判定条件，熟练掌握等边三角形的性质是解决问题的关键20（1）证明见分析；（2）证明见分析【分析】（1）先证明BAECAD得ABE=ACD，由BAC=90得ABC+ACB=ABE+DBC+ACB=ACD+ACB+DBC=DCB+DBC=90，则BDC=90 ；（2）过点A作AMAD，交BD于点M，证明ABMACD，则AM=AD，则ADM=AMD=45，即可证明ADB=45证明：（1）如图1，BAC=DAE=90，BAC=BAE+EAC，DAE=CAD+EAC，BAE=CAD，在BA E和CAD中， BAECAD（SAS），ABE=A
25、CD，BAC=90，ABC+ACB=ABE+DBC+ACB=ACD+ACB+DBC=DCB+DBC=90，BDC=90（2）如图2，过点A作AMAD，交BD于点M，BAC=BDC=90，ABM+DBC+ACB=90， ACD+ACB+DBC=90，ABM=ACD，AMAD，MAD=90，BAC=BAM+MAC，DAM=CAD+MAC，BAM=CAD，在ABM和ACD中， ，ABMACD（ASA），AM=AD，MAD=90，ADB=AMD=45【点拨】此题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形两锐角互余等知识，证明三角形全等是解题的关键21(1)见分析(2)见分析；见
26、分析【分析】（1）用HL证明RtABCRtADC，即可得到结论；（2）证明NECNPC (SAS)即可；作P点关于AE的对称点，连接M交AE于点O，证明 MP=30即可(1)证明：在RtABC和RtADC中，BCCD，AC=AC，RtABCRtADC，ACB=ACD；(2)RtABCRtADC，BAC=CAD，CA=CE，CAE=CED，EBA=90，BEA=BAC=CAE=30，PDAE，MPPD，AEMP，PMC=MAE=30，MEAB，MEB=90，MEA=120，MAE=30，EMA=30，CMP，CEME，MCP=MCE=60，NECNPC (SAS)，EN=PN， N是EP的中点，
27、NCPE，AM垂直平分PE；作P点关于AE的对称点，连接M交AE于点O，AM垂直平分PE，ME=MP，EMP=60，MPE=60，EPD=30，=30， MP=30，MP=60，O点与E点重合【点拨】此题考查了全等三角形的判定及性质定理，线段垂直平分线的判定及性质，轴对称的性质，正确掌握全等三角形的判定及性质定理是解题的关键22(1)= ，见分析(2)成立，见分析【分析】（1）证明ABFCAH，ADFEAH，推理即可得证（2）过点B作BGFH，垂足为G，过点D作DMFH，交HF的延长线于点M，证明ABGCAH，ADMEAH，得到BG=AH=DM，证明DMFBGF，推理即可解：(1)如图，AB=
28、AC=AD=AE，CAB=CHA=90，CAH=EAH，90-CAH=90-EAH，BAF=DAF，AFBD，AFB=90，ACH+CAH=90，BAF+CAH=90，ACH=BAF，ABFCAH，AF=CH，BF=AH同理可证，ADFEAH，AF=EH，DF=AHBF=DF，故答案为：=；由知，AF=CH=EH，故CE=CH+EH=AF+AF=2AF(2)成立理由如下：过点B作BGFH，垂足为G，过点D作DMFH，交HF的延长线于点M，AB=AC，CAB=BGA=CHA=90，ACH+CAH=90，BAG+CAH=90，ACH=BAG，ABGCAH，AG=CH，BG=AH同理可证，ADMEA
29、H，AM=EH，DM=AHBG=AH=DM，BGF=DMF=90，BFG=DFM，DMFBGF，MF=GF，BF=DF，CE=CH+EH=AG+AM=AF-FG+AF+FM=2AF【点拨】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的三线合一，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键23(1)CAEDBC；BD2AE+EC，理由见分析(2)画图见分析，结论不成立，结论应该是CE2AE+BD，理由见分析【分析】（1）由等边三角形的性质可得ABCACBBAC60，由外角的性质可求解；由“SAS”可证ACEBCH，可得AEBH，由“AAS”可证BCHDCE，可得DEBH，即可得结论；（2）根据题意
30、画出图形，由“SAS”可证ABHACE，可得CEBH，由“AAS”可证AECDEC，可得AEDE，即可得结论(1)解：ABC是等边三角形，ABCACBBAC60，AED120，AEB60，AEBACB，AFBAEB+CAEACB+DBC，CAEDBC；BD2AE+EC，理由如下：如图1，在BE上截取EHEC，连接CH，AEBACB，CAEDBC，EFACFB，CAE=CBE，ABF=ABC-CBE=60-CBE, ACE=180-AEC-CAE=60-CAE，ABF=ACE，又AFB=EFC，BACBEC60，EHEC，ECH是等边三角形，EHECCH，CEHCHEECH60，BHCCED12
31、0，ECHACB，又ACBC，CHCE，ACEBCH（SAS），AEBH，BCCD，BD，又BHCDEC，BCHDCE（AAS），DEBH，AEDEBH，BDBH+EH+DE2AE+EC(2)结论不成立，结论应该是CE2AE+BD，理由如下：如图3，在直线BE上截取EHAE，连接AH，设AB与EC交于点F，AED120，AEH60，又AEEH，AEH是等边三角形，AHHEAE，EAHHBAC60，EACBAH，又ABAC，AEAH，ABHACE（SAS），ECBH，ABH=ACEEFB=AFCBECBAC60，AED+ACB180，DBC+EAC180，ACB=60，AECBEC60，CBCD
32、，CBDCDB，CDB+CDE180，CDECAE，AECDEC（AAS），AEDE，ECBHBD+DE+EH2AE+BD【点拨】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键24(1)见分析(2)；存在，或【分析】（1）先证RtBDARtBDC（HL），推出BACBCA再由角平分线的定义得BAMBAC，等量代换即可证明；（2）作BHAM，垂足为M先证AHBADB（AAS），推出BHBD，再由SABPSBQC，推出，结合P，Q运动方向及速度即可求解；分“点P沿射线AM方向运动，点Q在线段AC上”，以及“点P沿射线AM反向延长线方向运
33、动，点Q在线段AC延长线上”两种情况讨论，利用三角形全等得出AP与CQ的关系即可求解(1)证明：BDAC，在RtBDA和RtBDC中，RtBDARtBDC（HL），BACBCAAB平分MAN，BAMBAC，BAMBCA(2)解：如下图所示，作BHAM，垂足为MBHAM，BDAC，AHBADB90，在AHB和ADB中，AHBADB（AAS），BHBD，SABPSBQC，存在，理由如下：当点P沿射线AM方向运动，点Q在线段AC上时，如下图所示，ABBC，又由（1）得BAMBCA，当APCQ时，APBCQB，；当点P沿射线AM反向延长线方向运动，点Q在线段AC延长线上时，如下图所示，由（1）得BAMBCA，BAPBCQ，又ABBC，当APCQ时，APBCQB，综上所述，当或时，APB和CQB全等【点拨】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，并注意分类讨论是解题的关键
