1、2021 届吉林省长春市高三二模数学试题届吉林省长春市高三二模数学试题（理理科）科） 一、选择题:本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.复数22cosisin33z，则复数z的虚部是 1313A. B. C. 2222D. 2.设全集2R, |40, |1UAxxBx x，则右图阴影部分表示的集合为， A. ( 1,2 B. 1,2C. 2, 1) D. (, 1 3.已知,m n是平面内的两条直线，则“直线lm且ln”是“l”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件的 4.党的十八大以
2、来，我们在脱贫攻坚领域取得了前所未有的成就，农村贫困人口大幅减少，解决困扰中华民族几千年的贫困问题，取得历史性成就.同时为全球减贫事业作出了重要贡献.2020 年为脱贫攻坚收官之年，下图为 2013 年至 2019 年每年我国农村减贫人数的条形图. 根据该条形图分析，下述结论中正确的个数为 平均每年减贫人数超过 1300 万; 每年减贫人数均保持在 1100 万以上: 打破了以往随着脱贫工作深入推进,难度越来越大,脱贫人数逐年递减的规律; 历年减贫人数的中位数是 1240（万人） . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5已知 5 道试题中有 3 道代数题和 2 道几何题，每次从中抽取一道
3、题，抽出的题不再放回.在第 1 次抽到代数题的条件下，第 2 次抽到几何题的概率为 1213A. B. C. D. 4525 6.已知nS为等差数列na的前n项和，若2515,65aS，则14aa A. 24 B. 26 C. 28 D. 30 7.已知直线l将圆22:210C xyxy 平分，且与直线230 xy垂直，则l的方程为 A. 20 B. 230 C. 240 D. 220 xyxyxyxy 8.四边形ABCD中，2,0,| 2ABDCAB BCABuuu ruuu ruuu r uuu ruuu r,则AD DCuuu r uuu r A. 1 B. 1 C. 2 D. 2 9.
4、现有如下信息: （1）黄金分割比（简称:黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比，其比值为512. （2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形. （3）有一个内角为 36的等腰三角形为黄金三角形. 由上述信息可求得sin126 B. 4A C. 5151512 51.D 24. 10.已知抛物线22(0)ypx p上一点0(2,)Ay，F为焦点，直线FA交抛物线的准线于点M，满足2FAAMuu u ruuuu r，则抛物线方程为 2222 A B. C. . 86D. 1 2432yxyxyxyx 11.已知函数
5、( )2sin()(0,|)f xx的部分图象如图所示，关于此函数的下列描述: 2; 3; 若123xx，则12( )()f xf x; 若123xx，则12( )()0f xf x. 其中正确的命题是 A. B. C. D. 12. 已 知 函 数2( )xxxef xee与 函 数3( )121g xxx 的 图 象 交 点 分 别 为 ：111( ,)P x y，222(,),(,)(N )kkkP xyP xykL，则1212()()kkxxxyyyLL A. 2 B. 0 C. 2 D. 4 二、本题共 4 小题，每小题 5 分. 13.已知点( , )P x y满足约束条件404x
6、yxyx，则2zxy的最小值为 . 14.写出一个符合“对12,Rx x，当12xx时，1212() ( )()0 xxf xf x”的函数 . 15.已知焦点在y轴上的双曲线C的渐近线方程为2yx ，则该双曲线的离心率为 . 16.“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜（如图） ，其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆 面的直径被截得的部分为高,球冠表面积2SRh，其中R为球的半径，h球冠 的高） ，设球冠底的半径为r,周长为C，球冠的面积为S，则rR的值为 （结果用S、C表示） 三、解答题:共 70 分，解答应写出
7、文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 2223 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题:共 60 分. 17.随着互联网行业、 传统行业和实体经济的融合不断加深， 互联网对社会经济发展的推动效果日益显著 某大型超市计划在不同的线上销售平台开设网店，为确定开设网店的数量，该超市在对网络上相关店铺做了充分的调查后，得到下列信息，如右图所示（其中x表示开设网店数量，y表示这x个分店的年销售额总和） 现已知55118850,2000iiiiix yy，求解下列问题： （）经判断，可利用线性回归模型拟合y与x的关系，求解y关于x的回归方程; （ II）按
8、照经验，超市每年在网上销售获得的总利润w（单位:万元）满足25140wyx，请根据:（）中的线性回归方程，估算该超市在网上开设多少分店时，才能使得总利润最大. 参考公式：线性回归方程$ybxa$，其中$aybx$，1221iniiiinx ynxybxxn$. 18.已知三棱柱111-ABC ABC,ABAC,1AA平面ABC，124AAABAC,M为棱AB上一点，若3AMBM. （）求证：平面11ABC平面11BC M； （ II）求平面11A ACC与平面11BC M所成锐二面角的余弦值. 19.已知等比数列na满足：122320,80aaaa. （）求na的通项公式； （ II）令2lo
9、gnnba，其前n项和为nS，若11nnbS恒成立，求的最小值. 20.已知函数2( ),( )ln .f xaxg xx （）当1a 时，求( )( )f xg x的最小值； （ II）若曲线( )yf x与( )yg x有两条公切线，求a的取值范围. 21.已知椭圆2222:1(0)xyCa bab的离心率为12，3(1, )2P为椭圆上一点，,A B为椭圆上不同两点，O为坐标原点. （）求椭圆C的方程； （ II）线段AB的中点为M，当AOB面积取最大值时，是否存在两定点,G H，使|GMHM为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由. 22.选修 4-4 坐标系与参数方程 在平
10、面直角坐标系中,曲线1C的参数方程为cossinxtyt（ t为参数） ，以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为22 cos3. （I）求曲线1C的极坐标方程和曲线2C的直角坐标方程; （II）曲线1C与2C相交于A、B两点，求| |OAOB的值. 23选修 4-5 不等式选讲 已知函数( ) |1|f xx. （）解不等式( )(4)8f xf x; （II）若| 1,| 1,0aba，求证：() |( )bf aba fa. 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60分） 1. 【试题解析】D 复数z
11、的虚部为23sin32，故选 D. 2.【试题解析】A 易知阴影部分为集合()( 1,2UAB I ，故选 A. 3. 【试题解析】 B 若m与n不相交， 则“直线lm且ln”不能推出“l”； 反之， 如果“l”，无论m与n是否相交， 都能推出“直线lm且ln”， 故“直线lm且ln”是“l”的必要不充分条件，故选 B. 4.【试题解析】C 由图易知正确，中位数应为 1289（万） ，错，故选 C. 5.【试题解析】C 设事件A “第 1 次抽到代数题” ，事件B “第 2 次抽到几何题”，则321(|)342P B A，故选 C. 6.【试题解析】C 由题意533565,13Saa，所以14
12、2328aaaa，故选 C. 7.【试题解析】D 由题意知，直线l过点1(,1)2，斜率为2，所以直线:220lxy，故选 D. 8.【试题解析】B 由题意知| 1,0DCDC BCuuu ruuu r uuu r，所以()1AD DCABBCCDDCAB DCCD DCuuu r uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r uuu ruuu r uuu r，故选 B 9.【试题解析】D 由题意，设ABC为36A的黄金三角形， 有51,2abcb，所以22251cos3624bcabc ， 所以51sin126cos364 ， 另外36AB，108C o，也可获得此结果，故选
13、 D. 10.【试题解析】C由2FAAMuu u ruuuu r知A为线段FM上靠近F的三等分点， 所以0(,0),(,3)22ppFMy，有22(2)2,12,2422pppyx，故选 C. 11.【试题解析】C 由图知，1 25,221212，2 ()2,0,126kk ， 故正确，错误；中，12,26xx而直线6x是函数( )f x的对称轴，故正确，错误，故选 C. 12.【试题解析】D 由题意化简，( )1xxxxeef xee，可知( )f x的图象与( )g x的图象都关于点(0,1)对称，又2224( )0(1)xxefxe，所以( )f x在(,0),(0,)上单调递减，由2(
14、 )3(4)g xx 可知，( )g x在(, 2),(2,) 上单调递减，在( 2,2)上单调递增，由图象可知，( )f x与( )g x的图象有四个交点，且都关于点(0,1)对称，所以所求和为 4，故选 D. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 【答案】6【解析】可行域为 由2zxy得2yxz ，过（2,2）点时有最小值 6. 14. 【答案】例如x 【解析】可得此函数为单调递减函数，写出一个减函数即可. 15. 【答案】52【解析】注意到双曲线的焦点在y轴上，可得2521 ( )2abeba . 16. 【答案】242CSCS【解析】2222()SRh
15、R RRr,22224CrCr 两式对应相除得222222222222()()2()142SR RRrSR RRrSR RRCrCrCrrr 设Rmr得22222222222221114SSSSm mmmm mm mmmCCCCSC 所以242rCSCRS. 三、 解答题 17.（本小题满分（本小题满分 12 分）分） 【试题解析】解： （1）由题意，521885020 40090,4,859080iixxb，400 85 460a ，所以8560yx. （6 分） （2）由（1）知，22171125585805()24wxxx ， 所以当8x 或9x时能获得总利润最大. （12 分） 18.
16、（本小题满分（本小题满分 12 分）分） 【试题解析】解： （1）证明： 11111111111A AABCA AACACA ABBACABCACB MACB MABACB MA ABB平面平面平面，即平面 111111111111111ACB MB MABCABB MBC MABCB MBC M平面平面平面平面. （6 分） （2）以A为原点，AB方向为x轴，AC方向为y轴，1AA方向为z轴， 建立空间直角坐标系. 1(4,0,2)B，1(0,4,2)C，(3,0,0)M，11( 4,4,0)BC uuuu r，1( 1,0, 2)BM uuuu r 平面11BC M的法向量为1(2,2,
17、1)n u r，平面11AACC的法向量为2(1,0,0)n u u r 即平面11AACC与平面11BC M所成锐二面角的余弦值为1212|2cos3| |n nnnu r uu ru ruu r， 即平面11AACC与平面11BC M所成锐二面角的余弦值为23. （12 分） 19.（本小题满分（本小题满分 12 分）分） 【试题解析】解： （1）由题意112112080aa qa qa q，可知4q ， 进一步解得14a . 即na的通项公式为4nna . （6 分） （2）22loglog 42nnnban，212(1) 22nSnn nnn， 2221111111nnbnSnnnn，
18、由*nN， 利用基本不等式以及对勾函数的性质可得11203nn得61123nnbS 则的最小值为623. （12 分） 20.（本小题满分（本小题满分 12 分）分） 【试题解析】解： （1）当1a 时，令2( )( )( )lnF xf xg xxx， 1( )2F xxx（0 x） 2121( )2xF xxxx，令( )0F x且0 x可得22x ， min21111()(ln2)ln222222FF . （4 分） （2）方法一：由函数( )f x和( )g x的图象可知， 当( )( )f xg x时，曲线( )yf x与( )yg x有两条公切线. 即2lnaxx在(0,)上恒成立
19、，即2ln xax在(0,)上恒成立， 设2ln( )xh xx，312ln( )xh xx 令312ln( )0 xh xx，xe 即max1()2hhee，因此，12ae. （12 分） 法二： 取两个函数相切的临界条件： 20000ln12axxaxx解得0 xe，12ae， 由此可知，若两条曲线具有两条公切线时，12ae. （12 分） 21.（本小题满分（本小题满分 12 分）分） 【试题解析】解： （1）由12e 可设2at，ct，则3bt， 则方程化为2222143xytt， 又点3(1, )2P在椭圆上，则22914143tt，解得1t ， 因此椭圆C的方程为22143xy.
20、（4 分） （2）当直线AB的斜率存在时，设AB直线的方程为ykxm， 联立直线AB和椭圆C的方程消去y得， 2234()120 xkxm，化简得：222(3 4)84120kxkmxm， 222212112221118412| |()4|()42223434AOBkmmSmxxmxxx xmkk 22222222242222222|2|4(3)(34)931234342 3|342 33434(34)mmk mmkmkkkmmmkmkkk 当221342mk时，S取得最大值3，即此时22234mk， 又122834kmxxk，121226()234myyk xxmk， 则1212(,)22x
21、xyyM，即2243(,)3434kmmMkk 令22434334kmxkmyk，则221322xy， 因此平面内存在两点G、H使得| 2 2GMHM. 当直线AB的斜率不存在时，设(2cos , 3sin )A，则(2cos ,3sin )B 2 3sin cos3sin2AOBS，即当4取得最大值3. 此时AB中点M的坐标为( 2,0)，满足方程221322xy， 即| 2 2GMHM. （12 分） 22.（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 【试题解析】 （1）曲线1C的普通方程为cossin0yx，即极坐标方程为（R）. 曲线2C的直角坐标方程为2223xyx，即22(1)4xy. （5 分） （2）曲线2C的极坐标方程为22cos30 ，代入，可得123 ， 则12| | | 3OAOB . （10 分） 23.（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 【试题解析】 （1）( )(4) |1|3|8f xf xxx，则(, 53,)x U.（5 分） （2）要证() |( )bf aba fa成立，即证|1| |abba 成立， 即证22221baba成立，只需证222(1)(1)0a bb成立 即证22(1)(1)0ab成立，由已知| 1,| 1ab得22(1)(1)0ab显然成立.（10 分）
