1、20222022 年辽宁省沈阳市皇姑区九年级二模数学试年辽宁省沈阳市皇姑区九年级二模数学试卷卷 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的每小题一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的每小题 2 分，共分，共 20） 1. 在 0，2，2.6，3中，属于负整数的是（ ） A. 0 B. 2 C. 2.6 D. 3 2. 下图是小华将两本字典放置而成的几何体，其左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 新冠病毒的直径大约是 0.00000008 米，将 0.00000008用科学记数法可表示为（ ） A. 8 10-7 B. 8 10-8 C. 0.8 10-9 D
2、. 8 10-9 4. 计算3325aa的结果是（ ） A. 610a B. 910a C. 37a D. 67a 5. 方程2310 xx 的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 6. 不等式组2030 xx的解在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C D. 7. 某校七年级 5 名学生年龄的平均数为 13岁，方差为 0.4 岁2，中位数为 13岁，众数为 13 岁，两年后，这5 名学生年龄的统计量中数值不变的是（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 8. 研究发现，近视镜的度数 y（度）与镜片焦距
3、 x（米）成反比例函数关系，小明佩戴的 400 度近视镜片的焦距为 0.25 米，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼健康，现在镜片焦距为 0.4 米，则小明的近视镜度数可以调整为（ ） A. 300 度 B. 500 度 C. 250 度 D. 200 度 9. 2021年 3月考古人员在山西泉阳发现目前中国规模最大、保存最完好的战国水井，井壁由等长的柏木按原始榫卯结构相互搭接呈闭合的正九边形逐层垒砌，关于正九边形下列说法错误的是（ ） A. 它是轴对称图形 B. 它是中心对称图形 C. 它的外角和是 360 D. 它的每个内角都是 140 10. 如图，抛物线20yaxbxc a对称轴为直线
4、1x ，与 x 轴的一个交点坐标为1,0，其部分图象如图所示， 下列结论： 24acb， 30a c ， 方程20axbxc的两个根是11x ，23x ，当0y 时，x 的取值范围是13x- ，其中正确的有（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分共分共 18 分）分） 11. 分解因式：22axay=_ 12. 若301xx，则x_ 13. 若点(2,3)A a和点( 1,5)Bb关于 y 轴对称，则点( , )C a b在第_象限 14. 如图，ABCD，FGB150 ，FG 平分EFD，则AEF 的度数于_ 15. 如图，正六边形 ABCDEF 的边长为
5、 9，以顶点 A为圆心，AF的长为半径画圆，则图中阴影部分面积的大小为_ 16. 如图，点 E是矩形 ABCD 的边 AB的中点，点 P是边 AD 上的动点，沿直线 PE将APE对折，点 A落在点 F 处. 已知 AB=6，AD=4，连结 CF、CE，当CEF恰为直角三角形时，AP 的长度等于_. 三、解答题（第三、解答题（第 17 小题小题 6 分，第分，第 18、19 小题各小题各 8 分，共分，共 22分）分） 17. 先化简，再求值：2221421121xxxxxxx，其中5x 18. 某中学食堂开设了两个窗口，窗口一提供两种食品：A（牛奶） ，B（豆浆） ；窗口二提供四种食品：C（猪
6、肉馅饼） ，D（牛肉馅饼） ，E（鸡蛋炒饭） ，F（韭菜盒子） 约定：学生先在窗口一领一种食品后，再到窗口二领一种食品如果某天食堂师傅在两个窗口随机发放食品，请用列表或画树状图的方法，求出小王同学该天早餐刚好得到牛奶和馅饼的概率 19. 某中学数学兴趣小组为了解本校学生对春节联欢晚会中五类节目的喜欢情况，其中 A 表示歌曲、B表示舞蹈、C 表示魔术、D 表示小品、E表示相声，随机抽取了部分学生进行调查（被调查的学生只选一类且没有不选的） ，并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图请根据图中所给出的信息解答下列问题： （1）扇形统计图中 D类所在扇形的圆心角度数为_（直接填空） ； （
7、2）直接在图中将条形统计图补充完整； （3）若该中学共有 1800名学生，估计该校喜欢歌曲节目的学生大约有多少人？ 四、 （每小题四、 （每小题 8 分，共分，共 16 分）分） 20. 如图，矩形 ABCD中，点 E 在边 CD上，将BCE 沿 BE 折叠，点 C落在 AD 边上的点 F 处，过点 F作FGCD交 BE于点 G，连接 CG （1）求证：四边形 CEFG 是菱形； （2）若3AB ，5AD ，求四边形 CEFG的面积 21. 在修建某高速公路线路中需要经过一座小山如图，施工方计划从小山的一侧 C 处沿 AC方向开挖隧道到小山的另一侧( ,D A C D三点在同一直线上)处为了计
8、算隧道 CD 的长，现另取一点 B，测得30CAB，105ABD，1kmAC ，4kmAB 求隧道 CD 的长 五、 （本题五、 （本题 10 分）分） 22. 如图，O是ACD的外接圆，AB是O的直径，CDBD，DE 是O的切线，DE交 AC 的延长线于点 E （1）求证：90E ； （2）若1AC ，1sin3ADC，则 CD长为_（直接填空） 六、 （本题六、 （本题 10 分）分） 23. 如图，一次函数0ykxb k与反比例函数0cycx的图像交于点5,Am和点 B, 5n ，连接 OA，过 A 作ACx轴于点 C，且 RtAOC的面积等于 10 （1）求一次函数的解析式； （2）点
9、 P 是一次函数0ykxb k图像上的动点，若 CP把ABC分成面积比等于 4：5 的两部分，直接写出点 P的坐标 七、 （本题七、 （本题 12 分）分） 24. 已知： ABC 是等边三角形，点 D 在直线 AB上运动（不与点 A、点 B重合） ，连接 CD，将 ADC绕点 D 逆时针旋转得到 FDE（点 A 的对应点为点 F，点 C 的对应点为点 E） （1）如图，连接 AE，当点 D为线段 AB的中点，且点 E 落在 CA的延长线上时，求EDC的度数； （2）如图，当点 D在线段 AB上，且旋转角为 120 时，求证：EFAB； （3）当点 D在直线 AB 上，且旋转角为 120 时，
10、连接 BE，取线段 BE的中点 M，连接 AM、DM，若线段21DM ，直接写出线段 AM 的长度 八、 （本题八、 （本题 12 分）分） 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线240yaxbxa经过点3,4A和点1,0B ，连接 AB，过点 A作ADx轴于点 D，点 P在直线 AB上方的抛物线上，过点 P 作PEAD交 x轴于点 E，交线段AB 于点 G，连接 PD 交线段 AB于点 Q （1）求抛物线的表达式； （2）当GQAQ时，设点 P横坐标为 m，求 m 的值； （3）在（2）的条件下，线段 BE上有一点 F，直线 AD上有一点 K，连接 KF、GF，当2FKDFGB ，且8KF
11、 时，直接写出点 K的纵坐标 20222022 年辽宁省沈阳市皇姑区九年级二模数学试年辽宁省沈阳市皇姑区九年级二模数学试卷卷 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的每小题一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的每小题 2 分，共分，共 20） 1. 在 0，2，2.6，3中，属于负整数的是（ ） A. 0 B. 2 C. 2.6 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据有理数的分类逐个判断即可求解 【详解】解：0、2、-2.6均不是负整数，-3是负整数 故选：D 【点睛】本题考查了有理数的分类，解题的关键是掌握负整数的概念 2. 下图是小华将两本字典放置而成的
12、几何体，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中 【详解】解：从左面看易得左视图为： 故选：C 【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图 3. 新冠病毒的直径大约是 0.00000008 米，将 0.00000008用科学记数法可表示为（ ） A. 8 10-7 B. 8 10-8 C. 0.8 10-9 D. 8 10-9 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于 1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a 10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指
13、数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【详解】解：0.00000008=8 10-8， 故选：B 【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，解题的关键是掌握一般形式为 a 10-n，其中 1|a|10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 4. 计算3325aa的结果是（ ） A. 610a B. 910a C. 37a D. 67a 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用单项式乘以单项式运算法则计算得出答案 【详解】解：6332510aaa， 故选：A 【点睛】此题主要考查了单项式乘以单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键 5. 方程231
14、0 xx 的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况 【详解】解：2( 3)4 1 110 ， 方程没有实数根 故选：D 【点睛】此题考查了根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程解的情况之间的关系，一元二次方程20(a0)axbxc的根与24bac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程无实数根 6. 不等式组2030 xx的解在数轴上表示正确的是（ ） A B.
15、 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分别求出各不等式解集，再求其公共解集，然后把解集在数轴上表示出来即可 【详解】解：2030 xx， 由得2x， 由得3x， 23x ， 在数轴上表示的如下： 故选：A 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式的解集，掌握解不等式组的解法是解题的关键 7. 某校七年级 5 名学生年龄的平均数为 13岁，方差为 0.4 岁2，中位数为 13岁，众数为 13 岁，两年后，这5 名学生年龄的统计量中数值不变的是（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 【答案】B 【解析】 【分析】设这 5 名学生现在的年龄按从小到大排列
16、依次为12345,x xx xx，利用平均数、方差、中位数、众数的定义和公式分别计算即可得 【详解】解：设这 5名学生现在的年龄按从小到大排列依次为12345,x xx xx，则两年后，这 5名学生年龄按从小到大排列依次为123452,2,2,2,2xxxxx， 现在年龄的平均数为12345135xxxxxx（岁） ， 两年后，年龄的平均数为12345222222155xxxxxx（岁） ， 现在年龄的方差为222222123451()()()()()0.45Sxxxxxxxxxx（岁2） ， 两年后，年龄的方差为222151(22)(22)0.45xxxxS（岁2） ， 因为现在年龄的众数为
17、 13岁， 所以现在年龄中，13 岁出现的次数最多， 所以两年后，15 岁出现的次数最多， 所以两年后，年龄的众数为 15 岁， 现在年龄的中位数为313x （岁） ， 两年后，年龄的中位数为3213215x （岁） ， 由此可知，两年后，这 5名学生年龄的统计量中数值不变的是方差， 故选：B 【点睛】本题考查了平均数、方差、中位数、众数，熟记各定义和计算公式是解题关键 8. 研究发现，近视镜的度数 y（度）与镜片焦距 x（米）成反比例函数关系，小明佩戴的 400 度近视镜片的焦距为 0.25 米，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼健康，现在镜片焦距为 0.4 米，则小明的近视镜度数可以调整为
18、（ ） A. 300 度 B. 500 度 C. 250 度 D. 200 度 【答案】C 【解析】 【分析】先求出反比例函数解析式，然后求出当0.4x时 y 的值即可得到答案 【详解】解：设近视镜的度数 y（度）与镜片焦距 x（米）的反比例函数解析式为kyx， 小明佩戴的 400度近视镜片的焦距为 0.25米， 400 0.25100k ， 反比例函数解析式为100yx， 当0.4x时，1002500.4y ， 小明的近视镜度数可以调整为 250 度， 故选 C 【点睛】本题主要考查了反比例函数实际应用，解题的关键在于能够正确求出反比例函数解析式 9. 2021年 3月考古人员在山西泉阳发现
19、目前中国规模最大、保存最完好的战国水井，井壁由等长的柏木按原始榫卯结构相互搭接呈闭合的正九边形逐层垒砌，关于正九边形下列说法错误的是（ ） A. 它是轴对称图形 B. 它是中心对称图形 C. 它的外角和是 360 D. 它的每个内角都是 140 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称与中心对称的定义可判断 A、B的正误；根据正多边形的外角和为 360可判断 C的正误；根据正 n边形的内角为1802nn可判断 D的正误 【详解】解：由题意知正九边形是轴对称图形，不是中心对称图形 A 正确，B错误； 由正多边形的外角和为 360可知正九边形的外角和为 360 C 正确； 由正 n 边形的内角为1
20、802nn，可得180921409 D 正确； 故选 B 【点睛】本题考查了正多边形的内角、外角和，轴对称，中心对称解题的关键在于熟练掌握正多边形的内角、外角与对称性 10. 如图，抛物线20yaxbxc a的对称轴为直线1x ，与 x轴的一个交点坐标为1,0，其部分图象如图所示， 下列结论： 24acb， 30a c ， 方程20axbxc的两个根是11x ，23x ，当0y 时，x 的取值范围是13x- ，其中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据抛物线与x轴的交点坐标即可判断； 根据抛物线的开口方向和与y轴的交点即可判断 【详解】解：抛物线的对称轴为
21、直线1x ， ，与 x 轴的一个交点坐标为1,0， 抛物线与 x轴的另一个交点坐标为3,0，12ba， 2ba，2=40bac，即24acb，故正确； 抛物线开口向下，与 y轴交于 y轴正半轴， 00ac， 30a ， 30a c ，故错误； 抛物线与 x轴的交点坐标为（-1，0） ， （3，0） ， 方程20axbxc的两个根是11x ，23x ，故正确； 由函数图象可知当0y 时，x 的取值范围是13x- ，故正确； 故选 C 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与 x 轴的交点问题等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分共分
22、共 18 分）分） 11. 分解因式：22axay=_ 【答案】()()a xy xy 【解析】 【分析】先提取公因式 a，再利用平方差公式即可 【详解】22axay=22()a xy=()()a xy xy 故答案为：()()a xy xy 【点睛】本题考查分解因式综合提公因式和公式法分解因式是解题的关键 12. 若301xx，则x_ 【答案】3 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件、分式值为零的条件计算即可； 【详解】301xx， 3010 xx ， 31xx ， 3x ； 故答案是 3 【点睛】本题主要考查了分式值为零的条件，准确计算是解题的关键 13. 若点(2,3)A a和点( 1
23、,5)Bb关于 y 轴对称，则点( , )C a b在第_象限 【答案】四 【解析】 【分析】根据关于y轴对称的点：纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得 C 点坐标，再根据点所在象限可得答案 【详解】解：由题意，得： 21a，53b ， 解得：3,2ab ， 点3, 2C在第四象限， 故答案为：四 【点睛】点评：本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握关于 y轴对称的点的坐标规律 14. 如图，ABCD，FGB150 ，FG 平分EFD，则AEF 的度数于_ 【答案】60 【解析】 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补得到30DFG，根据角平分线的定义可得260DFGEFD，再利用
24、两直线平行，内错角相等即可求解 【详解】解：AB/CD，FGB150 ， 30DFG， FG 平分EFD， 260DFGEFD， AB/CD， 60AEFEFD， 故答案为：60 【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义，熟练应用平行线的性质定理是解题的关键 15. 如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 9，以顶点 A为圆心，AF的长为半径画圆，则图中阴影部分面积的大小为_ 【答案】27 【解析】 【分析】利用扇形的面积公式求解即可 【详解】解：由题意，FAB=120 ，AF=AB=9， S阴=2120927360， 故答案为：27 【点睛】题考查正多边形与圆，扇形的面积等知识，解题的关
25、键是记住扇形的面积2360n rS 16. 如图，点 E是矩形 ABCD 的边 AB的中点，点 P是边 AD 上的动点，沿直线 PE将APE对折，点 A落在点 F 处. 已知 AB=6，AD=4，连结 CF、CE，当CEF恰为直角三角形时，AP 的长度等于_. 【答案】94或 1 【解析】 【分析】分CFE=90 和CEF=90 两种情况根据矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质求解 【详解】解：如图，当CFE=90 时， 四边形 ABCD是矩形，点 E 是矩形 ABCD的边 AB 的中点，AB=6，AD=4， PAE=PFE=EBC= 90 ，AE=EF=BE=3， PFE+CFE =
26、180 ， P、F、C 三点一线， EFCEBC， FC=BC=4，EC=2234=5，FEC=BEC， PEF+FEC =90 ， 设 AP=x，则 PC=x+4， 2222(4)35xx, 解得 x=94； 如图，当CEF=90 CEB+2PEA =90 ， CEB+PEA =90 -PEA， 延长 PE、CB，二线交于点 G， AE=BE，PAE=GBE =90 ，AEP=BEG， PAEGBE， PA=BG，AEP=BEG， G =90 -GEB= 90 -PEA，CEB+PEA =90 -PEA， G =CEB+PEA=CEB+GEB=CEG， CE=CBC+BG=BC+AP， 5=
27、4+AP， 解得 PA=1， 故答案为：94或 1 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键 三、解答题（第三、解答题（第 17 小题小题 6 分，第分，第 18、19 小题各小题各 8 分，共分，共 22分）分） 17. 先化简，再求值：2221421121xxxxxxx，其中5x 【答案】1x；6 【解析】 【分析】根据分式混合运算法则进行化简计算，然后再代入求值即可 【详解】解：原式212211221xxxxxxx 11221xxxx 12121xxx 1x 当5x 时，原式5 16 【点
28、睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键 18. 某中学食堂开设了两个窗口，窗口一提供两种食品：A（牛奶） ，B（豆浆） ；窗口二提供四种食品：C（猪肉馅饼） ，D（牛肉馅饼） ，E（鸡蛋炒饭） ，F（韭菜盒子） 约定：学生先在窗口一领一种食品后，再到窗口二领一种食品如果某天食堂师傅在两个窗口随机发放食品，请用列表或画树状图的方法，求出小王同学该天早餐刚好得到牛奶和馅饼的概率 【答案】P（刚好得到牛奶和馅饼）14 【解析】 【分析】根据题意列表，列出所有可能的结果，再找出符合条件的即可求得概率 【详解】解：所有可能出现的结果列表如下： 窗口二 窗口一 C D E
29、 F A ,A C ,A D ,A E ,A F B ,B C ,B D ,B E ,B F 总共有 8种结果，每种结果出现的可能性相同，其中刚好得到牛奶和馅饼的情况有 2种 P（刚好得到牛奶和馅饼）2184 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 19. 某中学数学兴趣小组为了解本校学生对春节联欢晚会中五类节目的喜欢情况，其中 A 表示歌曲、B表示舞蹈、C 表示魔术、D 表示小品、E表示相声，随机抽取了部分学生进行调查（被调查的学生只选一类且
30、没有不选的） ，并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图请根据图中所给出的信息解答下列问题： （1）扇形统计图中 D类所在扇形的圆心角度数为_（直接填空） ； （2）直接在图中将条形统计图补充完整； （3）若该中学共有 1800名学生，估计该校喜欢歌曲节目的学生大约有多少人？ 【答案】 （1）126； （2）条形统计图见详解； （3）180人 【解析】 【分析】 （1）先通过条形统计图与扇形统计图相结合，计算出此次调查的总人数，进而算出喜欢小品的人数所占的比例，进而算出扇形所对的圆心角； （2）先计算出 C部分所对应的人数，进而补全条形统计图即可； （3）先算出喜欢歌曲人数所占的比例
31、，进而估算出该校喜欢歌曲节目的人数 【小问 1 详解】 解：总人数：6020=300（人） ， 105300=35， 36035=126， 故答案为：126； 【小问 2 详解】 解：300-30-60-105-15=90（人） ， ； 【小问 3 详解】 解：30300=10， 180010=180（人） ， 答：估计该校喜欢歌曲节目的学生大约有 180 人 【点睛】本题考查概率统计，条形统计图，扇形统计图，利用样本估算整体，能够将条形统计图与扇形统计图相结合提取有用信息是解决本题的关键 四、 （每小题四、 （每小题 8 分，共分，共 16 分）分） 20. 如图，矩形 ABCD中，点 E
32、在边 CD上，将BCE 沿 BE 折叠，点 C落在 AD 边上的点 F 处，过点 F作FGCD交 BE于点 G，连接 CG （1）求证：四边形 CEFG 是菱形； （2）若3AB ，5AD ，求四边形 CEFG的面积 【答案】 （1）证明见解析 （2）53 【解析】 【分析】 （1）根据折叠的性质得 CE=EF，CEB=FEB，根据“SAS”易证GEFGEC，由全等三角形的性质可得 GF=GC，FGE=CGE，易证四边形 CEFG 是平行四边形，由 CE=EF 即可求证结论； （2）由勾股定理和折叠的性质求得 DF 的长，设 CE=x，由（1）结论在 RtDEF 中根据勾股定理列方程求解即可；
33、 【小问 1 详解】 由折叠的性质可得 CE=EF，CEG=FEG， 又 GE=GE， GEFGEC（SAS） ， GF=GC，FGE=CGE， FGCD， FGE=CEG， CGE=CEG， EC=GC， GF=EC， 四边形 CEFG 是平行四边形， 又CE=EF， 四边形 CEFG 是菱形； 【小问 2 详解】 ABCD是矩形，AB=3，BC=5， BF=AD=BC=5，CD=AB=3，A=90 ， 在 RtABF 中，由勾股定理可得： 2222525 943AABFBF，5 41DFADAF ， 设CEEFx，则3DEx ， 在 RtDEF 中，222EFDEDF，即22231xx，
34、解得：53x ，即53CE ， 四边形 CEFG 的面积55133CE DF 【点睛】 本题考查了折叠的性质， 矩形的性质， 菱形的判定和性质， 等腰三角形的判定和性质， 勾股定理；掌握相关性质是解题关键 21. 在修建某高速公路的线路中需要经过一座小山如图，施工方计划从小山的一侧 C处沿 AC 方向开挖隧道到小山的另一侧( ,D A C D三点在同一直线上)处为了计算隧道 CD 的长，现另取一点 B，测得30CAB，105ABD，1kmAC ，4kmAB 求隧道 CD 的长 【答案】2 31 km 【解析】 【分析】过点 B作BEAD于点 E，在RtABE中，通过含 30 度角的直角三角形的
35、性质结合勾股定理可求出 BE，AE 的长根据三角形内角和定理可求出ABE的度数，结合105ABD可求出DBE的度数，即可判断BED为等腰直角三角形，得出DEBE，最后由ADAEDE和CDADAC即可求出结论 【详解】解：过点 B作BEAD于点 E，如图所示： 在RtABE中，4kmAB ，30CAB，90AEB ， 12km2BEAB， 2222422 3kmAEABBE 180309060ABE， 1056045DBEABDABE 在Rt BDE中，90BED，45DBE， 2kmDEBE， 2 32 kmADAEDE， 2 32 12 31 kmCDADAC 答：隧道 CD 的长为2 31
36、 km 【点睛】 本题考查含 30度角的直角三角形的性质， 勾股定理， 三角形内角和定理和等腰直角三角形的判定 求出 AE，DE 的长是解题的关键 五、 （本题五、 （本题 10 分）分） 22. 如图，O是ACD的外接圆，AB是O的直径，CDBD，DE 是O的切线，DE交 AC 的延长线于点 E （1）求证：90E ； （2）若1AC ，1sin3ADC，则 CD的长为_（直接填空） 【答案】 （1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】 （1）连接 OD，利用等量代换证明CADADO，从而得到 ODAE.又由 DE 是O的切线得到 ODDE,继而证明90E （2）在直角三角形 ACB中先求出
37、 BC、AB，接着在直角三角形 CDF中根据勾股定理求 CD 【小问 1 详解】 证：连接 OD， CDBD， CADDAB. AOOD， DABADO. CADADO. AEOD. OD是O的切线， ODED. 即EDO90. AECD， E180ODE1809090. 【小问 2 详解】 连接 BC，BC与 OD交于 F 点， ADCCBA. sinABCsinADC13 在 RtACB 中， AB3sinACADC BC229 12 2ABAC ODAC且 O是 AB的中点， OF是ACB的中位线. OF1122AC ，CF122BC DFODOF1.50.51 在 RtCFD 中，CD
38、222 13CFDF 【点睛】本题考查了圆的性质，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键 六、 （本题六、 （本题 10 分）分） 23. 如图，一次函数0ykxb k与反比例函数0cycx的图像交于点5,Am和点 B, 5n ，连接 OA，过 A 作ACx轴于点 C，且 RtAOC的面积等于 10 （1）求一次函数的解析式； （2）点 P 是一次函数0ykxb k图像上的动点，若 CP把ABC分成面积比等于 4：5 的两部分，直接写出点 P的坐标 【答案】 （1）1yx （2）1,0或0, 1 【解析】 【分析】 （1）先利用ABC面积求出 A 点的纵坐标，从而求出反比例函数解析式，再通过 A、B
39、两点坐标求出一次函数解析式； （2）CP把ABC分成 4：5 的两部分时，分两种情况：AOC是ABC的49或 59，分情况求出 P点坐标即可 【小问 1 详解】 ABC面积为 10，点 A（5，m） m=1025=4 c=xy=45=20 20yx B点坐标为： （-4，-5） 544=5abab 解得：11ab 1yx 【小问 2 详解】 解：设 P 点坐标为： （x，x-1） ABC 面积为：492=18 当APC面积占ABC的49时 APC 面积为：4（5-x）2=1849， 解得 x=1 故有 P（1,0） 当APC面积占ABC的59时 APC 面积为：4（5-x）2=1859 解得
40、x=0 故有 P（0，-1） 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，反比函数与三角形面积之间的关系，掌握这些方法和知识点是解题关键 七、 （本题七、 （本题 12 分）分） 24. 已知：ABC是等边三角形，点 D在直线 AB上运动（不与点 A、点 B 重合） ，连接 CD，将ADC绕点D 逆时针旋转得到FDE（点 A 的对应点为点 F，点 C的对应点为点 E） （1）如图，连接 AE，当点 D为线段 AB中点，且点 E 落在 CA的延长线上时，求EDC的度数； （2）如图，当点 D在线段 AB上，且旋转角为 120 时，求证：EFAB； （3）当点 D在直线 AB 上，且
41、旋转角为 120 时，连接 BE，取线段 BE的中点 M，连接 AM、DM，若线段21DM ，直接写出线段 AM 的长度 【答案】 （1）120 （2）见解析 （3）63 【解析】 【分析】 （1）根据旋转的性质可得CD=DE，再由ABC 是等边三角形，可得 AB=AC=BC，ABC=BAC=ACB=60，从而得到30ACD，即可求解； （2）根据旋转的性质可得 ADF=120，A=F=60，即可求证； （3）连接 AE，BF，根据旋转的性质可得 EF=AC，AD=DF，ADF=120，证明四边形 ABFE是平行四边形，可得 AM=FM，从而得到 DMAF，再利用锐角三角函数，即可求解 【小问
42、 1 详解】 解根据题意得CD=DE， ABC是等边三角形， AB=AC=BC，ABC=BAC=ACB=60， 点 D为线段 AB的中点， 11603022ACBACD， CD=DE， DCE=DEC=30， EDC=180-DCE-DEC=120； 【小问 2 详解】 证明根据题意得：ADF=120，A=F=60， A+ADF=180， EFAB； 【小问 3 详解】 解如图，连接 AE，BF， 根据题意得：EF=AC，AD=DF，ADF=120， 180120302ADAFFD ， AB=AC， AB=EF， EFAB， 四边形 ABFE 是平行四边形， 点 M 是 BE 的中点， AM=
43、FM， DMAF， 3tantan303DMDAMAM ， 21DM ， 63AM 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，图形的旋转，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟练掌握向相关知识点是解题的关键 八、 （本题八、 （本题 12 分）分） 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线240yaxbxa经过点3,4A和点1,0B ，连接 AB，过点 A作ADx轴于点 D，点 P在直线 AB上方的抛物线上，过点 P 作PEAD交 x轴于点 E，交线段AB 于点 G，连接 PD 交线段 AB于点 Q （1）求抛物线的表达式； （2）当GQAQ时，设点 P 的横坐标为 m，求 m的值； （
44、3）在（2）的条件下，线段 BE上有一点 F，直线 AD上有一点 K，连接 KF、GF，当2FKDFGB ，且8KF 时，直接写出点 K的纵坐标 【答案】 （1）234yxx （2）1m （3）2 2 7+或22 7- 【解析】 【分析】 （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线 AB的解析式为1yx，然后证明PGQDAQ得到 PG=AD=4，再由点 P的坐标为234mmm，-，点 G 的坐标为（m，m+1） ，得到23414PGmmm ，由此求解即可； （3）如图所示，过点 F作 FHAB于 H，过点 K 作 KQ平分FKD交 x轴于 Q，过点 Q作 QMKF 于 M，连接 FG
45、，设2BFtQDsKDk，则42DFt，先证明HBF=HFB=45 ，得到2HBHFt， 再由 （2） 得1m， 求得2 2BG ， 则2 22H Gt，tan=2HFtFGHHGt；根据角平分线的定义和性质得到QMQDs，FGH=QKD，再由111=222FKDFQKDQKSSSDF DKKF QMDQ DK，推出428ktsk，则tantan2stQKQFGHkt，可以推出222 282168ttttktt， 在 RtFKD 中，22264DFDKKF，得到22221684264tttt，由此即可求出 t的值即可得到答案 【小问 1 详解】 解：抛物线240yaxbxa经过点3,4A和点1
46、,0B ， 934440abab ， 13ab ， 抛物线解析式为234yxx ； 【小问 2 详解】 解：设直线 AB的解析式为1ykxb， 11034kbkb ， 11kb， 直线 AB的解析式为1yx， PEAD， PGQ=DAQ，GPQ=ADQ， 又AQ=GQ， PGQDAQ（AAS） ， PG=AD=4， 点 P的横坐标为 m， 点 P的坐标为234mmm，-，点 G的坐标为（m，m+1） ， 23414PGmmm ， 2210mm ， 解得1m； 【小问 3 详解】 解：如图所示，过点 F 作 FHAB于 H，过点 K作 KQ 平分FKD 交 x 轴于 Q，过点 Q 作 QMKF
47、于 M，连接 FG，设2BFtQDsKDk，则42DFt， 点 B的坐标为（-1，0） ，点 A的坐标为（3，4） ， BD=AD=4， ABD=45 ， FHAB， HBF=HFB=45 ， 2HBHFt， 由（2）得1m， 点 G的坐标为（1，2） ， BE=GE=2， 222 2BGBEGE， 2 22HGBGHBt， tan=2HFtFGHHGt； KQ平分FKD，QMFK，QDDK，FKD=2FGB， QMQDs，FGH=QKD， 111=222FKDFQKDQKSSSDF DKKF QMDQ DK， 111428222ktssk， 428ktsk， tantan2stQKQFGHk
48、t， 4282ttkt， 222 282168ttttktt， 在 RtFKD 中，22264DFDKKF， 22221684264tttt， 432224642882566416 16464ttttttt， 2344322161644642882566464tttttttt， 432880240256640tttt， 43210243280tttt， 2221016143280ttttt， 2282 7220ttttt， 32814420tttt， 28122220t tttt， 262220t tttt， 226220ttt， 点 F在 BE上， 22BFtBE， 1t ， 2620tt， 解得37t 或37t （舍去） ， 22262442168444124 72 7237ttttttkttt， 2 72DK ， 点 K的纵坐标为2 2 7+或22 7- 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，解直角三角形，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键
