1、房山区2022年高考第一次模拟数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出题目要求的一项.1 已知集合A=2，1，0，1，2，则（ ）A. 2，1，0，1，2B. 1，0，1C. 2，2D. 0，12. 在复平面内，复数z对应的点的坐标为（2，1），则（ ）A. 5B. 3C. 54iD. 34i3. 若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 4. 若的展开式中的常数项为20，则a=（ ）A. 2B. 2C. 1D. 15. 已知为抛物线上一点，到抛物线的焦点的距离为，到轴的距离为，则（ ）A. B. C. D. 6. 数列是等差数列，
2、若，则（ ）A. B. 9C. 10D. 207. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：m/s）可以表示为，其中Q表示鲑鱼的耗氧量，则鲑鱼以1.5m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为（ ）A. 2600B. 2700C. 2D. 278. 已知函数，则“”是“为奇函数”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 已知直线l被圆C：所截的弦长不小于2，则下列曲线中与直线l一定有公共点的是（ ）A. B. C. D. 10. 已知U是非实数集，若非空集合A1，A2满足以下三个条件，则称（A1，A2
3、）为集合U的一种真分拆，并规定（A1，A2）与（A2，A1）为集合U的同一种真分拆A1A2=0A1A2=U元素个数不是中的元素.则集合U=1，2，3，4，5，6的真分拆的种数是（ ）A. 5B. 6C. 10D. 15二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若双曲线的一条渐近线方程为，则_.12. 已知、是单位向量，且，则=_，_.13. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，g（x）=_；若g（x）在区间0，m上的最小值为g（0），m的最大值为_.14. 函数的图象在区间（0,2）上连续不断，能说明“若在区间（0,2）上存在零点，则”为假命题的一个函数的解析式可以
4、为=_.15. 如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动.给出下列四个结论：D1OAC；存在一点P，D1OB1P；若D1OOP，则D1C1P面积最大值为；若P到直线D1C1的距离与到点B的距离相等，则P的轨迹为抛物线的一部分.其中所有正确结论的序号是_.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 如图，在三棱柱中，平面， （1）求证：平面；（2）若，求与平面所成角的正弦值；直线与平面的距离.17. ABC中， .（1）求B的大小；（2）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得ABC存在
5、且唯一，求ABC的面积条作；条件；条件：AB边上的高为.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，接第一个解答计分.18. 良好的生态环境是最普惠的民生福祉.北京市集中开展大气污染防止以来，在经济快速发展的同时实现了大气主要污染物浓度持续下降.2021年经过全市共同努力，空气质量首次全面达标，大气污染治理取得里程碎式突破.下表是2021年每个月空气质量优良和污染的天数统计.月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月合计空气质量优良天数241811272321262927292330288空气质量污染天数7102038952327177（
6、1）从2021年中任选1天，求这一天空气质量优良的概率；（2）从2021年的4月、6月和9月中各任选一天，设随机变量X表示选出的3天中质量优良的天数，求X的分布列；（3）在2021年的1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月中，设空气质量优良天数的方差为，空气质量污染天数的方差为，试判断，的大小关系.（结论不要求证明）19. 已知函数.（1）当时，求曲线在处切线方程；（2）若在区间（0，e存在极小值，求a的取值范围.20. 已知椭圆C的离心率为，长轴的两个端点分别为，.（1）求椭圆C的方程；（2）过点的直线与椭圆C交于M，N（不与A，B重合）两点，直线AM与直线交于点Q，求证：.21. 若
7、无穷数列满足如下两个条件，则称为无界数列：（n=1，2，3.）对任意的正数，都存在正整数N，使得.（1）若，（n=1，2，3.），判断数列，是否是无界数列；（2）若，是否存在正整数k，使得对于一切，都有成立？若存在，求出k的范围；若不存在说明理由；（3）若数列是单调递增的无界数列，求证：存在正整数m，使得.房山区2022年高考第一次模拟数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出题目要求的一项.1. 已知集合A=2，1，0，1，2，则（ ）A. 2，1，0，1，2B. 1，0，1C. 2，2D. 0，1【1题答案】【答案】B【解析】【分析】求出集合A，B，
8、由此能求出.【详解】因为集合A=2，1，0，1，2，所以1，0，1.故选：B.2. 在复平面内，复数z对应的点的坐标为（2，1），则（ ）A. 5B. 3C. 54iD. 34i【2题答案】【答案】A【解析】【分析】直接写出复数，再按照复数的乘法运算即可求得结果.【详解】由题意知，.故选：A.3. 若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【3题答案】【答案】C【解析】【分析】取即可判断A、B、D选项是错误的，由基本不等式即可判断C选项是正确的.详解】取满足，且，此时，A错误；取满足，且，此时，B错误；可得，C正确；取满足，且，此时，D错误.故选：C.4. 若的展开式中的常
9、数项为20，则a=（ ）A. 2B. 2C. 1D. 1【4题答案】【答案】D【解析】【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求的展开式的常数项.【详解】已知的展开式中的通项公式为：，令，求得：，可得展开式的常数项为：，解得：.故选：D.5. 已知为抛物线上一点，到抛物线的焦点的距离为，到轴的距离为，则（ ）A. B. C. D. 【5题答案】【答案】C【解析】【分析】分析可知点的纵坐标为，由抛物线的定义可求得的值.【详解】由题意可知点纵坐标为，抛物线的准线方程为，由抛物线的定义可得，解得.故选：C.6. 数列是等差数列，若，则（ ）A. B. 9C. 10D. 20【6题答案】【答案】B【解
10、析】【分析】由条件可得，然后可得答案.【详解】因为数列是等差数列，所以，因为，所以，故选：B7. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：m/s）可以表示为，其中Q表示鲑鱼的耗氧量，则鲑鱼以1.5m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为（ ）A. 2600B. 2700C. 2D. 27【7题答案】【答案】D【解析】【分析】根据题中函数关系式，令和，分别求出对应的，即可得出结果.【详解】解：因为鲑鱼的游速(单位：)可以表示为，其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数，当一条鲑鱼静止时，此时，则，耗氧量为；当一条鲑鱼以的速度游动时，此时，所以，则，即耗氧量为，因此鲑鱼以
11、1.5m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为.故选：D.8. 已知函数，则“”是“为奇函数”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【8题答案】【答案】A【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式以及已知条件求出，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】因为，若函数为奇函数，则，解得，因为，因此，“”是“为奇函数”的充分而不必要条件.故选：A.9. 已知直线l被圆C：所截的弦长不小于2，则下列曲线中与直线l一定有公共点的是（ ）A. B. C. D. 【9题答案】【答案】C【解析】【分析】由题意知可以得到原点到直线的距离小于等于1
12、，即直线上有一点到原点的距离小于等于1，故直线一定经过圆面内的点，再画出图象，结合图象分析即可【详解】解：直线被圆所截的弦长不小于2，圆心到直线的距离小于或等于1，故直线一定经过圆面内的点，在平面直角坐标系中分别画出， 、的图象如下所示：对于A：对于B：对于C对于D：结合图象可知，四个选项中只有这个点一定在椭圆内或椭圆上，与椭圆一定有公共点故选：C10. 已知U是非实数集，若非空集合A1，A2满足以下三个条件，则称（A1，A2）为集合U的一种真分拆，并规定（A1，A2）与（A2，A1）为集合U的同一种真分拆A1A2=0A1A2=U的元素个数不是中的元素.则集合U=1，2，3，4，5，6的真分拆
13、的种数是（ ）A. 5B. 6C. 10D. 15【10题答案】【答案】A【解析】【分析】由真分拆的定义及规定即可求解.【详解】解：由题意，集合U=1，2，3，4，5，6的真分拆有；，共5种，故选：A.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若双曲线的一条渐近线方程为，则_.【11题答案】【答案】【解析】【分析】写出双曲线的渐近线方程，可求得的值.【详解】双曲线的渐近线方程为，所以，解得.故答案为：.12. 已知、是单位向量，且，则=_，_.【12题答案】【答案】 . # . 【解析】【分析】由已知可得出，可求得的值，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.【详解】因为且，则，可得，
14、故.故答案为：；.13. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，g（x）=_；若g（x）在区间0，m上的最小值为g（0），m的最大值为_.【13题答案】【答案】 . . 【解析】【分析】利用函数的图象变换规律求得g（x）的解析式；再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论.【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，则.则在区间0，m上，要使g（x）在区间0，m上最小值为g（0），则，解出.则m的最大值为.故答案为：；.14. 函数的图象在区间（0,2）上连续不断，能说明“若在区间（0,2）上存在零点，则”为假命题的一个函数的解析式可以为=_.【14题答案】【
15、答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由题中命题为假命题，可知函数满足在（0,2）上存在零点，且，进而举例即可.【详解】函数的图象在区间（0，2）上连续不断，且“若在区间（0,2）上存在零点，则”为假命题，可知函数满足在（0,2）上存在零点，且，所以满足题意的函数解析式可以为.故答案为：（答案不唯一）.15. 如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动.给出下列四个结论：D1OAC；存在一点P，D1OB1P；若D1OOP，则D1C1P面积的最大值为；若P到直线D1C1的距离与到点B的距离相等，则P的轨迹为抛物线的一部分.其中
16、所有正确结论的序号是_.【15题答案】【答案】【解析】【分析】对于，连接，由三角形为等边三角形判读；对于，将D1O进行平移到过点，使之具有公共顶点，根据立体图像判断，无论如何也不可能满足D1OB1P；对于，连 接，证明平面，所以在线段上运动，当点到点位置时，最大，此时面积最大为：.对于，P到直线D1C1的距离为线段的长度，所以，判定出P点位置即可.【详解】对于，连接，由正方体的性质知三角形为等边三角形，由于为底面的中心，故为中点，故，正确；对于，将D1O进行平移到过B1点，使之与B1P具有公共顶点，根据立体图像判断，无论如何也不可能满足平行或重合于B1P，所以D1O不可能平行于，错误；对于，取
17、B1B的中点E，连 接，证明平面，所以在线段上运动，当点到点位置时，最大，此时面积最大为：.所以正确.对于，P到直线D1C1的距离为线段的长度，所以，判定出P点位置为直线的垂直平分线，故错误.故正确的序号是: .故答案为: .三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 如图，在三棱柱中，平面， （1）求证：平面；（2）若，求与平面所成角的正弦值；直线与平面的距离.【1617题答案】【答案】（1）证明见解析； （2）；.【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理，主要证明即可；（2）建立坐标系，先求出平面的法向量，利用空间向量解决.【小问1详解】在三棱柱中，四
18、边形为平行四边形.所以，因为平面，平面，所以平面.【小问2详解】因为平面，平面，所以，又，所以两两互相垂直.如图建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，即令，则，于是.设直线与平面所成的角为，则.所以与平面所成角的正弦值为.因为面，所以直线与平面的距离就是点到平面的距离设A到面的距离为，则17. 在ABC中， .（1）求B的大小；（2）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得ABC存在且唯一，求ABC的面积条作；条件；条件：AB边上的高为.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，接第一个解答计分.【1718题答案】【答案】（1） （2）
19、【解析】【分析】（1）由正弦定理可得：，从而得到，得出答案.（2）选择条件，ABC存在且唯一.由得出，由正弦定理及解出.方法1：由两角差的余弦公式求出，最后由面积公式计算即可.方法2：由余弦定理求出，最后由面积公式计算即可.选择，ABC存在且唯一. 由得出，因为AB边上的高为，所以得出，再由正弦定理求出解出，以下与选择条件相同.【小问1详解】由正弦定理及.得，因为，所以因为，所以.【小问2详解】选择条件，ABC存在且唯一，解答如下：由，及，得.由正弦定理及得，解得.方法1：由，得.所以.方法2：由余弦定理，得即，解得所以选择，ABC存在且唯一，解答如下：由，及，得.因为AB边上的高为，所以.由
20、正弦定理及，得，解得：.（以下与选择条件相同）18. 良好的生态环境是最普惠的民生福祉.北京市集中开展大气污染防止以来，在经济快速发展的同时实现了大气主要污染物浓度持续下降.2021年经过全市共同努力，空气质量首次全面达标，大气污染治理取得里程碎式突破.下表是2021年每个月空气质量优良和污染的天数统计.月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月合计空气质量优良天数241811272321262927292330288空气质量污染天数7102038952327177（1）从2021年中任选1天，求这一天空气质量优良的概率；（2）从2021年的4月、6月和9月中各任选一天，设随机
21、变量X表示选出的3天中质量优良的天数，求X的分布列；（3）在2021年的1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月中，设空气质量优良天数的方差为，空气质量污染天数的方差为，试判断，的大小关系.（结论不要求证明）【1820题答案】【答案】（1） （2）分布列见解析 （3）【解析】【分析】（1）根据统计数据可直接求解；（2）X的所有可能取值为0，1，2，3.再根据相互独立求出每一种情况下的概率，从而可得分布列；（3）这些月份的和为定值31，这两个量的方差相等.【小问1详解】记事件A为“从2021年中任选1天，这一天空气质量优良”，由统计数据可知；【小问2详解】X的所有可能取值为0，1，2，3.方
22、法1：记事件B为“从4月任选1天，这一天空气质量优良”，事件C为“从6月任选1天，这一天空气质量优良”，事件D为“从9月任选1天，这一天空气质量优良”.由题意知，事件B，C，D相互独立，且，所以，.所以X的分布列为：X0123P方法2：所以X的分布列为：X0123P小问3详解】.19. 已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若在区间（0，e存在极小值，求a的取值范围.【1920题答案】【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由，得到，求导，从而得到，写出切线方程；（2）求导，令，易得函数在区间（0，e上的最小值为，方法1：分，讨论求解；方法2：根据在区间（0，e上存在极小值，由
23、求解.【小问1详解】当时，则，所以，所以曲线在处的切线方程为；【小问2详解】，令，则，解，得，与的变化情况如下：x（0，1）1（1，e）0+极小值所以函数在区间（0，e上的最小值为，方法1：当时，.所以恒成立，即恒成立，所以函数在区间（0，e上是增函数，无极值，不符合要求，当时，因为，所以存在，使得x（1，）（，e）0+极小值所以函数在区间（1，e）上存在极小值，符合要求，当时，因为所以函数在区间（1，e）上无极值.取，则所以存在，使得易知，为函数在区间（0，1）上的极大值点.所以函数在区间（0，e）上有极大值，无极小值，不符合要求综上，实数a的取值范围是.方法2：“在区间（0，e上存在极小值
24、”，当且仅当，解得.证明如下：当时，因为，所以存在，使得x（1，）（，e）0+极小值所以函数在区间（1，e）上存在极小值.所以实数a的取值范围是.【点睛】方法点睛：本题第二问在区间（0，e是否存在极小值，转化为有不等零点且左负右正求解.20. 已知椭圆C的离心率为，长轴的两个端点分别为，.（1）求椭圆C的方程；（2）过点的直线与椭圆C交于M，N（不与A，B重合）两点，直线AM与直线交于点Q，求证：.【2021题答案】【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得，再根据离心率求出，最后根据，求出，即可求出椭圆方程；（2）设直线l的方程为，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理
25、，在表示出直线的方程，即可求出点坐标，再表示出、，即可得到，即、三点共线，即可得证；【小问1详解】解：由长轴的两个端点分别为，可得，由离心率为，可得，所以，又，解得，所以椭圆C的标准方程为；【小问2详解】解：设直线l的方程为，由得设，则，所以，直线的方程为，所以所以，所以，即，所以、三点共线，所以；21. 若无穷数列满足如下两个条件，则称为无界数列：（n=1，2，3.）对任意的正数，都存在正整数N，使得.（1）若，（n=1，2，3.），判断数列，是否是无界数列；（2）若，是否存在正整数k，使得对于一切，都有成立？若存在，求出k的范围；若不存在说明理由；（3）若数列是单调递增的无界数列，求证：存
26、在正整数m，使得.【2123题答案】【答案】（1）是无界数列；不是无界数列. （2）存在， （3）证明见解析【解析】【分析】（1）对任意的正整数，取为大于的一个偶数，有，符合无界数列的定义；取，显然，不符合无界数列的定义.（2）讨论，都不成立，当时，将变形为：，从而求得k的范围.（3）观察要证的不等式结构与（2）相似，故应用（2）变形后，再由是单调递增的无界正数列证明.【小问1详解】是无界数列，理由如下：对任意的正整数，取为大于的一个偶数，有，所以是无界数列.不是无界数列，理由如下：取，显然，不存在正整数，满足，所以不是无界数列.【小问2详解】存在满足题意的正整数k，且.当时，不成立.当时，不成立当时，不成立当时，将变形为：.即取，对于一切，有成立.【小问3详解】因为数列是单调递增的无界数列，所以，所以.即因为是无界数列，取，由定义知存在正整数，使所以.由定义可知是无穷数列，考察数列，显然这仍是一个单调递增的无界数列，同上理由可知存在正整数，使得.故存在正整数，使得.故存在正整数，使得成立
