1、 1 / 18 本讲在六年级课内知识的基础上补充了一些关于整除性质和分数数列计算的知识点和相关习题，有余力的同学可以加以学习 1、 整除性质整除性质 （1）能被 2 整除的数的特征：个位能被 2 整除，即末位数字为 0、2、4、6、8； （2）能被 5 整除的数的特征：个位能被 5 整除，即末位数字为 0 或 5； （3）能被 4 或 25 整除的数的特征：末两位能被 4 或 25 整除； （4）能被 8 或 125 整除的数的特征：末三位能被 8 或 125 整除； （5）能被 3 或 9 整除的数的特征：各个数位上的数之和能被 3 或 9 整除； （6）能被 7 或 11 或 13 整除的
2、数的共同特征： 1若一个数是 1001 的倍数，则这个数能同时被 7、11 和 13 整除：因为10017 11 13； 2从一个数的末三位开始， 每三位作为一段， 若奇数段之和与偶数段之和的差是 7 或 11 或 13 倍数，则这个数能被 7 或 11 或 13 整除； 3把一个数的末三位作为一个数， 末三位之前的部分作为一个数， 用较大的数减去较小的数，如果差能被 7 或 11 或 13 整除，则这个数能被 7 或 11 或 13 整除； 拓展与提高 内容分析内容分析 知识结构知识结构 模块一：整除性质 知识知识精讲精讲 步同级年六 2 / 18 （7） 能被11整除的数的特征： 奇数位数
3、字之和与偶数位数字之和的差能被11整除； （8）能被 99 整除的数的特征：从一个数的个位开始，两位一段，若各段的和能被99 整除，则这个数能被 99 整除； （9）能被 999 整除的数的特征：从一个数的个位开始，三位一段，若各段的和能被999 整除，则这个数能被 999 整除 注：注：若数 m 能被数 n 整除，可记作：n m 2、 解题技巧解题技巧 （1） 熟记整除性质， 若遇到未学过的， 则尽量分解成互质的几个数相乘： 如728 9 ； （2）当同时能被多个数整除时，一般优先顺序为 2 和 5 确定个位，再 4、25、8、125 来确定十位、百位，接着考虑 3 和 9，最后 7、11、
4、13； （3）看几个数相乘后末尾有多少个 0，主要是看所有数中能分解出多少个 2 和 5 【例1】 已知四位数4 32，在方框中填上一个数字，使其是 3 的倍数，则可以填_； 在方框中填上一个数字， 使其是 9 的倍数， 这个数可以填_ 【难度】 【答案】0、3、6、9；0、9 【解析】3 4 32，3 432 ，= 0、3、6、9； 9 4 32，9 432 ，= 0、9 【总结】考查能被 3 或 9 整除的数的特征 【例2】 在内填上适当的数字，使五位数 236既能被 3 整除又能被 5 整除 【难度】 【答案】23160、23460、23760、23265、23565、23865 【解析
5、】设五位数 236为23 6a b 5 23 6a b，b = 0 或 5；又3 23 6a b，32 36ab ，即3 2ab； 当 b = 0 时，a = 1、4、7；当 b = 5 时，a = 2、5、8； 这个五位数可以是 23160、23460、23760、23265、23565、23865 【总结】考查能同时被被 3 和 5 整除的数的特征，此题中，先考虑 5，再考虑 3 例题解析例题解析 3 / 18 【例3】 试判断 1347365978 这个数能否被 7 或 11 或 13 整除 【难度】 【答案】不能被 7 和 11 整除，能被 13 整除 【解析】奇数位数字之和为：896
6、7333； 偶数位数字之和为：7534120 ； 332013，1347365978 不能被 7 和 11 整除，能被 13 整除 【总结】考查能被 7 或 11 或 13 整除的数的特征 【例4】 六位数2008能被 99 整除，是多少？ 【难度】 【答案】71 【解析】设六位数2008为2008ab 99 2008ab，99 208ab，即99 28ab，71ab 【总结】考查能被 99 整除的数的特征 【例5】 已知五位数154xy能被 72 整除，求 x + y 的值 【难度】 【答案】8 【解析】1550072的余数为 20，原数=155002015480，808xy 【总结】154
7、xy只有末两位数未知，故不利用数的整除特征，而采用试除法解题 【例6】 975 935 972，要使这个乘积的最后 4 个数字都是 0，那么在方框内最小应填什么数？ 【难度】 【答案】20 【解析】25 975，975 中只有两个因数 5；5 935，935 中只有 1 个因数 5； 4 972，972 中只有 2 个因数 2；因为乘积的末尾有 4 个零，所以“”代表的数 中至少可以分解出 1 个因数 5 和 2 个因数 2，所以“”最小为52220 步同级年六 4 / 18 【总结】看几个数相乘后末尾有多少个 0，主要是看所有数中能分解出多少个 2 和 5 【例7】 1 231000 的乘积
8、的末尾有多少个连续的 0？101 102 1031000的乘积的末尾有多少个连续的 0？ 【难度】 【答案】249；225 【解析】 （1）1 231000 中因数 2 的个数明显多于因数 5 的个数，所以只需要计 算一共有多少个因数 5因数 5 的个数的计算方法如下： 10005200，10002540，10001258，10006251375， 因数 5 的个数=2004081249 ， 所以1 231000 的乘积的末尾有 249 个连续的 0； （2）101 102 1031000的乘积的末尾连续的 0 的个数=1 231000 的乘积 的末尾连续的 0 的个数减去1 23100 的乘
9、积的末尾连续的 0 的个数： 1 23100 的乘积的末尾连续的 0 的个数=10051002520424， 101 102 1031000的乘积的末尾连续的 0 的个数=24924225 【总结】看几个数相乘后末尾有多少个 0，主要是看所有数中能分解出多少个 2 和 5 【例8】 201 202203300的结果除以 10，所得到的商再除以 10，重复这样的操作，在第_次除以 10 时，首次出现余数 【难度】 【答案】26 【解析】根据题意，目的就是求201 202203300的结果的末尾有多少个连续的 0 先计算1 23300 的乘积的末尾连续的 0 的个数， 再计算1 23200 的乘积
10、的末尾连续的 0 的个数，两者做差再加 1 即为所求 300530025300 125200520025200 125 60122408125 ，25126 ， 在第 26 次除以 10 时，首次出现余数 注： a表示数 a 的整数部分，如：300 125表示300125的整数部分，等于 2 【总结】考察几个数相乘后末尾有多少个 0 5 / 18 【例9】 从 0，3，5，7 四个数字中任选三个，排成能同时被 2、3、5 整除的三位数，这样的三位数共有几个？ 【难度】 【答案】2 【解析】能同时被 2 和 5 整除，三位数的末位一定为 0；设这个三位数为0ab， 能被 3 整除，3 ab，对于
11、 3，5，7 三个数，只有 5+7 为 3 的倍数， 0ab=570 或 750，这样的三位数共有 2 个 【总结】考查数的整除特征，当能同时被多个数整除时，优先考虑 2 和 5，确定个位 【例10】 已知九位数 2007122 既是 9 的倍数，又是 11 的倍数，那么这个九位数是_ 【难度】 【答案】200731212 【解析】 设这个9位数为2007 12 2ab， 既是9的倍数， 又是11的倍数， 99 2007 12 2ab， 992 1272ba，即99 10212702ba，99 8610ba， 3a ，1b ，这个九位数是 200731212 【总结】考查能被 99 整除的数的
12、特征 【例11】 某个七位数1993能够同时被 2、3、4、5、6、7、8、9 整除，那么它的最后三位数是_ 【难度】 【答案】320 【解析】先求 2、3、4、5、6、7、8、9 的最小公倍数，为 2520，所以25201993 步同级年六 6 / 18 1 9 9 4 0 0 02 5 2 0余 680，19940006801993320， 所以这个七位数的最后三位数为 320 【总结】考查点：最小公倍数和试除法的运用 【例12】 已知88888ab ab ab ab ab是 77 的倍数，则ab为_ 【难度】 【答案】47 【解析】8888881001001001001ab ab ab
13、ab abab，其中1001001001001不能被 7 和11 整除，8ab能被 77 整除，8ab=77 11847，ab=47 【总结】考点：重码数、倍数的综合运用 【例13】 若4232bcd，试问abcd能否被 8 整除？请说明理由 【难度】 【答案】能 【解析】100010010abcdabcd8 1258 12482abbccd 8 1258 12832abc 8125124abc ， 故abcd一定能被 8 整除 【总结】考点：位值原理、整除性质 【例14】 如果200520052005200501n个能被 11 整除，那么 n 的最小值是_ 【难度】 【答案】7 【解析】20
14、0520052005200501n个奇数位数字之和为51n ，偶数位数字之和为2n， 7 / 18 51231nnn ，20051120052005200501n个，1131n，n 的最小值为 7 【总结】考点：能被 11 整除的数的特征 【例15】 求能被 11 整除，且数字和等于 43 的五位数 【难度】 【答案】99979、97999 和 98989 【解析】五位数的数字和最大为9545， 数字和等于 43 的五位数的由 9、9、9、9、7 或者 9、9、9、8、8 这五个数字组 成若五位数由 9、9、9、9、7 组成，当奇数位数字之和为99927，偶数位 数字之和为9716时， 这个五
15、位数能被11整除， 这样的五位数有99979和97999； 若五位数由 9、9、9、8、8 组成，当奇数位数字之和为99927，偶数位数字 之和为8816时，这个五位数能被 11 整除，这样的五位数有 98989 综上：能被 11 整除，且数字和等于 43 的五位数为 99979、97999 和 98989 【总结】考点：能被 11 整除的数的特征 1、 常用公式常用公式 （1）11ababab； （2）11baabab； 模块二：分数数列计算 知识知识精讲精讲 步同级年六 8 / 18 （3）11111nnnn； （4）11 111nnkknn 【例16】 计算：11111 223349 1
16、0 【难度】 【答案】910 【解析】原式11111111911223349101010 【总结】考点：分数裂项 【例17】 计算：22221 33 5579799 【难度】 【答案】9899 【解析】原式1111111198113355797999999 【总结】考点：分数裂项 【例18】 计算：111124466 898 100 【难度】 【答案】49200 【解析】原式12222224466 898 100 例题解析例题解析 9 / 18 111111111224466898100 11122100 14 921 0 0 49200 【总结】考点：分数裂项 【例19】 计算：111111
17、11612203042567290 【难度】 【答案】25 【解析】原式111111112 33 44 55 6677 88 99 10 111111112334455667788 99 10 11210 25 【总结】考点：分数裂项 【例20】 计算：11111428701309700 【难度】 【答案】33100 【解析】11111428701309700 步同级年六 10 / 18 111111 4477 1010 1397 1001333331 4477 1097 1001111111113447710971001113100199310033100 【总结】考点：分数裂项 【例21】
18、 计算：5667788991056677 88 99 10 【难度】 【答案】310 【解析】566778899105667788 99 10 657687981095656676778788 98 99 109 1011111111115667788991011510310 【总结】考点：分数裂项 【例22】 计算：48121620241 33 557799 1111 13 【难度】 11 / 18 【答案】1213 【解析】48121620241 33 557799 1111 13 1335577991111 131 33 557799 1111 1311131213 【总结】考点：分数裂
19、项 【例23】 计算：151119209239261220210240 【难度】 【答案】11416 【解析】151119209239261220210240 1111111111112612202102401111111111111 223344514 1515 16111111151 223344514 15151611511615151611416 【总结】考点：分数裂项 【例24】 计算：357911131517192612203042567290 【难度】 步同级年六 12 / 18 【答案】1110 【解析】357911131517192612203042567290 122334
20、45566778899101 22334455667788 99 1021321091 21 223239 109 1011111122391011101110 【总结】考点：分数裂项 【例25】 计算：22221 2323434598 99 100 【难度】 【答案】49499900 【解析】22221 2323434598 99 100 3 14253100981 2323434598 99 100314253100981 231 2323423434534598 99 10098 99 100111111111 2232334344598 9999 100111 299 10011299
21、0049499900 【总结】考点：分数裂项 【例26】 计算： 23101112121231291210 【难度】 13 / 18 【答案】54155 【解析】 23101112121231291210 12112312121 0129111212123129121 0111111 112121231291291011 112910125554155 【总结】考点：分数裂项 【例27】 计算：23568 998 991 4477 1097 100 【难度】 【答案】333350 【解析】23568 998 991 4477 1097 100 14247271 029 71 0 0214477
22、1 09 71 0 022221111144771 09 71 0 0222219 7131144771 09 71 0 0233333331 4477 1097 1002133131002993331003 33350 【总结】考点：分数裂项 【例28】 计算：456111 2323 43 458 9 10 步同级年六 14 / 18 【难度】 【答案】2115 【解析】456111 2323 43 458 9 10 13141511 0123234345891 0111111123234891 01223891222112123234891 09111111182122323348991
23、09111821291 0921 15 【总结】考点：分数裂项 【例29】 计算：357371 2323434518 1920 【难度】 【答案】1131760 【解析】357371 2323434518 1920 12233418191 2323434518 192011111111231 33424453 51920182011111111123344519201 3243 517 191820111111111220232435 11111116181719182011111112202219201131760 【总结】考点：分数裂项 【例30】 计算：22222222214118120
24、12141181201 【难度】 15 / 18 【答案】201021 【解析】2222222221411812012141181201 222222222222212412181220122141181201222211112141181201222210212141411811812012012222101 33 517 191921110121201021 【总结】考点：分数裂项、平方差公式 【作业1】 如果六位数1992能被 105 整除，那这个六位数为_ 【难度】 【答案】199290 【解析】199300105的余数为 10，原数=19930010199290 【总结】考点：试除法
25、 【作业2】 若1 2 3 4a a a a a能被 11 整除，则 a =_ 【难度】 【答案】2 【解析】11 1 2 3 4a a a a a，11 510a ，2a 【总结】考点：能被 11 整除的数的特征 【作业3】 4228能被 99 整除，方框里应该填什么数？ 【难度】 课后作业课后作业 步同级年六 16 / 18 【答案】7 和 4 【解析】设这个六位数为42 28ab，99 42 28ab，99 4228ab， 即99 4210280ab，99 12410ab， 1099212474ab， 7a ，4b ，这个数为 427284 【总结】考查被 99 整除的数的特征 【作业4
26、】 计算：11111 2233420152016 【难度】 【答案】20152016 【解析】11111 2233 42015201612015120162016 【总结】考点：分数裂项 【作业5】 计算：33332 55 88 1198 101 【难度】 【答案】99202 【解析】33332 55 88 1198 10111992101202 【总结】考点：分数裂项 【作业6】 学生问数学老师的年龄，老师说： “由三个相同数字组成的三位数除以这三个数字的和，所得结果就是我的年龄” ，则老师今年 岁 【难度】 【答案】37 【解析】设一个三位数为aaa，由题意得：老师的年龄=3111337a
27、aaa（岁） 【总结】利用字母代表数的思想 17 / 18 【作业7】 已知一个数200955555abab ab abab个能被 91 整除，那么三位数5ab是_ 【难度】 【答案】546 【解析】2009200955555510010011001abab ab ababab个1个LL1444444 424444444 3144444 42444444 3，其中200910010011001个1L144444 42444444 3不能被 7 和 13 整除，5ab能被 91 整除，5ab=91 6546 【总结】考点：重码数，整除特征 【作业8】 计算：1111111111357911131
28、5172612203042567290 【难度】 【答案】98110 【解析】11111111113579111315172612203042567290 111111111135791 11 31 51 7261 22 03 04 25 67 29 011111 792122391 018 111098110 【总结】考点：分数裂项、等差数列求和 步同级年六 18 / 18 【作业9】 计算：11111 2323 43 454849 50 【难度】 【答案】3061225 【解析】11111 2323 43 454849 50 1222221232343454 84 95 011111111
29、121223233434454 84 94 95 01112124 95 03061225 【总结】考点：分数裂项 【作业10】 计算： 4681012141618202224261 3243 546576 8798 109 1110 1211 1312 14 【难度】 【答案】32191 【解析】 4681012141618202224261 3243 546576 8798 109 1110 1211 1312 14 13243546911101211 1312141 3243 5469 1110 1211 1312 141111111111111111324354691110121113121411112131432191 【总结】考点：分数裂项
