1、江苏省苏北四市江苏省苏北四市 20212021 届届高三高三 4 4 月新高考月新高考适应性模拟考试适应性模拟考试数学试卷数学试卷 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1已知集合 M12xx ，N21xx，则 MIN A2x x B12xx C15xx D02xx 2若复数 z 满足(3+4i)5iz（i 是虚数单位） ，则z A1 B12 C5 D15 3已知sin2a ，2log sin2b ，sin22c ，则 a，b，c 的大小关系是 Aabc Bcab Cbac Dcb
2、a 4甲、乙、丙、丁、戊 5 名党员参加“党史知识竞赛” ，决出第一名到第五名的名次（无并列名次） ，已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五，据此推测 5 人的名次排列情况共有 A5 种 B8 种 C14 种 D21 种 5定义在 R 上的奇函数( )f x在(，0上单调递减，且( 1)1f ，则不等式1(lg )(lg)fxfx2的解集为 A(，10) B(0，10) C(110，10) D(0，110) 6今天是星期三，经过 7 天后还是星期三，那么经过 82021天后是 A星期二 B星期三 C星期四 D星期五 7将正整数 12 分解成两个正整数的乘积有 112，26，34 三种，其中 34
3、 是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称 34 为 12 的最佳分解，当 pq(p，qN)是正整数 n 的最佳分解时，我们定义函数( )f npq，例如(12)431f，则20211(2 )iif A210111 B21011 C210101 D21010 8如图，直角三角形 PQR 的三个顶点分别在等边三角形 ABC 的边 AB、BC、CA 上，且 PQ2 3，QR2，PQR2，则 AB 长度的最大值为 A10 33 B6 C4 213 D8 63 二、 多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分， 共计 20 分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答
4、题卡相应位置上） 9 某高中 2020 年的高考考生人数是 2010 年高考考生人数的 1.5 倍， 为了更好地比较该校考生的升学情况，统计了该校 2010 年和 2020 年的高考升学率，得到如下柱状图： 则下列说法中正确的有 A与 2010 年相比，2020 年一本达线人数有所减少 B2020 年二本达线率是 2010 年二本达线率的 1.25 倍 C2010 年与 2020 年艺体达线人数相同 D与 2010 年相比，2020 年不上线的人数有所增加 10已知1x，2x是函数( )2sin()6f xx(0)的两个不同零点，且12xx的最小值是2，则下列说法中正确的有 A函数( )f x
5、在0，3上是增函数 B函数( )f x的图像关于直线6x 对称 C函数( )f x的图像关于点(，0)中心对称 D当 x2，时， 函数( )f x的值域是2，1 11如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB4，BCBB12，E、F 分别为棱 AB、A1D1的中点，则下列说法中正确的有 ADB1CE B三棱锥 DCEF 的体积为83 C若 P 是棱 C1D1上一点，且 D1P1，则 E、C、P、F 四点共面 D平面 CEF 截该长方体所得的截面为五边形 1217 世纪初，约翰纳皮尔为了简化计算而发明了对数，对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱
6、布尼兹的微积分共同称为 17 世纪的三大数学发明我们知道， 任何一个正实数 N 可以表示成 N10na(1a10， nZ)的形式， 两边取常用对数， 则有 lgNnlga，现给出部分常用对数值（如下表） ，则下列说法中正确的有 真数 x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 lgx(近似值) 0.301 0.477 0.602 0.699 0.778 0.845 0.903 0.954 1.000 真数 x 11 12 13 14 15 16 17 18 19 lgx(近似值) 1.041 1.079 1.114 1.146 1.176 1.204 1.230 1.255 1.279 A310
7、在区间(104，105)内 B250是 15 位数 C若50210ma(1a10，mZ)，则 m16 D若 m32(mN)是一个 35 位正整数，则 m12 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置上） 13已知两个单位向量ar、br满足12a b r r，则ar与br的夹角为 14已知 F 为双曲线22221xyab(a0，b0)的右焦点，过 F 作与 x 轴垂直的直线交双曲线于 A，B 两点，若以 AB 为直径的圆过坐标原点，则该双曲线的离心率为 15写出一个值域为1，2的周期函数( )f x 16 已知正四棱锥 SABCD 的底面边长为
8、 2， 侧棱长为10， 其内切球与两侧面 SAB， SAD 分别切于点 P，Q，则 PQ 的长度为 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 10 分） 已知数列 na中，11a ，23a ，其前 n 项和nS满足1122nnnSSS(n2，nN) （1）求数列 na的通项公式； （2）若2nannba，求数列 nb的前 n 项和nT 18 （本小题满分 12 分） 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 abc，现有三个条件：a，b，c 为连续自然数；c3a；C2A （1）从上述三
9、个条件中选出两个，使得ABC 不存在，并说明理由（写出一组作答即可） ； （2）从上述三个条件中选出两个，使得ABC 存在，并求 a 的值 19 （本小题满分 12 分） 某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况（评价结果仅有“好评”、 “差评” ） ，从平台所有参与评价的观众中随机抽取 216 人进行调查，部分数据如下表所示（单位：人） ： （1）请将 22 列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”？ （2）若将频率视为概率，从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取 3 人，用随机变量 X 表示被抽到的男性观众的人数，求 X 的分布列； （3
10、）在抽出的 216 人中，从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取 10 人，从给出“差评”的观众中抽取 m(mN)人，现从这(10m)人中，随机抽出 2 人，用随机变量 Y 表示被抽到的给出“好评”的女性观众的人数若随机变量 Y 的数学期望不小于 1，求 m 的最大值 20 （本小题满分 12 分） 图 1 是由正方形 ABCD，RtABE，RtCDF 组成的一个等腰梯形，其中 AB2，将ABE、CDF分别沿 AB，CD 折起使得 E 与 F 重合，如图 2 （1）设平面 ABEI平面 CDEl，证明：lCD； （2）若二面角 ABED 的余弦值为55，求 AE 长 21 （本小题满分
11、12 分） 已知函数ln( )xf xx （1）若直线1ykx是曲线( )yf x的切线，求实数 k 的值； （2）若对任意 x(0，)，不等式ln( )1af xaxx 成立，求实数 a 的取值集合 22 （本小题满分 12 分） 已知椭圆22221xyab(ab0)的左焦点为 F，过 F 的直线4 330 xy与椭圆在第一象限交于 M点，O 为坐标原点，三角形 MFO 的面积为34 （1）求椭圆的方程； （2）若ABC 的三个顶点 A，B，C 都在椭圆上，且 O 为ABC 的重心，判断ABC 的面积是否为定值，并说明理由 江苏省苏北四市江苏省苏北四市 20212021 届届高三高三 4 4
12、 月新高考月新高考适应性模拟考试适应性模拟考试数学试卷数学试卷 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1已知集合 M12xx ，N21xx，则 MIN A2x x B12xx C15xx D02xx 答案：B 解析：M12xx 1，5)，N21xx(0，2)，所以 MIN12xx，故 B 符合题意 2若复数 z 满足(3+4i)5iz（i 是虚数单位） ，则z A1 B12 C5 D15 答案：1 解析：5i43i34i55z ，故z1，选 A 3已知sin2a ，2log sin
13、2b ，sin22c ，则 a，b，c 的大小关系是 Aabc Bcab Cbac Dcba 答案：B 解析：sin2a (0，1)，则2log sin20b ，sin221c ，故 cab，选 B 4甲、乙、丙、丁、戊 5 名党员参加“党史知识竞赛” ，决出第一名到第五名的名次（无并列名次） ，已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五，据此推测 5 人的名次排列情况共有 A5 种 B8 种 C14 种 D21 种 答案：C 解析：当丙是第一时，有33A6 种情况；当丙不是第一时，有112222C C A8 种情况故共有 6814 种，选C 5定义在 R 上的奇函数( )f x在(，0上单调递减，
14、且( 1)1f ，则不等式1(lg )(lg)fxfx2的解集为 A(，10) B(0，10) C(110，10) D(0，110) 答案：D 解析：1(lg )(lg)2lg2lg1fxfxxx，据题意知，( )f x在 R 上单调递减，且( 1)1f ，故lg1x ，解得1010 x，故 D 符合题意 6今天是星期三，经过 7 天后还是星期三，那么经过 82021天后是 A星期二 B星期三 C星期四 D星期五 答案：C 解析：20212021011222021202120212021202120218(17)777CCCCL，故 82021除以 7 的余数是 1，故选 C 7将正整数 12
15、 分解成两个正整数的乘积有 112，26，34 三种，其中 34 是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称 34 为 12 的最佳分解，当 pq(p，qN)是正整数 n 的最佳分解时，我们定义函数( )f npq，例如(12)431f，则20211(2 )iif A210111 B21011 C210101 D21010 答案：A 解析：当 i 为偶数时，(2 )if0；当 i 为奇数时，(2 )if122i， 所以2021012101010111(2 )222221iifL 8如图，直角三角形 PQR 的三个顶点分别在等边三角形 ABC 的边 AB、BC、CA 上，且 PQ2 3，QR2，
16、PQR2，则 AB 长度的最大值为 A10 33 B6 C4 213 D8 63 答案：C 解析：设PQB，则RQC2，所以BPQ23，CRQ6， 在PBQ 中，由正弦定理，即， 在CRQ 中，由正弦定理，即， 所以 二、 多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分， 共计 20 分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9 某高中 2020 年的高考考生人数是 2010 年高考考生人数的 1.5 倍， 为了更好地比较该校考生的升学情况，统计了该校 2010 年和 2020 年的高考升学率，得到如下柱状图： 则下列说法中正确的有 A与 201
17、0 年相比，2020 年一本达线人数有所减少 B2020 年二本达线率是 2010 年二本达线率的 1.25 倍 C2010 年与 2020 年艺体达线人数相同 D与 2010 年相比，2020 年不上线的人数有所增加 答案：BD 解析：设 2010 年考生数为 x，则 2020 年考生数为32x，因为 x28%32x24%x36%，即 A 错误； 因为4053241.25，即 B 正确； 因为 x8%32x8%x12%，即 C 错误； 因为 x32%32x28%x42%，即 D 正确 10已知1x，2x是函数( )2sin()6f xx(0)的两个不同零点，且12xx的最小值是2，则下列说法
18、中正确的有 A函数( )f x在0，3上是增函数 B函数( )f x的图像关于直线6x 对称 C函数( )f x的图像关于点(，0)中心对称 D当 x2，时， 函数( )f x的值域是2，1 答案：ABD 解析： 易知( )f x的周期 T22， 所以2， 即( )2sin(2)6f xx， 当 x0，3时，26x6，2，( )f x单调递增，即 A 正确； 当6x 时，262 ，即 B 正确； ( )2sin(2)06f，即 C 错误； 当 x2，时，26x56，116，所以( )f x的值域是2，1，即 D 正确 11如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB4，BCBB12，E、F
19、 分别为棱 AB、A1D1的中点，则下列说法中正确的有 ADB1CE B三棱锥 DCEF 的体积为83 C若 P 是棱 C1D1上一点，且 D1P1，则 E、C、P、F 四点共面 D平面 CEF 截该长方体所得的截面为五边形 答案：BCD 解析：因为 DB 与 CE 不垂直，所以 DB1不可能垂直于 CE，故 A 错误； VDCEFVFCDE118422323 ，即 B 正确； 当 P 是棱 C1D1上一点，且 D1P1 时，CEFP，故 E、C、P、F 四点共面，即 C 正确； 由 C 可知，FP，PC，CE 为截面的边，而截面又与平面 ABB1A1以及平面 ADD1A1相交，得两条截面的边
20、，即共有五条边，即 D 正确 1217 世纪初，约翰纳皮尔为了简化计算而发明了对数，对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为 17 世纪的三大数学发明我们知道， 任何一个正实数 N 可以表示成 N10na(1a10， nZ)的形式， 两边取常用对数， 则有 lgNnlga，现给出部分常用对数值（如下表） ，则下列说法中正确的有 A310在区间(104，105)内 B250是 15 位数 C若50210ma(1a10，mZ)，则 m16 D若 m32(mN)是一个 35 位正整数，则 m12 答案：ACD 解析：，A 正确； ，B
21、错误； ，即 m16，故 C 正确； ，则，则，又，即 m12，D 正确 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置上） 13已知两个单位向量ar、br满足12a b r r，则ar与br的夹角为 答案：23 解析：cos12a bab r rrr，所以ar与br的夹角为23 14已知 F 为双曲线22221xyab(a0，b0)的右焦点，过 F 作与 x 轴垂直的直线交双曲线于 A，B 两点，若以 AB 为直径的圆过坐标原点，则该双曲线的离心率为 答案：152 解析：222215102bcaccaeeea 15写出一个值域为1，2的周期函数(
22、 )f x 答案：( )sin1f xx 解析：答案不唯一 16 已知正四棱锥 SABCD 的底面边长为 2， 侧棱长为10， 其内切球与两侧面 SAB， SAD 分别切于点 P，Q，则 PQ 的长度为 答案：2 23 解析：该正四棱锥的侧面的高，则该正四棱锥的高， 其体积，表面积， 所以内切球半径，设球心为 O，则上， 所以，即 P，Q 位于侧面高的 处， 所以 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 10 分） 已知数列 na中，11a ，23a ，其前 n 项和nS满足1122nnnSSS(n2
23、，nN) （1）求数列 na的通项公式； （2）若2nannba，求数列 nb的前 n 项和nT 解： （1）由题意得 即， 又，所以 所以数列 na是以 1 为首项，公差为 2 的等差数列， 所以； （2） 所以 18 （本小题满分 12 分） 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 abc，现有三个条件：a，b，c 为连续自然数；c3a；C2A （1）从上述三个条件中选出两个，使得ABC 不存在，并说明理由（写出一组作答即可） ； （2）从上述三个条件中选出两个，使得ABC 存在，并求 a 的值 解： （1）选时三角形不存在，理由如下： 因为 a，b，c 为连续自然数，
24、abc，所以 ba1，ca2，又因为 c3a，所以 a23a， 解得不满足所以ABC 不存在； 选时三角形不存在，理由如下： 在ABC 中，由正弦定理得，因为，所以， 所以， 又因为 c3a，所以 cosA，此时 A 不存在，所以ABC 不存在， （2）选时三角形存在： 因为 a，b，c 为连续自然数，abc，所以 ba1，ca2， 在ABC 中，由余弦定理得， 在ABC 中，由正弦定理得，因为，所以， 所以， 所以，解得 19 （本小题满分 12 分） 某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况（评价结果仅有“好评”、 “差评” ） ，从平台所有参与评价的观众中随机抽取 216 人进
25、行调查，部分数据如下表所示（单位：人） ： （1）请将 22 列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”？ （2）若将频率视为概率，从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取 3 人，用随机变量 X 表示被抽到的男性观众的人数，求 X 的分布列； （3）在抽出的 216 人中，从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取 10 人，从给出“差评”的观众中抽取 m(mN)人，现从这(10m)人中，随机抽出 2 人，用随机变量 Y 表示被抽到的给出“好评”的女性观众的人数若随机变量 Y 的数学期望不小于 1，求 m 的最大值 解： （1）填写 22 列联表如下：
26、 所以 所以有 99%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关” ； （2）从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取 1 人为男性的概率为，且各次抽取之间相互独立， 所以，所以 故 X 的分布列为 （3）Y 的可能取值为 0，1，2， 所以 所以， 即，即， 解得，又所以 m 的最大值为 2 20 （本小题满分 12 分） 图 1 是由正方形 ABCD，RtABE，RtCDF 组成的一个等腰梯形，其中 AB2，将ABE、CDF分别沿 AB，CD 折起使得 E 与 F 重合，如图 2 （1）设平面 ABEI平面 CDEl，证明：lCD； （2）若二面角 ABED 的余弦值为55，求 AE 长
27、解： （1）因为 CDAB，AB平面 ABE，CD 平面 ABE， 所以 CD平面 ABE， 又 CD平面 ECD，平面 ABE平面 ECD所以； （2）因为，所以， 又平面 ADE，平面 ADE， 所以 AB平面 ADE， 因为平面 ABCD，所以平面 ABCD平面 AED， 过 E 作 EOAD 于点 O，则 O 是 AD 的中点， 因为平面平面 AEDAD，平面 ADE， 所以 EO平面 ABCD， 以 O 为原点，与 AB 平行的直线为 x 轴，OD 所在直线为 y 轴，OE 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz， 设，则 设平面 ABE 的法向量为， 则，即，取，则， 所
28、以平面 ABE 的一个法向量为， 同理可求得平面 BDE 的一个法向量为， 所以，解得或， 检验发现时二面角 ABED 的平面角为钝角， 所以，此时， 21 （本小题满分 12 分） 已知函数ln( )xf xx （1）若直线1ykx是曲线( )yf x的切线，求实数 k 的值； （2）若对任意 x(0，)，不等式ln( )1af xaxx 成立，求实数 a 的取值集合 解： （1）因为，所以， 设切点为，此时切线方程为， 又直线过(0，1)，所以，即， 令，则，且在上单调递增， 所以方程有唯一解，所以， （2）不等式恒成立，即不等式恒成立， 令，则 所以是函数的极值点，所以，即 此时， 所以
29、在上递减，在上递增， 所以，符合题意， 所以，实数 a 的取值集合为 22 （本小题满分 12 分） 已知椭圆22221xyab(ab0)的左焦点为 F，过 F 的直线4 330 xy与椭圆在第一象限交于 M点，O 为坐标原点，三角形 MFO 的面积为34 （1）求椭圆的方程； （2）若ABC 的三个顶点 A，B，C 都在椭圆上，且 O 为ABC 的重心，判断ABC 的面积是否为定值，并说明理由 解： （1）直线过左焦点 F，所以，所以， 又由得，即，所以， 由椭圆定义知，即， 所以椭圆的方程为， （2）当直线 BC 的斜率不存在时，设直线 BC 的方程为， 设，则，因为 O 为ABC 的重心，所以， 所以， 所以， 当直线 BC 的斜率存在时，设直线 BC 的方程为，设， 由得，显然， 所以，所以， 所以 BC 的中点， 因为 O 为ABC 的重心，所以， 由 A 在椭圆上得，化简得， 所以， 因为点 A 到直线 BC 的距离 d 等于 O 到直线 BC 距离的 3 倍，所以， 所以， 综上得，ABC 的面积为定值
