1、马鞍山市马鞍山市 2021 年高三第二次教学质量监测数学试题年高三第二次教学质量监测数学试题（文科文科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 个题，每小题个题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。求的。 1.设全集 U=R,集合 A=x|x2x,B=-1,0,1,2,则（CUA) B= A.2 B.1,2 C.-1,2 D.-1,0,1,2 2.已知复数 z满足 iz=z+2i,则复数 z在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.相传在 17 世纪
2、末期，莱布尼兹在太极八卦图的启示下，发明了二进制的记数方法他发现，如果把太极八卦图中“连续的长划”（阳爻：）看作是 1,把“间断的短划”（阴爻：） 看作是 0,那么，用八卦就可以表示出从 0 到 7这八个整数后来，他又作了进一步的研究，最终发明了二进制的记数方法。下表给出了部分八卦符号与二进制数的对应关系： 请根据上表判断，兑卦对应的八卦符号为 4.函数 f(x)=xcosx-1x在(,)上的图象大致为 5.已知变量 x,y满足约束条件10,30,310.xyxyxy ,则目标函数 z=2x-3y的最小值为 A. -7 B.-4 C.-1 D.1 6. 5.已知 sin(3-)= 33，则 c
3、os(32)的值为 A. 23 B. 13 C.- 13 D.- 23 7.某同学计划暑期去旅游，现有 A,B,C,D,E,F共 6 个景点可供选择，若每个景点被选中的可能性相等，则他从中选择 4个景点且 A被选中的概率是 A. 15 B. 16 C. 35 D. 25 8. 已知函数 f(x)=sin(x+)(0, 0)的部分图象如图所示则函数 f(x)的图象可由函数 y=sinx 的图象经过下列哪种变换得到 A.向左平移3个单位长度，再将横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变） B.向左平移6个单位长度，再将横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变） C.向左平移6个单位长度，再将横坐标变为原来的
4、2倍（纵坐标不变） D.向左平移3个单位长度，再将横坐标变为原来的 2倍（纵坐标不变） 9.已知双曲线 C: 2224xyb1(b0),以 C 的焦点为圆心，3 为半径的圆与 C 的渐近线相交，则双曲线 C的离心率的取值范围是 A.(1, 32) B. (1, 132) C.( 32, 132) D.(1, 13) 10.如图所示，某圆锥的高为3,底面半径为 1,O 为底面圆心，OA,OB为底面半径，且AOB=2,3M是母线 PA 的中点。则在此圆锥侧面上，从 M到 B 的路径中，最短路径的长度为 A. 3 B. 2-1 C. 5 D. 2+1 11.在 ABC中，角 A,B,C所对的边分别是
5、 a,b,c,若 ccosA+acosC=2,AC 边上的高为3,则ABC的最大值为 A. 6 B. 3 C. 2 D. 23 12.在平面直角坐标系 xOy中，若抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,直线 x=3与抛物线 C 交于 A,B 两点，AF|=4,圆 E为 FAB 的外接圆，直线 OM与圆 E切于点 M,点 N在圆 E上，则OM ONuuuu r uuu r的取值范围是 A.- 6325,9 B. -3,21 C. 6325,21 D.3,27 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13.平面向量 a,b满足 a=
6、(1,1),|b|=2,且 b(a-12b),则向量 a 与 b的夹角为 . 14.在一次体检时测得某班级 6名同学的身高分别为：162,173,182,176,174,183(单位：厘米）则这 6名同学身高的方差为 . 15.已知函数 f(x)=aex+x-e 的图象在（1,f(1)处的切线过点（e,e),则 a的值为 . 16.一个球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺的体积公式为 V=2(3)3Rh h,其中 R 为球的半径，h为球缺的高。若一球与一棱长为 2的正方体的各棱均相切，则该球与正方体的公共部分的体积为 . 三、解答题
7、：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都题为必考题，每个试题考生都必须作答。第必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分。分。 17.(12分） 为落实国务院关于深化教育改革，全面推进素质教育，提高学生体质健康水平的要求，每 个中学生每学年都要进行一次体质健康测试（以下简称体测）。根据“中学生体测标准分数对照表”将学生各项体测成绩转换为分数后，学生的体测总分由如下计算公式得到： 体测总分体重指标（体测
8、总分体重指标（BMI)分数分数15%+肺活量分数肺活量分数15%+50 米跑分数米跑分数20%+ 坐位体前屈分数坐位体前屈分数10%+立定跳远分数立定跳远分数10%+一分钟引体向上（男）仰卧起坐（女）一分钟引体向上（男）仰卧起坐（女） 分数分数10%+1000 米跑（男）米跑（男）800 米跑（女）分数米跑（女）分数20%. 体测总分达到 90分及以上的为“优秀”；分数在80,90)为“良好”；分数在60,80)为“合格”；60分以下为“不合格”。某市教体局为了解该市一所中学的学生体质健康状况，随机抽取了该校 210名学生的体测成绩，恰有 10名学生的成绩为“不合格”剔除这 10名学生的成绩后
9、得频率分布直方图如下： （1)若某男同学体测总分为 89 分，该同学除了“肺活量”分数以外的各项分数如下：“体重指标（BMI)”为 89 分，“50米跑”为 90 分，“坐位体前屈”为 85分，“立定跳远”为 95分，“一分钟引体向上”为 70 分，“1000米跑”为 95分求这名男同学的“肺活量”分数；（2)已知该市教体局体测总分“优秀率”目标不低于 8%,并要求“优秀率”抽查结果不达标的学校要进行整改，试根据以上数据判断该校是否需要进行整改。 18.(12分） 已知数列an的前 n 项和 Sn=1-12n. （1)求数列an的通项公式； （2)若等差数列bn的各项均为正数，且1531311
10、,2bbbaa,求数列nnba的前 n 项和 Tn. 19.(12分） 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 4,M,N分别为棱 A1D1,CC1的中点，P 为 DD1上一点，且 DP=1. （1)证明：CP/平面 B1MN; （2)求点 C 到平面 B1MN的距离 20.(12分） 已知 f(x)=x2-(2a-1)x-alnx(aR). （1)试讨论 f(x)的单调性； （2)当 x1 时，f(x)b0)的左焦点，斜率为 1 的直线 l交椭圆 C于 A,B两点，当直线 l经过点F时，椭圆 C 的上顶点也在直线 l上。 （1)求 C的方程； （2)若 O为坐标原点，D为点 A关于
11、 x轴的对称点，且直线 l与直线 BD分别交 x轴于点 M,N.证明OM| |ON|为定值。 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 22.选修 4-4:坐标系与参数方程（10 分） x=1+cost-J3sint在平面直角坐标系 xOy中，曲线 C1的参数方程为1 cos3sin1 sin3cosxttytt （t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 C2的极坐标方程为=(R,0,),且直线 C2与曲线 C1交于 A,B两点 （1)求曲
12、线 C1的极坐标方程； （2)当|AB|最小时，求 的值 23.选修 4-5:不等式选讲（10分） 已知函数 f(x)=|x+4|+|x|. （1)解不等式 f(2x-1)6; （2)记函数 f(x)的最小值为 a,且 m2+n2=4a,其中 m,n 均为正实数，求证：33.4mnanm 参考答案参考答案 一、选择题：本题共 12 个题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D C D B C D A B A B B 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.
13、 4 14.48 15. 1e 16.16 2(10)3 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17（12分） 【解】（1）设该同学肺活量的得分为a，则根据题意可得， 89 15%15%9020%85 10%95 10%70 10%95 20%89a，解得91a . 即这名男同学的“肺活量”分数为 91分. 6 分 （2）根据频率分布直方图可得，该校体测“优秀率”为200(0.0100.006)50.0767.6%8%210， 故该
14、校需要进行整改 12 分 18（12分） 【解】（1）当2n时11111=SS1(1)222nnnnnna 3分 当1n时，111=2aS 满足式，所以12nna 5分 （2）设 nb的公差为0d d ， 由（1）知12226bdd，所以1(1)31nbbndn 7分 所以312nnnbna 因此123225282.312nnTn 所以234+12225282.312nnTn ， 得：23143 (222 )(31) 2nnnTn L 2112124331212nnn 1(34) 28nn 12分 19(12分) 【证明】（1）在1DD上取点Q使得11DQ ，连接QMQN，则由已知易得1/MQ
15、B N， 所以1MQNB， ， ，四点共面， 2 分 又/PQCN，且2PQCN， 所以四边形PQNC为平行四边形， 所以/CPQN， 4分 因为QN 平面1B MN，CP 平面1B MN， 所以/CP平面1B MN 6分 【解】（2）因为22111422 5B MB NC M， 所以取MN中点H，连接1B H,可得1B HMN， 在1RtNC M中，22(2 5)22 6MN ， 故122111|2 6(2 5)( 6)2 2122B MNSMNB H， 8分 又1 112442B C NS ，点M到平面1BCN的距离为棱长 4， 设点C到平面1B MN的距离为d， 则由N为1CC的中点可得
16、1C到平面1B MN的距离也为d 由111 1CB MNMB C NVV可得112 214433d ， 解得8 2121d ，故点 C到平面1B MN的距离为8 2121 12分 20（12分） 【解】（1）22(21)()(21)( )22(1)(0)axaxaxaxfxxaxxxxQ 令( )0fx，得xa或21x（舍去） 2分 当0a 时，( )0fx，)(xf在，0上单调递增 当0a 时，若(0, )xa，则0)( xf，)(xf单调递减 若( + )xa，则0)( xf，)(xf单调递增 4分 综上所述：当0a 时，)(xf在，0上单调递增 当0a 时，)(xf在(0, )a上单调递
17、增，在( + )a ，上单调递增 5分 （2）令22( )( )(1)(2)ln212 n3()lxF xf xa xaxaxaxx， 22(1)(1)( )22(1)axxF xaxaxx，又(1)2,Fa ，要使( )0F x 在1x 恒成立. 当0a 时，( )0F x在1x 恒成立，( )F x在(1,)单减，所以要使( )0F x 在1x 恒成立的充要条件是(1)0F，即(1)20Fa ，解得2a ，故20a 7分 当01a时，( )F x在11,a单减，在1,a单增，虽然(1)20Fa ， 但当2(1)22xaaa 时2(1)2( )2ln20aF xax xxFaa，所以( )0
18、F x 在1x 不恒成立，01a不合题意 . . 9分 当1a 时，( )0F x在1x 恒成立，( )F x在(1,)单增，虽然(1)20Fa ， 但当2(1)22axaa时2(1)2( )2ln20aF xax xxFaa，所以( )0F x 在1x 不恒成立，1a 不合题意. . . . 11分 综上所述，实数a的范围是20a ，即实数a的范围 2,0. . . . 12分 21（12分） 【解】（1）由题：1bc，则2bc，2228abc，C的方程为22184xy4分 【解】（1）由题：1bc，则2bc，2228abc，C的方程为22184xy4分 （2）设: l yxt，1122(
19、,), (,)A x yB xy，则11( ,)D xy， 令0y 可得(,0)Mt，| |OMt 由22184yxtxy消去x得223280ytyt ， 22412(8)0tt ，解得212t ， 根据方程可得2121228,33ttyyy y ， 6 分 又因为直线BD的方程为：211121()yyyyxxxx，令0y ，得 121211221121212112121212()()()2()Ny xxx yx yyt yyt yy yt yyxxyyyyyyyy 9 分 由2121228,33ttyyy y 得22(8)8323Ntxttt 则8| | | | 8OMONtt 为定值 12
20、分 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程（10分） 【解】（1）由题，12cos()312sin()3xtyt ，可得22(1)(1)4xy， 即222220 xyxy，3分 则22 cos2 sin20，即22 2 sin()204 5分 （2）法一：设12(, ), (, )AB ，由（1），122 2sin()4，122 则2222121212|()()48sin ()884AB， 8分 当且仅当sin()04时，|
21、AB最小，此时，4k（k Z） 因为0,)，故34 .10分 法二：设圆心1C到直线2C的距离为d，则2| 2 4ABd， 又1|2dOC，当且仅当1OC与直线2C垂直时等号成立，此时|AB最小，8分 因为14C Ox，0,)，故34 .10分 23. 选修 4-5：不等式选讲（10分） 【解】（1）令( )(21) |23|21|g xfxxx， 当32x 时，( )(23)(21)4262g xxxxx ，则322x 当3122x时，( )(23)(21)46g xxx，则3122x 当12x 时，( )(23)(21)4261g xxxxx，则112x 综上：解集为 2,1 5分 （2）因为( ) |4| |4| 4f xxxxx，则4a ，221mn 则33442222222()21212mnmnmnm nm nmnnmmnmnmnmn 8分 又2212mnmn（当且仅当22mn时取等号），则102mn， 则12211mnmn ，故得证 10分
