1、2021-2022 学年江苏省苏州市昆山市、 张家港等四市九年级学年江苏省苏州市昆山市、 张家港等四市九年级上上期末数学试卷期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，请将下列各题唯一正确的选项代号填涂在答题卷分，请将下列各题唯一正确的选项代号填涂在答题卷相应的位置上）相应的位置上） 1下列方程中，是一元二次方程的是（ ） Ay2x1 Bx26 C5xy11 D2（x+1）2 2如图，在 RtABC 中，C90，AB5，AC3，则 sinB 等于（ ） A B C D 3已知O 的半径为 5cm，点 P 在O 上，则 OP
2、 的长为（ ） A4cm B5cm C8cm D10cm 4九（1）班 45 名同学一周课外阅读时间统计如表所示，那么该班 45 名同学一周课外阅读时间的众数、中位数分别是（ ） 人数（人） 5 19 15 6 时间（小时） 6 7 9 10 A7，7 B19，8 C10，7 D7，8 5如图，已知点 A（3，6）、B（1，4）、C（1，0），则ABC 外接圆的圆心坐标是（ ） A（0，0） B（2，3） C（5，2） D（1，4） 6已知二次函数 yax22ax+1（a0）图象上三点 A（1，y1），B（2，y2）C（4，y3），则 y1、y2、y3的大小关系为（ ） Ay1y2y3 By2
3、y1y3 Cy1y3y2 Dy3y1y2 7为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为 289 元的药品进行连续两次降价后为256 元，设平均每次降价的百分率为 x，则下面所列方程正确的是（ ） A289（1x）2256 B256（1x）2289 C289（12x）256 D256（12x）289 8如图，嘉琪在一座桥的附近试飞一架小型无人机，为了测量无人机飞行的高度 AD，嘉琪通过操控装置测得无人机俯视桥头 B，C 的俯角分别为EAB60和EAC30，且 D、B、C 在同一水平线上已知桥 BC30 米，则无人机的飞行高度 AD（ ） A15 米 B15米 C（1515）米 D
4、（15+15）米 9如图，在ABC 中，以 BC 为直径的O，交 AB 的延长线于点 D，交 AC 于点 E连接 OD，OE，若DOE130，则A 的度数为（ ） A45 B40 C35 D25 10如图，在平面直角坐标系中，ABC 的边 ABx 轴，A（2，0），C（4，1），二次函数 yx22x3 的图象经过点 B将ABC 沿 x 轴向右平移 m（m0）个单位，使点 A 平移到点 A，然后绕点A顺时针旋转 90，若此时点 C 的对应点 C恰好落在抛物线上，则 m 的值为（ ） A+1 B+3 C+2 D2+1 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，
5、共分，共 24 分，请将答案填在答题卷相应的位置上。）分，请将答案填在答题卷相应的位置上。） 11抛物线 yx2+1 的顶点坐标是 12一只不透明的袋子中有若干个黑球和若干个白球，共 15 个，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，若摸到白球的概率为，则白球的个数为 个 13若圆锥的高为 4，底圆半径为 3，则这个圆锥的侧面积为 （用含 的结果表示） 14已知关于 x 的方程 x22x+k10 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 15将抛物线 y（x+1）2+2 先向右平移 3 个单位，再向下平移 1 个单位，得到的新抛物线的函数表达式为 16如图，ABC 中，B90，BC3
6、，AB5，A，易知 tan，聪明的小强想求 tan2 的值，于是他在 AB 上取点 D，使得 CDAD，则 tan2 的值为 17如图，抛物线 y1a（x2）2+c 分别与 x 轴、y 轴交于 A、C 两点，点 B 在抛物线上，且 BC 平行于 x轴，直线 y2x1 经过 A、B 两点，则关于 x 的不等式 a（x2）2+c+1x 的解集是 18如图，半径为 4 的扇形 OAB 中，O60，C 为半径 OA 上一点，过 C 作 CDOB 于点 D，以 CD为边向右作等边CDE，当点 E 落在上时，CD 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 76 分，请写出必要的计算
7、过程、推理步骤或文字说明，并把解答过程分，请写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明，并把解答过程写在答题卷相应的位置上写在答题卷相应的位置上.） 19计算：sin603tan30+cos245 20解方程：2x25x+20 21已知二次函数 yx2+3mx+1m 的图象与 x 轴的一个交点为（2，0） （1）求 m 的值； （2）求这个函数图象与 x 轴另一个交点的横坐标 22为贯彻落实党中央关于打击治理电信网络诈骗的决策部署，我市加大了预防诈骗的宣传工作为了了解学生预防诈骗的意识情况， 我市某中学在七年级随机抽取部分学生进行相关知识测试， 并依据成绩 （百分制）绘制出两幅不完整的统计图表，请
8、根据图表中信息回答下列问题： 测试成绩统计表 等级 测试成绩x 人数 A防范意识非常强 90 x100 4 B防范意识比较强 75x90 26 C有基本防范意识 60 x75 m D 防范意识较薄弱 50 x60 1 （1）本次抽取调查的学生共有 人，统计表中 m 的值为 ，扇形统计图中表示 A 等级的扇形圆心角度数为 ； （2）已知该校七年级共有学生 1200 人，请你估计该校七年级对于电信网络诈骗的“防范意识非常强”和“防范意识比较强”的学生共有多少人？ 23为大力弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神，我市某社区开展了“文明新风进社区”系列志愿服务活动， 参加活动的每位志愿者必须从 A
9、 “垃圾分类入户宣传” 、 B “消防安全知识宣传” 、 C “走访慰问孤寡老人”、D “社区环境整治活动”四个活动主题中随机选取一个主题中随机选取一个主题 （1）志愿者小李选取 A“垃圾分类入户宣传”这个主题的概率是 （2）志愿者小张和小李从 A、B、C、D 四个主题中分别随机选取一个主题，请用列表或画树状图的方法，求他们选取相同主题的概率 24如图 1，是手机支架的实物图，图 2 是它的侧面示意图，其中 CD 长为 6cm，BC 长为 12cmB60，C45 （1）点 D 到 BC 的距离为 cm； （2）求点 D 到 AB 的距离 25某公司电商平台在 2021 年国庆期间举行了商品打折
10、促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量 y（件）是关于售价 x（元/件）的一次函数已知，当 x50 时，y200；当 x80 时，y140 （1）求 y 与 x 的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若该商品进价为 30（元/件） 当售价 x 为多少元时，周销售利润 W 最大？并求出此时的最大利润； 因原料涨价，该商品进价提高了 a（元/件）（a0），公司为回馈消费者，规定该商品售价 x 不得超过 75（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量 y 与售价 x 仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是 6000 元，求 a 的值 26如图，以 AE 为直径的O 交直线
11、 AB 于 A、B 两点，点 C 在O 上，过点 C 作 CDAB 于点 D，连接AC，BC，CE，其中 BC 与 AE 交于点 F，且 AC 平分DAE （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若 AD1，AB8 求 CD 的长； 求 tanAFC 的值 27如图，二次函数 yx2+x+3 的图象交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C，点 D 是 BC 上方抛物线上的一点，过 D 作 AC 的平行线，交 BC 于点 E （1）求ABC 的面积； （2）连接 CD，当 CDx 轴时，求CDE 的面积； （3）求 DE 的最大值 28如果三角形的两个内角 与 满足 90，那么我们称这样的
12、三角形为“准直角三角形” （1）若ABC 是“准直角三角形”，C90，A70，则B （2）如图 1，O 是ABC 的外接圆，AB 是O 的直径，AB10，D 是 BC 上的一点，tanB，若CD，请判断ABD 是否为准直角三角形，并说明理由 （3）如图 2，O 是ABC 的外接圆，AB 是O 的直径，E 是直径 AB 下方半圆上的一点，AB10，tanABC，若ACE 为”准直角三角形”，求 CE 的长 参考答案参考答案 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，请将下列各题唯一正确的选项代号填涂在答题卷分，请将下列各题唯一正确的选项
13、代号填涂在答题卷相应的位置上）相应的位置上） 1下列方程中，是一元二次方程的是（ ） Ay2x1 Bx26 C5xy11 D2（x+1）2 【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是 1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是 ax+b0（a，b 是常数且 a0） 解：A含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不合题意； Bx26 是一元一次方程，故本选项符合题意； C含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不合题意； D是一元一次方程的定义，故本选项不合题意； 故选：B 2如图，在 RtABC 中，C90，AB5，AC3，则 sinB 等于（ ） A B C D 【分析】根据
14、锐角三角函数的正弦值进行解答即可 解：在 RtABC 中，C90，AB5，AC3，sinB， 故选：D 3已知O 的半径为 5cm，点 P 在O 上，则 OP 的长为（ ） A4cm B5cm C8cm D10cm 【分析】根据点与圆的位置关系解决问题即可 解：点 P 在O 上， OPr5cm， 故选：B 4九（1）班 45 名同学一周课外阅读时间统计如表所示，那么该班 45 名同学一周课外阅读时间的众数、中位数分别是（ ） 人数（人） 5 19 15 6 时间（小时） 6 7 9 10 A7，7 B19，8 C10，7 D7，8 【分析】根据众数、中位数的概念分别求得这组数据的众数、中位数
15、解：数据 7 出现的次数最多，所以众数是 7； 45 个数据从小到大排列后，排在第 23 位的是 7，故中位数是 7 故选：A 5如图，已知点 A（3，6）、B（1，4）、C（1，0），则ABC 外接圆的圆心坐标是（ ） A（0，0） B（2，3） C（5，2） D（1，4） 【分析】利用网格特点作 AB 和 BC 的垂直平分线，它们的交点 P 即为ABC 外接圆的圆心 解：如图，ABC 外接圆的圆心为 P 点，其坐标为（5，2） 故选：C 6已知二次函数 yax22ax+1（a0）图象上三点 A（1，y1），B（2，y2）C（4，y3），则 y1、y2、y3的大小关系为（ ） Ay1y2y3
16、 By2y1y3 Cy1y3y2 Dy3y1y2 【分析】求出抛物线的对称轴，求出 A 关于对称轴的对称点的坐标，根据抛物线的开口方向和增减性，即可求出答案 解：yax22ax+1（a0）， 对称轴是直线 x1， 即二次函数的开口向下，对称轴是直线 x1， 即在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而减小， A 点关于直线 x1 的对称点是 D（3，y1）， 234， y2y1y3， 故选：D 7为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为 289 元的药品进行连续两次降价后为256 元，设平均每次降价的百分率为 x，则下面所列方程正确的是（ ） A289（1x）2256 B256（1
17、x）2289 C289（12x）256 D256（12x）289 【分析】设平均每次的降价率为 x，则经过两次降价后的价格是 289（1x）2，根据关键语句“连续两次降价后为 256 元，”可得方程 289（1x）2256 解：设平均每次降价的百分率为 x，则第一次降价售价为 289（1x），则第二次售价为 289（1x）2，由题意得： 289（1x）2256 故选：A 8如图，嘉琪在一座桥的附近试飞一架小型无人机，为了测量无人机飞行的高度 AD，嘉琪通过操控装置测得无人机俯视桥头 B，C 的俯角分别为EAB60和EAC30，且 D、B、C 在同一水平线上已知桥 BC30 米，则无人机的飞行高
18、度 AD（ ） A15 米 B15米 C（1515）米 D（15+15）米 【分析】由EAB60、EAC30可得出CAD60、BAD30，进而可得出 CDAD、BDAD，再结合 BC30 即可求出 AD 的长度 解：EAB60，EAC30， CAD60，BAD30， CDADtanCADAD，BDADtanBADAD， BCCDBDAD30， AD15（米） 答：无人机的飞行高度 AD 为 15米 故选：B 9如图，在ABC 中，以 BC 为直径的O，交 AB 的延长线于点 D，交 AC 于点 E连接 OD，OE，若DOE130，则A 的度数为（ ） A45 B40 C35 D25 【分析】
19、连接 DC， 根据圆周角定理求出ACDEOD65， 根据圆周角定理求出ADC90，再根据直角三角形的两锐角互余求出即可 解：连接 DC， DOE130， ACDEOD65， BC 是O 的直径， ADC90， A90ACD906525， 故选：D 10如图，在平面直角坐标系中，ABC 的边 ABx 轴，A（2，0），C（4，1），二次函数 yx22x3 的图象经过点 B将ABC 沿 x 轴向右平移 m（m0）个单位，使点 A 平移到点 A，然后绕点A顺时针旋转 90，若此时点 C 的对应点 C恰好落在抛物线上，则 m 的值为（ ） A+1 B+3 C+2 D2+1 【分析】作 CDAB 于 D
20、，CDAB于 D，先根据已知条件求出点 B 坐标，由 A、B、C 三点坐标可得CD2，AD1设点 A（2，0）向右平移 m 个单位后得点 A（m0），则点 A坐标为（m2，0）进而表示出点 C的坐标为（m1，2），最后将 C坐标代入二次函数解析式中计算即可得到点 C 坐标 解：作 CDAB 于 D，CDAB于 D， ABx 轴，二次函数 yx22x3 的图象经过点 B， 点 B（2，5） A（2，0），C（4，1）， CD2，AD1 设点 A（2，0）向右平移 m 个单位后得点 A（m0）， 则点 A坐标为（m2，0） ADAD1，CDCD2， 点 C坐标为（m1，2），又点 C在抛物线上，
21、把 C（m1，2）代入 yx22x3 中， 得：（m1）22（m1）32， 整理得：m24m20 解得：m12+，m22（舍去） 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分，请将答案填在答题卷相应的位置上。）分，请将答案填在答题卷相应的位置上。） 11抛物线 yx2+1 的顶点坐标是 （0，1） 【分析】依据二次函数的顶点坐标公式求解即可 解：a1，b0，c1 x0 将 x0 代入得到 y1 抛物线的顶点坐标为：（0，1） 故答案为：（0，1） 12一只不透明的袋子中有若干个黑球和若干个白球，共 15 个，这些球除颜色外都相同，
22、搅匀后从中任意摸出一个球，若摸到白球的概率为，则白球的个数为 6 个 【分析】设袋子内有 n 个白球，依据概率公式列出方程，即可得到白球的数量 解：设袋子内有 n 个白球，则 ， 解得 n6， 故答案为：6 13若圆锥的高为 4，底圆半径为 3，则这个圆锥的侧面积为 15 （用含 的结果表示） 【分析】利用勾股定理易得圆锥的母线长，进而利用圆锥的侧面积底面半径母线长，把相应数值代入即可求解 解：圆锥的高为 4，底圆半径为 3， 圆锥的母线长为 5， 圆锥的侧面积为 3515 14已知关于 x 的方程 x22x+k10 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 k2 【分析】根据判别式的意义得
23、到（2）241（k1）0，然后解不等式即可 解：根据题意得（2）241（k1）0， 解得 k2 故答案为 k2 15将抛物线 y（x+1）2+2 先向右平移 3 个单位，再向下平移 1 个单位，得到的新抛物线的函数表达式为 y（x2）2+1 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可 解：将抛物线 y（x+1）2+2 向右平移 3 个单位，向下平移 1 个单位后所得到的新抛物线的表达式为 y（x+13）2+21，即 y（x2）2+1 故答案是：y（x2）2+1 16如图，ABC 中，B90，BC3，AB5，A，易知 tan，聪明的小强想求 tan2 的值，于是他在 AB 上取点
24、D，使得 CDAD，则 tan2 的值为 【分析】根据等边对等角可得AACD，再利用三角形的外角可知CDB2，然后在 RtCDB 中利用勾股定理先求出 BD 即可解答 解：CDAD， AACD， CDB 是ACD 的外角， CDBA+ACD2， 在 RtCDB 中，设 BD 为 x，则 ADCD5x， BC2+BD2CD2， 32+x2（5x）2， x1.6， BD1.6， tanCDB， tan2， 故答案为： 17如图，抛物线 y1a（x2）2+c 分别与 x 轴、y 轴交于 A、C 两点，点 B 在抛物线上，且 BC 平行于 x轴，直线 y2x1 经过 A、B 两点，则关于 x 的不等式
25、 a（x2）2+c+1x 的解集是 x1 或 x4 【分析】根据抛物线的对称性求得 B 的横坐标，由直线的解析式求得 A 的坐标，然后根据图象写出抛物线在直线上方时的 x 的取值即可 解：抛物线 y1a（x2）2+c， 抛物线的对称轴为直线 x2， B 点的横坐标为 4， 直线 y2x1 与 x 轴交于 A 点， A（1，0）， 由图象可知，关于 x 的不等式 a（x2）2+c+1x 的解集是 x1 或 x4， 故答案为：x1 或 x4 18如图，半径为 4 的扇形 OAB 中，O60，C 为半径 OA 上一点，过 C 作 CDOB 于点 D，以 CD为边向右作等边CDE，当点 E 落在上时，
26、CD 【分析】如图，连接 OE设 ODm证明OCE90，利用勾股定理构建方程求解即可 解：如图，连接 OE设 ODm CDOB， CDO90， COD60， OCD906030， OC2OD2m，CDm， CDE 是等边三角形， CDCEm，DCE60， OCEOCD+DCE90， OC2+CE2OE2， 4m2+3m242， m（负根已经舍去）， CDm 故答案为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 76 分，请写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明，并把解答过程分，请写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明，并把解答过程写在答题卷相应的位置上写在答题卷相应的位
27、置上.） 19计算：sin603tan30+cos245 【分析】首先计算特殊角的三角函数值、乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算即可 解：sin603tan30+cos245 3+ + 2 20解方程：2x25x+20 【分析】利用因式分解法求解即可 解：2x25x+20， （x2）（2x1）0， 则 x20 或 2x10， 解得 x12，x2 21已知二次函数 yx2+3mx+1m 的图象与 x 轴的一个交点为（2，0） （1）求 m 的值； （2）求这个函数图象与 x 轴另一个交点的横坐标 【分析】（1）把（2，0）代入二次函数解析式即可求出 m 的值； （2）根据（1）中 m 的值
28、可以求出函数解析式，再令 y0，解方程即可， 解：（1）二次函数 yx2+3mx+1m 的图象与 x 轴的一个交点为（2，0）， 4+6m+1m0， 解得：m1； （2）由（1）得：二次函数解析式为 yx23x+2， 令 y0，则 x23x+20， 解得：x11，x22， 函数图象与 x 轴另一个交点的横坐标为 1 22为贯彻落实党中央关于打击治理电信网络诈骗的决策部署，我市加大了预防诈骗的宣传工作为了了解学生预防诈骗的意识情况， 我市某中学在七年级随机抽取部分学生进行相关知识测试， 并依据成绩 （百分制）绘制出两幅不完整的统计图表，请根据图表中信息回答下列问题： 测试成绩统计表 等级 测试成
29、绩x 人数 A防范意识非常强 90 x100 4 B防范意识比较强 75x90 26 C有基本防范意识 60 x75 m D 防范意识较薄弱 50 x60 1 （1）本次抽取调查的学生共有 50 人，统计表中 m 的值为 19 ，扇形统计图中表示 A 等级的扇形圆心角度数为 28.8 ； （2）已知该校七年级共有学生 1200 人，请你估计该校七年级对于电信网络诈骗的“防范意识非常强”和“防范意识比较强”的学生共有多少人？ 【分析】（1）根据 B 组人数，求出总人数，再求出 m 的值即可，圆心角360百分比； （2）根据总人数“防范意识非常强”和“防范意识比较强”的学生百分比求解 解：（1）本
30、次抽取调查的学生有 2652%50（人）， m50426119（人）， A 的圆心角为 36028.8 故答案为：50，19，28.8； （2）1200720（人） 答：估计该校七年级对于电信网络诈骗的“防范意识非常强”和“防范意识比较强”的学生共有 720 人 23为大力弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神，我市某社区开展了“文明新风进社区”系列志愿服务活动， 参加活动的每位志愿者必须从 A “垃圾分类入户宣传” 、 B “消防安全知识宣传” 、 C “走访慰问孤寡老人”、D “社区环境整治活动”四个活动主题中随机选取一个主题中随机选取一个主题 （1）志愿者小李选取 A“垃圾分类入户宣传
31、”这个主题的概率是 （2）志愿者小张和小李从 A、B、C、D 四个主题中分别随机选取一个主题，请用列表或画树状图的方法，求他们选取相同主题的概率 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）画树状图，共有 16 种等可能的结果，小张和小李选择相同主题的结果有 4 种，再由概率公式求解即可 解：（1）志愿者小李选取 A“垃圾分类入户宣传”这个主题的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如图： 共有 16 种等可能的结果，小明和小丽选择相同主题的结果有 4 种， 小张和小李选择相同主题的概率为 24如图 1，是手机支架的实物图，图 2 是它的侧面示意图，其中 CD 长为 6cm，BC 长为 1
32、2cmB60，C45 （1）点 D 到 BC 的距离为 6 cm； （2）求点 D 到 AB 的距离 【分析】（1）要求点 D 到 BC 的距离，所以过点 D 作 DFBC，垂足为 F，然后在 RtDCF 中即可解答； （2） 要求点 D 到 AB 的距离， 所以过点 D 作 DGAB， 垂足为 G， 连接 BD， 想利用 60的三角函数值，所以想到过点 F 作 FMAB，垂足为 M，在 RtFMB 中求出 FM，从而求出BFM30，则DFM60，再把DFM 放在直角三角形中，所以过点 D 作 DNFM，垂足为 N，即可求出 FN，最后用 FM减去 FN 求出 MN，即可解答 解：（1）过点
33、D 作 DFBC，垂足为 F， 在 RtCDF 中，CD6cm，C45， DFCDsin4566cm， 点 D 到 BC 的距离为 6cm， 故答案为：6； （2）过点 D 作 DGAB，垂足为 G，连接 BD，过点 F 作 FMAB，垂足为 M，过点 D 作 DNFM，垂足为 N， CFD90，C45， CFDF6cm， BC12cm， BFBCCF1266cm， CFBF， DF 是 BC 的垂直平分线， CDDB6cm， 在 RtFMB 中，FMBFsin6063cm， FMB90，ABC60， BFM90ABC30， DFMDFBBFM903060， 在 RtFDN 中，FNFDcos
34、6063cm， MNFMFN（33）cm， DGBFMGDNM90， 四边形 DNMG 是矩形， DGMN（33）cm， 点 D 到 AB 的距离为（33）cm 25某公司电商平台在 2021 年国庆期间举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量 y（件）是关于售价 x（元/件）的一次函数已知，当 x50 时，y200；当 x80 时，y140 （1）求 y 与 x 的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若该商品进价为 30（元/件） 当售价 x 为多少元时，周销售利润 W 最大？并求出此时的最大利润； 因原料涨价，该商品进价提高了 a（元/件）（a0），公司为回
35、馈消费者，规定该商品售价 x 不得超过 75（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量 y 与售价 x 仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是 6000 元，求 a 的值 【分析】（1）设 ykx+b，把 x50 时，y200；x80 时，y140，代入可得解析式 （2）根据利润（售价进价）数量，得 W（2x+300）（x30），化成顶点式 W2（x90）2+7200，顶点的纵坐标是有最大值 根据利润（售价进价）数量，得 W2（x150）（x30a）（x75），其对称轴 x90+60，0 x75 时，函数单调递增，只有 x75 时周销售利润最大，即可得 m5 解：（1）设 ykx+b，
36、由题意有： ， 解得， 所以 y 关于 x 的函数解析式为 y2x+300； （2）由（1）W（2x+300）（x30）2x2+360 x90002（x90）2+7200， 所以售价 x90 时，周销售利润 W 最大，最大利润为 7200； 由题意 W2（x150）（x30a）（x75）， 其对称轴 x90+90， 0 x75 时，W 的值随 x 增大而增大， 只有 x75 时周销售利润最大， 60002（75150）（7530a）， a5 26如图，以 AE 为直径的O 交直线 AB 于 A、B 两点，点 C 在O 上，过点 C 作 CDAB 于点 D，连接AC，BC，CE，其中 BC 与
37、AE 交于点 F，且 AC 平分DAE （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若 AD1，AB8 求 CD 的长； 求 tanAFC 的值 【分析】（1） 连接 OC，根据 OAOC 推出OCAOAC，根据角平分线得出OCAOACDCA，推出 OCAB，得出 OCCD，根据切线的判定推出即可； （2）由（1）知，OCD90，所以OCA+ACD90，因为 AE 是O 的直径，所以ACE90，则OCA+OCE90，所以ACDOCE，又 OCOE，所以OCEEBACD，可得ADCCDB，所以 AD：CDCD：BD，则 CDADBD，又 BDAD+AB9，所以 CD2199，即 CD3 过点C作CG
38、AE于点G，过点O作OHBC于H，因为CDAB，CD3，BD9，所以BC3，因为 OHBC，则 CHBC，易证ADCACE，所以 AD：ACAC：AE，因为 CDAB，AD1，CD3，所以 AC210，则 AE10，OAAE5OC；易证ACDACG（AAS），所以 AGAD1，CGCD3，OGOAAG514，因为 OHBC，OC5，CH，所以OH，易证CFGOFH，所以CG：OHCF：OFGF：FH，即3：CF： （4GF）GF：（CF），整理得，CF123GF，GF3CF，解之，求解的 CG 和GF 的值，因为 CGAE，CG3，GF，所以 tanAFC 【解答】（1）证明：连接 OC OC
39、OA， OACOCA AC 平分DAE， DACOAC， DACOCA， ADOC CDDA， ADCOCD90， 即 CDOC， 点 C 在O 上， CD 是O 的切线 （2）解：由（1）知，OCD90， OCA+ACD90， AE 是O 的直径， ACE90， OCA+OCE90， ACDOCE， OCOE， OCEE， EB， ACDB， ADCCDB90， ADCCDB， AD：CDCD：BD， CD2ADBD， AD1，AB8， BDAD+AB9， CD2199， CD3 过点 C 作 CGAE 于点 G，过点 O 作 OHBC 于 H， CDAB，CD3，BD9， BC3， OHB
40、C， CHBC， ADCACE90，ACDAEC， ADCACE， AD：ACAC：AE， AE， CDAB，AD1，CD3， AC210， AE10， OAAE5OC， 在ACD 和ACG 中， ADCABC90，CADCAG，ACAC， ACDACG（AAS）， AGAD1，CGCD3， OGOAAG514， OHBC，OC5，CH， OH， CFGOFH，CGFOHF90， CFGOFH， CG：OHCF：OFGF：FH， 3：CF：（4GF）GF：（CF）， 整理得，CF123GF，GF3CF 解得 GF， CGAE，CG3，GF， tanAFC， tanAFC 的值为 27如图，二次
41、函数 yx2+x+3 的图象交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C，点 D 是 BC 上方抛物线上的一点，过 D 作 AC 的平行线，交 BC 于点 E （1）求ABC 的面积； （2）连接 CD，当 CDx 轴时，求CDE 的面积； （3）求 DE 的最大值 【分析】 （1）先令 x0 求得点 C 的坐标，再令 y0 求得点 A 和点 B 的坐标，然后求得ABC 的面积； （2）先由 CDx 轴求得点 D 的坐标得到线段 CD 的长度，然后结合 DEAC 得证CDEBAC，再利用相似三角形的性质得到CDE 的面积； （3）过点 D 作 DFy 轴交 BC 于点 F，过点 E 作 EH
42、DF 于点 H，然后由 DEAC 可知DEF 的度数不变，由 DFy 轴可知EFD 的度数不变，从而知道在点 D 的移动过程中DEF 的形状保持不变，即有当 DF 最大时，DE 的长度也最大，然后设点 D 的坐标，进而得到点 F 的坐标，再表示出 DF 的长度，得到 DF 取最大值时的点 D 的坐标，即可得到直线 DE 的解析式，最后联立直线 DE 的解析式和直线 BC的解析式求得点 E 的坐标，进而得到 DE 长的最大值 解：（1）当 x0 时，y3， C（0，3），OC3， 当 y0 时，x2+x+30， 解得：x3 或 x6， A（3，0），B（6，0）， AB9， SABC （2）C（
43、0，3），CDx 轴， D（3，3），DCEABC， CD3， DEAC， DECACB， DECACB， ， SABC， SDEC （3）如图，过点 D 作 DFy 轴交 BC 于点 F，过点 E 作 EHDF 于点 H， DEAC，DFy 轴， DEF 的度数不变，EFD 的度数不变， 在点 D 的移动过程中DEF 的形状保持不变， 当 DF 最大时，DE 的长度也最大， 设直线 BC 的解析式为 ykx+b，则 ，解得：， 直线 BC 的解析式为 yx+3， 设点 D 的坐标（x，x2+x+3），则点 F 的坐标（x，x+3）， DFx2+x+3（x+3）x2+x（x3）2+， 当 x3
44、 时，DF 有最大值， 此时，点 D 的坐标为（3，3）， 直线 DE 是由直线 AC 向右平移 3 个单位所得， 设直线 AC 的解析式为 ymx+n，则 ，解得：， 直线 AC 的解析式为 yx+3， 直线 DE 的解析式为 yx+33x， 联立直线 DE 的解析式和直线 BC 的解析式，得 ，解得：， 点 E 的坐标为（2，2）， DE最大值 28如果三角形的两个内角 与 满足 90，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形” （1）若ABC 是“准直角三角形”，C90，A70，则B 10 （2）如图 1，O 是ABC 的外接圆，AB 是O 的直径，AB10，D 是 BC 上的一点，tan
45、B，若CD，请判断ABD 是否为准直角三角形，并说明理由 （3）如图 2，O 是ABC 的外接圆，AB 是O 的直径，E 是直径 AB 下方半圆上的一点，AB10，tanABC，若ACE 为”准直角三角形”，求 CE 的长 【分析】（1）根据“准直角三角形”的概念和三角形内角和是 180求角度即可； （2）根据三角函数求出 AC 和 BC 的值，再根据 tanCADtanB，得出CADB，再根据“准直角三角形”的概念得出结论即可； （3）根据“准直角三角形”的概念分两种情况分别求出 CE 的值即可 解：（1）ABC 是“准直角三角形”，C90，A70， CA70， 此时C160，A+C180，
46、 此情况不存在，舍去， CB90， 此时C100，B10， 故答案为：10； （2）ABD 是准直角三角形， AB10，tanB， AC6，BC8， CD， tanCAD， CADB， ADBCADADBB90， ABD 是准直角三角形； （3）连接 AE， 由（2）知，AC6，BC8， ACE 为准直角三角形，E 为直径 AB 下方圆上的一点， CAE90，CEA90，ECA90，且CEACBA， 当CAE90+CEA 时， 即CAE90+CBA18090+CBAACB+CBA180CAB， 四边形 ACBE 的内角和是 360，ACB90AEB， CBE180CAECAB， 又CABCEB， CBECEB， CEBC8； 当CAE90+ECA 时， 即CAE90+ABEAEB+ABE180BAE180CBE， BAECBE， 即CBEECB， CEBE， tanABC， tanCAB， tanCEB， 作 CHBE 于 H，作 EMBC 于 M， 设 EH3x，则 CH4x， ECBE5x， BECHBCEM， EMx2， EC2CM2+EM2，且 CMBC4， （5x）242+（x2）2， 令（5x）2t，即 CE2t， 则上式可表示为 t16+（）2， 解得 t80 或 t20（不合题意舍去）， CE4， 综上，若ACE 为”准直角三角形”，CE 的长为 8 或 4
