1、 2022 年山东省烟台市中考数学试卷年山东省烟台市中考数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1010 个小题，每小题个小题，每小题 3 3 分，满分分，满分 3030 分）分） 18 的绝对值是（ ） A B8 C8 D8 2下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 3下列计算正确的是（ ） A2a+a3a2 Ba3a2a6 Ca5a3a2 Da3a2a 4如图，是一个正方体截去一个角后得到的几何体，则该几何体的左视图是（ ） A B C D 5一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为 3：1，则这个正多边形是（ ） A正方形 B正
2、六边形 C正八边形 D正十边形 6如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是（ ） A B C D1 7如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西 40方向，C在B的南偏东 35方向，且B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是（ ） A北偏东 70 B北偏东 75 C南偏西 70 D南偏西 20 8如图，正方形ABCD边长为 1，以AC为边作第 2 个正方形ACEF，再以CF为边作第 3 个正方形FCGH，按照这样的规律作下去，第 6 个正方形的边长为（ ） A （2）5 B （2）6 C （）5 D （）6 9二次函数yax2+bx+c（a0）的部分图象如
3、图所示，其对称轴为直线x，且与x轴的一个交点坐标为（2，0） 下列结论：abc0；ab；2a+c0；关于x的一元二次方程ax2+bx+c10有两个相等的实数根其中正确结论的序号是（ ） A B C D 10周末，父子二人在一段笔直的跑道上练习竞走，两人分别从跑道两端开始往返练习在同一直角坐标系中，父子二人离同一端的距离s（米）与时间t（秒）的关系图象如图所示若不计转向时间，按照这一速度练习 20 分钟，迎面相遇的次数为（ ） A12 B16 C20 D24 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 3 分，满分分，满分 1818 分）分） 11把x24
4、 因式分解为 12观察如图所示的象棋棋盘，若“兵”所在的位置用（1，3）表示， “炮”所在的位置用（6，4）表示，那么“帅”所在的位置可表示为 13如图，是一个“数值转换机”的示意图若x5，y3，则输出结果为 14小明和同学们玩扑克牌游戏游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王” “小王” ）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次） ，使得运算结果等于 24小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于 24 的算式 15如图，A，B是双曲线y（x0）上的两点，连接OA，OB过点A作ACx轴于点C，交OB于点D若D为AC的中点，AOD的面积为 3，点B的坐标为（m，
5、2） ，则m的值为 16如图 1，ABC中，ABC60，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合） ，DEAB，交AC于点E，EFBC，交AB于点F设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x的函数图象是如图 2 所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3） ，则AB的长为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 8 个小题，满分个小题，满分 7272 分）分） 17 （6 分）求不等式组的解集，并把它的解集表示在数轴上 18 （6 分） 如图， 在ABCD中，DF平分ADC， 交AB于点F，BEDF，交AD的延长线于点E若A40，求ABE的度数 19 （8 分）2021 年 4 月
6、，教育部办公厅在关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知中明确要求保障学生每天校内、校外各 1 小时体育活动时间某校为了解本校学生校外体育活动情况，随机对本校 100 名学生某天的校外体育活动时间进行了调查，并按照体育活动时间分A，B，C，D四组整理如下： 组别 体育活动时间/分钟 人数 A 0 x30 10 B 30 x60 20 C 60 x90 60 D x90 10 根据以上信息解答下列问题： （1）制作一个适当的统计图，表示各组人数占所调查人数的百分比； （2）小明记录了自己一周内每天的校外体育活动时间，制作了如下折线统计图请计算小明本周内平均每天的校外体育活动时间； （3）若该
7、校共有 1400 名学生，请估计该校每天校外体育活动时间不少于 1 小时的学生人数 20 （8 分）如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道已知楼梯共有五级均匀分布的台阶，高AB0.75m，斜坡AC的坡比为 1：2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离ED2.55m为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结果精确到 1） （参考数据表） 计算器按键顺序 计算结果（已精确到 0.001） 11.310 0.003 14.744 0.005 21 （8 分）扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱某商场根据市场需求，采购了
8、A，B两种型号扫地机器人已知B型每个进价比A型的 2 倍少 400 元采购相同数量的A，B两种型号扫地机器人，分别用了 96000 元和 168000 元请问A，B两种型号扫地机器人每个 进价分别为多少元？ 22 （10 分）如图，O是ABC的外接圆，ABC45 （1）请用尺规作出O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法） ； （2）在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为 75，O的半径为 2，求BC的长 23 （12 分） 【问题呈现】 如图 1，ABC和ADE都是等边三角形，连接BD，CE求证：BDCE 【类比探究】 如图 2，ABC和ADE都是等腰直角三角形， ABCADE90连接B
9、D，CE请直接写出的值 【拓展提升】 如图 3，ABC和ADE都是直角三角形，ABCADE90，且连接BD，CE （1）求的值； （2）延长CE交BD于点F，交AB于点G求 sinBFC的值 24 （14 分）如图，已知直线yx+4 与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线yax2+bx+c经过A，C 两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x1 （1）求抛物线的表达式； （2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标； （3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请
10、求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1010 个小题，每小题个小题，每小题 3 3 分，满分分，满分 3030 分）每小题都给出标号为分）每小题都给出标号为 A A，B B，C C，D D 四个备选答四个备选答案，其中有且只有一个是正确的案，其中有且只有一个是正确的 18 的绝对值是（ ） A B8 C8 D8 【分析】正数的绝对值是它本身，0 的绝对值是 0，负数的绝对值是它的相反数 【解答】解：8 是负数，8 的相反数是 8 8 的绝对值是 8 故选B 【点评】本题考查绝对值的定义 2下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图
11、形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可 【解答】解：A既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； B是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意 故选：A 【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与自身重合 3下列计算正确的是（ ） A2a+a3a2 Ba3a2a6 Ca5a3a2 Da3a2a 【分析】根据同底
12、数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法法则，进行计算逐一即可解答 【解答】解：A、2a+a3a，故A不符合题意； B、a3a2a5，故B不符合题意； C、a5与a3不能合并，故C不符合题意； D、a3a2a，故D符合题意； 故选：D 【点评】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键 4如图，是一个正方体截去一个角后得到的几何体，则该几何体的左视图是（ ） A B C D 【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可 【解答】解：从左边看，可得如下图形： 故选：A 【点评】本题考查三视图、熟练掌握三视图的定义是解决问题的关键 5一个正多边形每个内角
13、与它相邻外角的度数比为 3：1，则这个正多边形是（ ） A正方形 B正六边形 C正八边形 D正十边形 【分析】设这个外角是x，则内角是 3x，根据内角与它相邻的外角互补列出方程求出外角的度数，根据多边形的外角和是 360即可求解 【解答】解：一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为 3：1， 设这个外角是x，则内角是 3x， 根据题意得：x+3x180， 解得：x45， 360458（边） ， 故选：C 【点评】本题考查了多边形的内角和外角，根据内角与它相邻的外角互补列出方程是解题的关键 6如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是（ ） A B C D1 【分析】画树状图，共
14、有 6 种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有 4 种，再由概率公式求解即可 【解答】解：把S1、S2、S3分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有 6 种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有 4 种，即AB、AC、BA、CA， 同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为， 故选：B 【点评】本题考查的是用树状图法求概率树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 7如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西 40方向，C在B的南偏东 35方向，且B，C到A的距离相等，则
15、小岛C相对于小岛A的方向是（ ） A北偏东 70 B北偏东 75 C南偏西 70 D南偏西 20 【分析】 根据题意可得ABC75，ADBE，ABAC， 再根据等腰三角形的性质可得ABCC75，从而求出BAC的度数，然后利用平行线的性质可得DABABE40，从而求出DAC的度数，即可解答 【解答】解：如图： 由题意得： ABCABE+CBE40+3575，ADBE，ABAC， ABCC75， BAC180ABCC30， ADBE， DABABE40， DACDAB+BAC40+3070， 小岛C相对于小岛A的方向是北偏东 70， 故选：A 【点评】本题考查了方向角，等腰三角形的性质，熟练掌握等
16、腰三角形的性质是解题的关键 8如图，正方形ABCD边长为 1，以AC为边作第 2 个正方形ACEF，再以CF为边作第 3 个正方形FCGH，按照这样的规律作下去，第 6 个正方形的边长为（ ） A （2）5 B （2）6 C （）5 D （）6 【分析】 根据勾股定理得出正方形的对角线是边长的 第 1 个正方形的边长为 1， 其对角线长为；第 2 个正方形的边长为， 其对角线长为 （）2； 第 3 个正方形的边长为 （）2， 其对角线长为 （）3； ；第n个正方形的边长为（）n1.所以，第 6 个正方形的边长（）5 【解答】解：由题知，第 1 个正方形的边长AB1， 根据勾股定理得，第 2 个
17、正方形的边长AC， 根据勾股定理得，第 3 个正方形的边长CF（）2， 根据勾股定理得，第 4 个正方形的边长GF（）3， 根据勾股定理得，第 5 个正方形的边长GN（）4， 根据勾股定理得，第 6 个正方形的边长（）5 故选C 【点评】本题利用勾股定理找到正方形边长之间的倍关系，由此依次推出第 2 个、第 3 个、 、第 6 个正方形的边长 9二次函数yax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x，且与x轴的一个交点坐标为（2，0） 下列结论：abc0；ab；2a+c0；关于x的一元二次方程ax2+bx+c10有两个相等的实数根其中正确结论的序号是（ ） A B C D 【分
18、析】根据对称轴、开口方向、与y轴的交点位置即可判断a、b、c与 0 的大小关系，然后将由对称可知ab，从而可判断答案 【解答】解：由图可知：a0，c0，0， b0， abc0，故不符合题意 由题意可知：， ba，故符合题意 将（2，0）代入yax2+bx+c， 4a2b+c0， ab， 2a+c0，故符合题意 由图象可知：二次函数yax2+bx+c的最小值小于 0， 令y1 代入yax2+bx+c， ax2+bx+c1 有两个不相同的解，故不符合题意 故选：D 【点评】 本题考查二次函数的图像与系数的关系， 解题的关键是正确地由图象得出a、b、c的数量关系，本题属于基础题型 10周末，父子二人
19、在一段笔直的跑道上练习竞走，两人分别从跑道两端开始往返练习在同一直角坐标系中，父子二人离同一端的距离s（米）与时间t（秒）的关系图象如图所示若不计转向时间，按照这一速度练习 20 分钟，迎面相遇的次数为（ ） A12 B16 C20 D24 【分析】先求出二人速度，即可得 20 分钟二人所跑路程之和，再总结出第n次迎面相遇时，两人所跑路程之和（400n200）米，列方程求出n的值，即可得答案 【解答】解：由图可知，父子速度分别为：2002120（米/秒）和 2001002（米/秒） ， 20 分钟父子所走路程和为 2060（+2）6400（米） ， 父子二人第一次迎面相遇时，两人所跑路程之和为
20、 200 米， 父子二人第二次迎面相遇时，两人所跑路程之和为 2002+200600（米） ， 父子二人第三次迎面相遇时，两人所跑路程之和为 4002+2001000（米） ， 父子二人第四次迎面相遇时，两人所跑路程之和为 6002+2001400（米） ， 父子二人第n次迎面相遇时，两人所跑路程之和为 200（n1）2+200（400n200）米， 令 400n2006400， 解得n16.5， 父子二人迎面相遇的次数为 16， 故选：B 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是求出父子二人第n次迎面相遇时，两人所跑路程之和（400n200）米 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共
21、6 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 3 分，满分分，满分 1818 分）分） 11把x24 因式分解为 （x+2） （x2） 【分析】利用平方差公式，进行分解即可解答 【解答】解：x24（x+2） （x2） ， 故答案为： （x+2） （x2） 【点评】本题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解题的关键 12观察如图所示的象棋棋盘，若“兵”所在的位置用（1，3）表示， “炮”所在的位置用（6，4）表示，那么“帅”所在的位置可表示为 （4，1） 【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案 【解答】解：如图所示： “帅”所在的位置： （4，1） ， 故答案为： （4，1）
22、【点评】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题的关键 13如图，是一个“数值转换机”的示意图若x5，y3，则输出结果为 13 【分析】根据题意可得，把x5，y3 代入（x2+y0）进行计算即可解答 【解答】解：当x5，y3 时， （x2+y0） （5）2+30 （25+1） 26 13， 故答案为：13 【点评】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键 14小明和同学们玩扑克牌游戏游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王” “小王” ）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次） ，使得运算结果等于 24小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一
23、个结果等于 24 的算式 （3+32）6（答案不唯一） 【分析】根据有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则，进行计算即可解答 【解答】解：由题意得： （3+32）624， 故答案为： （3+32）6（答案不唯一） 【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则是解题的关键 15如图，A，B是双曲线y（x0）上的两点，连接OA，OB过点A作ACx轴于点C，交OB于点D若D为AC的中点，AOD的面积为 3，点B的坐标为（m，2） ，则m的值为 6 【分析】应用k的几何意义及中线的性质求解 【解答】解：因为D为AC的中点，AOD的面积为 3， 所以AOC的面积为 6，
24、 所以k122m 解得：m6 故答案为：6 【点评】本题考查了反比例函数中k的几何意义，关键是利用AOB的面积转化为三角形AOC的面积 16如图 1，ABC中，ABC60，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合） ，DEAB，交AC于点E，EFBC，交AB于点F设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x的函数图象是如图 2 所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3） ，则AB的长为 2 【分析】根据抛物线的对称性知，BC4，作FHBC于H，当BD2 时，BDEF的面积为 3，则此时BF，AB2BF，即可解决问题 【解答】解：抛物线的顶点为（2，3） ，过点（0，0） ， x4 时，y
25、0， BC4， 作FHBC于H，当BD2 时，BDEF的面积为 3， 32FH， FH， ABC60， BF， DEAB， AB2BF2， 故答案为：2 【点评】本题主要考查了动点的函数图象问题，抛物线的对称性，平行四边形的性质，特殊角的三角函数值等知识，求出BC4 是解题的关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 8 个小题，满分个小题，满分 7272 分）分） 17 （6 分）求不等式组的解集，并把它的解集表示在数轴上 【分析】分别求出每一个不等式的解集，再求出其公共部分即可 【解答】解：， 由得：x1， 由得：x4， 不等式组的解集为：1x4， 将不等式组的解集表示在数轴上如下
26、： 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，掌握“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键 18 （6 分） 如图， 在ABCD中，DF平分ADC， 交AB于点F，BEDF，交AD的延长线于点E若A40，求ABE的度数 【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质即可得到结论 【解答】解：四边形ABCD是平行四边形， ABCD， A+ADC180， A40， ADC140， DF平分ADC， CDFADC70， AFDCDF70， DFBE， ABEAFD70 【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平
27、行四边形的性质是解题的关键 19 （8 分）2021 年 4 月，教育部办公厅在关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知中明确要求保障学生每天校内、校外各 1 小时体育活动时间某校为了解本校学生校外体育活动情况，随机对本 校 100 名学生某天的校外体育活动时间进行了调查，并按照体育活动时间分A，B，C，D四组整理如下： 组别 体育活动时间/分钟 人数 A 0 x30 10 B 30 x60 20 C 60 x90 60 D x90 10 根据以上信息解答下列问题： （1）制作一个适当的统计图，表示各组人数占所调查人数的百分比； （2）小明记录了自己一周内每天的校外体育活动时间，制作了如下
28、折线统计图请计算小明本周内平均每天的校外体育活动时间； （3）若该校共有 1400 名学生，请估计该校每天校外体育活动时间不少于 1 小时的学生人数 【分析】 （1）用扇形统计图表示各组人数占所调查人数的百分比； （2）根据平均数的计算方法进行计算即可； （3）样本估计总体，求出样本中每天校外体育活动时间不少于 1 小时的学生所占的百分比即可 【解答】解： （1）由于各组人数占所调查人数的百分比，因此可以采用扇形统计图； （2）64（分） ， 答：小明本周内平均每天的校外体育活动时间为 64 分钟； （3）1400980（名） ， 答：该校 1400 名学生中，每天校外体育活动时间不少于 1
29、小时的大约有 980 名 【点评】本题考查统计图的选择，频数分布表以及平均数，掌握各种统计图的特点以及加权平均数的计算方法是正确解答的前提 20 （8 分）如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道已知楼梯共有五级均匀分布的台阶，高AB0.75m，斜坡AC的坡比为 1：2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离ED2.55m为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结果精确到 1） （参考数据表） 计算器按键顺序 计算结果（已精确到 0.001） 11.310 0.003 14.744 0.005 【分析】根据题意可得DFAB0.15 米，然后根据斜坡AC的
30、坡比为 1：2，可求出BC，CD的长，从而求出EB的长，最后在 RtAEB中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答 【解答】解：如图： 由题意得： DFAB0.15（米） ， 斜坡AC的坡比为 1：2， ， BC2AB1.5（米） ，CD2DF0.3（米） ， ED2.55 米， EBED+BCCD2.55+1.50.33.75（米） ， 在 RtAEB中，tanAEB， 查表可得，AEB11.31011， 为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于 11 度 【点评】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟练掌握坡比是解题的关键 21 （8 分）扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强
31、大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱某商场根据市场需求，采购了A，B两种型号扫地机器人已知B型每个进价比A型的 2 倍少 400 元采购相同数量的A，B两种型号扫地机器人，分别用了 96000 元和 168000 元请问A，B两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？ 【分析】设每个A型扫地机器人的进价为x元，则每个B型扫地机器人的进价为（2x400）元，利用数量总价单价， 结合用 96000 元购进A型扫地机器人的数量等于用 168000 元购进B型扫地机器人的数量，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出每个A型扫地机器人的进价，再将其代入（2x400）中即可求出每个B型扫地机器人的进
32、价 【解答】解：设每个A型扫地机器人的进价为x元，则每个B型扫地机器人的进价为（2x400）元， 依题意得：， 解得：x1600， 经检验，x1600 是原方程的解，且符合题意， 2x400216004002800 答：每个A型扫地机器人的进价为 1600 元，每个B型扫地机器人的进价为 2800 元 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键 22 （10 分）如图，O是ABC的外接圆，ABC45 （1）请用尺规作出O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法） ； （2）在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为 75，O的半径为 2，求BC的长 【分析】 （
33、1）过点A作ADAO即可； （2）连接OB，OC证明ACB75，利用三角形内角和定理求出CAB，推出BOC120，求出CH可得结论 【解答】解： （1）如图，切线AD即为所求； （2）连接OB，OC AD是切线， OAAD， OAD90， DAB75， OAB15， OAOB， OABOBA15， BOA150， BCAAOB75， ABC45， BAC180457560， BOC2BAC120， OBOC2， BCOCBO30， OHBC， CHBHOCcos30， BC2 【点评】本题考查作图复杂作图，三角形的外接圆，切线的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问
34、题，属于中考常考题型 23 （12 分） 【问题呈现】 如图 1，ABC和ADE都是等边三角形，连接BD，CE求证：BDCE 【类比探究】 如图 2，ABC和ADE都是等腰直角三角形， ABCADE90连接BD，CE请直接写出的值 【拓展提升】 如图 3，ABC和ADE都是直角三角形，ABCADE90，且连接BD，CE （1）求的值； （2）延长CE交BD于点F，交AB于点G求 sinBFC的值 【分析】 【问题呈现】证明BADCAE，从而得出结论； 【类比探究】证明BADCAE，进而得出结果； 【拓展提升】 （1）先证明ABCADE，再证得CAEBAD，进而得出结果； （2）在（1）的基础上
35、得出ACEABD，进而BFCBAC，进一步得出结果 【解答】 【问题呈现】证明：ABC和ADE都是等边三角形， ADAE，ABAC，DAEBAC60， DAEBAEBACBAE， BADCAE， BADCAE（SAS） ， BDCE； 【类比探究】解：ABC和ADE都是等腰直角三角形， ，DAEBAC45， DAEBAEBACBAE， BADCAE， BADCAE， ； 【拓展提升】解： （1），ABCADE90， ABCADE， BACDAE， CAEBAD， CAEBAD， ； （2）由（1）得：CAEBAD， ACEABD， AGCBGF， BFCBAC， sinBFC 【点评】本题考查
36、了等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形 24 （14 分）如图，已知直线yx+4 与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线yax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x1 （1）求抛物线的表达式； （2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标； （3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）先求得A，C，B
37、三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果； （2） 作DFAB于F， 交AC于E， 根据点D和点E坐标可表示出DE的长， 进而表示出三角形ADC的面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果； （3）根据菱形性质可得PAPC，进而求得点P的坐标，根据菱形性质，进一步求得点Q坐标 【解答】解： （1）当x0 时，y4， C （0，4） ， 当y0 时，x+40， x3， A （3，0） ， 对称轴为直线x1， B（1，0） ， 设抛物线的表达式：ya（x1） （x+3） ， 43a， a， 抛物线的表达式为：y（x1） （x+3）x2x+4； （2）如图 1， 作DFAB于F，交AC于E， D（m，m+4） ，E（m，m+4） ， DEm+4（m+4）m24m， SADCOA （m24m）2m26m， SABC6， S2m26m+62（m+）2+， 当m时，S最大， 当m时，y5， D（，5） ； （3）设P（1，n） ， 以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形， PAPC， 即：PA2PC2， （1+3）2+n21+（n4）2， n， P（1，） ， xP+xQxA+xC，yP+yQyA+yC xQ3（1）2，yQ4， Q（2，） 【点评】本题考查了二次函数及其图象性质，勾股定理，菱形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关二次函数和菱形性质
