1、2022年黑龙江省哈尔滨市松北区中考二模数学试卷一、选择题（每小题3分，共计30分）1. 的倒数是（ ）A. B. C. D. 2. 下列运算一定正确的是（ ）A B. C. D. 3. 将图1中的小立方体平移到如图2所示的位置，平移前后几何体的三视图发生变化的是（ ）A. 主视图B. 俯视图C. 左视图D. 均没有变化4. 在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 5. 如图，内接于，AC为的直径，连接AB，若，则的度数为（ ）A. 40B. 50C. 25D. 656. 方程：的解为（ ）A. B. C. D. 7. 一个不透明的袋中装有2个红球，1个
2、白球，1个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次摸出的都是红球的概率是（ ）A. B. C. D. 8. 将二次函数先向上平移2个单位，再向左平移1个单位后，所得图象的函数解析式是（ ）A. B. C. D. 9. 如图，矩形ABCD，E在CD上，连接BE，将四边形ABED沿BE翻折得到四边形，若恰好经过点C，则线段BE的长为（ ）A. B. C. D. 10. 如图，点D，点E分别在AC，AB上，连接DE，过点B作交DE的延长线于点F，则下列结论错误的是（ ）A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共计30分）11. 将132000000000这个
3、数用科学记数法表示为_12. 在函数中，自变量x的取值范围是_13. 计算：_14. 把多项式分解因式的结果是_15. 已知双曲线的图象在每个象限内y随x的增大而增大，则m的取值范围是_16. 二次函数与y轴的交点坐标是_17. 不等式组的解集是_18. 扇形的圆心角为120，面积为，则该扇形的弧长为_19. 等边中，点D在射线CA上，且，则值为_20. 如图，在四边形ABCD中，点E在边BC上，连接AE，若，则线段AD的长为_三、解答题（其中2122题各7分，2324题各8分，2527题各10分，共计60分）21. 先化简，再求值：，其中22. 如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线
4、段AB和CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上（1）画出一个以AB为底的等腰，点E在小正方形的顶点上，且的面积为；（2）画出以CD为一腰等腰，点F在小正方形的顶点上，且的面积为10；（3）在（1）、（2）的条件下，连接EF，请直接写出线段EF的长23. 为了切实解决家长接送“难”，课后看护“忧”等问题，哈尔滨市中小学全面开展了课后服务工作，为了让课后服务能更好促进学生全面发展，松北区某校开设了A（篮球）、B（足球）、C（古筝）、D（创意写生）四门拓展性课后服务课程该校为了解学生对四门课程的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查问卷，通过分析整理绘制了如下两幅不完整的统计图请根据两幅
5、统计图中的信息回答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？（2）请通过计算补全条形统计图；（3）若该校共有1520名学生，请你估计该校学生中喜爱球类运动课程（包括篮球和足球）的学生共有多少人？24. 已知，四边形ABCD，点E是BC中点，连接AE，DE，（1）如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）如图2，连接AC，AC与DE交于F，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的等腰三角形（不包括等边三角形）25. 开学前夕，某书店计划购进A、B两种笔记本，已知一本B种笔记本比一本A种笔记本多3元，且用60元购买的A种笔记本与用75元购买的B种笔记本数量相同（1）购进A
6、、B两种笔记本每本分别多少元？（2）在销售过程中，A、B两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本若购进的B种笔记本的数量是A种笔记本数量的2倍，当两种笔记本全部售出，并且总利润不少于4200元时，请问至少购进A种笔记本多少本？26. 如图1，OA为的半径，B，C为圆周上的点，连接AB，BC，若（1）求证：；（2）如图2，点D上，连接BD，CD，若，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，E在上，连接OE，过B作，垂足为H，BF与交于点F，连接AF，DF，若，求的面积27. 如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，（1）求直线AB的解析式；（2）动点P
7、在直线AB上，连接OP，设点P的横坐标为m，的面积为S，求S与m的函数解析式；（3）如图2，在（2）的条件下，将沿OP翻折得到，点C在第一象限，点D在第四象限，连接AD，轴，连接OD，CD，点E在OD上，连接AE并延长至点F，使，连接BF，OF，过点A作于点G，若，求点G的坐标2022年黑龙江省哈尔滨市松北区中考二模数学试卷一、选择题（每小题3分，共计30分）1. 的倒数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据倒数的定义解答即可【详解】解：的倒数是故选：C【点睛】主要考查倒数的概念解题关键是熟记概念并准确计算2. 下列运算一定正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】
8、D【解析】【分析】根据零指数幂计算并判定A；根据负整数指数幂计算并判定B；根据同底数幂相除法则计算并判定C；根据积的乘方与幂的乘方计算并判定D【详解】解：A、当x3时，当x=3时，(x-3)0无意义，故此选项不符合题意；B、，故此选项不符合题意；C、，故此选项不符合题意；D、，故此选项符合题意；故选：D【点睛】本题考查零指数幂，负整数指数幂，同底数幂相除，积的乘方与幂的乘方，熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、同底数幂相除、积的乘方与幂的乘方运算法则是解题的关键3. 将图1中的小立方体平移到如图2所示的位置，平移前后几何体的三视图发生变化的是（ ）A. 主视图B. 俯视图C. 左视图D. 均没有变
9、化【答案】A【解析】【分析】直接利用几何体分别出三视图，即可解答【详解】解：图（1）的三视图为：图（2）的三视图为：平移前后几何体的三视图发生变化的是主视图，故选：A【点睛】本题考查简单组合体的三视图，是基础考点，掌握相关知识是解题关键4. 在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【详解】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确，故选：【点
10、睛】本题考查了轴对称与中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合5. 如图，内接于，AC为的直径，连接AB，若，则的度数为（ ）A. 40B. 50C. 25D. 65【答案】C【解析】【分析】先由直径所对圆周角等于90度，求出BAC=50，从而由圆周角定理得BDC=BAC=50，再根据等腰三角形性质求出DCB=，从而得ACD=DCB-ACB=65-40=25，最后由圆周角定理求解即可【详解】解：AC为的直径，ABC=90，BAC=50，BDC=BAC=50，DB=DC，DBC=DCB，DCB=，ACD=DCB-A
11、CB=65-40=25，ABD=ACD=25，故选：C【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理及其推论是解题的关键6. 方程：的解为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据解方程的步骤解方程即可；【详解】解：去分母：18-4=7x移项，合并同类项：7x=14系数化为1：x=2经检验，x=2是原方程的解，故选： A【点睛】本题考查了分式方程的解，注意分式方程的解要检验7. 一个不透明的袋中装有2个红球，1个白球，1个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次摸出的都是红球的概率是（ ）A. B.
12、 C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意列表，再利用概率计算公式直接求解即可.【详解】解：由题意，列表如下：红1红2白黑红1红1，红2红1，白红1，黑红2红2，红1红2，白红2，黑白白，红1白，红2白，黑黑黑，红1黑，红2黑，白由表格可知，两次摸出的都是红球的概率是故选：B【点睛】本题考查简单的概率计算，熟记概率计算公式是解答的关键8. 将二次函数先向上平移2个单位，再向左平移1个单位后，所得图象的函数解析式是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案【详解】解：将二次函数y=(x+3)2+1先向上平移2个单位，再向左平
13、移1个单位后，所得图象的函数解析式是，故D正确故选：D【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，是解题关键9. 如图，矩形ABCD，E在CD上，连接BE，将四边形ABED沿BE翻折得到四边形，若恰好经过点C，则线段BE的长为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设，则，则，根据已知条件，证明，利用三角形相似的性质，得出，即可得出，解关于x、y的方程组即可得出x、y的值，最后根据勾股定理求出BE即可【详解】解：四边形ABCD为矩形，CD=AB=3，BC=AD=5，根据折叠可知，设，则，则，即：，整理得：，解得：，（舍去），故A正确
14、故选：A【点睛】本题主要考查了矩形的折叠、三角形相似的判定和性质、勾股定理、解一元二次方程，熟练掌握折叠的性质，注意应用数形结合的思想，是解题的关键10. 如图，点D，点E分别在AC，AB上，连接DE，过点B作交DE的延长线于点F，则下列结论错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据平行线分线段成比例可判定A；根据DEBC，得，根据BFAC，得，即可得出，则可B；根据平行线分线段成比例可判定C；证ADEBFE，得，则，所以，再证边形BCDF是平行四边形，得BC=DF，所以，可判定D【详解】解：A、DEBC，故此选项不符合题意；B、DEBC，BFAC，故此选项符合题意；
15、C、DEBC，故此选项不符合题意；D、BFAC，ADEBFE，即，DEBC，BFAC，四边形BCDF是平行四边形，BC=DF，故此选项不符合题意；故选：B【点睛】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质是解题的关键第卷 非选择题（共90分）二、填空题（每小题3分，共计30分）11. 将132000000000这个数用科学记数法表示为_【答案】【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数
16、绝对值10时，n是正整数；当原数的绝对值1时，n是负整数【详解】解：132000000000=1.321011，故答案为：1.321011【点睛】本题主要考查科学记数法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数解题关键是正确确定a的值以及n的值12. 在函数中，自变量x的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据分式有意义条件列出不等式，求解即可【详解】解：由题意，得4-2x0，解得：x2，故答案为：x2【点睛】本题考查函数自变量取值范围，函数式包含有分式时，根据分式有意义条件求解，掌握分式有意义条件是解题的关键13. 计算：_【答案】2【解析】【详解】分别根据立方根的定义
17、与算术平方根的定义解答即可【解答】解：+2+42故答案为：2【点评】本题考查了立方根与算术平方根，记熟立方根与二次根式的性质是解答本题的关键14. 把多项式分解因式的结果是_【答案】【解析】【分析】先提取公因数，再利用平方差公式分解因式即可；【详解】解：原式=，故答案为：；【点睛】本题考查了公式法分解因式，掌握平方差公式是解题关键15. 已知双曲线的图象在每个象限内y随x的增大而增大，则m的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由于反比例函数的图象在每个象限内y的值随x的值增大而增大，可知比例系数为负数，据此列出不等式解答即可【详解】解：反比例函数的图象在每个象限内y随x增大而增大，m+30，解
18、得：m-3故答案为：m-3【点睛】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的增减性得出比例系数的正负是解题的关键16. 二次函数与y轴的交点坐标是_【答案】【解析】【分析】令x=0时，求出函数值即可得到答案【详解】解：令x=0时，二次函数与y轴的交点坐标是（0，-5）故答案为（0，-5）【点睛】本题考查二次函数与两轴交点坐标，掌握两轴的坐标特征是解题关键17. 不等式组的解集是_【答案】【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集【详解】解：解不等式，得：x5，解不等式3x2，得：，则不等式组的解集为，故答案为：【
19、点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键18. 扇形的圆心角为120，面积为，则该扇形的弧长为_【答案】【解析】【分析】根据扇形面积公式S，先求出扇形的半径，再根据扇形的弧长公式进行计算即可求解【详解】解：扇形的圆心角为120，扇形的面积为27，解得R=9（负值舍去），扇形的弧长=故答案为：6【点睛】本题考查了弧长的计算和扇形面积的计算解答该题需要牢记弧长公式和扇形的面积公式19. 等边中，点D在射线CA上，且，则的值为_【答案】或【解析】【分析】分两种情况：当点D在线段 CA上时，当
20、点D在CA延长线上时，分别求解即可【详解】解：当点D在线段 CA上时，如图，等边，AB=AC=BC，C=60，AB=2AD，AD=CD，BDAC，BDC=90，DBC=30，tanDBC= tan30=；当点D在CA延长线上时，如图，过点D作DEBC于E，等边，AB=AC=BC，C=60，DEBC于E，CDE=30，CD=2CE，AB=2AD，AC=2AD，设AD=k，则AB=AC=BC=2k，CD=3k，CE=,BE=BC-CE=k，在RtCDE中，tanC=，即tan60=，DE=CEtan60=,在RtBDE中，tanDBC=综上，的值为或，故答案为：或【点睛】本题考查等边三角形的性质，
21、解直角三角形，注意分类讨论，以免漏解20. 如图，在四边形ABCD中，点E在边BC上，连接AE，若，则线段AD的长为_【答案】【解析】【分析】过点D作DHAB于H，连接AC交DH于G，过点G作GFBC于F，连接AF交DH于M，过点M作MNAD于N，连接DF交AC于O，可得四边形BCDH是矩形，由AB=BC可得四边形FCDG是正方形，设CD=x，；由正方形性质可得AC垂直平分DF，AF=AD，FAO=OAD=FAD，于是BAE=FAD；由AHMABF求得AM和HM，再由ANMABE求得x的值，便可解答；【详解】解：如图，过点D作DHAB于H，连接AC交DH于G，过点G作GFBC于F，连接AF交D
22、H于M，过点M作MNAD于N，连接DF交AC于O，ABC=BCD=DHB=90，则四边形BCDH是矩形，DHBC，DH=BC，DC=BH，GFBC，则GFCD，四边形FCDG是矩形，AB=BC，则BCA=45，GFC=90，则FGC=45，FG=FC，四边形FCDG是正方形，设CD=x，则AB=BC=DH=4x，AH=BF=3x，RtAHD中：AD=5x，cosADH=，BAC=45，CAD=，四边形FCDG是正方形，则AC垂直平分DF，AF=AD=5x，AODF，FAO=OAD=FAD，BAE=FAD，DHBC，AHMABF，AM=，HM=，DM=DH-HM=，MNAD，则DN=DMcosN
23、DM=，AN=AD-DN=，BAE=FAD，ABE=ANM=90，ANMABE，解得：x=，AD=，故答案为：；【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识；综合性较强，正确作出辅助线是解题关键三、解答题（其中2122题各7分，2324题各8分，2527题各10分，共计60分）21. 先化简，再求值：，其中【答案】，【解析】【分析】先计算分式的除法，再计算分式的加法，然后根据特殊角的正切值求出的值，代入计算即可得【详解】解：原式，原式【点睛】本题考查了分式的化简求值、特殊角的正切值等知识点，熟练掌握分式的运算法则是解题关键22. 如图，在每个小正方形的边长均
24、为1的方格纸中有线段AB和CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上（1）画出一个以AB为底的等腰，点E在小正方形的顶点上，且的面积为；（2）画出以CD为一腰的等腰，点F在小正方形的顶点上，且的面积为10；（3）在（1）、（2）条件下，连接EF，请直接写出线段EF的长【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）【解析】【分析】（1）画出等腰直角三角形ABE即可；（2）根据要求利用数形结合的思想作出图形即可；（3）利用勾股定理求解即可【小问1详解】如图，ABE即为所求；【小问2详解】如图，CDF即为所求；【小问3详解】【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解
25、题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型23. 为了切实解决家长接送“难”，课后看护“忧”等问题，哈尔滨市中小学全面开展了课后服务工作，为了让课后服务能更好促进学生全面发展，松北区某校开设了A（篮球）、B（足球）、C（古筝）、D（创意写生）四门拓展性课后服务课程该校为了解学生对四门课程的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查问卷，通过分析整理绘制了如下两幅不完整的统计图请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？（2）请通过计算补全条形统计图；（3）若该校共有1520名学生，请你估计该校学生中喜爱球类运动课程（包括篮球和足球）的学生
26、共有多少人？【答案】（1）80 （2）见解析 （3）912【解析】【分析】（1）用喜欢篮球的人数除以喜欢篮球的人数点的百分比，即可求解；（2）先计算出喜欢足球的人数，用总人数减去喜欢篮球、古筝、创意写生的人数，再根据计算画出条形统计图即可；（3）用全校总人数乘以喜爱球类运动占的百分比即可【小问1详解】解：（名）在这次调查中，一共抽取了80名学生【小问2详解】解：（名），喜爱足球课程的有20名补图如图所示【小问3详解】解：（名）估计该校学生中喜爱球类运动课程的学生有912人【点睛】本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，从统计图获取到有用信息是解题的关键24. 已知，四边形ABCD，点E
27、是BC中点，连接AE，DE，（1）如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）如图2，连接AC，AC与DE交于F，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的等腰三角形（不包括等边三角形）【答案】（1）见解析 （2），【解析】【分析】(1)设，利用等边对等角结合求得，得到ABCD，得出结论；（2）利于等腰三角形的判定分别证明等腰三角形有，注意ABE是等边三角形，要舍去【小问1详解】证明：设，E是BC中点，四边形ABCD是平行四边形【小问2详解】AB=BE=EC=DC，ABE和CED是等腰三角形，又B=60，ABE是等边三角形（舍去），AE=AB=BE，AE=EC，即AEC是等腰三角形
28、，EAC=ECA= ，又ECD=120，DEC=EDC= ，FEC=FCE，FE=FC，即FEC是等腰三角形，又ADBC，FAD=FCE，FDA=FEC，FAD=FDA，FA=FD，即FAD是等腰三角形，故等腰三角形有，【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质，解决问题的关键是识别图形，确定各个图形之间的对应关系25. 开学前夕，某书店计划购进A、B两种笔记本，已知一本B种笔记本比一本A种笔记本多3元，且用60元购买的A种笔记本与用75元购买的B种笔记本数量相同（1）购进的A、B两种笔记本每本分别多少元？（2）在销售过程中，A、B两种笔记本的标价分别为20元/本、25元
29、/本若购进的B种笔记本的数量是A种笔记本数量的2倍，当两种笔记本全部售出，并且总利润不少于4200元时，请问至少购进A种笔记本多少本？【答案】（1）购进的A、B两种笔记本每本分别12元，15元 （2）至少购进A种笔记本150本【解析】【分析】（1）设购进的A种笔记本每本x元，则B种笔记本每本元,由题意列出方程，解方程即可；（2）设购进A种笔记本m本，则购进B种笔记本本，列出一元一次不等式，解不等式即可【小问1详解】解：设购进的A种笔记本每本x元，则B种笔记本每本元,，解得，经检验，是原分式方程的解；元，购进的A、B两种笔记本每本分别12元，15元【小问2详解】设购进A种笔记本m本，则购进B种笔
30、记本本，至少购进A种笔记本150本【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式26. 如图1，OA为的半径，B，C为圆周上的点，连接AB，BC，若（1）求证：；（2）如图2，点D在上，连接BD，CD，若，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，E在上，连接OE，过B作，垂足为H，BF与交于点F，连接AF，DF，若，求的面积【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）32【解析】【分析】（1）连接OB，OC，设，则，可证明，和，进而可得，故；（2）利用角之间的关系证明，故可得，即；（
31、3）连接OB，OC，证明，过点D作交BC的延长线于点G，得到，过点D作于点Q，得到，可得，进而表示出，过点O作于点P，则，证明四边形ODQP为矩形，求出，连接OF，求出，过点B作于点M，证明，设，求出，即可求出答案【小问1详解】证明：连接OB，OC，设，；【小问2详解】证明：由（1）得：连接OB，OC，即；【小问3详解】解：连接OC，OD，DE是的直径， ，过点D作交BC的延长线于点G，过点D作于点Q，设，则，过点O作于点P，则，四边形ODQP为矩形，连接OF， ，过点B作于点M，设， ， ，【点睛】本题考查圆的综合问题，难度较大，解题的关键是掌握圆心角、弧、弦之间的关系，利用等边对等角证明，
32、利用正切值求，27. 如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，（1）求直线AB的解析式；（2）动点P在直线AB上，连接OP，设点P的横坐标为m，的面积为S，求S与m的函数解析式；（3）如图2，在（2）的条件下，将沿OP翻折得到，点C在第一象限，点D在第四象限，连接AD，轴，连接OD，CD，点E在OD上，连接AE并延长至点F，使，连接BF，OF，过点A作于点G，若，求点G的坐标【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）先求出OB=5，再证明是等腰直角三角形，得OA=OB=5和点A坐标，代入解析式，求得k的值即可；（2）分点P在y轴左右两侧两种情况
33、，结合三角形的面积求解即可；（3）过点D作于点T，延长DT交OP于点U，可证明，再证明，得，过点O作于点N，得，即，求得，设，则，由得，过点C作轴，得，可求，进一步求出，再分别求出直线OD的解析式和BF解析式即可求出结论【小问1详解】对于，令， ，直线AB的解析式为：【小问2详解】如图，当点P在y轴右侧时，过点P作轴于点M，根据题意，设，；当点在y轴左侧时，过点作轴于点，根据题意，设，；【小问3详解】根据折叠得，设，过点D作于点T，延长DT交OP于点U，在和中，即，过点O作于点N，即，设，则，或（舍），设，则，过点C作轴，设，在中，在ED上截取，设直线OD解析式为：，直线OD的解析式为过点V作轴于W，设，或（舍），过F作轴，设BF解析式为，直线BF：，过点F作轴于点H，过点G作轴于点K，设点，【点睛】本题主要考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，如何转化，利用截长补短法来构造辅助线，是本题的解题关键
