1、马鞍山市马鞍山市 2021 年高三第二次教学质量监测年高三第二次教学质量监测数学试题数学试题（理科理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个题，每小题个题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。要求的。 1.已知集合 M=y|y=-x2,xR,N=x|-10)的焦点 F的直线交抛物线于 A,B 两点，线段 AF,BF的中点在 y轴上的射影分别为点M,N,若 AFM 与 BFN 的面积之比为 4,则直线 AB的斜率为 A. 1 B.2 C. 2 D. 22 12.已知 a0,b0,下
2、列说法错误的是 A.若 0abb C.ab+ba1恒成立 D. a(0,1),使得 ae-a=11aea 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13.已知平面向量 a=(1, 2),b=(3,),若 a/(a-b),则实数 的值为 . 14.设变量 x,y满足10,30,230.xyxyxy 则目标函数 z=3x+2y的最小值为 . 15.曲率半径可用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小。已知椭圆 C: 2222xyab1(ab0)上点 P(xo,y0)处的曲率半径公式为 R=a2b23220
3、0442() .xyab若椭圆 C上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的 8倍，则椭圆 C的 离心率为 . 16.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺的体积公式 V=2(3)3Rh h,其中 R为球的半径，h 为球缺的高若一球与一所有棱长为 6的正四棱锥的各棱均相切，则该球与该正四棱锥的公共部分的体积 为 . 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都题为必考题，每个试题考生都必须做答第必须做答第 22、23 题为选
4、考题，考生根据要求做答题为选考题，考生根据要求做答 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17.(12分） 已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,a3=5,且 an+1an=4Sn-1(nN*). （1)求数列an的通项公式； （2)记数列11nna a的前 n 项和为 Tn.若*nN ,Tn-m2+2m(m为奇数），求 m的值 18.(12分） 如图，六面体 ABCDEFG 中，BE1 面 ABC且 BE面 DEFG, DG/EF,ED=DG=GF=1, AB=BC=CA=EF=2. （1)求证：DF平面 ABED; （2)若二面角 A-DG-E 的余弦值为5719，求点 C到面
5、BDF的距离。 19.(12分） 为保护长江流域渔业资源，2020 年国家农业农村部发布长江十年禁渔计划某市为了解决禁渔期渔民的生计问题，试点推出面点、汽修两种职业技能培训，一周内渔民可以每天自由选择其中一个进行职业培训，七天后确定具体职业。政府对提供培训的机构有不同的补贴政策：面点培训每天 200 元人，汽修培训每天 300元人若渔民甲当天选择了某种职业培训，第 二天他会有 0.4 的可能性换另一种职业培训假定渔民甲七天都参与全天培训，且第一天选择 的是汽修培训，第 i天选择汽修培训的概率是 pi(i=1,2,3, . ,7). （1)求 P3; （2)证明：pi-0.5(i=1,2,3,
6、,7)为等比数列； （3)试估算一周内政府渔民甲对培训机构补贴总费用的数学期望（0.27近似看作 0). 20.(12分） 已知双曲线222yxb1(b1)的左焦点为 F,右顶点为 A,过点 F向双曲线的一条渐近线作垂 线，垂足为 P,直线 AP 与双曲线的左支交于点 B. （1)设 O为坐标原点，求线段 OP 的长度； （2)求证：PF平分BFA. 21.(12分） 已知函数 f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x+a,其中 a 为常数， （1)当 a=0 时，求 f(x)的极值； （2)当 a12时，求证：对x1x2,且 x1,x2(0,+ ),不等式112221ln(1)lnln(1
7、)lnxxxaxxxa 恒成立. （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 22.选修 4-4:坐标系与参数方程（10 分） x=1+cost-J3sint 在平面直角坐标系 xOy中，曲线 C1的参数方程为1 cos3sin1 sin3cosxttytt （t为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 C2的极坐标方程为=(R,0,),且直线 C2与曲线 C1交于 A,B两点 （1)求曲线 C1的极坐标方程； （2)当|AB|最小时，求 的值
8、 23.选修 4-5:不等式选讲（10分） 已知函数 f(x)=|x+4|+|x|. （1)解不等式 f(2x-1)6; （2)记函数 f(x)的最小值为 a,且 m2+n2=4a,其中 m,n 均为正实数，求证：33.4mnanm 参考答案参考答案 一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A B D C A B D A B D D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20分 133 2 148 1532 16(28 654) 三、解答题：共
9、 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须做答第 22、23题为选考题，考生根据要求做答 （一）必考题：共 60分 17【解析】 （1）设数列 na的公差为d，令2n ，则23241a aS，由35a ， 得5(5)4(103 )1dd2d （4分） 21nan （6分） （2）111111()(21)(21)2 2121nna annnn 11(1)221nSn，可知12nS 恒成立， （9分） 21202mm221,122m， （11分） 又m是奇数，所以1m （12分） 18 【解析】 （1）因为BE 面ABC且BE 面DEFG，所以DE
10、BE且ABBE，于是，在面ABDE中，DEAB，同理，EFBC，所以60DEFABC，又2EFDE，所以DFDE，由BE 面DEFG知DFBE，因此，DF 面ABED （6分） （2）取AB中点O，由题可知，DEOB且DEOB，所以四边形OBED为平行四边形，所以ODBE，于是OD 面ABC，又ABC为正三角形，所以,OC OA OD两两垂直 （7分） 以O为坐标原点，,OC OA OD分别为, ,x y z正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz， 设(0)BEa a，则3 1(0,0,0), (0,1,0), (0, 1,0),( 3,0,0),(0,0, ),(, ),( 3,0, )22OA
11、BCDa Ga Ft， 设面ADG的法向量为1( , , )nx y zu u r，则有： 11( , , ) (0, 1, )03 131( , , ) (,0)02222nADx y zayaznDGx y zxy u u r uuu ru u r uuur，不妨设3z 得1(, 3 , 3)naa u u r 又BE与面DEFG垂直，故面DEFG的法向量不妨设为2(0,0,1)n uu r， 由1212212|357|cos,|19| |43n nn nnnau u r uu ru u r uu ru u ruu r，解得2a 设面BDF的法向量为( , , )nx y zr，则有： (
12、 , , ) (0,1,2)20( , , ) ( 3,0,0)30n BDx y zyzn DFx y zxr uuu rr uuu r，不妨设2y 得(0,2, 1)n r （10分） 于是，点C到面BDF的距离|22 55|5CF ndnuuu r rr （12分） 19 【解析】 （1）11p ，20 6p.，30 60 60 40 40 52p. （3分） （2）当第1i 天选择汽修培训时，第i天选择汽修培训的概率为10 6i. p 当第1i 天选择面点培训时，第i天选择汽修培训的概率为10 4 1i.p 则1110 60 4 10 20 4iiiip. p.p. p. ，而10 5
13、0 20 5iip.p. 所以0 5ip.是以 0.5为首项，0.2为公比的等比数列 （8分） （3）设第i天政府的补贴费为ia，则300200 1100200iiiiappp 而10 5 0 20 5nip. ，11100 0 5 0 20 520050 0 2250iiia. 一周内政府因渔民甲对培训机构补贴总费用的数学期望为127aaaL710 2250 75010 2. 1812 5 .元 （12分） 20 【解析】 （1）不妨设P在第二象限，则渐近线OP的方程为ybx ，于是直线PF的方程为1()yxcb，联立得211Pcxbc ，于是1(, )bPc c，222211|()( )1
14、bbOPccc； （5分） （2）设直线PF的倾斜角为，则1tanb，222tan2tan21tan1bb， （6分） 又(1,0)A，所以直线AP的斜率为111bbccc ，直线AP的方程为(1)1byxc ，与双曲线联立得：222(2 )2(22)0cc xxcc， 于是22222BABccxx xcc ，22 (1)(1)12BBbb cyxccc，又(,0)Fc， （9分） 因此直线BF的斜率为 22322222 (1)2 (1)222tan22222212BBb cyb cbbccccxcccccbccc， （11分） 故PF平分BFA （12分） 21 【解析】 （1）当0a 时，
15、( )lnf xxxx，( )lnfxx， 当(0,1)x时， 0fx，即 f x在(0,1)上单调减；当(1,)x时， 0fx，即 f x在(1,)上单调增 （3 分） ( )f x的极小值为 11f ，无极大值 （5分） （2）根 据 题 意 ， 要 证 明 对12,(0,)x x， 且12xx，等 价 于 证 明121211()ln(1)()ln(1)xaxaxx设1( )()ln(1)g xxax，由单调性的定义得要证明原不等式等价于证明1( )()ln(1)g xxax在(0,)上单调递减 （6分） 即证21( )ln(1)0 xag xxxx在(0,)上恒成立，即证21ln(1)x
16、axxx， 12a ，1222xxaxxxx 只需证明122ln(1)xxxx等价于证明1221ln(1)0 xxxx （8分） 设1221( )ln(1)(0)xh xxxxx，令11tx ，则1t ，21( )( )ln2th xg ttt， 112221ln(1)lnln(1)lnxxxaxxxa只需证当1t 时， ( )0g t （10分） 因为221( )02tg tt ，所以( )g t单调递减，所以( )(1)0g tg，故原不等式成立 （12分） （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分题中任选
17、一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 22 【解析】（1）由题，12cos()312sin()3xtyt ，故22(1)(1)4xy，即222220 xyxy， 则22 cos2 sin20，即22 2 sin()204 （5分） （2）法一：设12(, ), (, )AB ，由（1），122 2sin()4，122 则2222121212|()()48sin ()884AB， 当且仅当sin()04时，|AB最小，此时，4k（k Z） 因为0, )，故34 （10分） 法二：设圆心1C到直线2C的距离为d，则2| 2 4ABd， 又1|2dOC，当且仅当1OC与直线2C垂直时等号成立，此时
18、|AB最小， 因为14C Ox，0, )，故34 （10分） 23【解析】（1）令( )(21) |23|21|g xfxxx， 当32x 时，( )(23)(21)4262g xxxxx ，则322x 当3122x时，( )(23)(21)46g xxx，则3122x 当12x 时，( )(23)(21)4261g xxxxx，则112x 综上：不等式的解集为 2,1. （5分） （2）因为( ) |4| |4| 4f xxxxx，则4a ，221mn 则334422 22222()21212mnmnmnm nm nmnnmmnmnmnmn 又2212mnmn（当且仅当22mn时取等号），则102mn，则12211mnmn ，故得证（10分）
