1、 学科网（北京）股份有限公司 第三章函数的概念与性质第三章函数的概念与性质 一、单项选择题一、单项选择题:本题共本题共 8 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 40 分分. 1.下列各图中,可表示函数 y=f(x)图象的是( ) 2.给出下列四个函数:y=-x+1,y=13, 0,13, 0,y=x,y=212,其中定义域和值域相同的函数有( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 3.2022湖北十堰教育科学研究院高三期末已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)=x2+ax+a+1,则 f(-2)= ( ) A.-2 B.2 C.-6 D.6 4. 已知 f
2、(x)是 R 上的偶函数,g(x)是 R 上的奇函数,它们的部分图象如图所示,则 f(x)g(x)的图象大致是( ) 5.2022 湖南师大附中期末函数 y=f(x)是偶函数,且在(-,0+上单调递减,f(-2)=0,则 f(2-3x)0 的解集为( ) A.(0,34) B.(-,0)(34,+) C.(0,43) D.(-,0)(43,+) 学科网（北京）股份有限公司 6. 若函数 f(x)=x2+a|x-2|在(0,+)上单调递增,则实数 a 的取值范围是( ) A.-4,0 B.(-,0+ C.(-,-4 D.(-,-40,+) 7. 若二次函数 f(x)=ax2+2a 是区间-a,a
3、2上的偶函数,g(x)=f(x-1),则 g(0),g(32),g(3)的大小关系为( ) A.g(32)g(0)g(3) B.g(0)g(32)g(3) C.g(32)g(3)g(0) D.g(3)g(32)0 10.2022 山东菏泽高一期中已知 f(x)= + 2, 0 时,f(x)在 R 上是减函数 B.当 k-12时,f(x)没有最小值 C.当 k=-1 时,f(x)的值域为(0,+) 学科网（北京）股份有限公司 D.当 k=-3 时,x11,x21,有 f(x1)+f(x2)=0 11.2022 江苏省通州高级中学高一期中已知函数 f(x)=x|x|,若对xt,t+1,不等式 f(
4、x+t)3f(x)恒成立,则整数 t 的取值可以是( ) A.-1 B.1 C.3 D.5 12. 2021 湖南衡阳八中高一上期末若函数 f(x)在其定义域 D 的某个子区间 M 上单调递增,且()在 M 上单调递减,则称 f(x)在 M 上是“弱增函数”,则( ) A.若 f(x)=x2,则不存在区间 M 使 f(x)为“弱增函数” B.若 f(x)=x+1,则存在区间 M 使 f(x)为“弱增函数” C.若 f(x)=x5+x3+x,则 f(x)为 R 上的“弱增函数” D.若 f(x)=x2+(4-a)x+a 在区间(0,2上是“弱增函数”,则 a=4 三、填空题三、填空题:本题共本题
5、共 4 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 20 分分. 13.2022 陕西宝鸡渭滨中学高一上月考已知函数 f(x)=4|5, 则 f(2x-1)的定义域是 . 14. 已知二次函数 f(x),能说明“若 f(0)0,a1)在1,2上的值域为*1,4+;f(x)=x2-ax+4,且f(x+1)在b-1,b+1上为偶函数中任选一个填到横线上,并解答问题. (1)判断 g(x)在(-1,1)上的单调性; 学科网（北京）股份有限公司 (2)解不等式 g(t-1)+g(2t) 3. (1)求 f(-2); (2)当 x0,求证:f(x)在(-1,1)上是减函数; (3)在(2)的条件下,若 f(
6、12)=-1,f(x)t2-2at+1 对所有 x-12,12,a-1,1恒成立,求实数 t 的取值范围. 22.(12 分)2022 河南开封高一上期末函数 y=f(x)的图象关于原点中心对称的充要条件是函数 y=f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数y=f(x)的图象关于点P(m,n)中心对称的充要条件是函数y=f(x+m)-n为奇函数.若函数 f(x)的图象关于点(1,1)中心对称,且当 x0,1时,f(x)=x2-2ax+2a. (1)求 f(0)+f(2)的值. (2)设函数 g(x)=2. (i)证明函数 g(x)的图象关于点(2,-1)中心对称; (ii)若对任意的 x
7、1(0,2),总存在 x2(0,2),使得 f(x1)=g(x2)成立,求实数 a 的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 参考答案参考答案 一、单项选择题一、单项选择题 1.B 根据函数的定义,知对于定义域内的每一个 x 对应唯一的 y,故 B 正确. 2.A 3.A y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,则有 f(0)=a+1=0,解得 a=-1,所以 f(x)=x2-x,则 f(-2)=-f(2)=-2. 4.C 由题意,得 f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x).令 F(x)=f(x)g(x),则 F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x),所以函数 F(
8、x)=f(x)g(x)为奇函数,其图象关于原点对称,排除A,B.又由函数f(x),g(x)的图象可知,当x0时,f(x)0,g(x)0,所以F(x)0,可排除 D,故选 C. 5.D 因为函数 y=f(x)是偶函数且在(-,0+上单调递减,则该函数在*0,+)上单调递增,且 f(2)=f(-2)=0.由f(2-3x)0,得 f(2-3x)f(2),所以|2-3x|2,得 x43. 6.A 因为 f(x)=x2+a|x-2|,所以 f(x)=2+ 2, 2,2 + 2, 2.当 f1(x)=x2+ax-2a 在*2,+)上单调递增时,-22,得a-4;当 f2(x)=x2-ax+2a 在(0,2
9、)上单调递增时,20,得 a0.又 f1(2)=f2(2)=4,所以 a-4,0,故选 A. 7.A 由题意得 0, = 2,解得a=1,所以f(x)=x2+2,所以g(x)=f(x-1)=(x-1)2+2.因为函数g(x)的图象关于直线x=1 对称,所以 g(0)=g(2).又函数 g(x)=(x-1)2+2 在区间*1,+)上单调递增,所以 g(32)g(2)g(3),所以g(32)g(0)g(3),故选 A. 8.B 由 f(x+1)是偶函数,知函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,又函数 y=|x2-2x-3|=|(x-1)2-4|的图象也关于直线 x=1 对称,所以函数 y=|
10、x2-2x-3|与函数 y=f(x)图象的交点也关于直线 x=1 对称,所以当 m 为偶数时,横坐标之和为 22=m;当 m 为奇数时,横坐标之和为 212+1=m.故选 B. 二、多项选择题二、多项选择题 9.ABD 10.BD 11.CD 12.ABD 三、填空题三、填空题 13.52,3)(3,+) 学科网（北京）股份有限公司 14.(x-1)2(答案不唯一) 15.16 -1 或-13 16.23 四、解答题四、解答题 17. 解：(1)由 f(x)为偶函数,可得 b=0,即 f(x)=x2+c. 由 f(1)=0,可得 1+c=0,即 c=-1.(3 分) 由 f(x)=x2-1 的
11、图象开口向上,且对称轴为直线 x=0,可得 f(x)在-1,0)上单调递减,在(0,3上单调递增, 可得 f(x)的最小值为 f(0)=-1,最大值为 f(3)=8.(5 分) (2)函数 f(x)=x2+bx+c 的图象的对称轴为直线 x=-2,(6 分) 若 f(x)在-1,3上单调递增,则-2-1,解得 b2;(8 分) 若 f(x)在-1,3上单调递减,则-23,解得 b-6. 综上,可得实数 b 的取值范围是(-,-62,+).(10 分) 18. 解：方案一 选择条件. (1)由 f(2-x)+f(x+2)=0,得 f(x)关于点(2,0)对称,所以 a=2,b=0.(2 分) 则
12、 g(x)=22+2,x(-1,1). 任取 x1,x2(-1,1),且-1x1x21,则 g(x1)-g(x2)=1212+22222+2=2(21)(121)(212+2)(222+2), 因为-1x1x20, x1x2-10, 所以 g(x1)-g(x2)0,即 g(x1)g(x2), 所以 g(x)在(-1,1)上单调递增.(6 分) (2)因为 g(-x)=22+2=-g(x),所以 g(x)为奇函数, 又由 g(t-1)+g(2t)0,得 g(2t)g(1-t).(9 分) 又 g(x)在(-1,1)上单调递增, 所以1 2 1,1 1 1,2 1 ,得 0t0,a1)为增函数,
13、所以1+ = 1,2+ = 4,所以 = 2, = 0.(2 分) 以下同方案一. (2)同方案一. 学科网（北京）股份有限公司 方案三 选择条件. 由 f(x+1)在b-1,b+1上为偶函数,得 b-1+b+1=0,则 b=0.(1 分) 又 f(x+1)是偶函数,其图象关于 y 轴对称, 所以 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,即-2=1,得 a=2.(2 分) 以下同方案一. (2)同方案一. 19. 解：(1)由题意得,当 x50 时,y=200 x-400-(180 x+100)=20 x-500;(2 分) 当 x50 时,y=200 x-400-(x2+80 x+2 600)
14、=-x2+120 x-3 000.(4 分) 所以 y=20 500,0 50.(5 分) (2)当 050 时,y=-x2+120 x-3 000=-(x-60)2+600, 所以当 x=60 时,ymax=600.(11 分) 综上可知,当产量为 60 万盒时,该企业在生产中所获得的利润最大.(12 分) 20. 解：(1)由题意,得 f(-2)=f(2)=2(3-2)=2.(2 分) (2)当 x3, 所以 f(x)=f(-x)=(-x-3)(a+x)=-(x+3)(a+x), 所以当 x 3.(6 分) 当 a3 时,f(x)在0,32上单调递增,在32,5上单调递减, 所以 g(a)
15、=f(32)=94.(7 分) 当 3a7 时,f(x)在0,32与3,3+2上单调递增,在32,3与3+2,5上单调递减, 所以此时只需比较 f(32)=94与 f(3+2)=(3)24的大小. (i)当 3a6 时,94(3)24, 所以 g(a)=f(32)=94; (ii)当 6a7 时,94(3)24, 所以 g(a)=f(3+2)=(3)24.(9 分) 当 a7 时,f(x)在0,32与3,5上单调递增,在32,3上单调递减,且 f(32)=94f(5)=2(a-5), 所以 g(a)=f(5)=2(a-5).(11 分) 学科网（北京）股份有限公司 综上所述,g(a)= 94,
16、 6,(3)24,6 7,2( 5), 7.(12 分) 21. 解：(1)令 x=y=0,得 f(0)=0.(1 分) 设任意 x(-1,1),则-x(-1,1), 所以 f(x)+f(-x)=f(0)=0,即 f(-x)=-f(x), 所以函数 f(x)是奇函数.(3 分) (2)设-1x1x21,则 f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(12112). 由-1x1x21 知 x1-x20,且|x1|1,|x2|1, 所以|x1x2|0,所以121120, 所以12112(-1,0),从而 f(12112)0, 即 f(x1)-f(x2)0,f(x1)f(x2), 所以 f
17、(x)在(-1,1)上是减函数.(7 分) (3)由(2)知函数 f(x)在(-1,1)上是减函数, 则当 x-12,12时,函数 f(x)的最大值为 f(-12)=-f(12)=1.(8 分) 若 f(x)t2-2at+1 对所有 x-12,12,a-1,1恒成立, 则 1t2-2at+1,即 t2-2at0 对所有 a-1,1恒成立,(10 分) 设 g(a)=t2-2at=-2ta+t2,则 g(a)0 对所有 a-1,1恒成立, 所以(1) 0,(1) 0, 即2 2 0,2+ 2 0,即 2 或 0, 0 或 2, 解得 t2 或 t=0 或 t-2. 综上,实数 t 的取值范围是(
18、-,-202,+).(12 分) 22. 解：(1)由题意得,y=f(x+1)-1 为奇函数, 所以 f(x+1)-1=-f(-x+1)+1, 得 f(x+1)+f(1-x)=2, 令 x=1,得 f(0)+f(2)=2.(2 分) (2)(i)令 y=g(x+2)+1=+22(+2)+1=-2. 因为 y=-2为奇函数,即 y=g(x+2)+1 为奇函数, 学科网（北京）股份有限公司 所以函数 g(x)的图象关于点(2,-1)中心对称.(4 分) (ii)g(x)=22-1 在(0,2)上单调递增,所以 g(x)在(0,2)上的值域为(0,+). 记 f(x)在(0,2)上的值域为 B, 由
19、对x1(0,2),x2(0,2),使得 f(x1)=g(x2)成立,知 B(0,+).(5 分) 当 a0 时,f(x)在(0,1)上单调递增,由 f(1)=1 及 f(x)的图象关于点(1,1)对称知,f(x)在(0,2)上单调递增,所以B=(f(0),f(2). 只需 f(0)=2a0 即可,得 a0, 又 a0,所以 a=0 满足题意.(7 分) 当 0a0,f(2)=2-f(0)=2-2a0,满足 B(0,+), 所以 0a1 满足题意.(9 分) 当 a1 时, f(x)在(0,1)上单调递减,由对称性知,f(x)在(0,2)上单调递减,所以 B=(f(2), f(0). 只需 f(2)=2-2a0 即可,得 a1, 又 a1,所以 a=1 满足题意. 综上所述,实数 a 的取值范围为0,1.(12 分)
