1、2021 年河南省新乡市高考数学二模试卷（理科）年河南省新乡市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知 z，则 的虚部是（ ） Ai Bi C1 D1 2定义集合 MNx|xM 且 x1N，已知集合 Ax|x2+3x100，Bx|7x0，则 AB（ ） Ax|5x1 Bx|7x2 Cx|5x1 Dx|5x0 3将函数 f（x）sinx 图象上所有点的横坐标变为原来的（0），纵坐标不变，得到函数 g（x）的图象，若 g（x）的最小正周期为 6，则 （ ） A B6 C D3 4在ABC 中为 BC 边的中点，则（ ） A B C D 5某同学上学的路上
2、有 4 个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为，则该同学在上学的路上至少遇到 2 次绿灯的概率为（ ） A B C D 6执行如图所示的程序框图，若输入的 N10，则输出的 X（ ） A B C D 7已知 P 是抛物线 y24x 上一点，且 P 到焦点的距离与 P 到直线 x4 的距离之和为 7，则|PF|（ ） A4 B5 C6 D6.5 8一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为 1，3，3，5，5，
3、7，该数列从第 5 项开始成等差数列，则该塔群最下面三层的塔数之和为（ ） A39 B45 C48 D51 9已知 yf（x）的图象关于坐标原点对称，且对任意的 xR，f（x+2）f（x）恒成立，当1x0时，f（x）2x，则 f（2021）（ ） A1 B C D1 10设 ， 均为锐角，且 cos（+）+cos（），则的最大值是（ ） A B C6 D 11已知函数 f（x）的图象过点（1，），且 f（x）f（x）对 xR 恒成立，若关于 x 的方程 f（x）+a0（aR）有 3 个不同的实数根，则 a 的取值范围是（ ） A（e，0） B（0，e） C（，0） D（，e） 12正四面体 A
4、BCD 的棱长为 1，点 P 是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点 P到 AD 的距离为（ ） A B C D 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题）小题）. 13在二项式（x2+）7的展开式中，x9的系数为 14如图，一个棱长为 4 的正方体被挖去一个高为 4 的正四棱柱后得到图中的几何体，若该几何体的体积为 60，则该几何体的表面积为 15已知双曲线 C：1 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 M（4，3），则F1MF2的角平分线所在直线的斜率为 16已知数列an满足 a11，an+12（ann2+1）+n2+2n，现有如下四个结论： an是单调递增数列；nN*，an+12
5、an； a10611；数列（1）nan的前 2n 项和为+n（2n+1） 其中所有正确结论的序号是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。1721 题为必题为必考题，每个试题考生都必须作答第考题，每个试题考生都必须作答第 22,23 为选考题，考生根据要求作答为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17a，b，c 分别为锐角ABC 内角 A，B，C 的对边已知 2asinA（2sinBsinC）b+（2sinCsinB）c （1）求
6、 A； （2）若 c2，试问 b 的值是否可能为 5？若可能，求ABC 的周长；若不可能，请说明理由 18某行业主管部门为了解本行业疫情过后恢复生产的中小企业的生产情况，随机调查了 120 个企业，得到这些企业第二季度相对于前一年第二季度产值增长率 y 的频数分布表 y 的分组 0.4，0.2） 0.2，0） 0，0.2） 0.2，0.4） 0.4，0.6） 企业数 30 24 40 16 10 （1）估计这些企业中产值负增长的企业比例（用百分数表示） （2）估计这 120 个企业产值增长率的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） （3）以表中 y 的分组中各组的频率为概率，某记者要从
7、当地本行业所有企业中任意选取两个企业做采访调查若采访的企业的增长率 y0.4，0.2），则采访价值为 1；采访的企业的增长率 y0.2，0），则采访价值为 2；采访的企业的增长率 y0，0.6），则采访价值为 3设选取的两个企业的采访价值之和为 X，求 X 的分布列及数学期望 19已知在三棱柱 ABCA1B1C1中，ACBC，AC1A1B，BC1，ACCC12，ACC1120 （1）证明：BC平面 A1ACC1 （2）若，求二面角 BA1PC 的余弦值 20已知函数 f（x）a（lnx+x）xex （1）若曲线 yf（x）在 x1 处的切线与 y 轴垂直，求 f（x）的单调区间； （2）若对任
8、意 x0，不等式 f（x）+10 恒成立，求 a 的取值集合 21已知椭圆 C：1（ab0）的左、右顶点分别为 A，B，E 为 C 上不同于 A，B 的动点，直线 AE，BE 的斜率 kAE，kBE满足 kAEkBE，的最小值为4 （1）求 C 的方程； （2）O 为坐标原点，过 O 的两条直线 l1，l2满足 l1AE，l2BE，且 l1，l2分别交 C 于 M，N 和 P，Q试判断四边形 MPNQ 的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题
9、作答如果多做，则按所做的第一题计分.选修选修4-4:坐标系与参数方程坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（ 为参数），直线 l：x+y以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）写出曲线 C 的普通方程及直线 l 的极坐标方程； （2）直线 m：0（0（0，）与曲线 C 和直线 l 分别交于 A，B（A，B 均异于点 O）两点，求|OA|OB|的取值范围 选修选修 4-5:不等式选讲不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x2|+|x+1| （1）求不等式 f（x）5 的解集； （2）记 f（x）的最小值为 M，若关于 x 的不等式|xm|+|x2
10、|M 有解，求 m 的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知 z，则 的虚部是（ ） Ai Bi C1 D1 解：因为 z， 所以，则 的虚部为1， 故选：D 2定义集合 MNx|xM 且 x1N，已知集合 Ax|x2+3x100，Bx|7x0，则 AB（ ） Ax|5x1 Bx|7x2 Cx|5x1 Dx|5x0 解：集合 Ax|x2+3x100 x|5x2， Bx|7x0， ABx|x|5x1 故选：C 3将函数 f（x）sinx 图象上所有点的横坐标变为原来的（0），纵坐标不变，得到函数 g（x）的图象，若 g（x）的最小正周期为 6，则
11、（ ） A B6 C D3 解：将函数 f（x）sinx 图象上所有点的横坐标变为原来的（0），纵坐标不变，得到函数 g（x）的图象， 即 g（x）sinx， 若 g（x）的最小正周期为 6， 则 T6，得 ， 故选：A 4在ABC 中为 BC 边的中点，则（ ） A B C D 解：因为 D 为 BC 边的中点， 所以+2， 因为（+）， 所以，则 23 故选：C 5某同学上学的路上有 4 个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为，则该同学在上学的路上至少遇到 2 次绿灯的概率为（ ） A B C D 解：某同学上学的路上有 4 个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的
12、概率为， 则该同学在上学的路上至少遇到 2 次绿灯的概率为： P+ 故选：D 6执行如图所示的程序框图，若输入的 N10，则输出的 X（ ） A B C D 解：模拟程序的运行，可得 X，n2 X，n3 X，n4 X，n11N， 故输出的 X 故选：B 7已知 P 是抛物线 y24x 上一点，且 P 到焦点的距离与 P 到直线 x4 的距离之和为 7，则|PF|（ ） A4 B5 C6 D6.5 解：抛物线 y24x 的焦点坐标（1，0），准线方程为 x1， P 到焦点的距离与 P 到直线 x4 的距离之和为 7， 所以 P 在直线 x4 的右侧，设 P 的横坐标 x，满足 x+1+x47，
13、解得 x5，所以|PF|5+16 故选：C 8一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为 1，3，3，5，5，7，该数列从第 5 项开始成等差数列，则该塔群最下面三层的塔数之和为（ ） A39 B45 C48 D51 解：设该数列为an，由题意得，a5，a6，成等差数列，公差 d2，a55， 设塔群共有 n 层，则 1+3+3+5+5（n1）+108， 解得，n12， 故最下面三层的塔数之和为 a10+a11+a123a11
14、3（5+26）51 故选：D 9已知 yf（x）的图象关于坐标原点对称，且对任意的 xR，f（x+2）f（x）恒成立，当1x0时，f（x）2x，则 f（2021）（ ） A1 B C D1 解：根据题意，yf（x）的图象关于坐标原点对称，即 yf（x）是奇函数，则有 f（x）f（x）， 又由对任意的 xR，f（x+2）f（x）恒成立，即 f（x+2）f（x）恒成立， 则有 f（x+4）f（x+2）f（x）对任意的 x 都成立， 故 f（x）是周期为 4 的周期函数，则 f（2021）f（1+4505）f（1）f（1）， 当1x0 时，f（x）2x，则 f（1）21， 故 f（2021）f（1）
15、f（1）， 故选：B 10设 ， 均为锐角，且 cos（+）+cos（），则的最大值是（ ） A B C6 D 解：因为 cos（+）+cos（）， 可得 2coscos，即 tan2sincos， 故，当且仅当，即 tan时等号成立， 故的最大值是 故选：B 11已知函数 f（x）的图象过点（1，），且 f（x）f（x）对 xR 恒成立，若关于 x 的方程 f（x）+a0（aR）有 3 个不同的实数根，则 a 的取值范围是（ ） A（e，0） B（0，e） C（，0） D（，e） 解：由 f（x）f（x），得 exf（x）+f（x）2x+1， 即exf（x）2x+1，则 exf（x）x2+x
16、+m，得 f（x）， f（1），m1，故 f（x） f（x）， 当 x（1，2）时，f（x）0，当 x（，1）或（2，+）时，f（x）0， f（x）在（1，2）上单调递增，在（，1），（2，+）上单调递减， f（x）的极大值为 f（2），极小值为 f（1）e 且当 x时，f（x）+，当 x+时，f（x）0， 关于 x 的方程 f（x）+a0（aR）有 3 个不同的实数根， f（x）的图象与 ya 有 3 个不同交点，则 0a，得a0 即 a 的取值范围是（，0） 故选：C 12正四面体 ABCD 的棱长为 1，点 P 是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点 P到 AD 的距离为（
17、） A B C D 解：四面体 ABCD 是棱长为 1 的正四面体， 底面 BCD 外接圆的半径为，高为， 其体积 V， 设正四面体内切球的半径为 r，则 4，得 r 如图，取 AD 的中点为 E， 则 则当 PE 的长度最小时，取得最小值， 设正四面体内切球的球心为 O，可得 OAOD， 球心 O 到点 E 的距离 d， 球 O 上的点 P 到 E 的最小距离为 dr 即当取得最小值时，点 P 到 AD 的距离为 故选：A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡的相应位置。把答案填在答题卡的相应位置。 13在二项
18、式（x2+）7的展开式中，x9的系数为 189 解：二项式（x2+）7的通项公式为 Tr+13r，r0，1，7， 令 149，求得 r2，可得展开式中， 含 x9的系数为32189， 故答案为：189 14如图，一个棱长为 4 的正方体被挖去一个高为 4 的正四棱柱后得到图中的几何体，若该几何体的体积为 60，则该几何体的表面积为 110 解：设正四棱柱的底面边长为：m，则 4（42m2）60，解得 m1， 所以该几何体的表面积为：424+（4212）2+414110 故答案为：110 15已知双曲线 C：1 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 M（4，3），则F1MF2的角平分线所在直线的斜
19、率为 1 解：由双曲线的焦点 F1（，0），F2（，0）， 设F1MF2的角平分线所在直线与 x 轴的交点设为 T（t，0），则 t（，）， 所以 MF1的直线方程为：y（x+），即 3x（4+）y+30， 直线 MF2的方程：y（x），即 3x（4）y30， 由角平分线的性质可得，整理可得， 解得：t1， 所以 T（1，0），所以 kMT1 故答案为：1 16已知数列an满足 a11，an+12（ann2+1）+n2+2n，现有如下四个结论： an是单调递增数列；nN*，an+12an； a10611；数列（1）nan的前 2n 项和为+n（2n+1） 其中所有正确结论的序号是 解：数列an
20、满足 a11，an+12（ann2+1）+n2+2n， 整理得：， 所以数列是以 1 为首项，2 为公比的等比数列； 所以， 整理得， 对于，显然数列an是单调递增数列；故正确； 对于，若存在整数 n，将 an+12an；代入原式，得到 1（n+1）22（1n2），化简得 n22n20，无整数解，故错误； 对于，a10512+1001611，故正确； 对于，由于（1）nan+（1）nn2（1）n，且（1）n的前 2n 项的和为 0，数列（2）n的前 2n 项的和为， 所以： 设， 故， 所以， 故数列（1）nan的前 2n 项和为+n（2n+1）故正确 故答案为： 三、解答题：本大题共三、解答
21、题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。1721 题为必题为必考题，每个试题考生都必须作答第考题，每个试题考生都必须作答第 22,23 为选考题，考生根据要求作答为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17a，b，c 分别为锐角ABC 内角 A，B，C 的对边已知 2asinA（2sinBsinC）b+（2sinCsinB）c （1）求 A； （2）若 c2，试问 b 的值是否可能为 5？若可能，求ABC 的周长；若不可能，请说明理由 解：（1）由正弦定理知，
22、2asinA（2sinBsinC）b+（2sinCsinB）c， 2a2（2bc）b+（2cb）c，即 b2+c2a2bc， 由余弦定理知，cosA， A（0，）， A （2）由（1）知，b2+c2a2bc， 若 c2，b5，则 25+4a252，a219， 由余弦定理知，cosB0， B 为钝角，与锐角ABC 相矛盾， 故 b 的值不可能为 5 18某行业主管部门为了解本行业疫情过后恢复生产的中小企业的生产情况，随机调查了 120 个企业，得到这些企业第二季度相对于前一年第二季度产值增长率 y 的频数分布表 y 的分组 0.4，0.2） 0.2，0） 0，0.2） 0.2，0.4） 0.4，
23、0.6） 企业数 30 24 40 16 10 （1）估计这些企业中产值负增长的企业比例（用百分数表示） （2）估计这 120 个企业产值增长率的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） （3）以表中 y 的分组中各组的频率为概率，某记者要从当地本行业所有企业中任意选取两个企业做采访调查若采访的企业的增长率 y0.4，0.2），则采访价值为 1；采访的企业的增长率 y0.2，0），则采访价值为 2；采访的企业的增长率 y0，0.6），则采访价值为 3设选取的两个企业的采访价值之和为 X，求 X 的分布列及数学期望 解：（1）产值负增长的企业频率为：0.4545%， 用样本频率分布估计总体
24、分布得这些企业中产值负增长的企业比例为 45% （2）企业产值增长率的平均数 （0.3300.124+0.140+0.316+0.510）0.02； （3）企业的增长率 y0.4，0.2）的概率为， 企业的增长率 y0.2，0）的概率为， 企业的增长率 y0，0.6）的概率为， 由题意可得 X 的可能取值为 2，3，4，5，6， 则 P（X2），P（X3）2， P（X4）+2，P（X5）2， P（X6）， 所以 X 的分布列为： X 2 3 4 5 6 P 故 E（X）2 19已知在三棱柱 ABCA1B1C1中，ACBC，AC1A1B，BC1，ACCC12，ACC1120 （1）证明：BC平面
25、 A1ACC1 （2）若，求二面角 BA1PC 的余弦值 【解答】（1）证明：因为在三棱柱 ABCA1B1C1中，ACCC12， 四边形 A1ACC1是菱形，所以 AC1A1C， 又因为 AC1A1B，A1BA1CA1，所以 AC1平面 A1BC， 又因为 BC平面 A1BC，所以 BCAC1， 又因为 ACBC，AC1ACA，所以 BC平面 A1ACC1 （2）解：取 A1C1中点 M，连接 MC，因为四边形 A1ACC1是菱形，ACC1120， 所以A1C1C60，CC1A1为正三角形，所以 CMC1A1，因为 ACA1C1，所以 CMAC， 由（1）知 BC平面 A1ACC1，CM平面
26、A1ACC1，所以 BCCM， 所以 CB、CA、CM 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， B（1，0，0），A（0，2，0），P（0，0），A1（0，1，）， （1，0），（1，1，）， 设平面 A1BP 的法向量为 （x，y，z）， ，令 y3， （2，3，1，）， 平面 A1CP 的法向量为 （1，0，0）， 所以二面角 BA1PC 的余弦值为 20已知函数 f（x）a（lnx+x）xex （1）若曲线 yf（x）在 x1 处的切线与 y 轴垂直，求 f（x）的单调区间； （2）若对任意 x0，不等式 f（x）+10 恒成立，求 a 的取值集合 解：（1）因为 f（x）a（+1）（
27、x+1）ex， 所以 f（1）2（ea）0， 解得 ae，故 f（x）（x+1）（ex）， 因为 f（x）的定义域为（0，+），所以（x+1）0， 且函数 （x）ex在（0，+）上为增函数，（1）0， 当 0 x1 时，（x）0；当 x1 时，（x）0， 故 f（x）的单调递减区间为（1，+），单调递增区间为（0，1） （2）f（x）（x+1）（ex）， 当 a0 时，f（x）0，此时 f（x）在（0，+）上单调递减， 当 x0 时，f（x）+1+，不符合题意， 当 a0 时，f（）+110，不合题意， 当 a0 时，令 f（x）0 得 ex0，即 xexa， 令 g（x）xex，则 g（x）
28、ex（x+1）0， 所以 g（x）在（0，+）上单调递增， 则存在 x0（0，+），使得 x0ea， 两边同时取对数可得 x0+lnx0lna， 当 0 xx0时，xexa，f（x）0， 当 xx0时，xexa，f（x）0， 所以 f（x）maxa（lnx0+x0）x0ealnaa， 令 h（a）alnaa+1（a0），则 h（a）lna， 由 h（a）0，得 a1；由 h（a）0，得 0a1， 从而 h（a）minh（1）0， 所以 h（a）0， 又因为 h（a）alnaa+10， 所以 h（a）alnaa+10，所以 a1， 故 a 的取值集合为1 21已知椭圆 C：1（ab0）的左、右顶
29、点分别为 A，B，E 为 C 上不同于 A，B 的动点，直线 AE，BE 的斜率 kAE，kBE满足 kAEkBE，的最小值为4 （1）求 C 的方程； （2）O 为坐标原点，过 O 的两条直线 l1，l2满足 l1AE，l2BE，且 l1，l2分别交 C 于 M，N 和 P，Q试判断四边形 MPNQ 的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由 解：（1）设 E（x0，y0），则+1， 因为 kAEkBE， 所以（x0+a）（x0a）+y02（x0+a）（x0a）+b2（1）x02c2c2， 所以，解得 a28，b24， 所以椭圆的方程为+1 （2）根据椭圆的对称性，可知 OMON，
30、OPOQ， 所以四边形 MPNQ 为平行四边形，所以 SMPNQ4SOMP， 设直线 l1，l2的斜率分别为 k1，k2，M（x1，y1），P（x2，y2）， 则 y1k1x1，y2k2x2， 因为 l1AE，l2BE，所以 k1k2kAEkBE， 当直线 MP 的斜率不存在时，y1y2，x1x2， ，得y12k1k2x12x12， 又+1，解得|x1|2，|y1|， 所以 SMPNQ4SOMP4|2y1|x1|8， 当直线 MP 的斜率存在时，设直线 MP 的方程为 ykx+m， 联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m280， 则（4km）24（2k2+1）（2m28）8（8k2+4m2
31、）0， 所以 x1+x2，x1x2， 因为 k1k2， 所以，整理得 m24k2+2， 因为直线 MP 过点（0，m）， 所以 SMPNQ4SOMP4|m|x1x2| 2|m| 2|m| ， 将 m24k2+2 代入，整理得 SMPNQ8， 综上，四边形 MPNQ 的面积为定值，且定值为 8 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.选修选修4-4:坐标系与参数方程坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（ 为参数），直线 l：x+
32、y以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）写出曲线 C 的普通方程及直线 l 的极坐标方程； （2）直线 m：0（0（0，）与曲线 C 和直线 l 分别交于 A，B（A，B 均异于点 O）两点，求|OA|OB|的取值范围 解：（1）曲线 C 的参数方程为（ 为参数），转换为直角坐标方程为（x1）2+y21 直线 l：x+y，根据，转换为极坐标方程为 （2）由于圆的直角坐标方程为（x1）2+y21 根据转换为极坐标方程为 2cos 所以|OA|OB|， 由于 0（0，）， 所以|OA|OB|的取值范围为 选修选修 4-5:不等式选讲不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x2|+|x+1| （1）求不等式 f（x）5 的解集； （2）记 f（x）的最小值为 M，若关于 x 的不等式|xm|+|x2|M 有解，求 m 的取值范围 解：（1）|2x2|+|x+1|5 等价为或或， 解得x1 或1x1 或 1x2， 综上可得，原不等式的解集为，2； （2）f（x）|2x2|+|x+1|x1|+|x+1|+|x1|x1x1|+|11|2， 当 x1 时，上式取得等号， 则 M2，即|xm|+|x2|2 有解， 由|xm|+|x2|xmx+2|m2|，当（xm）（x2）0 时，取得等号， 所以|m2|2，解得 0m4， 所以 m 的取值范围是0，4
