1、2022 年年湖南省长沙市湖南省长沙市中考第一次模拟考试中考第一次模拟考试数学试卷数学试卷 第卷（选择题，共 30 分） 一、选择题（本大题有 10 个小题，共 30 分.每小题各 3 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1下列各数中，最大的有理数的是（ ） A3.14 B3 C0 D 2新型冠状病毒（COVID19） ，因 2019 年武汉病毒性肺炎病例而被发现，其直径大约在 0.1 微米，1 微米0.000001 米，0.1 微米用科学记数法表示为（ ）米 A1 105 B1 106 C1 107 D1 108 3下列 4 个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的
2、是（ ） A B C D 4下列运算正确的是( ) Aa3+a3a6 B （a+b）2a2+b2 C （a5）2a7 D （a+2） （a2）a24 5如图，在 ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，若B=40 ，则BDE 的度数为（ ） A40 B50 C140 D150 6如图，A，B，C是Oe上的三个点，若66B，则OAC的度数为（ ） A24 B29 C33 D132 7点 P 在一次函数 y3x+4 的图象上，则点 P 不可能在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 8某青年足球队 10 名队员年龄情况如下：18，19，18，19，21，19，20，19
3、，22，20则这 10 名队员年龄的众数、中位数分别是（ ） A18，19 B19，19 C19，19.5 D18，19.5 9有 4 张背面相同的卡片，正面分别印有平行四边形、矩形、菱形、正方形，现将 4 张卡片正面朝下一字摆开，从中随机抽取两张，抽到的两张卡片上都恰好印的既是中心对称又是轴对称的图形的概率为（ ） A1 B34 C23 D12 10将号码分别为 1，2，3，9 的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个球，号码为 a，放回后乙再摸出一个球，号码为 b，则使不等式2100ab成立的事件发生的概率为（ ） A5281 B5981 C6081 D6
4、181 第卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题（本大题有 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分） 11分解因式 5+5x210 x_ 12如图，CD 是O 的直径，AB 是弦，CDAB，若 OB5，AB8，则 AC 的长为_ 13如图，在菱形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 E，F 是 BC 的中点，如果 EF3，那么菱形 ABCD 的周长是 _ 14若 x0 是关于 x 的一元二次方程 m2x2+6x+m22m0 的一个根，则 m_ 15如图，BD 和 CD 是 ABC 的角平分线，BDC118 ，则BAC_ 16如图，是小垣同学某两天进行四个体育项目（ABCD）锻炼的时间统计
5、图，第一天锻炼了 1 小时，第二天锻炼了 40 分钟，根据统计图，小垣这两天体育锻炼时间最长的项目是_ 三、解答题（本大题有 7 个小题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 17 （本题满分 6 分）计算：2016sin4512820222 18 （本题满分 6 分）先化简，再求值： （1xx 1xx ）211x ，其中 x2 19 （本题满分 8 分） 如图是7 5的正方形网格， 每个小正方形的边长为 1， 每个小正方形的顶点称为格点，ABCV的顶点均在格点上，回答下列问题 （要求：作图只用无刻度的直尺，经过的格点请描深一点 ） (1)边AC的长度为_； (2)作 ABC
6、的角平分线AD； (3)已知点P在线段AB上， 点Q在 （2） 中作出的线段AD上， 当 PQ+BQ的长度最小时， 在网格图中作出 PBQ 20 （本题满分 8 分）为了引导青少年学党史，某中学举行了“献礼建党百年”党史知识竞赛活动，将成绩划分为四个等级：A（优秀） 、B（优良） 、C（合格） 、D（不合格） 小李随机调查了部分同学的竞赛成绩，绘制成了如下统计图（部分信息未给出） ： （1）小李共抽取了 名学生的成绩进行统计分析，扇形统计图中“优秀”等级对应的扇形圆心角度数为 ，请补全条形统计图； （2）该校共有 2000 名学生，请你估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数； （3）已知调查对象中
7、只有两位女生竞赛成绩不合格，小李准备随机回访两位竞赛成绩不合格的同学，请用树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率 21 （本题满分 8 分）如图是直角三角尺（ABCV）和等腰直角三角尺（BCD）放置在同一平面内，斜边BC 重合在一起，90ABDC ，30ABC，BDCDDEAB交 AB于点 E；作DFAC交 AC的延长线于点 F (1)求证：四边形 AEDF 是正方形 (2)当4AC 时，求正方形 AEDF的边长 22 （本题满分 8 分）“菊润初经雨，橙香独占秋”，如图，橙子是一种甘甜爽口的水果，富含丰维生素 C某水果商城为了了解两种橙子市场销售情况，购进了一批数量相等的“血橙”和“脐橙
8、”供客户对比品尝，其中购买“脐橙”用了 420 元，购买“血橙”用了 756 元，已知每千克“血橙”进价比每千克“脐橙”贵 8 元 (1)求每千克“血橙”和“脐橙”进价各是多少元？ (2)若该水果商城决定再次购买同种“血橙”和“脐橙”共 40 千克，且再次购买的费用不超过 600 元，且每种橙子进价保持不变若“血橙”的销售单价为 24 元，“脐橙”的销售单价为 14 元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“血橙”和“脐橙”售完后获得利润最大？最大利润是多少？ 23 （本题满分 8 分）如图，在 ABC 中，ACB90 ，BCAC，CDAB 于点 D，点 E是 AB 的中点，连接 CE (1)
9、若 AC3，BC4，求 CD 的长； (2)求证：BC2AC22DEAB； (3)求证：CE12AB 24 （本题满分 10 分）小亮在学习完一次函数，反比例函数，二次函数后，从中心对称的角度思考函数图象上的点，发现所有的反比例函数图象上都存在不同的两点关于原点对称，经过探究，小亮发现一些一次函数、二次函数图象上也存在不同的两点关于原点对称 （1）下列给出的一次函数中，其图象上存在不同的两点关于原点对称的是_； 2yx ；3yx；2yx；23yx （2） 已知二次函数240yaxbxa a的图象上存在不同的两点,A mm与 B 关于原点对称， 其中0m 求 m及 b 的值； 点 C是该二次函数
10、图象上点 A，B之间的一个动点（含端点 A，B） ，若点 C的纵坐标 t最小值为5a，求此二次函数解析式 25 （本题满分 10 分） 如图， 点O为以AB为直径的半圆的圆心， 点M，N在直径AB上， 点P，Q在AB上，四边形MNPQ为正方形，点C在QP上运动（点C与点P，Q不重合） ，连接BC并延长交MQ的延长线于点D，连接AC交MQ于点E，连接OQ （1）求sinAOQ的值； （2）求AMMN的值； （3）令MEx，QDy，直径2ABR（0R，R是常数） ，求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围 2022 年湖南省长沙市中考第一次模拟考试数学试卷年湖南省长沙市中考第一次模拟考试数
11、学试卷 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C D D C A D B D D 1C 【解析】 【分析】 首先根据有理数和无理数的定义以及有理数大小比较的法则：正数都大于 0；负数都小于 0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，进行求解即可 【详解】 解：3.143.14330 ， 3.1430 ， 又是无理数， 最大的有理数为 0， 故选 C 【点睛】 本题主要考查了有理数与无理数的定义，有理数比较大小，熟知有理数比较大小的方法是解题的关键 2C 【解析】 【分析】 本题考查利用科学记数法表示绝对值较小的数，首先把 0.1 微米转化为 0.000001 米，进一步确定
12、 a=1，指数-n 中的 n 等于 1 前面 0 的个数，进而得出结果. 【详解】 解：1 微米0.000001 米， 0.1 微米0.0000001 米1 107米 故选：C 【点睛】 绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a 10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 3D 【解析】 【分析】 根据把一个图形绕某一点旋转 180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对
13、称图形，这条直线叫做对称轴据此进行分析即可 【详解】 解：A是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； C是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； D既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意 故选：D 【点睛】 本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，是基础题，掌握定义是解题的关键 4D 【解析】 【分析】 根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方法则，平方差公式依次判断即可. 【详解】 解：A.3332aaa，不符合题意； B.222()2abaabb，不符合题意； C.5 25 210()aaa，不符合题
14、意； D.222(2)(2)()24aaaa ，符合题意. 故选：D. 【点睛】 本题考查了合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方法则、平方差公式等知识，灵活运用以上知识化简是解题的关键. 5C 【解析】 【分析】 由条件可知 DE是 ABC的中位线，即 DEBC，根据平行线的性质即可求出BDE的度数为 140 【详解】 解：点 D、E分别是 AB、AC的中点， DE是 ABC的中位线， DEBC， 即：B+BDE=180 ， BDE=180 -B=180 -40 =140 故选：C 【点睛】 本题主要考查的是三角形中位线的性质，以及平行线的性质的应用，掌握中位线的性质是解题的关键 6A 【解
15、析】 【分析】 根据圆周角定理得到2132AOCB ，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和求解即可 【详解】 解：66BQ， 2132AOCB ， OAOCQ， OACOCA， 11(180)(180132 )2422OACAOC ， 故选：A 【点睛】 此题考查了圆周角定理，解题的关键是熟记圆周角定理 7D 【解析】 【分析】 根据函数的性质判断函数图象所经过的象限，由此解答 【详解】 解：一次函数 y3x+4 中 k=30，b=40， 函数图象过第一、二、三象限， 点 P在一次函数 y3x+4 的图象上， 点 P不可能在第四象限， 故选：D 【点睛】 此题考查了一次函数的性质，熟记由 k、
16、b 的值确定一次函数图象所经过的象限是解题的关键 8B 【解析】 【分析】 将数据重新排列，再根据众数和中位数的定义求解可得 【详解】 解：将这组数据重新排列为 18，18，19，19，19，19，20，20、21，22， 所以这组数据的众数为 19，中位数为19192=19， 故选：B 【点睛】 本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数 9D 【解析】 【分析】 先根据题意得列出
17、表格，可得共有 12 种等可能结果，抽到的两张卡片上都恰好印的既是中心对称又是轴对称的图形的有 6 种，再根据概率公式，即可求解 【详解】 解： 根据题意得列出表格如下： 平行四边形 矩形 菱形 正方形 平行四边形 矩形、平行四边形 菱形、平行四边形 正方形、平行四边形 矩形 平行四边形、矩形 菱形、矩形 正方形、矩形 菱形 平行四边形、菱形 矩形、菱形 正方形、菱形 正方形 平行四边形、正方形 矩形、正方形 菱形、正方形 不平行四边形是中心对称图形，矩形、菱形、正方形既是中心对称又是轴对称的图形， 共有 12 种等可能结果，抽到的两张卡片上都恰好印的既是中心对称又是轴对称的图形的有 6 种，
18、 抽到的两张卡片上都恰好印的既是中心对称又是轴对称的图形的概率为61122 故选：D 【点睛】 本题主要考查了利用画树状图或列表格求概率，能根据题意画出树状图或列出表格是解题的关键 10D 【解析】 【分析】 本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是两次分别从袋中摸球，共有 9 9 种结果，满足条件的事件是使不等式 a-2b+100 成立的，即 2b-a10，列举出当当 b=1，2，3，4，5，6，7，8，9 时的所有的结果，得到概率 【详解】 由题意知本题是一个等可能事件的概率， 试验发生包含的事件是两次分别从袋中摸球，共有 9 9=81 种结果， 满足条件的事件是使不等式 a-2b
19、+100 成立的，即 2b-a10 当 b=1，2，3，4，5 时，a 有 9 种结果，共有 45 种结果， 当 b=6 时，a 有 7 种结果 当 b=7 时，a 有 5 种结果 当 b=8 时，a 有 3 种结果 当 b=9 时，a 有 1 种结果 共有 45+7+5+3+1=61 种结果， 所求的概率是6181， 故选 D 【点睛】 本题考查等可能事件的概率，在解题的过程中注意列举出所有的满足条件的事件数时，因为包含的情况比较多，又是一个数字问题，注意做到不重不漏 115（x1）2 【解析】 【分析】 先提公因式，再利用完全平方公式即可得出答案 【详解】 解：5+52x10 x5（1+2
20、x2x） 5（x1）2 故答案为：5（x1）2 【点睛】 题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键 124 5 【解析】 【分析】 根据垂径定理得出 AE=BE=118422AB =?，然后利用勾股定理先求 OE=3，再求 CE，根据勾股定理求 AC即可 【详解】 解：设 AB与 CD交于 E， CD是O的直径，AB是弦，CDAB，AB8， AE=BE=118422AB =?， 在 Rt OEB 中，根据勾股定理 OE=OBEB2222543-=-=， CE=OC+OE=5+3=8， 在 Rt AEC 中，AC=2222484 5AEEC+=+=， 故答案为4 5
21、 【点睛】 本题考查垂径定理，勾股定理，线段和差，掌握垂径定理，勾股定理，线段和差是解题关键 1324 【解析】 【分析】 由菱形的性质得 ABBCCDAD，AECE，再证 EF是 ABC的中位线，得 AB2EF2 36，即可求解 【详解】 解：四边形 ABCD是菱形， ABBCCDAD，AECE， F是 BC 的中点， EF 是 ABC的中位线， AB2EF2 36， 菱形 ABCD的周长4 624 故答案为：24 【点睛】 本题考查了菱形的性质，中位线的性质，掌握中位线的性质是解题的关键 142 【解析】 【分析】 一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的
22、值即把 x=0 代入方程求解可得 m 的值 【详解】 把 x=0 代入方程 m x 6x+m 2m=0 得到 m 2m=0， 解得：m=2 或 0 m0， m=2 故答案为 2 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解的定义，属于基础题型 1556 #56 度 【解析】 【分析】 根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，列出算式计算即可 【详解】 解：BD和 CD 是ABC的角平分线， ABC2DBC，ACB2DCB， BAC180（ABCACB） ， BAC1802（DBCBCD）1802（180BDC）2BDC180 ， BAC211818056 ， 故答案为：56 【点睛】 本题考查的是三
23、角形内角和定理和角平分线的定义，用已知角表示出所求的角是解题的关键 16C 【解析】 【分析】 根据统计图上的百分比求出两天的各项运动时间即可 【详解】 解：由统计图可知， 这两天锻炼时间，A 有 60 20%+40 20%20（分钟） ， B 有 60 30%+40 20%26（分钟） ， C 有 60 50%30（分钟） ， D 有 40 60%24（分钟） ， 20242630， 小垣这两天体育锻炼时间最长的项目是 C， 故答案为：C 【点睛】 本题主要考查了扇形统计图的应用，熟记概念是解题的关键，注意第一天和第二天锻炼时间是不相同的 17 【解析】解：原式26212 2 142 252
24、 . 18 【解析】解： 21111xxxxx 111111111x xx xxxxxxx 2211111xxxxxxxx =211111xxxxx 2x 当2x 时，原式22 2x 19 【解析】(1)解：根据勾股定理，得 AC=22175 2， 故答案为：5 2； (2)解：如图，AD即为所求； AB=22555 2= AC， ABC为等腰三角形， D 为 BC中点， AD为 ABC的角平分线； (3)解：如图， PBQ即为所求； AC2=50，AP2=42+42=32，CP2=32+32=18， AC2= AP2+CP2， APC=90 ，即 CPAB， AD为等腰 ABC的角平分线，
25、QB=QC， QB+ QP的最小值为 CP 20 【解析】 （1）C 等级的人数和所占比可得抽取的总人数为：25 25100（名） ， “优秀”等级对应的扇形圆心角度数为：35360126100 ， B 等级的人数为：100 3535（名） ， D 等级的人数为：1003535255（名） ， 补全条形统计图如下所示： （2）352000700100（名） ， 该校竞赛成绩“优秀”的学生人数为 700 名； （3）抽取不及格的人数有 5 名，其中有 2 名女生， 有 3 名男生， 设 3 名男生分别为1b，2b，3b，2 名女生分别为1g，2g，列表格如下所示： 1b 2b 3b 1g 2g
26、1b 21(,)b b 31( ,)b b 11(,)g b 21(,)g b 2b 12()b b, 32( ,)b b 12(,)g b 22(,)g b 3b 13( ,)b b 23(,)b b 13(,)g b 23(,)g b 1g 11( ,)b g 21(,)b g 31( ,)b g 21(,)gg 2g 12( ,)b g 22(,)b g 32( ,)b g 12(,)g g 总的结果有 20 种，一男一女的有 12 种， 回访到一男一女的概率为123205 21 【解析】(1)证明：DEAB，DFAC 90AEDF 90A 四边形 AEDF 是矩形 90CDFCDECD
27、EBDE CDFBDE 在BDEV和CDFV中 90BDECDFFBEDBDCD BDECDF AAS DEDF 四边形 AEDF 是正方形 (2)解：90A ，30ABC，4AC 28BCAC，34 3ABAC 设CFBEx 得44 3xx 解得：2 32x 正方形 AEDF 的边长是2 3242 32 22 【解析】(1)解：设每千克“脐橙”为 x 元，则每千克“血橙”是(8)x元， 根据题意，得4207568xx， 解得10 x ， 经检验，10 x 是原方程的解，810 818x ， 答：每千克“血橙”为 18 元，每千克“脐橙”为 10 元 (2)解：设可再购买 a千克“血橙”，则购
28、买(40)a千克“脐橙”， 根据题意，得1810(40)600aa，解得25a； 每千克“血橙”的利润为：24 186（元） ， 每千克“脐橙”的利润为：14 104（元） ， 设总利润为 w 元，根据题意，得 64(40)2160waaa， 因为20k ，所以 w 随 a 的增大而增大， 所以当25a 时，w有增大值，225160210w最大，此时，4015a， 答：该水果商城购买 25 千克“血橙”，15 千克“脐橙”，获得利润最大，最大利润是 210 元 23 【解析】(1)解：在 ABC 中，ACB90 ，AC3，BC4， 由勾股定理得：AB22ACBC22345， ACB90 ，CD
29、AB， SABC12ACBC12ABDE，即12 3 412 5 CD， 解得：CD125； (2)证明：点 E 是 AB 的中点， AEBE， BDAD（BE+DE）（AEDE）BEAE+2DE2DE， CDAB， BC2BD2+CD2，AC2AD2+CD2， BC2AC2（BD2+CD2）（AD2+CD2）BD2AD2（BD+AD） （BDAD）AB2DE2DEAB； (3) 证明：延长 CE至点 F，使 EFCE，连结 AF， 在 AEF和 BEC中， AEBEAEFBECEFEC ， AEFBEC（SAS） ， BEAF，AFBC， ACB90 ， B+CABEAF+CAB90 ， C
30、AFACB90 ， ACCA， ACFCAB（SAS） ， CFAB， CF2CE， CE12AB 24 【解析】解： （1）根据题意，一次函数关于原点对称必经过原点， 故答案为：； （2）二次函数图像上点,A mm关于原点对称的点B为,m m， 把点,A mm代入二次函数解析式得：24ambmam （） ， 把点,Bm m代入二次函数解析式得：24ambmam（） ， （）-（）得，22bmm， 0m， 1b， 把1b代入（）得，240ama， 0a ，0m， 2m； 由知二次函数解析式为： 2221161424ayaxxaa xaa， 二次函数图象对称轴为102xaa， 当1022a时，因为0a ， 所以t的最小值为216154aaa ， 解得12a ，此时二次函数解析式为2122yxx； 当122a时，因为0a ， 所以A点的纵坐标即为t的最小值， 即52a，解得25a （不合题意，舍去）. 综上所述，二次函数解析式为2122yxx
