1、2021-2022 学年浙江省宁波市余姚市九年级上期末数学试卷学年浙江省宁波市余姚市九年级上期末数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1若 2x3y，则的值为（ ） A B C D 2抛物线 y（x2）24 的对称轴是（ ） A直线 x2 B直线 x2 C直线 x4 D直线 x4 3已知 AB 是半径为 2 的圆的一条弦，则 AB 的长不可能是（ ） A2 B3 C4 D5 4一个袋子中装有 20 个黑球和 1 个白球，它们除颜色外其它都相同，随机从袋子中
2、摸出一个球，则下列结论正确的是（ ） A摸到黑球是必然事件 B摸到白球是不可能事件 C摸到黑球的可能性大 D摸到白球的概率比摸到黑球的概率大 5已知O 的半径为 5，点 P 到圆心 O 的距离为 d，如果点 P 在圆内，则 d 的取值范围为（ ） Ad5 Bd5 Cd5 D0d5 6如图，在 RtABC 中，C90，AC12，BC5，则此 RtABC 的重心 P 与外心 Q 之间的距离为（ ） A B C D 7如图，点 P 是O 外一点，PA 交O 于点 C，A，PB 交O 于点 D，B，若80，P28，则CAD 的度数为（ ） A10 B12 C14 D20 8如图，直线 l1l2l3，直
3、线 AC，DF 分别交 l1，l2，l3于点 A，B，C 和点 D，E，F，连结 AF，作 BGAF，若，BG6，则 AF 的长为（ ） A8 B9 C10 D11 9点 P（x，y）是二次函数 yx（x8）的图象上的点，当 1xa（a 为整数）时，点 P 到 x 轴的距离小于 15，则 a 的值可以的是（ ） A3 B4 C5 D6 10如图，矩形 A1B1C1D1在矩形 ABCD 的内部，且 B1C1BC，点 B1，D1在对角线 BD 的异侧连结 BB1，DB1，BD1，DD1，若矩形 ABCD矩形 A1B1C1D1，且两个矩形的周长已知只需要知道下列哪个值就一定可以求得四边形 B1BD1
4、D 的面积（ ） A矩形 ABCD 的面积 BB1BD1的度数 C四边形 B1BD1D 的周长 DBB1的长度 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11四边形 ABCD 内接于O，若A60，则C 的度数为 12已知线段 a8，b2，线段 c 是线段 a，b 的比例中项，则 c 13下表是某种幼苗在一定条件下移植后成活率的试验结果 移植总数 n 5 50 200 500 1000 3000 成活数 m 4 45 188 476 951 2850 成活的频率 0.8 0.9 0.94 0.952 0.951 0.95 则在相同条件下这种幼苗可成活的概率可估计为
5、14如图 1，水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产如图 2，圆心 O 在水面上方， 且O 被水面截得的弦 AB 长为 8 米， 半径为 5 米， 则圆心 O 到水面 AB 的距离为 米 15平移二次函数的图象，如果有一个点既在平移前的函数图象上，又在平移后的函数图象上，我们把这个点叫做“关联点”现将二次函数 yx2+2x+c（c 为常数）的图象向右平移得到新的抛物线，若“关联点”为（1，2），则新抛物线的函数表达式为 16如图，在 RtABC 中，B90，AB8，BC6，D，E，F 分别是边 AB，BC，AC 上的点，BED+C90，BED 与FED 关于 DE 对
6、称，则 DE 的长为 三、解答题（第三、解答题（第 17、18、19 题各题各 8 分，第分，第 20、21、22 题各题各 10 分，第分，第 23 题题 12 分，第分，第 24 题题 14 分，共分，共 80分）分） 17计算：2sin60+cos45tan60 18有 3 名身穿同一款式的防护服的检验科医生，其中 2 名男医生和 1 名女医生，因疫情防控需要，现随机选派两名医生前往两个核酸采样室进行采样工作 （1）请用列表或画树状图的方法，写出选派两名医生的所有可能结果 （2）求选派的两名医生是一男一女的概率 19如图，已知 D，E 分别是ABC 的边 AC，AB 上的点，AEDC，A
7、E5，AC9，DE6 （1）求证：ABCADE （2）求 BC 的长 20如图是由边长为 1 的小正方形构成的 53 的网格，ABC 的顶点 A，B，C 均在格点上 （1）图中的值为 （2） 在图 1 中，以点 A 为旋转中心，将ABC 按逆时针方向旋转 90，作出经旋转后的图形ABC（其中 B，C分别是 B，C 的对应点） （3）在图 2 中，找出符合条件的格点 D，使得ADBABC 21某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度 BC如图所示，一架水平飞行的无人机在 A 处测得正前方河流的点 B 处的俯角FAB，点 C 处的俯角FAC37，线段 AD 的长为无人机距地面的高度，点 D、B
8、、C 在同一条水平直线上，tan3，BD25 米 （1）求无人机的飞行高度 AD （2）求河流的宽度 BC （参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75） 22如图，已知 AB 是O 的直径，弦 AC 与半径 OD 平行 （1）求证：点 D 是的中点 （2）若 ACOD6，求阴影部分（弓形 AC）的面积 23如图 1，已知二次函数 y（x+1）2+的图象与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边），与y 轴交于点 C，点 D 是抛物线的顶点 （1）求点 A，点 C 的坐标 （2）如图 2，连结 AC，DC，过点 C 作 CEAB 交抛物线于点 E求证：DC
9、ECAO （3）如图 3，在（2）的条件下，连结 BC，在射线 EC 上有点 P，使以点 D，E，P 为顶点的三角形与ABC 相似，求 EP 的长 24如图，四边形 ABCD 内接于O，AC 为对角线，点 B 是的中点，过点 D 作 DEBC 与 AB，AC 交于点 F，G，与O 交于点 E，ACDBFD （1）求证： （2）求证 AFBC （3）若 AD6 当 CD2 时，求 BC 的长； 直接写出 BCGD 的最大值 参考答案参考答案 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
10、题目要求） 1若 2x3y，则的值为（ ） A B C D 【分析】根据比例的性质即可求得答案 解：2x3y， 故选：C 2抛物线 y（x2）24 的对称轴是（ ） A直线 x2 B直线 x2 C直线 x4 D直线 x4 【分析】根据题目中的函数解析式，可以直接写出抛物线的对称轴，本题得以解决 解：抛物线 y（x2）24 的对称轴是直线 x2， 故选：B 3已知 AB 是半径为 2 的圆的一条弦，则 AB 的长不可能是（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】根据圆中最长的弦为直径求解 解：因为圆中最长的弦为直径，所以 AB4 故选：D 4一个袋子中装有 20 个黑球和 1 个白球，它们除颜色外
11、其它都相同，随机从袋子中摸出一个球，则下列结论正确的是（ ） A摸到黑球是必然事件 B摸到白球是不可能事件 C摸到黑球的可能性大 D摸到白球的概率比摸到黑球的概率大 【分析】由黑球与白球个数的多少即可判断出摸到黑球、白球的概率大小，从而得出答案 解：A摸到黑球是随机事件，此选项错误； B摸到白球是随机事件，此选项错误； C摸到黑球的可能性大，此选项正确； D摸到白球的概率比摸到黑球的概率小，此选项错误； 故选：C 5已知O 的半径为 5，点 P 到圆心 O 的距离为 d，如果点 P 在圆内，则 d 的取值范围为（ ） Ad5 Bd5 Cd5 D0d5 【分析】根据点与圆的位置关系判断得出即可
12、解：点 P 在圆内，且O 的半径为 5， 0d5， 故选：D 6如图，在 RtABC 中，C90，AC12，BC5，则此 RtABC 的重心 P 与外心 Q 之间的距离为（ ） A B C D 【分析】根据三角形外心的定义可知外心 Q 为斜边 AB 的中点，根据三角形重心的定义可知 C、P、Q 三点共线， 根据勾股定理求出 AB13， 利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出 CQAB，然后利用重心的性质得到 PQCQ 解：根据题意可知，C、P、Q 三点共线 在 RtABC 中，C90，AC12，BC5， AB13， RtABC 的外心为 Q， Q 为斜边 AB 的中点， CQAB， RtA
13、BC 的重心为 P， PQCQ 故选：D 7如图，点 P 是O 外一点，PA 交O 于点 C，A，PB 交O 于点 D，B，若80，P28，则CAD 的度数为（ ） A10 B12 C14 D20 【分析】连接 OA、OB，如图，先根据圆心角的度数等于它所对弧的度数得到AOB80，再根据圆周角定理得到ADB40，然后利用三角形外角可计算出CAD 的度数 解：连接 OA、OB，如图， 的度数为 80， AOB80， ADBAOB40， ADBPAD+P， PAD402812， 即CAD 的度数为 12 故选：B 8如图，直线 l1l2l3，直线 AC，DF 分别交 l1，l2，l3于点 A，B，
14、C 和点 D，E，F，连结 AF，作 BGAF，若，BG6，则 AF 的长为（ ） A8 B9 C10 D11 【分析】先利用平行线分线段成比例得到，然后利用 A 字模型相似三角形CBGCAF，即可解答 解：l1l2l3， ， ， BGAF， CGBCFA，CBGCAF， CBGCAF， ， ， AF10， 故选：C 9点 P（x，y）是二次函数 yx（x8）的图象上的点，当 1xa（a 为整数）时，点 P 到 x 轴的距离小于 15，则 a 的值可以的是（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】先求得抛物线的开口向下，顶点为（4，16），然后根据图象上点的坐标特征即可得到结论 解：yx（x8）
15、（x4）2+16， 图象开口向下，顶点为（4，16）， 把 y15 代入 yx（x8）得 15x2+8x， 解得 x3 或 5， 当 1x3 时，点 P 到 x 轴的距离小于 15， a 可以是 3， 故选：A 10如图，矩形 A1B1C1D1在矩形 ABCD 的内部，且 B1C1BC，点 B1，D1在对角线 BD 的异侧连结 BB1，DB1，BD1，DD1，若矩形 ABCD矩形 A1B1C1D1，且两个矩形的周长已知只需要知道下列哪个值就一定可以求得四边形 B1BD1D 的面积（ ） A矩形 ABCD 的面积 BB1BD1的度数 C四边形 B1BD1D 的周长 DBB1的长度 【分析】连接
16、BC1，DA1，过点 B1作 B1EAB 于点 E，过点 C1作 C1FAB 于点 F，过点 B1作 B1GAD于点 G， 过点 D1作 D1HBC 于点 H， 设小矩形的长和宽分别为 a 和 b， 大矩形的长和宽分别为 ak 和 bk，BFm，AGn，然后用分割法求得四边形 BB1DD1的面积，进而可以根据条件得到结果 解：如图，连接 BC1，DA1，过点 B1作 B1EAB 于点 E，过点 C1作 C1FAB 于点 F，过点 B1作 B1GAD 于点 G，过点 D1作 D1HBC 于点 H， B1C1BC， 四边形 AEB1G、四边形 EFC1B1是矩形， 设小矩形的长和宽分别为a和b，
17、大矩形的长和宽分别为ak和bk， BFm， AGn， 则，S矩形ABCDabk2，AEbkma，CHaknb， ，b（bkma），a（aknb）， + +ab k（a2+b2）k（a+b）22ab k（a+b）2kab， 矩形 ABCD 和矩形 A1B1C1D1的周长已知， 2（a+b）和 2（ak+bk）为定值， k 为定值， k（a+b）2为定值， kab， 当 S矩形ABCD已知时，四边形 B1BD1D 的面积即为定值， 故选：A 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11四边形 ABCD 内接于O，若A60，则C 的度数为 120 【分析】根据圆内接四
18、边形的性质得出A+C180，再求出答案即可 解：四边形 ABCD 内接于O， A+C180， A60， C18060120， 故答案为：120 12已知线段 a8，b2，线段 c 是线段 a，b 的比例中项，则 c 4 【分析】利用比例中项的定义得到 c2ab16，然后求出 16 的算术平方根即可 解：线段 c 是线段 a，b 的比例中项， c2ab， 而段 a8，b2， c28216， 而 c0， c4 故答案为：4 13下表是某种幼苗在一定条件下移植后成活率的试验结果 移植总数 n 5 50 200 500 1000 3000 成活数 m 4 45 188 476 951 2850 成活的
19、频率 0.8 0.9 0.94 0.952 0.951 0.95 则在相同条件下这种幼苗可成活的概率可估计为 0.95 【分析】概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率 解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率， 这种幼苗可成活的概率可估计为 0.95， 故答案为：0.95 14如图 1，水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产如图 2，圆心 O 在水面上方，且O 被水面截得的弦 AB 长为 8 米，半径为 5 米，则圆心 O 到水面 AB 的距离为 3 米 【分析】
20、过 O 作 OCAB 于 D，连接 OA，由垂径定理得 ADBDAB4（米），然后在 RtAOD中，由勾股定理求出 OD 的长即可 解：过 O 作 OCAB 于 D，连接 OA，如图所示： 则 ADBDAB4（米）， 在 RtAOD 中，由勾股定理得：OD3（米）， 即圆心 O 到水面 AB 的距离为 3 米， 故答案为：3 15平移二次函数的图象，如果有一个点既在平移前的函数图象上，又在平移后的函数图象上，我们把这个点叫做“关联点”现将二次函数 yx2+2x+c（c 为常数）的图象向右平移得到新的抛物线，若“关联点”为（1，2），则新抛物线的函数表达式为 y（x3）22 【分析】将（1，2）
21、代入 yx2+2x+c，解得 c1，设将抛物线 yx2+2x1（x+1）22，向右平移m 个单位，则平移后的抛物线解析式是 y（x+1m）22，然后将（1，2）代入得到关于 m 的方程，通过解方程求得 m 的值即可 解：将（1，2）代入 yx2+2x+c，得 12+21+c2， 解得 c1 设将抛物线 yx2+2x1（x+1）22，向右平移 m 个单位，则平移后的抛物线解析式是 y（x+1m）22， 将（1，2）代入，得（1+1m）222 整理，得 2m2 解得 m10（舍去），m24 故新抛物线的表达式为 y（x3）22 故答案是：y（x3）22 16如图，在 RtABC 中，B90，AB8
22、，BC6，D，E，F 分别是边 AB，BC，AC 上的点，BED+C90，BED 与FED 关于 DE 对称，则 DE 的长为 【分析】由题意可得：DFEB90，DFBD，EFBE，想到构造一线三等角模型的相似三角形，所以过点 F 作 FNAB，垂足为 N，过点 E 作 EMNF，交 NF 的延长线于点 M，可证明证明NDFMFE，得到，然后证明 A 字型模型相似三角形ANFABC，求出 NF，ME 的长，最后在 RtNDF 中利用勾股定理进行计算求出 DF，即可解答 解：过点 F 作 FNAB，垂足为 N，过点 E 作 EMNF，交 NF 的延长线于点 M， FNDFME90， B90， 四
23、边形 NBEM 是矩形， NBME， BED+C90，C+A90， BEDA， BB， BEDBAC， ， BED 与FED 关于 DE 对称， BEDFED， DFEB90，DFBD，EFBE， ， FME90， MEF+MFE90， MFE+NFD90， MEFNFD， NDFMFE， ， 设 NF3x，ME4x， ANFB90，AA， ANFABC， ， ， x1， NF3，MENB4， 设 BDDFy， 则 NDNBBD4y， 在 RtNDF 中，NF2+ND2DF2， 32+（4y）2y2， y， BD， B90，AB8，BC6， AC10， BEDBAC， ， ， DE， 故答案为
24、： 三、解答题（第三、解答题（第 17、18、19 题各题各 8 分，第分，第 20、21、22 题各题各 10 分，第分，第 23 题题 12 分，第分，第 24 题题 14 分，共分，共 80分）分） 17计算：2sin60+cos45tan60 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而化简得出答案 解：原式2+ + 18有 3 名身穿同一款式的防护服的检验科医生，其中 2 名男医生和 1 名女医生，因疫情防控需要，现随机选派两名医生前往两个核酸采样室进行采样工作 （1）请用列表或画树状图的方法，写出选派两名医生的所有可能结果 （2）求选派的两名医生是一男一女的概率 【分析】（1）列表
25、可得所有等可能结果； （2）从表格中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可 解：（1）列表如下： 男 男 女 男 （男，男） （女，男） 男 （男，男） （女，男） 女 （男，女） （男，女） （2）由表知，共有 6 种等可能结果，其中选派的两名医生是一男一女的有 4 种结果， 所以选派的两名医生是一男一女的概率为 19如图，已知 D，E 分别是ABC 的边 AC，AB 上的点，AEDC，AE5，AC9，DE6 （1）求证：ABCADE （2）求 BC 的长 【分析】（1）根据两角相等的两个三角形相似来证明即可解答； （2）利用相似三角形的对应边成比例进行计算即可解答 【解答】（1）证明
26、：AEDC，AA， ABCADE； （2）解：由（1）得：ABCADE， ， AE5，AC9，DE6， ， BC 20如图是由边长为 1 的小正方形构成的 53 的网格，ABC 的顶点 A，B，C 均在格点上 （1）图中的值为 （2） 在图 1 中，以点 A 为旋转中心，将ABC 按逆时针方向旋转 90，作出经旋转后的图形ABC（其中 B，C分别是 B，C 的对应点） （3）在图 2 中，找出符合条件的格点 D，使得ADBABC 【分析】（1）根据勾股定理求得 AB，BC 的值，即可得到结论； （2）根据旋转中心方向及角度找出点 A、B 的对应点 A、B的位置，然后顺次连接即可； （3）根据题
27、意作出ADBABC 即可 解：（1）BC，AB， ， 故答案为：； （2）如图 1 所示，ABC即为所求； （3）如图 2 所示，ADB 即为所求 21某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度 BC如图所示，一架水平飞行的无人机在 A 处测得正前方河流的点 B 处的俯角FAB，点 C 处的俯角FAC37，线段 AD 的长为无人机距地面的高度，点 D、B、C 在同一条水平直线上，tan3，BD25 米 （1）求无人机的飞行高度 AD （2）求河流的宽度 BC （参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75） 【分析】（1）在 RtACD 中，由锐角三角函数定义求出 A
28、D 的长即可； （2）在 RtDCB 中，由锐角三角函数定义求出 CD 的长，即可解决问题 解：（1）由题意得：AFCD， FABABD，FACACD37， 在 RtABD 中，tanABD， tan3，BD25 米， ADBDtan25375（米）， 答：无人机的飞行高度 AD 为 75 米； （2）在 RtACD 中，tanACD， CD100（米）， BCCDBD1002575（米）， 答：河流的宽度 BC 约为 75 米 22如图，已知 AB 是O 的直径，弦 AC 与半径 OD 平行 （1）求证：点 D 是的中点 （2）若 ACOD6，求阴影部分（弓形 AC）的面积 【分析】（1）连
29、接 BC 交 OD 于 E，根据圆周角定理得出ACB90，根据平行线的性质得出OEBACB90，求出 ODBC，根据垂径定理得出即可； （2）连接 OD，过 O 作 OFAC 于 F，根据等边三角形的判定得出AOC 是等边三角形，根据等边三角形的性质得出AOC60，解直角三角形求出 OF，再分别求出扇形 AOC 和AOC 的面积即可 【解答】（1）证明：连接 BC 交 OD 于 E， AB 是O 的直径， ACB90， ACOD， OEBACB90， 即 ODBC， OD 过圆心 O， ， 即点 D 是的中点； （2）解：连接 OD，过 O 作 OFAC 于 F， ACOD6， OCOAAC6
30、， AOC 是等边三角形， AOC60， OCOA，OFAC， COFAOC30， CFOC3， 由勾股定理得：OF3， 阴影部分的面积 SS扇形AOCSAOC69 23如图 1，已知二次函数 y（x+1）2+的图象与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边），与y 轴交于点 C，点 D 是抛物线的顶点 （1）求点 A，点 C 的坐标 （2）如图 2，连结 AC，DC，过点 C 作 CEAB 交抛物线于点 E求证：DCECAO （3）如图 3，在（2）的条件下，连结 BC，在射线 EC 上有点 P，使以点 D，E，P 为顶点的三角形与ABC 相似，求 EP 的长 【分析】（1）由抛
31、物线的解析式得出方程求出答案即可； （2）方法一：求出 D 点坐标，作 DFCE 于 F，证明CFDAOC，由相似三角形的性质可得出答案； 方法二：计算出 tanDCEtanCAO，则可得出结论； （3）求出 AC 的长，证出DECCAB，分两种情况：当DEPCAB 时，有，当DEPBAC 时，有，由比例线段求出 EP 的长可得出答案 【解答】（1）解：令 y0，得（x+1）2+0， 解得，x13，x21， A（3，0）， 令 x0，y4， C（0，4） （2）方法一：证明：y（x+1）2+， D（1，）， 如图，作 DFCE 于 F， CF1，DF， AO3，OC4， ， CFDAOC90，
32、 CFDAOC， DCECAO； 方法二：得出 tanDCEtanCAO， 可得出DCECAO （3）解：如图，边接 DE， A（3，0），B（1，0），C（0，4），D（1，）， AC5，AB4，DC， 由抛物线的对称性质得：DEDC，CE2， ECDDEC， 由（2）得ECDCAO， DECCAB， DEP 和ABC 相似， 当DEPCAB 时，有， ， EP 当DEPBAC 时，有， ， EP 综上所述，EP或 24如图，四边形 ABCD 内接于O，AC 为对角线，点 B 是的中点，过点 D 作 DEBC 与 AB，AC 交于点 F，G，与O 交于点 E，ACDBFD （1）求证： （2
33、）求证 AFBC （3）若 AD6 当 CD2 时，求 BC 的长； 直接写出 BCGD 的最大值 【分析】（1）可推出，进而命题得证； （2）连接 AE，可得EACD，AFEBFD，BFDACD，进而得出EAFE，进而命题得证； （3）作 AHCD 于 H，GMCD 于 M，EQAC 于 Q，作 BGAC 于 G，连接 AE，BE，先推出ACD 是等腰三角形，于是可得 CHDH1，AH，可求得 BECDCG2，可证得 BGAC， 可根据CMBCHA 求出 GM， CM， 进而求得 DG， 可得AGEDGC，进而求得 EG，进一步求得结果； 由知：BCDGEGDGCGAG，设 CDx，可得关系
34、式：BCDGx（6x）（x3）2+9，进一步求得结果 【解答】（1）证明：弦 BCDE， ， 点 B 是的中点， ， ， ； （2）如图 1， 证明：连接 AE， ， EACD， AFEBFD，BFDACD， AFEACD， EAFE， AEAF， ， AEBC， AFBC； （3）解：如图 2， 作 AHCD 于 H，GMCD 于 M，EQAC 于 Q，作 BGAC 于 G，连接 AE，BE， ， CADEAF， ， ACDAEF， ADCAFE， 由（2）得：AFEAEF， ACDADC， ACAD6， CHDH1， AH， BCDE， AGEDGCACB， ， ACBCDE， DGCCDE， CGCD2， AGACCG2， ， BECDCG2， 由（2）知：， BEAC， GQBE2， AQCG2， G和 G 重合， BGAC， GMAH， CMBCHA ， GM，CM， DHCDCM2， DG， EAGCDE，AGECDG， AGEDGC， ， DGEGCGAG， 24， EG， BCAEEG； 由知：BCDGEGDGCGAG， 设 CDx， 则 CGCDx， AG6x， BCDGx（6x）（x3）2+9， 当 x3 时，BCDG 有最大值，最大值9
