1、 第二章一元二次函数、方程和不等式第二章一元二次函数、方程和不等式 一、单项选择题一、单项选择题:本题共本题共 8 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 40 分分. 1.不等式-3x2-x+100 的解集是( ) A.x|x53 C.x|-2x53 D.x|x53 2. 如果 x+y0,那么下列不等式成立的是( ) A.y2x2xy B.x2y2-xy C.x2-xy-xyy2 3.2022 山东滕州一中月考若 a,b0,且 ab=a+b+3,则 ab 的最小值为( ) A.3 B.5 C.6 D.9 4. 关于 x 的不等式(x+b)(a-1)x+(1-b)0 的解集为x|x3,则关于
2、x 的不等式 x2+bx-2a0 的解集为( ) A.x|-2x5 B.x|-12x15 C.x|-2x1 D.x|-12x1 5. 若两个正实数 x,y 满足1+4=1,且存在这样的 x,y 使不等式 x+4m2+3m 有解,则实数 m 的取值范围是( ) A.m|-1m4 B.m|-4m1 C.m|m1 D.m|m0 6.2022 江苏常州高一上监测某地区甲、乙、丙三位经销商年初出售钢材的售价相同,受钢材进价普遍上涨的影响,甲、乙计划分两次提价,丙计划一次性提价.设 0p2x-1 恒成立的 x 的取值范围为( ) A.x|x3 B.x|x3 C.x|x3 8.2022 湖南邵阳高一月考若
3、0a1a2,0b1b2,且 a1+a2=b1+b2=1,则下列代数式中值最大的是( ) A.a1b1+a2b2 B.a1a2+b1b2 C.a1b2+a2b1 D.12 二、多项选择题二、多项选择题:本题共本题共 4 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 20 分分.在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求有多项符合题目要求.全部全部选对的得选对的得 5 分分,部分选对的得部分选对的得 2 分分,有选错的得有选错的得 0 分分. 9.2022 山东泰安高一上期末已知 a,b,c 满足 cba,且 acac B.110 C.cb2ab2 D.ac(a-c)0 10. 202
4、2 山西长治二中高一上期末设 a,b 为正实数.( ) A.若 a2-b2=1,则 a-bb C.若| |=1,则|a-b|0(a0)的解集是x|xd,则下列四个命题正确的是( ) A.a2-b24 B.a2+14 C.若一元二次不等式 x2+ax-b0 的解集为x|x1x0 D.若一元二次不等式 x2+ax+bc 的解集为x|x1xx2,且|x1-x2|=4,则 c=4 12. 下列求最值的运算中,运算方法错误的是 ( ) A.当 x0 时,x+1=-(-x)+1-2() 1=-2,故当 x1 时,x+212 21,当且仅当 x=21时取等号,解得 x=-1 或 2,又 x1,所以 x=2,
5、故当 x1 时,x+21的最小值为 2+221=4 C.由于 x2+92+4=x2+4+92+4-42(2+ 4) 92+4-4=2,故 x2+92+4的最小值是 2 D.当 x,y0,且 x+4y=2 时,因为 2=x+4y2 4=4,所以12,又1+1211=2212=4,故当 x,y0, 且 x+4y=2 时,1+1的最小值为 4 三、填空题三、填空题:本题共本题共 4 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 20 分分. 13.已知-1x4,2y3,则 z=2x-3y 的取值范围是 . 14. 若关于 x 的不等式 ax0 的解集为 .(本题第一空 2 分,第二空 3 分.) 15.
6、在 R 上定义运算:xy=x(1-y),若不等式(x-a)(x+a)b,关于 x 的不等式 ax2+2x+b0 对于一切实数 x 恒成立.若存在实数 x0,使得 a02+2x0+b=0 成立,则2+2的最小值为 . 四、解答题四、解答题:本题共本题共 3 小题小题,共共 34 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10 分)2022 江苏常州高一上监测已知集合 A=x|x2+2x-80,集合 B=x|160,设集合 I=(RA)B. (1)求集合 I; (2)当 xI 时,求函数 y=x+92的最小值. 18.(12 分)2022 福建宁
7、德高一上期末已知二次函数 y=ax2+bx+c(a,b,cR)只能同时满足下列三个条件中的两个:y0 的解集为x|-1x3;a=-1;y 的最小值为-4. (1)请写出满足题意的两个条件的序号,并求 a,b,c 的值; (2)求关于 x 的不等式 y(m-2)x+2m2-3(mR)的解集. 19. (12 分)2021 安徽合肥一中高一上段考某中学生活区拟建一个游泳池,池的深度一定,游泳池的造价 按其平面图纸上的面积和长度计算.现有两个方案: 方案一:游泳池的平面图形为矩形且面积为 200 m2,池的四周墙壁建造价格为 400 元/m,中间一条隔壁(与矩形的一边所在直线平行)建造价格为 100
8、 元/m,池底建造价格为 60 元/m2(池壁厚度忽略不计); 方案二:游泳池的平面图形为圆形且面积为64 m2,池的四周墙壁建造价格为 500 元/m,中间一条隔壁(圆的直径)建造价格为 100 元/m,池底建造价格为 60 元/m2(池壁厚度忽略不计). (1)若采用方案一,游泳池的长设计为多少时,可使总造价最低? (2)以总进价最低为决策依据,应该选择哪个方案? 参考答案参考答案 一、单项选择题一、单项选择题 1.D -3x2-x+100(3x-5)(x+2)0 x53或 x-2. 2.D 因为 x+y0,所以 x-y-xy,-xyy2,所以 x2-xyy2. 3.D 因为 a,b0,所
9、以 ab=a+b+32+3,所以 ab-2-30,所以(-3) (+1)0.因为+10,所以-30,所以3,所以 ab9,当且仅当 a=b=3 时,等号成立.故 ab 的最小值为 9. 4.A 由题意,知方程(x+b)(a-1)x+(1-b)=0的两根为-1和3,所以 = 1,11= 3或 = 3,11= 1,解得 = 5, = 3,则不等式 x2+bx-2a0 为 x2-3x-100,解得-2x5,故选 A. 5.C 因为不等式x+4m2+3m有解,所以(x+4)min0,y0,且1+4=1,所以x+4=(x+4)(1+4)=4+4+22 44 +2=4,当且仅当4=4,即 x=2,y=8
10、时取“=”,所以(x+4)min=4,故 m2+3m4,解得 m1,所以实数 m 的取值范围是m|m1. 6.A 7.B 由 t2-40,得-2t2,所以对于任意的-2t2 恒成立,即不等式 t(x-1)+x2-2x+10 对于任意的-2t2 恒成 立,所以2( 1) + 2 2 + 1 0,2( 1) + 2 2 + 1 0,所以 x3 或 x1时,x+21=x-1+21+12( 1) 21+1=22+1,当且仅当 x-1=21,即 x=2+1 时,取到最小值 22+1,所以 B运算方法错误;对于 C,当且仅当 x2+4=92+4,即 x2+4=3 时取等号,此时不成立,所以 C 运算方法错
11、误;对于 D,两次基本不等式等号成立的条件不相同,第一次是 x=4y,第二次是 x=y,所以 D 运算方法错误.故选 BCD. 三、填空题三、填空题 13.z|-11z2 因为-1x4,2y3,所以-22x8,-9-3y-6,所以-112x-3y2,即-11z2. 14.-2 x|-1x3 15.a|-12a0 对任意实数 x 恒成立,所以=1-4(-a2+a+1)0,即 4a2-4a-30,解得-12a 0,4 4 0,解得 a0 且 ab1.又存在 x0R,使 a02+2x0+b=0 成立, 所以 4-4ab0,得 ab1,所以 ab=1.因为 a-b0,所以2+2=()2+2=a-b+2
12、22,当且仅当 a=6+22,b=622时等号成立,所以2+2的最小值为 22. 四、解答题四、解答题 17. 解：(1)由 x2+2x-80,得-4x2, 所以 A=x|-4x2,(1 分) 所以RA=x|x2.(2 分) 由160,得 1x6,所以 B=x|1x6,(3 分) 所以 I=(RA)B=x|2x0, 所以 y=x+92=x-2+92+22( 2) 92+2=8,(8 分) 当且仅当 2 =92,2 6,即 x=5 时取等号. 所以函数 y=x+92的最小值为 8.(10 分) 18. 解：(1)假设条件符合题意. 因为 a=-1,二次函数图象开口向下, 所以 y0 的解集不可能
13、为x|-1x3,不满足题意. 假设条件符合题意. 由 a=-1,知二次函数图象开口向下,y 无最小值,不满足题意. 所以满足题意的条件为.(2 分) 因为不等式 y0 的解集为x|-1x3, 所以-1,3 是方程 ax2+bx+c=0 的两根, 所以-1+3=2=-,-13=,即 b=-2a,c=-3a.(4 分) 所以函数 y=ax2+bx+c 在 x=-2=1 处取得最小值, 所以 a+b+c=-4a=-4,即 a=1, 所以 b=-2,c=-3.(6 分) (2)由(1)知 y=x2-2x-3,则 y(m-2)x+2m2-3,即 x2-mx-2m20, 即(x+m)(x-2m)0.(9
14、分) 所以当 m0 时,不等式的解集为x|x2m 或 x-m.(12 分) 19. 解：(1)设矩形的一边长为 x m,则另一边长为200 m.(1 分) 不妨设中间的隔壁与矩形的长为 x m 的边平行,并设此时的总造价为 S1元,则 S1=20060+(x+200)2400+100 x=12 000+900 x+160 00012 000+2900 160 000=36 000,(4 分) 当且仅当 900 x=160 000,即 x=403时取等号. 所以当游泳池的一边长为403 m,另一边长为 15 m,中间的隔壁长为403 m 时,方案一的总造价最低,为 36 000 元.(6 分) (2)设方案二的总造价为 S2元,则 S2=6460+642500+642100=1 600+11 840.(10 分) 因为 1 600+11 8401 600+11 8403=37 12036 000. 所以应该选择方案一.(12 分)
