1、2021年浙江省宁波市北仑区初中学业水平模拟考试数学试题一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题的给出四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 实数2021的相反数是（ ）A 2021B. C. D. 2. 2020年宁波新增高技能人才6.7万人，累计达55.1万人其中55.1万用科学记数法表示为（）A. 55.1104B. 5.51105C. 0.551106D. 5.511043. 下列计算正确是（ ）A. a2+a3=a5B. a6a2=a3C. a3a2=a5D. (a3)2=a54. 在一个不透明的口袋中放有8个完全相同的小球，分别写有“甬，立，潮，头，合，力，兴，甬”这8个字现从袋
2、中随机摸出一个小球，则此小球上写着“甬”字的概率为（ ）A. B. C. D. 5. 有6个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是（ ）A. B. C. D. 6. 已知正多边形的一个内角等于一个外角的3倍，那么这个正多边形的边数为（）A. 6B. 7C. 8D. 97. 我国古代数学名著九章算术中记载：“今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三问人数、琎价各几何？”意思是：一起去买琎（一种像玉的石头），每个人出两，则多4两；每个人出两，则不足3两问人数、琎的价格分别是多少？如果设人数x人，琎的价格为y两，那么可列成的方程组为（ ）A. 12x+4=y13x+3=yB. C. 12
3、x-4=y13x-3=yD. 12x+4=y13x-3=y8. 要说明命题“关于x的方程x2+ax+5=0一定有实数根”是假命题，下列a的值符合的是（ ）A. 4B. 5C. 6D. 79. 如图，A，B，D三点在反比例函数的图象上，AD与y轴交于点C，连结BC并延长交反比例函数的图象于点E，连结DE若ABC，CDE均为正三角形，且BCx轴，则k的值为（）A. B. C. D. 10. 如图1，有一个含45角且一组邻边长分别为b，的平行四边形纸片和一个含45角且边长为a的菱形纸片，其中ba先将按照图2的方式放置于ABCD（ABC=45）纸片内，再将按不同的方式放置到图2中依次得到图3、图4AB
4、CD未被覆盖的部分用阴影表示，设图3和图4中阴影部分的面积分别为S1，S2，若S2S1=，则ADAB的值为（ ）A. 3B. 6C. 9D. 12试题卷二、填空题（每小题5分，共30分）11. 计算：_12. 分解因式：3x327x=_13. 三位短跑运动员进行100m测试，三位运动员的平均成绩（单位：秒）及方差S2（单位：秒2）如表所示：甲乙丙11.511.511.6S20.450530.48要选一位成绩优秀且发挥稳定的运动员参加奥运会预选赛，则应该选择的是_14. 一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，则的度数为_15. 如图是一个56的正方形网格，点A，B，C，D都在格点上，且线段AB
5、，CD相交于点P，则tanAPD的值为_16. 如图，ABC的边AB=3，AB边上的中线CM=1，分别以AC，BC为边向外作正方形ACGH与正方形BCDE，连结GD，取GD中点N则点N到线段AB的距离最大值为_三、解答题（本大题有8小题，共80分）17. （1）化简：；（2）解不等式组：3x+12(2+3x)2x-3x18. 在图1的66的网格中，已知格点ABC（顶点A、B、C都在格点上）（1）如图1，将ABC先向下平移2个单位，再向右平移1个单位画出平移后的A1B1C1（2）如图2，在网格中找格点D，使以B，C，D为顶点的格点三角形与ABC成轴对称，画出一种即可（3）如图3，画出与ABC相似
6、的格点A2B2C2（不与ABC全等），且两个三角形的对应边分别互相垂直，画出一种即可19. 在中国共产党建党100周年之际，团市委组织开展“意心向党”党史知识宣传教育活动，为了解初中学生对于党史知识的了解情况（测试满分100分，得分均为整数），将结果分为五个等第：不合格（50x60），基本合格（60x70）,合格（70x80），良好（80x90），优秀（90x100）（部分信息未给出）：成绩x（分）人数（个）50x601660x70m70x803680x902090x10014（1）m ，本次测试中的中位数在 等第（2）求扇形统计图中“合格”所对应的扇形圆心角的度数（3）如果全校学生（总数15
7、00人）都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？20. 在数学综合实践活动课上，某小组要测量学校升旗台旗杆的高度如图所示，测得BCAD，斜坡AB的长为6m，坡度i=1：，在点B处测得旗杆顶端E的仰角为70，点B到旗杆底端C的距离为5m（1）求斜坡AB的坡角的度数（2）求旗杆顶端离地面的高度ED（参考数据：sin700.94，cos700.34，tan702.75，结果精确到1m）21. 小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行小玲开始跑步，中途改为步行，到达图书馆恰好用30min；小东骑自行车以250m/min的速度直接回家两人离家的路程y(m)与
8、各自离开出发地的时间x(min)之间的函数图象如图所示（1）家与图书馆之间的路程为_m，小玲步行的速度为_m/min（2）求小东离家的路程y关于x的函数解析式（3）求两人相遇的时间22. 小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆已知2盆盆景与1盆花卉的利润共300元，1盆盆景与3盆花卉的利润共200元（1）求1盆盆景和1盆花卉的利润各为多少元？（2）调研发现：盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；花卉的平均每盆利润始终不变小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（
9、单位：元）求W1，W2关于x函数关系式；当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少元？23. 定义：有一个角为45的平行四边形称为半矩形（1）如图1，若ABCD的一组邻边AB=4，AD=7，且它的面积为14求证：ABCD为半矩形（2）如图2，半矩形ABCD中，ABD的外心O（外心O在ABD内）到AB的距离为1，O的半径r=5，求AD的长（3）如图3，半矩形ABCD中，A=45，AD=BD=4求证：CD是ABD外接圆的切线；求出图中阴影部分的面积24. 如图，已知RtABC中，ABC=90，BC=4，BA=8，点D、E分别为BC、BA的中点，现将DBE绕点B逆
10、时针旋转一周在旋转的过程中，作直线AE、CD，设它们的交点为点P（1）猜想：在旋转的过程中，线段AE、CD有怎样的数量和位置关系？答：_，_（2）利用图2，证明你在（1）中的猜想（3）当点D恰好落在直线AE上时，求线段PC长（4）在旋转过程中，直接写出PBC面积的最大值2021年浙江省宁波市北仑区初中学业水平模拟考试数学试题一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题的给出四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 实数2021的相反数是（ ）A. 2021B. C. D. 【1题答案】【答案】B【解析】【分析】直接利用相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可得出答案【详解】解：2021的
11、相反数是：故选：B【点睛】本题主要考查相反数的定义，正确掌握其概念是解题关键2. 2020年宁波新增高技能人才6.7万人，累计达55.1万人其中55.1万用科学记数法表示为（）A. 55.1104B. 5.51105C. 0.551106D. 5.51104【2题答案】【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表现形式为a10n的形式，其中110，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数【详解】解：55.1万=551000=5.51105故选：B【点睛】本题考查科学记数
12、法的表示方法，科学记数法的表现形式为a10n的形式，其中110，n为整数解题的关键是表示时要正确确定a的值及n的值3. 下列计算正确的是（ ）A. a2+a3=a5B. a6a2=a3C. a3a2=a5D. (a3)2=a5【3题答案】【答案】C【解析】【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方逐项计算判断即可【详解】和不是同类项，不能合并，故A错误，不符合题意；，故B错误，不符合题意；，故C正确，符合题意；，故D错误，不符合题意故选C【点睛】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方掌握各运算法则是解题关键4. 在一个不透明的口袋中放有8个完全相同的小球，分别写有“甬，
13、立，潮，头，合，力，兴，甬”这8个字现从袋中随机摸出一个小球，则此小球上写着“甬”字的概率为（ ）A. B. C. D. 【4题答案】【答案】C【解析】【分析】用“甬”的个数除以字的总数即可求得答案【详解】解：共8个字，其中“甬”字有2个，从袋中随机摸出一个小球，则此小球上写着，故选：C【点睛】本题考查了概率公式知识，解题的关键是了解概率的求法，难度不大5. 有6个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是（ ）A. B. C. D. 【5题答案】【答案】A【解析】【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案【详解】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层左边一个小正方形，故选：A【点
14、睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图6. 已知正多边形的一个内角等于一个外角的3倍，那么这个正多边形的边数为（）A. 6B. 7C. 8D. 9【6题答案】【答案】C【解析】【分析】根据在同一顶点处的内角与外角的和是180，列出方程求出外角的度数，再根据正多边形的边数求解即可【详解】解：设这个正多边形的一个外角的度数为x，则其一个内角的度数为3x，所以x+3x180，x45，该正多边形的边数是：360458故选：C【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识，根据在同一顶点处的内角与外角的和是180列出方程是解题的关键7. 我国古代数学名著九章算术中记载：“今有共买琎
15、，人出半，盈四；人出少半，不足三问人数、琎价各几何？”意思是：一起去买琎（一种像玉的石头），每个人出两，则多4两；每个人出两，则不足3两问人数、琎的价格分别是多少？如果设人数x人，琎的价格为y两，那么可列成的方程组为（ ）A. B. C. D. 【7题答案】【答案】B【解析】【分析】根据等量关系人出半，盈四；人出少半，不足三列方程组即可【详解】解：由题意知，可列方程为：故选B【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用解题的关键在于理解题意8. 要说明命题“关于x的方程x2+ax+5=0一定有实数根”是假命题，下列a的值符合的是（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【8题答案】【答案】A【解析】【分
16、析】根据判别式与根的关系可判断结果【详解】解：要使命题“关于x的方程x2+ax+5=0一定有实数根”是假命题则方程x2+ax+5=0无实数根故选：A【点睛】本题考查了真假命题以及判别式与方程根的关系，掌握判别式与方程的关系是解题的关键9. 如图，A，B，D三点在反比例函数的图象上，AD与y轴交于点C，连结BC并延长交反比例函数的图象于点E，连结DE若ABC，CDE均为正三角形，且BCx轴，则k的值为（）A. B. C. D. 【9题答案】【答案】D【解析】【分析】过A作AFBC于F，过点D作DGEC于点G，ABC，CDE均为正三角形，则CF=FB，EG=GC；BCx轴，设CF=m，则CB=2m
17、，AF=m，可得A点坐标为(m，)，B点坐标为（2 m，），则有=m，可得m，则可知A、B、C坐标；求出直线AC的解析式与反比例函数联立二元一次方程组，可得点D的坐标，由DGEC，D、G横坐标相同，G、C纵坐标相同，于是可得点E坐标，用待定系数法，k值可得【详解】解：过A作AFBC于F，过点D作DGEC于点G，如图ABC，CDE均为正三角形CF=FB，EG=GCBCx轴设CF=m，则CB=2mAF=mA点坐标为(m，)，B点坐标为（2 m，）则有=m解得：m.=或（舍去）A点坐标为(，6)，B点坐标为（2，3）OC=3，AF=3C点坐标为(0，3)设直线AC的解析式为：把A (，6)，C (0
18、，3)代入，得解得： 直线AC的解析式为：根据题意，可得解得：或D在第三象限D（）DGEC，BCx轴CG=EC=E（，3）把E（，3）代入，可得解得： 故选：D【点睛】本题考查反比例函数图像上的点的坐标的特征，待定系数法求一次函数和反比例函数，等边三角形的性质，解二元一次方程组，平行线的性质等利用点的坐标表示出相应线段的长度和由线段的长度得到相应点的坐标是解题的关键10. 如图1，有一个含45角且一组邻边长分别为b，的平行四边形纸片和一个含45角且边长为a的菱形纸片，其中ba先将按照图2的方式放置于ABCD（ABC=45）纸片内，再将按不同的方式放置到图2中依次得到图3、图4ABCD未被覆盖的
19、部分用阴影表示，设图3和图4中阴影部分的面积分别为S1，S2，若S2S1=，则ADAB的值为（ ）A. 3B. 6C. 9D. 12【10题答案】【答案】D【解析】【分析】根据题意，设AD=x，AB=y，利用菱形的性质，把用含x，y，a，b的代数式表示出来，再用的差，得到的值【详解】如图，设AD=x，AB=y，则AE=xa，CF=ya，sinABC=， ，故答案选：D【点睛】本题主要考查了菱形的性质，以及用字母表示代数式，根据图形，表示出阴影部分的面积是解题的关键试题卷二、填空题（每小题5分，共30分）11. 计算：_【11题答案】【答案】5【解析】【分析】根据算术平方根和立方根定义，分别求出
20、各项的值，再相加即可【详解】故答案为：5【点睛】本题考查了算术平方根和立方根解题关键点：熟记算术平方根和立方根定义，仔细求出算术平方根和立方根12. 分解因式：3x327x=_【12题答案】【答案】3x(x3)(x3)【解析】【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行求解【详解】解： 故答案为：【点睛】本题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，理提取公因式法和平方差公式是解答关键13. 三位短跑运动员进行100m测试，三位运动员的平均成绩（单位：秒）及方差S2（单位：秒2）如表所示：甲乙丙11.511.511.6S20.450.530.48要选一位成绩优秀且发挥稳定的运动员参加奥运会预选赛，
21、则应该选择的是_【13题答案】【答案】甲【解析】【分析】根据方差的意义可作出判断方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定【详解】解：甲的方差为：0.45，乙的方差为：0.53，丙的方差为：0.48，甲的方差最小，这三人中发挥最稳定的是甲故答案：甲【点睛】本题考查方差的意义方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定14. 一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，则的度数为_【14
22、题答案】【答案】【解析】【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出ABD=45，进而得出答案【详解】由题意可得：EDF=45，ABC=30，ABCF，ABD=EDF=45，DBC=4530=15故答案为【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟练掌握这一点是解题的关键15. 如图是一个56的正方形网格，点A，B，C，D都在格点上，且线段AB，CD相交于点P，则tanAPD的值为_【15题答案】【答案】#4【解析】【分析】取格点F，连接CF，通过说明CGFFHB，能够得到CFP90；设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理求得线段BE，CF，BF的长；由DEBC得出PEDPBC，利用对应边成比例
23、求得线段PB，进而得到线段PF，在RtCFP中，结论可求【详解】解：取格点F，连接CF，如图， ，CGFFHB90，CGFFHBCFGFBHFBH+HFB90CFG+HFB90CFPCFB1809090设每个小正方形的边长为1，由图形可知：DE2，BC5，BECF ，BFDECB，PEDPBC，PDEPCBPEDPBCPB PFPBBF tanAPDtanCPF故答案为：【点睛】本题主要考查了解直角三角形，本题是网格题，利用图形的特点巧妙的构造直角三角形是解题的关键16. 如图，ABC的边AB=3，AB边上的中线CM=1，分别以AC，BC为边向外作正方形ACGH与正方形BCDE，连结GD，取G
24、D中点N则点N到线段AB的距离最大值为_【16题答案】【答案】【解析】【分析】当GDAB时，N点到AB的距离最大，则AC=BC，可知N、C、M三点共线且MNAB，通过证明AMCGOC，可以求出AM，然后再证明出OCNG是矩形，从而求出MN【详解】解：点N到AB的距离介于G、D到AB的距离之间当GDAB时，N点到AB的距离最大，则AC=BCN、C、M三点共线且MNAB过点C作CPAB，作GOCP，O为垂足，如图所示：CPABPCA=CAMPCA+OCG=90OGC+OCG=90OGC=PCA=CAM在AMC和GOC中，AMCGOC（AAS）GO=AM=AB=GOPC，MNAB，PCAB，GDAB
25、PCMN，MNGD四边形GOCN是矩形GO=CNMN=CM+CNCM=1，GO=CN=MN= CM +CN =1+=故答案为：【点睛】本题考查正方形的性质和三角形全等的判定解题的关键是通过正方形的性质，判断当GDAB时，点N到AB的距离最大三、解答题（本大题有8小题，共80分）17. （1）化简：；（2）解不等式组：【17题答案】【答案】（1）3a2；（2）【解析】【分析】（1）把除法转化为乘法，进而化简得出答案；（2）分别解不等式，进而得出不等式组的解集【详解】解：（1）=4+3（a2）=3a2；（2）解得：x-1，解得：x3，故不等式组解集是：-1x3【点睛】本题主要考查了分式的混合运算以
26、及不等式组的解法，解题的关键是正确掌握相关运算法则18. 在图1的66的网格中，已知格点ABC（顶点A、B、C都在格点上）（1）如图1，将ABC先向下平移2个单位，再向右平移1个单位画出平移后的A1B1C1（2）如图2，在网格中找格点D，使以B，C，D为顶点的格点三角形与ABC成轴对称，画出一种即可（3）如图3，画出与ABC相似的格点A2B2C2（不与ABC全等），且两个三角形的对应边分别互相垂直，画出一种即可【1820题答案】【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析【解析】【分析】（1）根据题意，找到先向下平移2个单位，再向右平移1个单位的对应点，再顺次连接各点，则A1B1C1即为所
27、求；（2）根据网格的特点以或的中垂线为对称轴，画轴对称图形即可；（3）根据网格的特点，分别求得，进而根据网格找到边长分，顺次连接，则A2B2C2即为所求【小问1详解】如图所示，【小问2详解】如图所示，或【小问3详解】如图所示，【点睛】本题考查了平移作图，作轴对称，网格中作相似三角形，掌握以上知识是解题的关键19. 在中国共产党建党100周年之际，团市委组织开展“意心向党”党史知识宣传教育活动，为了解初中学生对于党史知识的了解情况（测试满分100分，得分均为整数），将结果分为五个等第：不合格（50x60），基本合格（60x70）,合格（70x80），良好（80x90），优秀（90x100）（部分
28、信息未给出）：成绩x（分）人数（个）50x601660x70m70x803680x902090x10014（1）m ，本次测试中的中位数在 等第（2）求扇形统计图中“合格”所对应的扇形圆心角的度数（3）如果全校学生（总数1500人）都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？【1921题答案】【答案】（1）14，合格 （2）129.6 （3）210人【解析】【分析】(1)根据“良好”的频数和频率可求出调查总人数，进而确定m的值，确定中位数所在的等级即可；(2)求出“合格”所占的百分比即可求得；(3)求出样本中“优秀”所占的百分比即可求得【小问1详解】解：调查总人数为：2
29、020=100(人)，m=10014203616=14，100个数据从小到大排列处在中间位置的两个数是第50、51位的两个数的平均数，而16+1451，所以中位数落在“合格(70x80)”，故答案为：14，合格；【小问2详解】解：，答：扇形统计图中“合格”所对应的扇形圆心角的度数为129.6；【小问3详解】解：(人)，答：该校获得优秀的学生约为210人【点睛】本题考查频数分布表和扇形统计图，中位数，用样本估计总体，理解频数分布表与扇形统计图中数量之间关系是正确解答的关键20. 在数学综合实践活动课上，某小组要测量学校升旗台旗杆的高度如图所示，测得BCAD，斜坡AB的长为6m，坡度i=1：，在点
30、B处测得旗杆顶端E的仰角为70，点B到旗杆底端C的距离为5m（1）求斜坡AB的坡角的度数（2）求旗杆顶端离地面的高度ED（参考数据：sin700.94，cos700.34，tan702.75，结果精确到1m）【2021题答案】【答案】（1）=30 （2）旗杆顶端离地面的高度ED约为17m【解析】【分析】（1）解直角ABF得到tanBAF=i=即可得到答案；（2）先求出BF=AB=3m，证明四边形BCDF是矩形得到CD=BF=3m，解直角三角形求出EC14m，即可得到答案【小问1详解】解：BFAD，垂足为点F，AFB=90在RtABF中，tanBAF=i=，BAF=30，即=30答：斜坡AB的坡
31、角的度数为30【小问2详解】解：在RtABF中，BAF=30，AB=6m，BF=AB=3m，BCAD，EFAD，CDAD，BCEF，四边形BCDF是矩形CD=BF=3m，在RtBCE中，BCE=90，EBC=70，BC=5m，EC=BCtanEBC=5tan7052.7514m，ED =EC +CD =14+3=17m，答：旗杆顶端离地面的高度ED约为17m【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，根据特殊角三角函数值求度数等等，熟知解直角三角形的相关方法是解题的关键21. 小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行小玲开始跑步，
32、中途改为步行，到达图书馆恰好用30min；小东骑自行车以250m/min的速度直接回家两人离家的路程y(m)与各自离开出发地的时间x(min)之间的函数图象如图所示（1）家与图书馆之间的路程为_m，小玲步行的速度为_m/min（2）求小东离家的路程y关于x的函数解析式（3）求两人相遇的时间【2123题答案】【答案】（1）4000，100 （2）y东=-250x+4000(0x16) （3）两人相遇时用时间分钟【解析】【分析】（1）由图看出家与图书馆之间的路程为4000m，用小玲步行的路程4000-2000=2000米，除以小玲步行的时间30-10=10分钟，得到小玲步行的速度为( m/min)
33、，（2）求出小东到家的时间4000250=16分钟，得到D（16，0），设y东=kx+b，把D（16，0），C(0，4000)代入，求得，得到y东=-250x+4000(0x16)；（3）设y玲=kx，相遇时用x分，把A(10，2000)代入，求得：k=200，联立，解得，得出两人相遇时用时间为分钟【小问1详解】解：（1）由图看出家与图书馆之间的路程为4000m，小玲步行的速度为( m/min)，故答案为4000；100【小问2详解】（2）4000250=16，D（16，0），设y东=kx+b，把D（16，0），C(0，4000)代入，得，y东=-250x+4000(0x16)；【小问3详解】
34、（3）设y玲=kx，相遇时用x分，把A(10，2000)代入，得：k=200，解得，答：两人相遇时用时间分钟【点睛】本题考查了一次函数应用的行程问题，解决问题的关键是熟练运用速度，时间，路程之间的关系，结合一次函数的图象和性质解答22. 小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆已知2盆盆景与1盆花卉的利润共300元，1盆盆景与3盆花卉的利润共200元（1）求1盆盆景和1盆花卉的利润各为多少元？（2）调研发现：盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；花卉的平均每盆利润始终不变小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x
35、盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元）求W1，W2关于x函数关系式；当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少元？【2223题答案】【答案】（1）1盆盆景的利润为140元，1盆花卉的利润为20元 （2）W1=2x2+40x+7000，W2=100020x；当x=5时，W取得最大值，Wmax=8050【解析】【分析】（1）设一盆盆景的利润为x元，一盆花卉的利润为y元，根据“2盆盆景与1盆花卉的利润共300元，1盆盆景与3盆花卉的利润共200元”列出二元一次方程组求解即可；（2）由（1）知1盆盆景的利润为140元，（140-2x）为盆景增加
36、x盆后每盆的利润，第二期有盆景（50+x）盆，两者相乘即为W1，由（1）知1盆花卉的利润为20元，第二期花卉有（50-x）盆，两者相乘即为W2；由W=W1+W2得出关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质求解即可【小问1详解】设1盆盆景和1盆花卉的利润分别为x元和y元，由题意得： ，解得 ，1盆盆景的利润为140元，1盆花卉的利润为20元；【小问2详解】由题意可知，第二期有盆景(50+x)盆，则花卉有100-(50+x)=(50-x)盆由题意得：W1=(1402x)(50+x)=2x2+40x+7000， W2=20(50x)=100020x，W=W1+W2=-2x2+20x+80
37、00，a=20，抛物线开口向下，当x=5时，W取得最大值，Wmax=8050【点睛】本题考查了一次函数、二次函数和二元一次方程组在销售问题中的应用，理清题中的关系式、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键23. 定义：有一个角为45的平行四边形称为半矩形（1）如图1，若ABCD的一组邻边AB=4，AD=7，且它的面积为14求证：ABCD为半矩形（2）如图2，半矩形ABCD中，ABD的外心O（外心O在ABD内）到AB的距离为1，O的半径r=5，求AD的长（3）如图3，半矩形ABCD中，A=45，AD=BD=4求证：CD是ABD外接圆的切线；求出图中阴影部分的面积【2325题答案】【答案】（1）见解析
38、 （2）AD4+； （3）见解析； 12-2【解析】【分析】（1）由SABCDABDH4DH14，解得DH，进而求解；（2）连接OD、OB、BD，则BDO2DAB90，则BDBO5，进而求解；（3）证明ABD为等腰直角三角形，得到OD是圆的半径且ODCD，即可求解；由阴影部分面积SABCDSADOS扇形ODB，即可求解【小问1详解】解：如图4，过点D作DHAB交AB的延长线于点H， SABCDABDH4DH14，解得DH，则AHDH，A45，ABCD为半矩形；【小问2详解】解：如图5，连接OD、OB、BD，则BDO2DAB90，则BDBO5，过点O作OHAB于点H，则BH，则AB4，过点B作B
39、EAD于点E，则BEAB4AE，在RtBDE中，DE ，ADAE+DE4+；【小问3详解】如图6，过点D作DOAB于点O，A45，ADBD4，故AB4，则ABD为等腰直角三角形，则ODAB2，ABCD，DOAB，ODCD，CD是ABD外接圆的切线；阴影部分的面积SABCDSADOS扇形ODB4222（2）2122【点睛】本题为圆的综合题，主要圆切线的判定与性质、新定义、平行四边形的性质、解直角三角形、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中24. 如图，已知RtABC中，ABC=90，BC=4，BA=8，点D、E分别为BC、BA的中点，现将DBE绕点B逆时针旋转一周在旋转的过程中，作直线AE、C
40、D，设它们的交点为点P（1）猜想：在旋转的过程中，线段AE、CD有怎样的数量和位置关系？答：_，_（2）利用图2，证明你在（1）中的猜想（3）当点D恰好落在直线AE上时，求线段PC的长（4）在旋转过程中，直接写出PBC面积的最大值【2427题答案】【答案】（1）AECD，AE=2CD （2）见解析 （3）PC=或 （4）【解析】【分析】（1）结合图1，可以猜想：AECD，AE2CD；（2）证明DBCEAB，即可求解；（3）如图1，当点P在线段AE时，在RtPAC中，PA2PC2AC2，即（2a2）2a2（4）2，即可求解；当点P在AE的延长线上时，同理可解；（4）当CD（P）与圆B相切时，PB
41、C面积最大，进而求解【小问1详解】猜想AECD，AE=2CD故答案为：AECD，AE=2CD【小问2详解】如图1，BD=BE，BC=AB，DBC=ABE，DBCEBA，DCB=BAE，AE=2CD，AOP=BOC，APC=ABC=90，CDAE【小问3详解】如图2，当点P在线段AE上时， 由(2)知，CP=AE，于是令PC=a，则AE=2a，PE=DE=2，PA=2a-2在RtPAC中，PA2+PC2=AC2，（2a-2）2+a2=(4)2解得，a1=，a2=(舍去)即PC=，如图3，当点P在线段AE延长线上时，同理可求，PC=.综上，PC=或【小问4详解】42如图4，当CD（P）与B相切时，SPBC最大.CPAP，BDCP，AEB=90，四边形BDPE为矩形，PD=BE=4，RtCDB中，BD=2，BC=4，BCD=30，CD=2，故PC=42，SPBC最大=BCPCsin30=42【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了圆的基本性质、矩形的性质、三角形相似、解直角三角形等，有一定的综合性，难度适中
