1、第五章三角函数第五章三角函数 一、单项选择题一、单项选择题:本题共本题共 8 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 40 分分. 1.2022 江西抚州临川二中高一下月考已知扇形 OAB 的圆心角为 4 rad,其面积是 8 cm2,则该扇形的弧长是( ) A.8 cm B.4 cm C.82 cm D.42 cm. 2.2022 河北邯郸一模已知 tan =-3,则sin3;sin sin (:2)=( ) A.-34 B.34 C.310 D.-310 3.2022 山东枣庄期末 为第三或第四象限角的充要条件是( ) A.sin 0 B.cos 0 C.sin tan 0 D.cos t
2、an 0,0,00)在区间(,2)内没有最值,则的取值范围是( ) A.(0,11216,712 B.(0,16(13,23) C.(0,712) D.13,23 7.函数 f(x)=|3cos 22+4sin 24cos 24-2|(0 x)的大致图象是( ) 8.2022广 东 汕 头 一 模 定 义 在R上 的 偶 函 数f(x) 满 足f(2-x)=f(2+x), 且 当x 0,2时,f(x)=2 1,0 1,2sin 2 1,1 0,0,|2)的部分图象如图所示,则下列变换能够使得函数 y=2cos x 的图象变成函数 f(x)的图象的是( ) A.横坐标变为原来的12(纵坐标不变)
3、,再向右平移6个单位长度 B.横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变),再向左平移12个单位长度 C.向右平移3个单位长度,再将横坐标变为原来的12(纵坐标不变) D.向左平移24个单位长度,再将横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变) 11.2022 湖北襄阳一中高一下期初如图所示,某摩天轮的最高点离地面高度 128 m,转盘直径为 120 m,设置若干个座舱.游客从离地面最近的位置进舱,开启后按逆时针方向匀速旋转 t min.当 t=15 时,游客随舱旋转至距离地面最远处,则( ) A.摩天轮离地面最近的距离为 4 m B.旋转 t min 后,游客距离地面的高度 h=-60cos 15t+6
4、8 C.若在 t1,t2时刻,游客距离地面的高度相等,则 t1+t2的最小值为 30 D.t1,t20,20,使得游客在该时刻距离地面的高度均为 90 m 12.2021 重庆巴蜀中学高一上期末已知4,32,sin 2=45,cos (+)=-210,则( ) A.cos =-1010 B.sin -cos =55 C.-=34 D.cos cos =-25 三、填空题三、填空题:本题共本题共 4 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 20 分分. 13.2022 广东汕头潮南区高一上期末请写出一个最小正周期为 ,且在(0,1)上单调递增的函数f(x)= . 14.已知 (-4,4),且 s
5、in 2=45,则 tan = . 15.已知函数 f(x)=cos (3x+3),其中 x6,m,若 f(x)的值域是-1,-32,则实数 m 的取值范围是 . 16.已知函数 f(x)=sin (2x-6)(x(0,),若方程 f(x)=35的解为 x1,x2(0 x1x2),则 x1+x2= ,sin (x1-x2)= .(本题第一空 2 分,第二空 3 分.) 四、解答题四、解答题:共共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10 分)2022 山东淄博中学高一下月考已知 , 为锐角,cos (+32)=45,cos (+)
6、=-55. (1)求 cos 2 的值; (2)求 cos 的值. 18.(12 分)2022 福建福州高一上期末已知函数 f(x)=3sin 2x+2cos 2x+2. (1)求 f(x)的最小正周期. (2)将函数f(x)的图象上的各点 得到函数g(x)的图象,当x-6,4时,方程g(x)=m有解,求实数m的取值范围. 在向左平移6个单位长度,再保持纵坐标不变,横坐标缩短到原来的12;纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的 2 倍,再向右平移6个单位长度中选择一个,补在(2)中的横线上,并作答. 注:如果选择多个条件分别作答,按第一个解答计分. 19.(12 分)2022 天津河西区高一上期末
7、已知 f(x)=2sin xcos x-23cos 2x+3. (1)求函数 f(x)的单调递减区间; (2)求函数 f(x)的最值并写出取最值时自变量的值; (3)若函数 y=f(x+)(00,00,0,00,0,02)的部分图象,M,N 是它与 x 轴的两个不同交点,D 是这部分图象的最高点且横坐标为4,点 F(0,1)是线段 DM 的中点. (1)求函数 f(x)的解析式及其在(,2)上的单调递增区间; (2)当 x-12,512时,函数 y=f (x)2-af(x)+1 的最小值为12,求实数 a 的值. 参考答案参考答案 一、单项选择题一、单项选择题 1.A 设扇形所在圆的半径为 R
8、 cm,则124R2=8,故 R=2,故弧长 l=42=8(cm). 2.C 因为 tan =-3,所以sin3;sin sin(:2)=sin3;sin cos =(sin2;1)sin cos =-sin cos =;sin cos cos2:sin2=;tan 1:tan2=310. 3.D 4.C 由题意,得 A=1,=1,=0,所以噪声声波曲线的解析式为 y=sin x,则反向声波曲线的解析式为 y=-sin x. 5.A 由已知,得 cos -sin =22sin cos ,平方得 8sin2cos 2+2sin cos -1=0.因为 (,32),所以sin 0,cos 0) 在
9、 区 间 (,2) 内 没 有 最 值 , 所 以 函 数 f(x) 在 区 间 (,2) 内 单 调 , 所 以(,2):6,:76,kZ,所以:6 且:762,kZ,解得 k+162+712,kZ.由 k+162+712,得 k0,所以 的取值范围是(0,11216,712. 7.B 因 为f(x)=|3cos 22+4sin24cos 24-2|, 所 以f(x)=|3cos 22+(2sin 4cos 4)2-2|=|3cos 22+sin22-2|=|31:cos 2+1;cos 2-2| =|cos x|,其在(0,)上的大致图象为 B. 8.B 二、多项选择题二、多项选择题 9.
10、ABC 10.AC 由图可知,A=f(x)max=2,函数 f(x)的最小正周期为 T=4(5126)=,则 =2=2.又 f(6)=2cos (3+)=2,得cos (3+)=1,即3+=2k(kZ).因为|90,所以 h=90 在 t0,20上只有一个解,故 D 错误.故选 BC. 12.BC 因为4,所以222,又 sin 2=450,故22,即42,所以 cos 2=-35,即 2cos 2-1=-35,得 cos =55,故 A 错误;(sin -cos )2=1-sin 2=15,因为42,所以 sin cos ,所以 sin -cos =55,故 B 正确;因为 32,所以54+
11、2,又 cos (+)=-2100,所以54+32,所以 sin(+)=-7210,所以 cos (-)=cos (+)-2)=-210(-35)+(-7210)45=-22.又54+32,-2-2,所以4-,所以 -=34,故 C 正确;由 cos (+)=-210,得 cos cos -sin sin =-210,又 cos (-)=cos cos +sin sin =-22,所以 cos cos =-3210,故 D 错误.故选 BC. 三、填空题三、填空题 13.tan x(答案不唯一) 解：根据函数最小正周期为 ,可构造正弦型、余弦型或者正切型函数,再结合在(0,1)上单调递增,可构
12、造 f(x)=tan x. 14.12 解析因为 (-4,4),所以 cos 0.由 sin 2=45,得2sin cos sin2:cos2=45,等式左边分子、 分母同除以 cos 2,得2tan tan2:1=45,整理得2tan 2-5tan +2=0,解得tan =2或tan =12.又(-4,4),所以tan (-1,1),故tan =12. 15.29,518 16.23 -45 解：因为 x(0,),所以 2x-6(-6,116).又方程 f(x)=35的解为 x1,x2,所以21;6:22;62=2,解得x1+x2=23,所以 x2=23-x1,所以 sin(x1-x2)=s
13、inx1-(23-x1)=sin(2x1-23)=-cos (2x1-6).由 0 x1x20,得0 x13,所以 2x1-6(-6,2).又 sin(2x1-6)=35,所以 cos (2x1-6)=45,所以 sin(x1-x2)=-cos (2x1-6)=-45. 四、解答题四、解答题 17. 解：(1)由题设,cos (+32)=sin =45, 则 cos 2=1-2sin2=-725.(4 分) (2)由(1)及 为锐角,可得 cos =35.(5 分) 又 cos (+)=cos cos -sin sin =35cos -45sin =-55,所以 4sin =3cos +5,(
14、7 分) 结合 cos 2+sin2=1,整理得 25cos 2+65cos -11=0,解得 cos =55或 cos =-11525,(9 分) 又 为锐角,所以 cos =55.(10 分) 18. 解：(1)因为 f(x)=3sin 2x+2cos 2x+2=3sin 2x+cos 2x+3=2sin(2x+6)+3,(2 分) 所以函数 f(x)的最小正周期为 T=22=.(4 分) (2)方案一 选择. 由(1)知 f(x)=2sin(2x+6)+3. 将函数 f(x)的图象上的各点向左平移6个单位长度,再保持纵坐标不变,横坐标缩短到原来的12,得到的图象对应的解析式为 g(x)=
15、2cos 4x+3.(8 分) 当 x-6,4时,可得 4x-23, 所以 cos 4x-1,1,即 g(x)1,5.(10 分) 因为方程 g(x)=m 有解, 所以实数 m 的取值范围为1,5.(12 分) 方案二 选择. 由(1)知 f(x)=2sin(2x+6)+3. 将函数 f(x)的图象上的各点纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的 2 倍,再向右平移6个单位长度,得到的图象对应的解析式为 g(x)=2sin x+3.(8 分) 当 x-6,4时,sin x-12,22, 所以 g(x)2,3+2.(10 分) 因为方程 g(x)=m 有解, 所以实数 m 的取值范围为2,3+2.(1
16、2 分) 19. 解：(1)f(x)=sin 2x-3(2cos 2x-1)=sin 2x-3cos 2x=2sin(2x-3).(2 分) 由 2k+22x-32k+32,kZ, 得 k+512xk+1112,kZ, 所以函数 f(x)的单调递减区间是k+512,k+1112(kZ).(4 分) (2)由(1)知,当 2x-3=2k+2(kZ),即 x=k+512(kZ)时,f(x)max=2.(6 分) 当 2x-3=2k-2(kZ),即 x=k-12(kZ)时,f(x)min=-2. 综上,当 x=k+512,kZ 时,f(x)max=2;当 x=k-12,kZ 时,f(x)min=-2
17、.(8 分) (3)由(1)知,f(x+)=2sin(2x+2-3). 因为函数 y=f(x+)(02)为偶函数, 所以 2-3=k+2,kZ,(10 分) 化简整理得 =2+512,kZ. 又 02,所以 k=0,=512, 所以 的值是512.(12 分) 20. 解：(1)因为函数 f(x)的最大值是 2, 所以 T=2=2,即 =.(1 分) 因为 f(0)=2sin =3,且 0,所以 =3或23. 当 =3时,f(x)=2sin (x+3).(3 分) 若 x0,112,则 x+33,5120,2,函数 f(x)单调递增,满足条件; 当 =23时,f(x)=2sin (x+23).
18、 若 x0,112,则 x+2323,342,32,函数 f(x)单调递减,不满足条件. 所以函数 f(x)=2sin(x+3).(5 分) (2)由(1)知 g(x)=2sin(x+3)+1. 令 g(x)=0,得 sin(x+3)=-12,(7 分) 即 x+3=76+2k 或 x+3=116+2k,kZ, 解得 x=56+2k 或 x=32+2k,kZ.(9 分) 因为函数 g(x)=f(x)+1 在区间(0,b)上只有 4 个零点, 所以这 4 个零点应是56,32,176,72, 所以 b 的最大值应是第 5 个零点,即296, 所以实数 b 的最大值是296.(12 分) 21.
19、解：(1)因为 B(12,20),D(44,12),且 DEF 段与 MBC 段关于直线 l:x=34 对称,所以 C(24,12), 所以 A=20-12=8,4=24-12=12, 所以 T=48,=248=24.(3 分) 令2424+=32+2k(kZ), 因为 0,所以当 k=0 时,=2,(5 分) 所以 MBC 段 y 关于 x 的函数解析式为 y=8sin(24x+2)+20=8cos 24x+20,x0,24.(6 分) (2)由题意得 DEF 段 y 关于 x 的函数解析式为 y=8cos 24(68-x)+20,x44,68.(8 分) 若股价至少是买入价的两倍,则 8c
20、os 24(68-x)+2024,即 cos 24(68-x)12,结合 x44,68,得 60 x68,(10分) 故买入 16 天后股价至少是买入价的两倍.(12 分) 22. 解：(1)因为点 F(0,1)是线段 DM 的中点,所以 D(4,2),M(-4,0), 所以 A=2,周期 T=44-(-4)=2,解得 =1.(2 分) 因为 f(4)=2sin(4+)=2,所以4+=2+2k,kZ,解得 =4+2k,kZ. 又 02,所以 =4. 所以 f(x)=2sin(x+4).(4 分) 令 2k-2x+42k+2,kZ, 得 2k-34x2k+4,kZ. 当 k=1 时,54x94,
21、 所以函数 f(x)在(,2)上的单调递增区间为54,2).(6 分) (2)因为 x-12,512,所以 x+46,23, 所以 f(x)=2sin(x+4)1,2.(7 分) 令 t=f(x),则 t1,2,所以 y=t2-at+1,t1,2. 设 g(t)=t2-at+1,则函数 g(t)图象的对称轴为直线 t=2.(8 分) 当21,即 a2 时,g(t)min=g(1)=1-a+1=12,解得 a=32; 当 122,即 2a4 时,g(t)min=g(2)=-24+1=12,解得 a=2(舍去); 当22,即 a4 时,g(t)min=g(2)=4-2a+1=12,解得 a=94(舍去).(11 分) 综上,a=32.(12 分)
