1、广东省广州市海珠区广东省广州市海珠区 20212021- -20222022 学年八年级上期末数学试题学年八年级上期末数学试题 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1. 要使分式31x 有意义，则 x的取值范围是： A. x1 B. x1 C. x1 D. x1 2. 用科学记数法表示的数5.6 104写成小数是（ ） A. 0.00056 B. 0.0056 C. 56000 D. 0.00056 3. 已知一个正多边形的每个外角等于 45，则这个正多边形是( ) A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正七边形 D.
2、 正八边形 4. 下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. x2+2x+1x（x+2）+1 B. 7ab2c3abc7bc2 C. m（m+3）m2+3m D. 2x25xx（2x5） 5. 如图，已知12，要得到结论ABCADC，不能添加的条件是（ ） A. BCDC B. ACBACD C. ABAD D. BD 6. 已知 2x5，则 2x+3的值是（ ） A 8 B. 15 C. 40 D. 125 7. 若 mx+6y 与 x3y 的乘积中不含有 xy项，则 m的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 6 8. 如图， ABC中， ABAC， AD 平分BAC， AEB
3、C于 E， 若B， C， 则ADC的度数为 （ ） A. 1()2a B. 1118022a C. 119022a D. 119022a 9. 如图，ABCADE，点 D在 BC上，且B60，则EDC度数等于（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 75 10. 如图，A+B+C+D+E+F的值是（ ） A. 240 B. 360 C. 540 D. 720 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11. 计算：03.14_ 12. 已知点 A关于 x轴对称点 B的坐标为(1，2)，则点 A 的坐标为_ 13. 如图，R
4、tABC 中，C90 ，D 是 BC 的中点，CAD30 ，BC6，则 AD+DB 的长为_ 14. 在 RtABC 中，C90 ，若 BC6，AD平分BAC 交 BC 于点 D，BD2CD，则点 D到线段 AB 的距离为_ 15. 边长分别为 m和 2m 的两个正方形如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为_ 16. 如图，在ABC中，CD是 AB边上的中线，设 BCa，ACb，若 a，b满足 a210a+b218b+1060，则 CD的取值范围是 _ 三、解答题（本题有三、解答题（本题有 9 个小题，共个小题，共 72 分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）分，解答要求写出文字说明，
5、证明过程或计算步骤） 17. 计算： （1）23225155mm nm （2） 3242812aaa 18. 已知：如图，AEFD，AEFD，EBCF求证：ACEDBF 19. 先化简，再求值：23111aaaa，其中 a2021 20. 列方程解应用题：一批学生志愿者去距学校 8km的老人院参加志愿服务活动，一部分学生骑自行车先走，过了 15min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达已知骑车学生的速度是汽车速度的一半，求骑车学生的速度 21. 已知：如图，PC平分APB，CMPA 于 M，CNPB 于 N，D、E 分别是边 PA和 PB 上的点，且 CDCE求证：APB+DCE180
6、22. 如图， 在边长为单位 1的小正方形组成的 10 10网格中 （我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点） ，点 A 和点 B 分别在网格的格点上 （1）分解因式 2a218； （2）若 2a2180，且点 A(a，2)在第二象限，点 B(a+5，1)在第四象限，请求出点 A和点 B的坐标，并在所给的网格中画出平面直角坐标系； （3）在（2）的条件下，已知点A(a，4)是点 A 关于直线l的对称点，点 C在直线 l上，且ABC的面积为 6，直接写出点 C 的坐标 23. 已知ABC 中，B12C （1）尺规作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹） ： 作EAC 的平分线 AD； 在 AD 上
7、作点 P，使ACP 是以 AC 为底边的等腰三角形，并求出APC 的度数（用含 的式子表示） ； （2）在（1）所作的 AD上是否存在着另外的点 P，使ACP 也为等腰三角形，若有，请直接用含 的式子表示APC 的大小；若没有，请说明理由 24. 阅读材料：对于非零实数 a，b，若关于 x 的分式xaxbx 的值为零，则解得 x1a，x2b又因为2()()()xa xbxab xababxxxx（a+b） ，所以关于 x的方程 x+abxa+b的解为 x1a，x2b （1）理解应用：方程22233xx解为：x1 ，x2 ； （2）知识迁移：若关于 x的方程 x+3x5 的解为 x1a，x2b，
8、求 a2+b2的值； （3）拓展提升：若关于 x的方程41x kx的解为 x1t+1，x2t2+2，求 k24k+2t3的值 25. 已知：如图， ABC中，ABAC，A45 ，E是 AC 上一点，ABE13ABC，过点 C作 CDAB于 D，交 BE于点 P （1）直接写出图中除ABC外的所有等腰三角形； （2）求证：BD12PC； （3）点 H、G分别为 AC、BC边上的动点，当DHG周长取取小值时，求HDG的度数 广东省广州市海珠区广东省广州市海珠区 20212021- -20222022 学年八年级上期末数学试题学年八年级上期末数学试题 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 个小
9、题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1. 要使分式31x 有意义，则 x的取值范围是： A. x1 B. x1 C. x1 D. x1 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：根据分式分母不为 0 的条件，要使31x 在实数范围内有意义，必须101xx .故选 A 考点：分式有意义的条件 2. 用科学记数法表示的数5.6 104写成小数是（ ） A. 0.00056 B. 0.0056 C. 56000 D. 0.00056 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的标准形式为 a 10n（1|a|10，n为整数） 本题把数据5.6104中5.6 的小数点向左移动
10、4位就可以得到 【详解】解：把数据5.6104中5.6 的小数点向左移动 4 位就可以得到，为0.00056 故选：A 【点睛】 本题考查写出用科学记数法表示的原数 将科学记数法 a 10n表示的数， “还原”成通常表示的数，就是把 a的小数点向左移动 n位所得到的数 把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法 3. 已知一个正多边形的每个外角等于 45，则这个正多边形是( ) A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正八边形 【答案】D 【解析】 【分析】已知正多边形的外角和为 360， 利用 360除
11、以 45即可得这个正多边形的边数. 【详解】正多边形的边数为：36045=8， 则这个多边形是正八边形. 故选 D. 【点睛】本题考查了多边形的外角和，熟知多边形的外角和是 360是解决问题的关键. 4. 下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. x2+2x+1x（x+2）+1 B. 7ab2c3abc7bc2 C. m（m+3）m2+3m D. 2x25xx（2x5） 【答案】D 【解析】 【分析】 把一个多项式化为几个整式的积的形式， 这种变形叫做把这个多项式因式分解 由定义判断即可 【详解】解：Ax2+2x+1=（x+1）2，故 A不符合题意； B-7ab2c3是单项式，不存在因式
12、分解，故 B不符合题意； Cm（m+3）=m2+3m是单项式乘多项式，故 C 不符合题意； D2x2-5x=x（2x-5）是因式分解，故 D 符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查因式分解的意义，熟练掌握因式分解的定义，能够根据所给形式判断是否符合因式分解的变形是解题的关键 5. 如图，已知12，要得到结论ABCADC，不能添加的条件是（ ） A. BCDC B. ACBACD C. ABAD D. BD 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解 【详解】解：根据题意得：ACAC ，12， A、当 BCDC时，是边边角，不能得到结论ABCADC，故本选项符合题意
13、； B、当ACBACD时，是角边角，能得到结论ABCADC，故本选项不符合题意； C、当 ABAD时，是边角边，能得到结论ABCADC，故本选项不符合题意； D、当BD时，是角角边，能得到结论ABCADC，故本选项不符合题意； 故选：A 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法边角边、角边角、角角边、边边边是解题的关键 6. 已知 2x5，则 2x+3的值是（ ） A. 8 B. 15 C. 40 D. 125 【答案】C 【解析】 【分析】根据逆用同底数幂的乘法进行计算即可 【详解】解：2x5， 32x3225 840 x 故选 C 【点睛】本题考查了同底数幂乘法
14、，掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键 7. 若 mx+6y 与 x3y 的乘积中不含有 xy项，则 m的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先运用多项式乘法法则，进行乘法运算，再合并同类项，因积中不含 xy项，所以 xy 项的系数为0，得到关于 m的方程，解方程可得 m的值 【详解】解：（mx+6y） （x-3y）=mx2-（3m6）xy18y2，且积中不含 xy项， 3m6=0， 解得：m=2 故选择 B 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式的法则，解一元一次方程，根据不含某一项就是让这一项的系数等于 0列式是解题的关键 8. 如图， ABC中，
15、ABAC， AD 平分BAC， AEBC于 E， 若B， C， 则ADC的度数为 （ ） A. 1()2a B. 1118022a C. 119022a D. 119022a 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线的性质可知12BADCADBAC 由三角形内角和定理求出180BACBC ，从而可推出119022BADBC 再由三角形外角性质可知ADCBBAD ，即可得出119022ADCBC，即得出答案 【详解】AD平分BAC， 12BADCADBAC 180BACBC ， 111(180)90222BADBCBC ADCBBAD ， 111190902222ADCBBCBC B，C， 1
16、19022ADC 故选 D 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质利用数形结合的思想是解答本题的关键 9. 如图，ABCADE，点 D在 BC上，且B60，则EDC 的度数等于（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 75 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质：对应角和对应边相等解答即可 【详解】解：ABCADE， B=ADE=60，AB=AD， ADB=B=60， EDC=60 故选：C 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键 10. 如图，A+B+C+D+E+F的值是（ ） A. 240 B. 360 C. 54
17、0 D. 720 【答案】B 【解析】 【分析】根据四边形的内角和及三角形的外角定理即可求解 【详解】解：如图，AC、DF与BE分别相交于点M、N， 在四边形NMCD中，360MNDCMNCD， CMNAE ，MNDBF ， 360ABCDEF ， 故选：B 【点睛】本题考查了多边形的外角与内角、三角形的外角性质，解题的关键是熟记多边形的内角和公式及三角形的外角定理 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11. 计算：03.14_ 【答案】1 【解析】 【分析】根据 0 指数幂的意义解答即可 【详解】解：因为3.140，所以0
18、3.141 故答案为：1 【点睛】本题考查了 0指数幂的意义，属于应知应会题型，熟知任何非零数的 0次幂等于 1是解题的关键 12. 已知点 A关于 x轴的对称点 B 的坐标为(1，2)，则点 A的坐标为_ 【答案】1,2 【解析】 【分析】根据“关于 x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数”，求解即可 【详解】解：点 A关于 x 轴的对称点 B的坐标为(1，2)， 点 A的坐标为1,2 故答案为：1,2 【点睛】本题考查了关于 x 轴对称的点的坐标特征，掌握“关于 x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数”是解题的关键 13. 如图，RtABC 中，C90 ，D 是 BC 的中
19、点，CAD30 ，BC6，则 AD+DB 的长为_ 【答案】9 【解析】 【分析】根据CAD30 ，得到 AD=2CD，从而得到 AD+BD=3CD,求得 CD即可 【详解】C90 ，D是 BC的中点，CAD30 ，BC6， AD=2CD，BD=CD=12BC=3， AD+BD=3CD=9， 故答案为：9 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，线段中点即线段上一点，把这条线段分成相等的两条线段的点，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键 14. 在 RtABC 中，C90 ，若 BC6，AD平分BAC 交 BC 于点 D，BD2CD，则点 D到线段 AB 的距离为_ 【答案】2 【解析】 【分析】
20、过点 D作 DEAB于 E，根据题意求出 CD，根据角平分线的性质求出 DE，得到答案 【详解】解：过点 D作 DEAB 于 E， BC6，BD2CD， CD2， AD平分BAC，C90 ，DEAB， DECD2，即点 D到线段 AB 的距离为 2， 故答案为：2 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键 15. 边长分别为 m和 2m 的两个正方形如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为_ 【答案】22m 【解析】 【分析】将图形补全为边长为2 ,3mm的长方形，进而根据阴影部分面积等与长方形面积的一半减去小正方形的面积即可求解 【详解】如图，
21、图中阴影部分的面积为2212222mmmmm 故答案为：22m 【点睛】本题考查了整式的乘法与图形面积，添加辅助线求解是解题的关键 16. 如图，在ABC中，CD是 AB边上的中线，设 BCa，ACb，若 a，b满足 a210a+b218b+1060，则 CD的取值范围是 _ 【答案】2CD7 【解析】 【分析】已知等式变形后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质求出 a与 b 的值，即可求出 CD 的取值范围 【详解】解：已知等式整理得： （a210a25）（b218b81）0， 即（a5）2（b9）20， （a5）20， （b9）20， a50，b90， 解得：a5，b9， BC5，A
22、C9， 延长 CD到 E，使 DECD，连接 AE， CD为 AB边上的中线， BDAD， 在BCD和AED中， CDEDCDBEDABDAD ， BCDAED（SAS） ， AEBCa， 在ACE中，ACAECEACAE， ACBC2CDACAE，即 ba2CDab， 2baCD2ab， 则 2CD7 故答案为：2CD7 【点睛】此题考查了配方法的应用，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 三、解答题（本题有三、解答题（本题有 9 个小题，共个小题，共 72 分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）分，解答要求写出文字说明，证明过
23、程或计算步骤） 17 计算： （1）23225155mm nm （2） 3242812aaa 【答案】 （1）5 3mn （2）28a 【解析】 【分析】 （1）直接利用多项式除以单项式法则进行计算即可； （2）利用乘法分配律去括号，再计算同底数幂的乘法和幂的乘方，最后合并同类项即可 【小问 1 详解】 23225155mm nm 2232255155mmm nm 5 3mn 【小问 2 详解】 3242812aaa 24232 3882 ()aaaa 626888aaa 28a 【点睛】本题考查整式的混合计算掌握整式的混合计算法则是解答本题的关键 18. 已知：如图，AEFD，AEFD，EB
24、CF求证：ACEDBF 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法 SSS、SAS、ASA、AAS 分别进行分析即可 【详解】EBCF EB+BCCF+BC EC=FB /AE FD EF 在ACE与DBF中 AEFDEFECFB ACEDBF 【点睛】 本题考查三角形全等的判定方法， 判定两个三角形全等的一般方法有： SSS、SAS、ASA、AAS、HL 注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角 19. 先化简，再求值：23111aaaa，其中 a2021 【答案】11aa；10111010
25、 【解析】 【分析】先通分，再根据同分母的分式相加进行计算，化成最简分式后把 a=2021代入，即可求出答案 【详解】解：23111aaaa (1)31(1)(1)(1)(1)a aaaaaa 231(1)(1)aaaaa 221(1)(1)aaaa 2(1)(1)(1)aaa 11aa； 当2021a 时，原式=2021 1202210112021 120201010 【点睛】本题考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序 20. 列方程解应用题：一批学生志愿者去距学校 8km的老人院参加志愿服务活动，一部分学生骑自行车先走，过了 15min 后，其
26、余学生乘汽车出发，结果他们同时到达已知骑车学生的速度是汽车速度的一半，求骑车学生的速度 【答案】骑车学生的速度 16 /h 【解析】 【分析】设骑车学生的速度为 xkm/h，则汽车速度为 2xkm/h，根据骑车所用时间- 15 分钟=汽车所用时间，列方程xx81842-=，解方程即可 【详解】解：设骑车学生的速度为 xkm/h，则汽车速度为 2xkm/h, 根据题意得：xx81842-=, 方程两边都乘以 4x得：x3216-=， 解得16x ， 经检验得16x 是原方程的根，且符合题意, 答：骑车学生的速度 16 /h 【点睛】本题考查列分式方程解行程问题应用题，掌握列分式方程解行程问题应用
27、题方法与步骤，抓住等量关系：骑车所用时间- 15 分钟=汽车所用时间列方程是解题关键 21. 已知：如图，PC平分APB，CMPA 于 M，CNPB 于 N，D、E 分别是边 PA和 PB 上的点，且 CDCE求证：APB+DCE180 【答案】见详解 【解析】 【分析】根据 PC 平分APB，CMPA 于 M，CNPB 于 N，得出 CM=CN，PMC=90 ，PNC=90 ，得出MPN+MCN=180 ，再证 RtMCDRtNCE（HL） ，得出MCD=NCE 即可 【详解】解：PC平分APB，CMPA于 M，CNPB于 N， CM=CN，PMC=90 ，PNC=90 ， MPN+MCN=
28、360 -PMC-PNC=360 -90 -90 =180 ， 在 RtMCD和 RtNCE中， CDCECMCN， RtMCDRtNCE（HL） ， MCD=NCE， APB+DCE=APB+DCN+NCE=APB+DCN+MCD=APB+MCN=180 【点睛】本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，四边形内角和，掌握角平分线性质，三角形全等判定与性质，四边形内角和是解题关键 22. 如图， 在边长为单位 1的小正方形组成的 10 10网格中 （我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点） ，点 A 和点 B 分别在网格的格点上 （1）分解因式 2a218； （2）若 2a2180，且点
29、A(a，2)在第二象限，点 B(a+5，1)在第四象限，请求出点 A和点 B的坐标，并在所给的网格中画出平面直角坐标系； （3）在（2）的条件下，已知点A(a，4)是点 A 关于直线l的对称点，点 C在直线 l上，且ABC的面积为 6，直接写出点 C 的坐标 【答案】 （1）233aa； （2）点 A（-3，2） ，点 B（2，-1） ，坐标系见详解； （3）点 C 的坐标为（-2，-1）或（6，-1） 【解析】 分析】 （1）先提公因式，再用平方差公式因式分解即可； （2）先用因式分解法解一元二次方程，再根据点的坐标所在象限求出 a 的值，利用平移法确定坐标轴建立平面直角坐标系即可； （3）
30、先求出点 A的对称点坐标，找出对称轴，根据点 C 在直线 l上，设点 C左边为（m，-1）然后分类当点 C 在点 B 左边，ABC的面积为 6，13262m ，当点 C 在点 B 的右边，()m13262创-=，解方程即可 【小问 1 详解】 解：2a218=()()()aaa229233-=+-； 【小问 2 详解】 解：2a2180， ()()aa2330+-= aa3030+=-=， 解得：a =-a =1233， 点 A(a，2)在第二象限， a=-3， 点 A（-3，2） ， 点 B(a+5，1)在第四象限， 当=-3a，a+ =- + =53 5 2，点 B（2，-1） ， 建立平
31、面直角坐标系如图所示； 【小问 3 详解】 点 A（-3，2） ，A（-3，-4） ， AAy 轴， AA的垂直平分线为 y=-1， 直线 l为 y=-1， 点 C在直线 l上，设点 C坐标为（m，-1） 当点 C在点 B左边， ABC 的面积为 6， 13262m 解得=2m ，点 C（-2，-1） 当点 C在点 B的右边， ()m13262创-= 解得m=6，点 C（6，-1） 点 C的坐标为（-2，-1）或（6，-1） 【点睛】本题考查因式分解，用因式分解法解一元二次方程，建立平面直角坐标系，点的平移，两点距离，三角形面积，轴对称性质，掌握因式分解，用因式分解法解一元二次方程，建立平面直
32、角坐标系，点的平移，三角形面积，轴对称性质是解题关键 23. 已知ABC 中，B12C （1）尺规作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹） ： 作EAC 的平分线 AD； 在 AD 上作点 P，使ACP 是以 AC 为底边的等腰三角形，并求出APC 的度数（用含 的式子表示） ； （2）在（1）所作的 AD上是否存在着另外的点 P，使ACP 也为等腰三角形，若有，请直接用含 的式子表示APC 的大小；若没有，请说明理由 【答案】 （1）见解析；作图见解析，1803APC （2）3904或32 【解析】 【分析】（1） 尺规作图作EAC 的角平分线即可； 作线段AC的垂直平分线， 交AD于点P，
33、连接PC，则APC即为所求； （2）分,APAC CACP分别求解即可 【小问 1 详解】 如图，射线AD即为所求 作线段AC的垂直平分线，交AD于点P，连接PC，则APC即为所求； 12BC 2C 3EACBACB 又,PAPC AD平分EAC 32PACPCA 1803APC 【小问 2 详解】 存在，当APAC时，13318090224APCACP 当CPCA时，32APCCAP 综上所述，APC的值为3904或32 【点睛】本题考查了作角平分线，垂直平分线，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，正确的作图是解题的关键 24. 阅读材料：对于非零实数 a，b，若关于 x
34、的分式xaxbx 的值为零，则解得 x1a，x2b又因为2()()()xa xbxab xababxxxx（a+b） ，所以关于 x的方程 x+abxa+b的解为 x1a，x2b （1）理解应用：方程22233xx的解为：x1 ，x2 ； （2）知识迁移：若关于 x的方程 x+3x5 的解为 x1a，x2b，求 a2+b2的值； （3）拓展提升：若关于 x的方程41x kx的解为 x1t+1，x2t2+2，求 k24k+2t3的值 【答案】 （1）3，23； （2）19； （3）12 【解析】 【分析】 （1）根据题意可得 x=3或 x=23； （2）由题意可得 a+b=5，ab=3，再由完全
35、平方公式可得 a2+b2=（a+b）2-2ab=19； （3）方程变形为 x-1+41x =k-1，则方程的解为 x-1=t或 x-1=t2+1，则有 t（t2+1）=4，t+t2+1=k-1，整理得k=t+t2+2，t3+t=4，再将所求代数式化为 k2-4k+2t3=t（t3+t）+4t3-4=4（t3+t）-4=12 【小问 1 详解】 解：x+abx=a+b的解为 x1=a，x2=b， 2+2= +2= 3 +23的解为 x=3 或 x=23， 故答案为：3，23； 【小问 2 详解】 解：x+3x=5， a+b=5，ab=3， a2+b2=（a+b）2-2ab=25-6=19； 【小
36、问 3 详解】 解：41x =k-x 可化x-1+41x =k-1， 方程41x =k-x 的解为 x1=t+1，x2=t2+2， 则有 x-1=t或 x-1=t2+1， t（t2+1）=4，t+t2+1=k-1， k=t+t2+2，t3+t=4， k2-4k+2t3 =k（k-4）+2t3 =（t+t2+2） （t+t2-2）+2t3 =t4+4t3+t2-4 =t（t3+t）+4t3-4 =4t+4t3-4 =4（t3+t）-4 =4 4-4 =12 【点睛】本题考查了分式方程的解，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键 25. 已知：如图， ABC中，A
37、BAC，A45 ，E是 AC 上的一点，ABE13ABC，过点 C作 CDAB于 D，交 BE于点 P （1）直接写出图中除ABC外的所有等腰三角形； （2）求证：BD12PC； （3）点 H、G分别为 AC、BC边上的动点，当DHG周长取取小值时，求HDG的度数 【答案】 （1）ADC，CPE，BCE都是等腰三角形，理由见解析 （2）见解析 （3）45 【解析】 【分析】 （1）ADC，CPE，BCE都是等腰三角形，分别证明BEC=ACB=67.5 ，A=ACD=45 ，CPE=CEP=67.5 ，可得结论； （2）在线段 DA 上取一点 H，使得 DH=DB，连接 CH，利用全等三角形的性
38、质证明 BH=EC，可得结论； （3） 作点 D关于直线 BC的对称点 M， 作点 D 关于 AC 的对称点 F， 连接 FM交 BC于点 G， 交 AC 于点 H，此时DGH的值最小，证明M+F=67.5 ，可得结论 【小问 1 详解】 解：ADC，CPE，BCE 都是等腰三角形，理由如下： AB=AC，A=45， ABC = ACB =12 (180-45)=67.5， ABE13ABC， ABE = 22.5， CBE=45， BEC=180-CBE-ACB=67.5， BEC=ACB， BC=BE，即BCE为等腰三角形， CDAB， ADC = CDB = 90， ACD = 90A
39、= 45 A=ACD=45， DA= DC， ADC是等腰三角形， CPE = BPD = 90ABE=67.5，BEC=180-CBE-ACB=67.5，CEP =67.5， CPE = CEB = 67.5， CP=CE， CPE是等腰三角形， 综上所述，除ABC外的所有等腰三角形有ADC，CPE，BCE； 【小问 2 详解】 证明：如图，在线段 AD上取点 H，使 DH=DB，连接 CH， DH=DB，CDAB， BC=CH， BHC=ABC=67.5， BEC=ACB=67.5， BHC=ABC=BEC=ACB， BC=CB， BCHCBE， BH=CE， CE=CP， BH=CP，
40、1122BDBHPC ； 【小问 3 详解】 解：如图，作点 D 关于直线 BC的对称点 M，作点 D关于 AC 的对称点 F，连接 FM 交 BC 于点 G，交 AC于点 H，此时DGH的周长最小， ABC=67.5，CDAB， BCD=90-ABC=22.5， DMCB， CDM=90 -BCD=90 -22.5 =67.5 ， DA=DC，DFAC， CDF=12CDA=45 ， MDF=45 +67.5 =112.5 ， M+F=180 -112.5 =67.5 ， GD=GM，HF=HD， M=GDM，F=HDF， DGH=M+GDM=2M，DHG=F+HDF=2F， DGH+DHG=2(M+F)=135 ， GDH=180 -(DGH+DHG)=45 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，关注全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题
