北京市房山区2022届高三一模数学试题(含答案解析)

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1、房山区2022年高考第一次模拟数学试卷一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出题目要求的一项.1 已知集合A=2,1,0,1,2,则( )A. 2,1,0,1,2B. 1,0,1C. 2,2D. 0,12. 在复平面内,复数z对应的点的坐标为(2,1),则( )A. 5B. 3C. 54iD. 34i3. 若,且,则下列不等式一定成立的是( )A. B. C. D. 4. 若的展开式中的常数项为20,则a=( )A. 2B. 2C. 1D. 15. 已知为抛物线上一点,到抛物线的焦点的距离为,到轴的距离为,则( )A. B. C. D. 6. 数列是等差数列,

2、若,则( )A. B. 9C. 10D. 207. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵,研究发现鲑鱼的游速(单位:m/s)可以表示为,其中Q表示鲑鱼的耗氧量,则鲑鱼以1.5m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为( )A. 2600B. 2700C. 2D. 278. 已知函数,则“”是“为奇函数”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 已知直线l被圆C:所截的弦长不小于2,则下列曲线中与直线l一定有公共点的是( )A. B. C. D. 10. 已知U是非实数集,若非空集合A1,A2满足以下三个条件,则称(A1,A2

3、)为集合U的一种真分拆,并规定(A1,A2)与(A2,A1)为集合U的同一种真分拆A1A2=0A1A2=U元素个数不是中的元素.则集合U=1,2,3,4,5,6的真分拆的种数是( )A. 5B. 6C. 10D. 15二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.11. 若双曲线的一条渐近线方程为,则_.12. 已知、是单位向量,且,则=_,_.13. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,g(x)=_;若g(x)在区间0,m上的最小值为g(0),m的最大值为_.14. 函数的图象在区间(0,2)上连续不断,能说明“若在区间(0,2)上存在零点,则”为假命题的一个函数的解析式可以

4、为=_.15. 如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,点O为底面ABCD的中心,点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动.给出下列四个结论:D1OAC;存在一点P,D1OB1P;若D1OOP,则D1C1P面积最大值为;若P到直线D1C1的距离与到点B的距离相等,则P的轨迹为抛物线的一部分.其中所有正确结论的序号是_.三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16. 如图,在三棱柱中,平面, (1)求证:平面;(2)若,求与平面所成角的正弦值;直线与平面的距离.17. ABC中, .(1)求B的大小;(2)再从下列三个条件中,选择两个作为已知,使得ABC存在

5、且唯一,求ABC的面积条作;条件;条件:AB边上的高为.注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,接第一个解答计分.18. 良好的生态环境是最普惠的民生福祉.北京市集中开展大气污染防止以来,在经济快速发展的同时实现了大气主要污染物浓度持续下降.2021年经过全市共同努力,空气质量首次全面达标,大气污染治理取得里程碎式突破.下表是2021年每个月空气质量优良和污染的天数统计.月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月合计空气质量优良天数241811272321262927292330288空气质量污染天数7102038952327177(

6、1)从2021年中任选1天,求这一天空气质量优良的概率;(2)从2021年的4月、6月和9月中各任选一天,设随机变量X表示选出的3天中质量优良的天数,求X的分布列;(3)在2021年的1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月中,设空气质量优良天数的方差为,空气质量污染天数的方差为,试判断,的大小关系.(结论不要求证明)19. 已知函数.(1)当时,求曲线在处切线方程;(2)若在区间(0,e存在极小值,求a的取值范围.20. 已知椭圆C的离心率为,长轴的两个端点分别为,.(1)求椭圆C的方程;(2)过点的直线与椭圆C交于M,N(不与A,B重合)两点,直线AM与直线交于点Q,求证:.21. 若

7、无穷数列满足如下两个条件,则称为无界数列:(n=1,2,3.)对任意的正数,都存在正整数N,使得.(1)若,(n=1,2,3.),判断数列,是否是无界数列;(2)若,是否存在正整数k,使得对于一切,都有成立?若存在,求出k的范围;若不存在说明理由;(3)若数列是单调递增的无界数列,求证:存在正整数m,使得.房山区2022年高考第一次模拟数学试卷一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出题目要求的一项.1. 已知集合A=2,1,0,1,2,则( )A. 2,1,0,1,2B. 1,0,1C. 2,2D. 0,1【1题答案】【答案】B【解析】【分析】求出集合A,B,

8、由此能求出.【详解】因为集合A=2,1,0,1,2,所以1,0,1.故选:B.2. 在复平面内,复数z对应的点的坐标为(2,1),则( )A. 5B. 3C. 54iD. 34i【2题答案】【答案】A【解析】【分析】直接写出复数,再按照复数的乘法运算即可求得结果.【详解】由题意知,.故选:A.3. 若,且,则下列不等式一定成立的是( )A. B. C. D. 【3题答案】【答案】C【解析】【分析】取即可判断A、B、D选项是错误的,由基本不等式即可判断C选项是正确的.详解】取满足,且,此时,A错误;取满足,且,此时,B错误;可得,C正确;取满足,且,此时,D错误.故选:C.4. 若的展开式中的常

9、数项为20,则a=( )A. 2B. 2C. 1D. 1【4题答案】【答案】D【解析】【分析】由题意利用二项展开式的通项公式,求的展开式的常数项.【详解】已知的展开式中的通项公式为:,令,求得:,可得展开式的常数项为:,解得:.故选:D.5. 已知为抛物线上一点,到抛物线的焦点的距离为,到轴的距离为,则( )A. B. C. D. 【5题答案】【答案】C【解析】【分析】分析可知点的纵坐标为,由抛物线的定义可求得的值.【详解】由题意可知点纵坐标为,抛物线的准线方程为,由抛物线的定义可得,解得.故选:C.6. 数列是等差数列,若,则( )A. B. 9C. 10D. 20【6题答案】【答案】B【解

10、析】【分析】由条件可得,然后可得答案.【详解】因为数列是等差数列,所以,因为,所以,故选:B7. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵,研究发现鲑鱼的游速(单位:m/s)可以表示为,其中Q表示鲑鱼的耗氧量,则鲑鱼以1.5m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为( )A. 2600B. 2700C. 2D. 27【7题答案】【答案】D【解析】【分析】根据题中函数关系式,令和,分别求出对应的,即可得出结果.【详解】解:因为鲑鱼的游速(单位:)可以表示为,其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数,当一条鲑鱼静止时,此时,则,耗氧量为;当一条鲑鱼以的速度游动时,此时,所以,则,即耗氧量为,因此鲑鱼以

11、1.5m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为.故选:D.8. 已知函数,则“”是“为奇函数”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【8题答案】【答案】A【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式以及已知条件求出,利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】因为,若函数为奇函数,则,解得,因为,因此,“”是“为奇函数”的充分而不必要条件.故选:A.9. 已知直线l被圆C:所截的弦长不小于2,则下列曲线中与直线l一定有公共点的是( )A. B. C. D. 【9题答案】【答案】C【解析】【分析】由题意知可以得到原点到直线的距离小于等于1

12、,即直线上有一点到原点的距离小于等于1,故直线一定经过圆面内的点,再画出图象,结合图象分析即可【详解】解:直线被圆所截的弦长不小于2,圆心到直线的距离小于或等于1,故直线一定经过圆面内的点,在平面直角坐标系中分别画出, 、的图象如下所示:对于A:对于B:对于C对于D:结合图象可知,四个选项中只有这个点一定在椭圆内或椭圆上,与椭圆一定有公共点故选:C10. 已知U是非实数集,若非空集合A1,A2满足以下三个条件,则称(A1,A2)为集合U的一种真分拆,并规定(A1,A2)与(A2,A1)为集合U的同一种真分拆A1A2=0A1A2=U的元素个数不是中的元素.则集合U=1,2,3,4,5,6的真分拆

13、的种数是( )A. 5B. 6C. 10D. 15【10题答案】【答案】A【解析】【分析】由真分拆的定义及规定即可求解.【详解】解:由题意,集合U=1,2,3,4,5,6的真分拆有;,共5种,故选:A.二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.11. 若双曲线的一条渐近线方程为,则_.【11题答案】【答案】【解析】【分析】写出双曲线的渐近线方程,可求得的值.【详解】双曲线的渐近线方程为,所以,解得.故答案为:.12. 已知、是单位向量,且,则=_,_.【12题答案】【答案】 . # . 【解析】【分析】由已知可得出,可求得的值,利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.【详解】因为且,则,可得,

14、故.故答案为:;.13. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,g(x)=_;若g(x)在区间0,m上的最小值为g(0),m的最大值为_.【13题答案】【答案】 . . 【解析】【分析】利用函数的图象变换规律求得g(x)的解析式;再利用正弦函数的定义域和值域,得出结论.【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,则.则在区间0,m上,要使g(x)在区间0,m上最小值为g(0),则,解出.则m的最大值为.故答案为:;.14. 函数的图象在区间(0,2)上连续不断,能说明“若在区间(0,2)上存在零点,则”为假命题的一个函数的解析式可以为=_.【14题答案】【

15、答案】(答案不唯一)【解析】【分析】由题中命题为假命题,可知函数满足在(0,2)上存在零点,且,进而举例即可.【详解】函数的图象在区间(0,2)上连续不断,且“若在区间(0,2)上存在零点,则”为假命题,可知函数满足在(0,2)上存在零点,且,所以满足题意的函数解析式可以为.故答案为:(答案不唯一).15. 如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,点O为底面ABCD的中心,点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动.给出下列四个结论:D1OAC;存在一点P,D1OB1P;若D1OOP,则D1C1P面积的最大值为;若P到直线D1C1的距离与到点B的距离相等,则P的轨迹为抛物线的一部分.其中

16、所有正确结论的序号是_.【15题答案】【答案】【解析】【分析】对于,连接,由三角形为等边三角形判读;对于,将D1O进行平移到过点,使之具有公共顶点,根据立体图像判断,无论如何也不可能满足D1OB1P;对于,连 接,证明平面,所以在线段上运动,当点到点位置时,最大,此时面积最大为:.对于,P到直线D1C1的距离为线段的长度,所以,判定出P点位置即可.【详解】对于,连接,由正方体的性质知三角形为等边三角形,由于为底面的中心,故为中点,故,正确;对于,将D1O进行平移到过B1点,使之与B1P具有公共顶点,根据立体图像判断,无论如何也不可能满足平行或重合于B1P,所以D1O不可能平行于,错误;对于,取

17、B1B的中点E,连 接,证明平面,所以在线段上运动,当点到点位置时,最大,此时面积最大为:.所以正确.对于,P到直线D1C1的距离为线段的长度,所以,判定出P点位置为直线的垂直平分线,故错误.故正确的序号是: .故答案为: .三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16. 如图,在三棱柱中,平面, (1)求证:平面;(2)若,求与平面所成角的正弦值;直线与平面的距离.【1617题答案】【答案】(1)证明见解析; (2);.【解析】【分析】(1)根据线面平行的判定定理,主要证明即可;(2)建立坐标系,先求出平面的法向量,利用空间向量解决.【小问1详解】在三棱柱中,四

18、边形为平行四边形.所以,因为平面,平面,所以平面.【小问2详解】因为平面,平面,所以,又,所以两两互相垂直.如图建立空间直角坐标系,则,所以,设平面的法向量为,则,即令,则,于是.设直线与平面所成的角为,则.所以与平面所成角的正弦值为.因为面,所以直线与平面的距离就是点到平面的距离设A到面的距离为,则17. 在ABC中, .(1)求B的大小;(2)再从下列三个条件中,选择两个作为已知,使得ABC存在且唯一,求ABC的面积条作;条件;条件:AB边上的高为.注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,接第一个解答计分.【1718题答案】【答案】(1) (2)

19、【解析】【分析】(1)由正弦定理可得:,从而得到,得出答案.(2)选择条件,ABC存在且唯一.由得出,由正弦定理及解出.方法1:由两角差的余弦公式求出,最后由面积公式计算即可.方法2:由余弦定理求出,最后由面积公式计算即可.选择,ABC存在且唯一. 由得出,因为AB边上的高为,所以得出,再由正弦定理求出解出,以下与选择条件相同.【小问1详解】由正弦定理及.得,因为,所以因为,所以.【小问2详解】选择条件,ABC存在且唯一,解答如下:由,及,得.由正弦定理及得,解得.方法1:由,得.所以.方法2:由余弦定理,得即,解得所以选择,ABC存在且唯一,解答如下:由,及,得.因为AB边上的高为,所以.由

20、正弦定理及,得,解得:.(以下与选择条件相同)18. 良好的生态环境是最普惠的民生福祉.北京市集中开展大气污染防止以来,在经济快速发展的同时实现了大气主要污染物浓度持续下降.2021年经过全市共同努力,空气质量首次全面达标,大气污染治理取得里程碎式突破.下表是2021年每个月空气质量优良和污染的天数统计.月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月合计空气质量优良天数241811272321262927292330288空气质量污染天数7102038952327177(1)从2021年中任选1天,求这一天空气质量优良的概率;(2)从2021年的4月、6月和9月中各任选一天,设随机

21、变量X表示选出的3天中质量优良的天数,求X的分布列;(3)在2021年的1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月中,设空气质量优良天数的方差为,空气质量污染天数的方差为,试判断,的大小关系.(结论不要求证明)【1820题答案】【答案】(1) (2)分布列见解析 (3)【解析】【分析】(1)根据统计数据可直接求解;(2)X的所有可能取值为0,1,2,3.再根据相互独立求出每一种情况下的概率,从而可得分布列;(3)这些月份的和为定值31,这两个量的方差相等.【小问1详解】记事件A为“从2021年中任选1天,这一天空气质量优良”,由统计数据可知;【小问2详解】X的所有可能取值为0,1,2,3.方

22、法1:记事件B为“从4月任选1天,这一天空气质量优良”,事件C为“从6月任选1天,这一天空气质量优良”,事件D为“从9月任选1天,这一天空气质量优良”.由题意知,事件B,C,D相互独立,且,所以,.所以X的分布列为:X0123P方法2:所以X的分布列为:X0123P小问3详解】.19. 已知函数.(1)当时,求曲线在处的切线方程;(2)若在区间(0,e存在极小值,求a的取值范围.【1920题答案】【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)由,得到,求导,从而得到,写出切线方程;(2)求导,令,易得函数在区间(0,e上的最小值为,方法1:分,讨论求解;方法2:根据在区间(0,e上存在极小值,由

23、求解.【小问1详解】当时,则,所以,所以曲线在处的切线方程为;【小问2详解】,令,则,解,得,与的变化情况如下:x(0,1)1(1,e)0+极小值所以函数在区间(0,e上的最小值为,方法1:当时,.所以恒成立,即恒成立,所以函数在区间(0,e上是增函数,无极值,不符合要求,当时,因为,所以存在,使得x(1,)(,e)0+极小值所以函数在区间(1,e)上存在极小值,符合要求,当时,因为所以函数在区间(1,e)上无极值.取,则所以存在,使得易知,为函数在区间(0,1)上的极大值点.所以函数在区间(0,e)上有极大值,无极小值,不符合要求综上,实数a的取值范围是.方法2:“在区间(0,e上存在极小值

24、”,当且仅当,解得.证明如下:当时,因为,所以存在,使得x(1,)(,e)0+极小值所以函数在区间(1,e)上存在极小值.所以实数a的取值范围是.【点睛】方法点睛:本题第二问在区间(0,e是否存在极小值,转化为有不等零点且左负右正求解.20. 已知椭圆C的离心率为,长轴的两个端点分别为,.(1)求椭圆C的方程;(2)过点的直线与椭圆C交于M,N(不与A,B重合)两点,直线AM与直线交于点Q,求证:.【2021题答案】【答案】(1) (2)证明见解析【解析】【分析】(1)依题意可得,再根据离心率求出,最后根据,求出,即可求出椭圆方程;(2)设直线l的方程为,联立直线与椭圆方程,消元、列出韦达定理

25、,在表示出直线的方程,即可求出点坐标,再表示出、,即可得到,即、三点共线,即可得证;【小问1详解】解:由长轴的两个端点分别为,可得,由离心率为,可得,所以,又,解得,所以椭圆C的标准方程为;【小问2详解】解:设直线l的方程为,由得设,则,所以,直线的方程为,所以所以,所以,即,所以、三点共线,所以;21. 若无穷数列满足如下两个条件,则称为无界数列:(n=1,2,3.)对任意的正数,都存在正整数N,使得.(1)若,(n=1,2,3.),判断数列,是否是无界数列;(2)若,是否存在正整数k,使得对于一切,都有成立?若存在,求出k的范围;若不存在说明理由;(3)若数列是单调递增的无界数列,求证:存

26、在正整数m,使得.【2123题答案】【答案】(1)是无界数列;不是无界数列. (2)存在, (3)证明见解析【解析】【分析】(1)对任意的正整数,取为大于的一个偶数,有,符合无界数列的定义;取,显然,不符合无界数列的定义.(2)讨论,都不成立,当时,将变形为:,从而求得k的范围.(3)观察要证的不等式结构与(2)相似,故应用(2)变形后,再由是单调递增的无界正数列证明.【小问1详解】是无界数列,理由如下:对任意的正整数,取为大于的一个偶数,有,所以是无界数列.不是无界数列,理由如下:取,显然,不存在正整数,满足,所以不是无界数列.【小问2详解】存在满足题意的正整数k,且.当时,不成立.当时,不成立当时,不成立当时,将变形为:.即取,对于一切,有成立.【小问3详解】因为数列是单调递增的无界数列,所以,所以.即因为是无界数列,取,由定义知存在正整数,使所以.由定义可知是无穷数列,考察数列,显然这仍是一个单调递增的无界数列,同上理由可知存在正整数,使得.故存在正整数,使得.故存在正整数,使得成立

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