1、2022年北京市中考第二次模拟考试数学试卷一、选择题(共16分，每题2分)。1下列立体图形中，俯视图是三角形的是ABCD22021年9月20日“天舟三号”在海南成功发射，这是中国航天工程又一重大突破，它的运行轨道距离地球393000米，数据393000米用科学记数法表示为A米B米C米D米3下面，的取值，能够说明命题“若，则”是假命题的是A，B，C，D，4某学习小组有15人参加捐款，其中小明的捐款数比15人捐款的平均数多2元，据此可知，下列说法错误的是A小明的捐款数不可能最少B小明的捐款数可能最多C将捐款数按从少到多排列，小明的捐款数一定比第8名多D将捐款数按从少到多排列，小明的捐款数可能排在第
2、14位5已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C没有实数根D无法确定6连接正六边形不相邻的两个顶点，并将中间的六边形涂成黑色，制成如图所示的镖盘，将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在黑色区域的概率为ABCD7计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：若圆半径为1，当任务完成的百分比为时，线段的长度记为下列描述正确的是AB当时，C当时，D当时，8新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，则称点是点的限变点例如：点的限变点是，点的限变点
3、是若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是ABCD第二部分 非选择题二、填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）9因式分解：10如果式子有意义，那么的取值范围是 11已知一次函数为常数），当时，则的取值范围为12如图，在边长为1的正方形网格中，、为格点，连接、相交于点，则的长为 13漏刻是我国古代的一种计时工具据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，如表是小明记录的部分数据，其中有一个的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当为时，对应的时间为 12
4、352.42.83.4414九章算术中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为，乙的钱数为，根据题意，可列方程组为 15如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点，在网格线的交点上，则的值是 16在平面直角坐标系中，已知点，的半径为1，直线，给出下列四个结论：当时，直线与相离；若直线是的一条对称轴，则；若直线与只有一个公共点，则；若直线上存在点，上存在点，使得，则的
5、最大值为其中所有正确结论的序号是 三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。17（5分）计算：18（5分）解不等式组：并写出它的所有整数解19（5分）先化简，再求值：，其中，20（5分）如图，在平面上存在两点，（1）请用直尺和圆规作出圆（保留作图痕迹），使得圆上存在点满足且，并写出圆符合条件的主要依据；（2）在（1）的条件下，若，求圆的半径21（6分）关于的方程（1）求证：方程总有两个实数根；（2）请你选择一个合适的的值，使得方程的两个根都是
6、整数，并求此时方程的根22（6分）如图，在四边形中，过点作于，若（1）求证：；（2）连接交于点，若，求的长23（5分）一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点（1）求一次函数的解析式；（2）将直线沿轴向下平移8个单位后得到直线，与两坐标轴分别相交于，与反比例函数的图象相交于点，求的值24（6分）如图，是直径，弦，垂足为点弦交于点，点在延长线上，且（1）求证：为切线；（2）若，求的长25（5分）垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称做好垃圾分类有减少环境污染，节省土地资源等好处现对某区30个小区某一天的厨余垃圾分出量和其他垃圾分出量的有关
7、数据进行收集、整理、描述和分析给出了部分信息：30个小区的厨余垃圾分出量的频数分布直方图，如图1（数据分成7组：，单位：吨）；各组厨余垃圾分出量平均数如表：（单位：吨）组别平均数1.41.72.32.83.33.74.3厨余垃圾分出量在这一组的数据是：（单位：吨）2.59；2.62；2.81；2.88；2.93；2.9730个小区厨余垃圾分出量和其他垃圾分出量情况统计图，如图230个小区中阳光小区的厨余垃圾分出量为2.97吨根据以上信息，回答下列问题：（1）补全厨余垃圾分出量的频数分布直方图；（2）阳光小区的厨余垃圾分出量在30个小区中由高到低排名第；阳光小区的其他垃圾分出量大约是吨（结果保留
8、一位小数）；（3）30个小区厨余垃圾分出量平均数约为吨（结果保留一位小数）26（6分）已知二次函数的图象开口向上，且经过点，（1）求的值（用含的代数式表示）；（2）若二次函数在时，的最大值为1，求的值；（3）将线段向右平移2个单位得到线段若线段与抛物线仅有一个交点，求的取值范围27（7分）如图，在等边中，点是边的中点，点是直线上一动点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，（1）如图1，当点与点重合时依题意补全图形；判断与的位置关系；（2）如图2，取的中点，写出直线与夹角的度数以及与的数量关系，并证明28（7分）如图1，与直线相离，过圆心作直线的垂线，垂足为，且交于、两点在、之间）我们把点称为
9、关于直线的“远点“，把的值称为关于直线的“特征数”（1）如图2，在平面直角坐标系中，点的坐标为半径为1的与两坐标轴交于点、过点画垂直于轴的直线，则关于直线的“远点”是点（填“”、“ ”、“ ”或“” ），关于直线的“特征数”为；若直线的函数表达式为求关于直线的“特征数”；（2）在平面直角坐标系中，直线经过点，点是坐标平面内一点，以为圆心，为半径作若与直线相离，点是关于直线的“远点”且关于直线的“特征数”是，求直线的函数表达式2022年北京市中考第二次模拟考试数学试卷12345678ADBDDADD一选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）1【分析】根据俯视图是从物体上面看，所得到的图形，分别
10、得出四个几何体的俯视图，即可解答【详解】俯视图是三角形，故本选项符合题意；俯视图是有圆心的圆，故本选项不合题意；俯视图是四边形，四边形的内部有一点与四个顶点相连，故本选项不合题意；俯视图是正方形，故本选项不合题意故选：【点评】本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键2【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可【详解】393000米米故选：【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键3【分析】作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求对各选项进行判断即可【详解】当，
11、时，而，所以能够说明命题“若，则”是假命题的是，故选：【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理4【分析】根据题意和算术平均数的含义，可以判断各个选项中的说法是否正确【详解】小明的捐款数比15人捐款的平均数多2元，小明的捐款数不可能最少，故选项正确；小明的捐款数可能最多，故选项正确；将捐款数按从少到多排列，小明的捐款数不一定比第8名多，故选项错误；将捐款数按从少到多排列，小明的捐款数可能排在第14位，故选项正确；故选
12、：【点评】本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的说法是否正确5【分析】先由数轴得出，与0的关系，再计算判别式的值即可判断【详解】由数轴得，方程有两个不相等的实数根故选：【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根6【分析】如图，将阴影部分分割成图形中小三角形的大小，令小三角形的面积为，分别表示出阴影部分的面积和正六边形的面积，根据概率公式求解即可【详解】如图所示，令，则，将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在黑色区域的概率为，故选：【点评】本题主要考查几何概率，求概率时，已
13、知和未知与几何有关的就是几何概率计算方法是长度比，面积比，体积比等7【分析】利用图象判断即可【详解】、，本选项不符合题意、当时，本选项不符合题意、当时，与可能相等，可能不等，本选项不符合题意、当时，本选项符合题意故选：【点评】本题考圆的有关知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题8【分析】根据新定义得到当时，在时，得到；当时，在时，得到，即可得到限变点的纵坐标的取值范围是【详解】由题意可知，当时，当时，当时，当时，综上，当时，其限变点的纵坐标的取值范围是，故选：【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定义得到关于的函数二填空题（共8小题，满分16分
14、，每小题2分）9【分析】直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式【详解】故答案为：【点评】此题主要考查了提取公因式法、公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键10【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解【详解】由题意得，解得故答案为：【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数11【分析】根据时，得出图象，从而得出的取值范围【详解】当时，解得，时，故答案为【点评】本题考查了一次函数的性质，即一次函数中，当时，随增大而减小12【分析】根据题意可得，所以，进而可以解决问题【详解】根据题意可知：，解得故答案为：【点评】本题考查的是相似三角形的
15、判定和性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键13【分析】先根据一次函数的性质判断出错误的值，再利用待定系数法求出与的关系式，最后将代入即可【详解】设一次函数的表达式为，每增加一个单位增加或减少个单位，由表可知，当时，的值记录错误将，代入得，解得，将代入得，故答案为：15【点评】本题考查一次函数的应用，能熟练的求出一次函数表达式是解题关键14【分析】根据乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50和题目中所设的未知数，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题【详解】由题意可得，故答案为：【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本
16、题的关键是找出题目中的等量关系，列出相应的方程组15【分析】连接并延长交于，根据圆周角定理得到，根据勾股定理求出，根据正弦的定义计算，得到答案【详解】如图，连接并延长交于，由圆周角定理得：，由勾股定理得：，故答案为：【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心、圆周角定理、解直角三角形，正确作出辅助线、根据圆周角定理得到是解题的关键16【分析】根据，的半径为1，当时，直线，根据直线和圆的关系进而可以判断；直线是的一条对称轴，则直线一定过圆心，所以将代入，即可进行判断；若直线与只有一个公共点，则直线与圆相切，然后根据勾股定理进行计算即可判断；直线上存在点，上存在点，使得，并使中取得最小值，则轴，轴时
17、，即，代入，求出的值，即可判断【详解】点，的半径为1，当时，直线，如图，直线与相离，故正确；若直线是的一条对称轴，则直线一定过圆心，所以将代入，得，故正确；若直线与只有一个公共点，则直线与圆相切，如图中的，则，直线，与圆相切，的半径为1，故正确；若直线上存在点，上存在点，使得，并使中取得最小值，则如图，则轴，轴，即，代入，得，则的最小值为，故正确正确的结论序号是：故答案为：【点评】本题属于圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系，正比例函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，圆周角定理，解决本题的关键是掌握直线与圆的位置关系三解答题（共12小题，满分68分）17【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数
18、幂、绝对值、特殊角的三角函数值4个知识点在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果【详解】【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值等知识点的运算18【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集【详解】解不等式，得，解不等式，得，不等式组的解集为，不等式组的整数解有、0【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小
19、小找不到”的原则是解答此题的关键19【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将与的值代入原式即可求出答案【详解】原式，当，时，原式【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型20【分析】（1）作的垂直平分线，垂足为，以点为圆心，长为半径画弧交于点，即可满足且；（2）根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求圆的半径【详解】（1）如图，圆即为所求；依据：由作图过程可知：是的垂直平分线，所以，因为，所以，所以（2），圆的半径为【点评】本题考查了作图复杂作图，等腰直角三角形，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法21【
20、分析】（1）先求出判别式的值，再根据“”的意义证明即可；（2）根据求根公式得出，即可求出的值和方程的根【详解】（1）证明：，无论取任何实数，即，原方程总有两个实数根（2）解：，由求根公式，得，原方程的根为：，方程的两个根都是整数，取，方程的两根为，【点评】本题考查了求根公式和根的判别式的应用，能正确运用性质进行计算是解此题的关键22【分析】（1）作，交的延长线于点，然后即可得得到四边形的形状，再根据题目中的条件，可以证明和全等，然后即可得到结论成立；（2）根据正方形的性质、勾股定理和三角形相似，可以得到的长，然后根据的长，即可得到的长【详解】（1）证明：作，交的延长线于点，如右图所示，四边形是
21、矩形，又，四边形是正方形，在和中，；（2），由（1）知，四边形是正方形，即，解得，即的长是【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是证明和全等和求出的长，利用数形结合的思想解答23【分析】（1）根据待定系数法，先求出反比例函数的解析式，求出点坐标，进而求出一次函数的解析式；（2）根据直线沿轴向下平移8个单位后得到直线求得的解析式，然后求出点，得坐标，根据勾股定理求得的长度；联立一次函数和反比例函数得到点，的坐标，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两条平行线交于点，根据勾股定理求得的长度，问题即可迎刃而解【详解】（1）反比例函
22、数的图象过点，点，一次函数的图象过点，点，解得：，一次函数的解析式为：；（2）直线沿轴向下平移8个单位后得到直线，直线的解析式为：，当时，当时，联立，得：，解得：，将，代入得：，经检验：和都是原方程组的解，如图，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两条平行线交于点，则，【点评】本题考查了待定系数法，反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是：联立一次函数和反比例函数，求得点，的坐标24【分析】（1）连接，由，得到，即可证明；（2）连接，过点作，垂足为，由，求得的长度，继而利用三角函数求得，求出，再利用，即可求出的长【详解】（1）证明：连接，如图，是半径，为切线；（2）解：连接，过点作，垂足为
23、，如图，是直径，在中，在中，即，解得：，的长为5【点评】本题考查了切线的判定方法，利用等角之间的转化，能够求得半径与直线的垂直是证明切线的关键，能够灵活应用三角函数和三角形相似是解决线段长度的关键25【分析】（1）由可知，这一组有6个小区，则有个小区，补全直方图即可；（2）由知：阳光小区的厨余垃圾分出量为29.7吨，在这一组，从高到低排列有，由可知，阳光小区的厨余垃圾量2.97为纵坐标，故横坐标为8（3）计算30个小区的厨余垃圾分出量总数除以30即可【详解】（1）由可知，这一组有6个小区，则有个小区，故补全直方图如图所示（2）由知：阳光小区的厨余垃圾分出量为29.7吨，在这一组，从高到低排列有
24、，阳光小区的厨余垃圾分出量在30个小区中由高到低排名第15由可知，阳光小区的厨余垃圾量2.97为纵坐标，故横坐标为8故阳光小区的其它垃圾分出量大约是8.0吨故答案为15、8.0；（3）30个小区厨余垃圾分出量平均数约为（吨）【点评】本题主要考查了数据的收集、整理、分析，借助频数分布直方图、表格等描述数据，从题意中获取有用的信息是解决问题的关键26【分析】（1）把，代入抛物线的解析式，构建方程组，可得结论（2）由题意，或时，取得最大值1，由此构建方程求解即可（3）把问题转化为不等式组，可得结论【详解】（1）二次函数的图象开口向上，经过点，（2）二次函数，在时，的最大值为1，时，或时，或，解得（舍
25、弃）或（3）线段向右平移2个单位得到线段，直线的解析式为，抛物线在的范围内仅有一个交点，即方程在的范围内仅有一个根，整理得在的范围内只有一个解，即抛物线在的范围内与轴只有一个交点，观察图象可知，时，时，解得，【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，二次函数的最值问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，把问题转化为方程或不等式组解决，属于中考压轴题27【分析】（1）依照题意画出图形即可；由旋转的性质可得，由“”可证，可得，即可得结论；（2）通过证明，可得，即可求解【详解】（1）如图1所示：，理由如下：将线段绕点逆时针旋转，是等边三角形，是等边三角形，点是的中点
26、，又，垂直平分，；（2）直线与夹角的度数为，理由如下：如图2，当点在线段上时，连接，延长交于，将线段绕点逆时针旋转，是等边三角形，又点是的中点，是等边三角形，点是的中点，直线与夹角的度数为，当点在的延长线上时，连接，同理可求直线与夹角的度数为，当点在的延长线上时，连接，延长交于，同理可求直线与夹角的度数为，综上所述：直线与夹角的度数为，【点评】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质等知识，证明三角形相似是解题的关键28【分析】（1）根据远点，特征数的定义判断即可如图1中，过点作直线于，交于，解直角三角形求出，的长即可解决问题（2）如图2中，设直线的解析式为分两种情形或，分别求解即可解决问题【详解】（1）由题意，点是关于直线的“远点”， 关于直线的特征数，故答案为：，10如图1中，过点作直线于，交于，设直线交轴于，交轴于，关于直线的“特征数” （2）如图2中，设直线的解析式为当时，过点作直线于，交于，由题意，是等腰直角三角形，的中点，把，代入，则有，解得，直线的解析式为，当时，同法可知直线经过，可得直线的解析式为综上所述，满足条件的直线的解析式为或【点评】本题属于圆综合题，考查了一次函数的性质，解直角三角形，远点，特征数的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题
