1、备战2022年苏科版中考数学分类精练23：特殊平行四边形一、选择题1、（2021四川泸州市中考真题）下列命题是真命题的是（ ）A对角线相等的四边形是平行四边形 B对角线互相平分且相等的四边形是矩形C对角线互相垂直的四边形是菱形 D对角线互相垂直平分的四边形是正方形2、四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（ ）AABCDBADBCCABBCDACBD3、如图，在平行四边形ABCD中，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE添加一个条件，使四边形AEBD是菱形，这个条件是（ ）A B C DDE平分4、（2021吉林松原市前郭县一中九年级一模
2、）如图所示，点是矩形的对角线的中点，点 为的中点若，则的周长为（ ）A10BCD145、如图， 菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AEBC于点E，连接OE若OB=6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（）A4B4.5C8D96、如图，把含30的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则的度数为（ ）A60B65C75D807、如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AMCN，MN与AC交于点O，连接BO若DAC28，则OBC的度数为（）A28B52C6
3、2D728、小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：AB=BC，ABC=90，AC=BD，ACBD中选两个作为补充条件，使ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（ ）ABCD9、在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分交BC于点E，连接OE，则下面的结论：是等边三角形；是等腰三角形；，其中正确的结论有（ ）A2个B3个C4个D5个10、（2021浙江温州市中考真题）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示过点作的垂线交小正方形对角线的延长线于点，连结，延长交于点若，则的值为（ ）ABCD二、填空题11、已知一个菱形的周
4、长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是 12、如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点A作AEBD于点E，已知EAD3BAE，则EOA_13、（2021四川南充市中考真题）如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，则GH的长为_ 14、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AMCD于点M，已知AC6，BD8，则AM_15、如图，在菱形纸片ABCD中，AB4，A60，将菱形纸片翻折，使点A落在CD边的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则GE_16、如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6
5、，点E为BC的中点，将ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则SECF的值为_ 17、如图，在ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PEAB于E，PFAC于F，M为EF中点，则AM的最小值为_18、（2020江苏仪征初三一模）如图，正方形ABCD中，AB3，点E为对角线AC上一点，EFDE交AB于F，若四边形AFED的面积为4，则四边形AFED的周长为_三、解答题19、如图，是的中线，且，连接，（1）求证：（2）当满足什么条件时，四边形是矩形？并说明理由20、（2021四川遂宁市中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线
6、EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F（1）求证：AECF；（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由21、如图，BD是ABC的角平分线，过点作DEBC交AB于点E，DFAB交BC于点F（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若ABC60，ACB45，CD6，求菱形BEDF的边长22、如图，已知平行四边形中，对角线，交于点，是延长线上的点，且是等边三角形（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求证：四边形是正方形23、已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）(1)四边形EFGH
7、的形状是_ (2)证明你的结论(3)当满足 时，四边形是菱形(4)当满足 时，四边形是矩形(5)当满足 时，四边形是正方形24、如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=6cm点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s连接PQ、AQ、CP设点P、Q运动的时间为ts（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积25、 在正方形ABCD中（1）如图1，点E、F分别在BC、CD上，AE、BF相交于点O，AOB=90，试判断AE与BF的数
8、量关系，并说明理由；（2）如图2，点E、F、G、H分别在边BC、CD、DA、AB上，EG、FH相交于点O，GOH=90，且EG=7，求FH的长；（3）如图3，点E、F分别在BC、CD上，AE、BF相交于点O，AOB=90，若AB=5，图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为4：5，求ABO的周长26、综合与实践探究正方形旋转中的数学问题问程情境：已知正方形中，点是线段的中点，将将正方形绕点顺时针旋转得到正方形（点，分别是点，的对应点）同学们通过小组合作，提出下列数学问题，请你解答特例分析：（1）“乐思”小组提出问题：如图1，在正方形绕点旋转过程中，顺次连接点， 得到四边形，求证：四边形是矩形；（
9、2）“善学”小组提出问题：如图2.在旋转过程中，当点落在对角线上时，设与交于点.求证：四边形是正方形深入探究：（3）“好问”小组提出问题：如图3.若点是线段的三等分点且，在正方形旋转的过程中当线段经过点时，请直接写出的值备战2022年苏科版中考数学分类精练23：特殊平行四边形一、选择题1、（2021四川泸州市中考真题）下列命题是真命题的是（ ）A对角线相等的四边形是平行四边形 B对角线互相平分且相等的四边形是矩形C对角线互相垂直的四边形是菱形 D对角线互相垂直平分的四边形是正方形【答案】B【分析】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边
10、形间的关系A、根据平行四边形的判定定理作出判断；B、根据矩形的判定定理作出判断；C、根据菱形的判定定理作出判断；D、根据正方形的判定定理作出判断【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项错误，不符合题意；B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形；故本选项正确，符合题意；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误，不符合题意；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误，不符合题意；故选：B2、四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（ ）AABCDBADBCCABBCDACBD【答案】D【分析】本题主要考查了矩形的判定，解题的关
11、键是掌握矩形的判定：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形由四边形ABCD的对角线互相平分，可得四边形ABCD是平行四边形，再添加AC=BD，可根据对角线相等的平行四边形是矩形证明四边形ABCD是矩形【详解】四边形ABCD的对角线互相平分，四边形ABCD是平行四边形，A、AB=CD是平行四边形的性质，并不能得出四边形是矩形；B、AD=BC是平行四边形的性质，不能推出四边形是矩形；C、AB=BC时，四边形是菱形，而不是矩形；D、AC=BD时，由对角线相等的平行四边形是矩形故选：D3、如图，在平行四边形ABCD中，点F是AB的中点，
12、连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE添加一个条件，使四边形AEBD是菱形，这个条件是（ ）A B C DDE平分【答案】D【分析】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，菱形的判定，熟记平行四边形的性质是解题的关键先证明ADFBEF，得到AD=BE，推出四边形AEBD是平行四边形，再逐项依次分析即可【详解】解：在平行四边形ABCD中，ADBC，DAB=EBA，点F是AB的中点，AF=BF，AFD=BFE，ADFBEF，AD=BE，ADBE，四边形AEBD是平行四边形，A、当时，得到AB=BD，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；B、AB=BE时，无法判定四边形
13、AEBD是菱形，故该选项不符合题意；C、DF=EF时，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；D、当DE平分时，四边形AEBD是菱形，故该选项符合题意；故选：D4、（2021吉林松原市前郭县一中九年级一模）如图所示，点是矩形的对角线的中点，点 为的中点若，则的周长为（ ）A10BCD14【答案】C【分析】本题主要考查了矩形的性质、以及勾股定理和中位线的性质，解题的技巧是把所求三角形的三条线段分别放在不同的三角形中求解长度易知OE是中位线，则，在RtABE中，利用勾股定理求得，在RtABC中，利用勾股定理求得AC10，根据矩形性质可求BO5，从而求出BOE周长【详解】点是矩形的对角线的
14、中点，点为的中点，在中，利用勾股定理求得在中，利用勾股定理求得，的周长为故选C5、如图， 菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AEBC于点E，连接OE若OB=6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（）A4B4.5C8D9【答案】B【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键由菱形的性质得出BD12，由菱形的面积得出AC9，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果【详解】解：四边形ABCD是菱形，OAOC，OBODBD，BDAC，BD2OB12，S菱形ABCDACBD54，AC9，AEBC，AEC90，OEAC4.5，故选：B6
15、、如图，把含30的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则的度数为（ ）A60B65C75D80【答案】C【分析】本题考查了正方形的性质和直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用相关性质，根据角的关系进行计算根据斜边中线等于斜边一半，求出MPO=30，再求出MOB和OMB的度数，即可求出的度数【详解】解：四边形ABCD是正方形中，MBO=NDO=45，点O为MN的中点OM=ON，MPN=90，OM=OP，PMN=MPO=30，MOB=MPO+PMN =60，BMO=1
16、80-60-45=75，故选：C7、如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AMCN，MN与AC交于点O，连接BO若DAC28，则OBC的度数为（）A28B52C62D72【答案】C【分析】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质根据菱形的性质以及AMCN，利用ASA可得AMOCNO，可得AOCO，然后可得BOAC，继而可求得OBC的度数【解析】解：四边形ABCD为菱形，ABCD，ABBC，MAONCO，AMOCNO，在AMO和CNO中， ，AMOCNO（ASA），AOCO，ABBC，BOAC，BOC90，DAC28，BCADAC2
17、8，OBC902862故选：C8、小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：AB=BC，ABC=90，AC=BD，ACBD中选两个作为补充条件，使ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（ ）ABCD【答案】B【解析】A、四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当ABC=90时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；B、四边形ABCD是平行四边形，当ABC=90时，平行四边形ABCD是矩形，当AC=BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；C、四边形ABCD是平行四边形，当AB=
18、BC时，平行四边形ABCD是菱形，当AC=BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；D、四边形ABCD是平行四边形，当ABC=90时，平行四边形ABCD是矩形，当ACBD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意故选C9、在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分交BC于点E，连接OE，则下面的结论：是等边三角形；是等腰三角形；，其中正确的结论有（ ）A2个B3个C4个D5个【答案】B【分析】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键判断出ABE是
19、等腰直角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出ACB30，再判断出ABO，DOC是等边三角形，可判断；根据等边三角形的性质求出OBAB，再求出OBBE，可判断，由直角三角形的性质可得BCAB，可判断，由等腰三角形性质求出BOE75，再根据AOEAOBBOE135，可判断；由面积公式可得可判断；即可求解【详解】解：AE平分BAD，BAEDAE45，AEB45，ABE是等腰直角三角形，ABBE，CAE15，ACEAEBCAE451530，BAO903060，矩形ABCD中：OAOBOCOD，ABO是等边三角形，COD是等边三角形，故正确；OBAB，又 ABBE，OBBE，BO
20、E是等腰三角形，故正确；在RtABC中ACB=30BCAB，故错误；OBEABCABO906030ACB，BOE（18030）75，AOEAOBBOE6075135，故错误；AOCO，故正确；故选：B10、（2021浙江温州市中考真题）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示过点作的垂线交小正方形对角线的延长线于点，连结，延长交于点若，则的值为（ ）ABCD【答案】C【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键如图，设BH交CF于P，CG交DF于Q，根据题意可知BE=PC=DF，AE=BP=CF，根据
21、可得BE=PE=PC=PF=DF，根据正方形的性质可证明FDG是等腰直角三角形，可得DG=FD，根据三角形中位线的性质可得PH=FQ，CH=QH=CQ，利用ASA可证明CPHGDQ，可得PH=QD，即可得出PH=BE，可得BH=，利用勾股定理可用BE表示长CH的长，即可表示出CG的长，进而可得答案【详解】如图，设BH交CF于P，CG交DF于Q，由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形，BE=PC=DF，AE=BP=CF，BE=PE=PC=PF=DF，CFD=BPC，DF/EH，PH为CFQ的中位线，PH=QF，CH=HQ，四边形EPFN是正方形，EFN=45，GDDF，FDG是等腰直
22、角三角形，DG=FD=PC，GDQ=CPH=90，DG/CF，DGQ=PCH，在DGQ和PCH中，DGQPCH，PH=DQ，CH=GQ，PH=DF=BE，CG=3CH，BH=BE+PE+PH=，在RtPCH中，CH=，CG=BE，故选：C二、填空题11、已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是 【分析】先求出菱形的边长，然后设菱形的两对角线分别为8x，6x，根据菱形的对角线垂直平分求出两对角线的一半，再利用勾股定理列式求出x，从而得到对角线的长，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式进行计算即可得解【解答】解：菱形的周长是20cm，边长为2045cm，两条对
23、角线的比是4：3，设菱形的两对角线分别为8x，6x，则对角线的一半分别为4x，3x，根据勾股定理得，（4x）2+（3x）252，解得x1，所以，两对角线分别为8cm，6cm，所以，这个菱形的面积8624cm2故答案为：24cm212、如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点A作AEBD于点E，已知EAD3BAE，则EOA_【答案】【分析】由已知条件可先求得，在RtABE中可求得，再由矩形的性质可得OA=OB，则可求得，即可求得结果；【解析】四边形ABCD是矩形，OA=OB，EAD3BAE，AEBD，故答案是13、（2021四川南充市中考真题）如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，
24、点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，则GH的长为_ 【答案】3【分析】本题主要考查矩形的性质，直角三角形的性质和三角形中位线的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半，是解题的关键根据直角三角形的性质和三角形中位线的性质，即可求解【详解】在矩形ABCD中，BAE=90，又点F是BE的中点，BE=2AF=6，G，H分别是BC，CE的中点，GH是的中位线，GH=BE=6=3，故答案是：314、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AMCD于点M，已知AC6，BD8，则AM_【答案】【分析】本题主要考查等面积法的应用，结合菱形性质和勾股定理计算相关边长是解题的关
25、键根据菱形的性质，菱形ABCD的面积等于对角线之积除以2，还可用计算，然后利用勾股定理计算出CD的长度即可计算AM【详解】解：四边形是ABCD菱形，ACBD，DOC是直角三角形，AMCD，,故答案为：15、如图，在菱形纸片ABCD中，AB4，A60，将菱形纸片翻折，使点A落在CD边的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则GE_【答案】【分析】过点E作EHAD于H，根据勾股定理可求DH的长度，由折叠的性质得出AGGE，在RtHGE中，由勾股定理可求出答案【解析】解：过点E作EHAD于H，ABCD是菱形，ABCD，ADAB4，BADHDE60，E是CD中点，DE2，在RtDHE，中
26、，DE2，HEDH，HDE60，DH1，HE，将菱形纸片翻折，使点A落在CD边的中点E处，AGGE，在RtHGE中，GE2GH2+HE2，GE2（4GE+1）2+3，GE2.8故答案为：2.816、如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则SECF的值为_ 【答案】【分析】连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到BFC=90，再根据勾股定理求出CF的长度，进而即可求出SECF【解析】如图，连接BF，BC=6，点E为BC的中点，BE=3，又AB=4，AE=，由折叠可知：BFAE（对应点的
27、连线必垂直于对称轴），BH=，BF=，EF=BE=CE，BFC=90，根据勾股定理可得：CF=，SECF=SBCF=，故答案为：17、如图，在ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PEAB于E，PFAC于F，M为EF中点，则AM的最小值为_【答案】1.2【分析】本题考查了勾股定理, 矩形的性质，熟练的运用勾股定理和矩形的性质是解题的关键.根据勾股定理的逆定理可以证明BAC=90；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则AM=EF，要求AM的最小值，即求EF的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最
28、小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高【解析】在ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，AB2+AC2=BC2，即BAC=90.又PEAB于E，PFAC于F，四边形AEPF是矩形，EF=AP.M是EF的中点，AM=EF=AP.因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，AM的最小值是1.2.18、（2020江苏仪征初三一模）如图，正方形ABCD中，AB3，点E为对角线AC上一点，EFDE交AB于F，若四边形AFED的面积为4，则四边形AFED的周长为_【答案】4+2【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，等腰
29、三角形的性质，解题的关键是由面积列出x的方程，属于中考选择题中的压轴题连接BE，DF，过E作ENBF于点N，证明DCEBCE和BEF为等腰三角形，设AF=x，用x表示DE与EF，由根据四边形ADEF的面积为4，列出x的方程求得x，进而求得四边形ADEF的周长【解析】解：如图，连接BE，DF，过E作ENBF于点N，四边形ABCD为正方形，CB=CD，BCE=DCE=45，在BEC和DEC中，DCEBCE（SAS），DE=BE，CDE=CBE，ADE=ABE，DAB=90，DEF=90，ADE+AFE=180，AFE+EFB=180，ADE=EFB，ABE=EFB，EF=BE，DE=EF，设AF=
30、x，则BF=3-x，FN=BN=BF=，AN=AF+FN=，BAC=DAC=45，ANF=90，EN=AN=，DE=EF=，四边形AFED的面积为4，SADF+SDEF=4，3x+，解得，x=-7（舍去），或x=1，AF=1，DE=EF=，四边形AFED的周长为：3+1+=4+，故答案为：4+.三、解答题19、如图，是的中线，且，连接，（1）求证：（2）当满足什么条件时，四边形是矩形？并说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）当满足时，四边形是矩形，证明见解析【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及矩形的判定.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.(1)根据三角形中位
31、线定理和平行四边形的判定和性质解答即可；(2)根据矩形的判定解答即可.【详解】（1）是的中线又四边形是平行四边形（2）当满足时，四边形是矩形，又四边形是平行四边形当时，四边形是矩形20、（2021四川遂宁市中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F（1）求证：AECF；（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由【答案】（1）见解析；（2）EFBD或EBED，见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质，菱形的判定等知识点，熟悉相关性质，能全等三角形的性质解决问题是解题的关键（1
32、）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明，则可得到AECF；（2）连接BF，DE，由，得到OE= OF，又AO=CO，所以四边形AECF是平行四边形，则根据EFBD可得四边形BFDE是菱形【详解】证明：（1）四边形是平行四边形OAOC，BEDFEF在AOE和COF中AECF（2）当EFBD时，四边形BFDE是菱形，理由如下： 如图：连结BF，DE四边形是平行四边形OBOD 四边形是平行四边形EFBD， 四边形是菱形21、如图，BD是ABC的角平分线，过点作DEBC交AB于点E，DFAB交BC于点F（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若ABC60，ACB45，CD6，求菱形BEDF的
33、边长【答案】（1）见解析；（2）【分析】本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握菱形的判定定理是本题的关键（1）由题意可证BEDE，四边形BEDF是平行四边形，即可证四边形BEDF为菱形；（2）过点D作DHBC于H，由直角三角形的性质可求解【详解】证明：（1）DEBC，DFAB，四边形DEBF是平行四边形，DEBC，EDBDBF，BD平分ABC，ABDDBFABC，ABDEDB，DEBE，又四边形BEDF为平行四边形，四边形BEDF是菱形；（2）如图，过点D作DHBC于H，DFAB，ABCDFC60，DHBC，FDH30，FHDF，DHFHDF，C45，DHBC，CHDC45，DCD
34、HDF6，DF2 ，菱形BEDF的边长为222、如图，已知平行四边形中，对角线，交于点，是延长线上的点，且是等边三角形（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求证：四边形是正方形【分析】此题主要考查菱形和正方形的判定，要灵活应用判定定理及等腰三角形的性质、外角的性质定理（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形由题意易得AOECOE，AOE=COE=90，BEAC，四边形ABCD是菱形；（2）根据有一个角是90的菱形是正方形由题意易得ADO=DAE+DEA=15+30=45，四边形ABCD是菱形，ADC=2ADO=90，四边形ABCD是正方形【解析】解：证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，AO
35、=CO又ACE是等边三角形，EOAC（三线合一），即ACBD，四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）（2）四边形ABCD是平行四边形，AO=CO又ACE是等边三角形，EO平分AEC（三线合一），AED=AEC=60=30，又AED=2EADEAD=15，ADO=DAE+DEA=15+30=45（三角形的一一个外角等于和它外角不相邻的两内角之和），四边形ABCD是菱形，ADC=2ADO=90，平行四边形ABCD是正方形23、已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）(1)四边形
36、EFGH的形状是_ (2)证明你的结论(3)当满足 时，四边形是菱形(4)当满足 时，四边形是矩形(5)当满足 时，四边形是正方形【答案】（1）平行四边形；（2）见解析；（3）AC=BD；（4）ACBD；（5）AC=BD且ACBD【分析】（1）连接AC，根据三角形的中位线定理即可知四边形EFGH是平行四边形；（2）根据三角形的中位线定理易知EH/FG，EH=FG，从而四边形EFGH是平行四边形；（3）连接AC，BD，当AC=BD时，由三角形的中位线定理易知EF=EH，结合（2）的结论即可得到四边形是菱形；（4）连接AC，BD，当ACBD时，由三角形的中位线定理易知EFEH，结合（2）的结论即可
37、得到四边形是矩形；（5）连接AC，BD，当AC=BD且ACBD时，由三角形的中位线定理易知EF=EH且EFEH，结合（2）的结论即可得到四边形是正方形；【解析】解：（1）平行四边形； （2）连接AC，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，线段EH，FG分别是ADC，ABC的中位线，EH/AC，EH=AC，FG/AC，FG=AC，EH/FG，EH=FG，四边形EFGH是平行四边形；（3）当AC=BD时，四边形是菱形，理由如下 连接AC，BD四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，线段EF是ABD的中位线，EF=BD，由（2）知EH=AC而AC=BD，EF=EH又由（2）已证
38、四边形EFGH是平行四边形；四边形是菱形；（4）当ACBD时，四边形是矩形，理由如下四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，线段EF是ABD的中位线，EF/BD，由（2）知EH/AC，而ACBD，EFEH又由（2）已证四边形EFGH是平行四边形；四边形是矩形；（5）当AC=BD且ACBD时，四边形是正方形；理由如下当AC=BD时，由（3）知四边形是菱形，当ACBD时，由（4）知四边形是矩形，所以四边形是正方形；24、如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=6cm点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/
39、s连接PQ、AQ、CP设点P、Q运动的时间为ts（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积【答案】（1）t=3，ABQP是矩形；（2）t=，AQCP是菱形；（3）周长为:15cm，面积为：（cm2）.【分析】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，据此求得t的值；（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ=AC，列方程求得运动的时间t；（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长=4AQ，面积=CQAB【解析】解：（1）由已知可得，BQ=DP=t，AP=CQ=6-t在矩形ABCD中，B=90，ADBC，当BQ=AP时
40、，四边形ABQP为矩形，t=6-t，得t=3故当t=3s时，四边形ABQP为矩形（2）ADBC，AP=CQ=6-t，四边形AQCP为平行四边形当AQ=CQ时，四边形AQCP为菱形即6t时，四边形AQCP为菱形，解得t=，故当t=s时，四边形AQCP为菱形（3）当t=时，AQ=，CQ=，则周长为：4AQ=4=15cm面积为：CQAB325、 在正方形ABCD中（1）如图1，点E、F分别在BC、CD上，AE、BF相交于点O，AOB=90，试判断AE与BF的数量关系，并说明理由；（2）如图2，点E、F、G、H分别在边BC、CD、DA、AB上，EG、FH相交于点O，GOH=90，且EG=7，求FH的长
41、；（3）如图3，点E、F分别在BC、CD上，AE、BF相交于点O，AOB=90，若AB=5，图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为4：5，求ABO的周长【答案】（1）AE=BF，理由见解析；（2）FH=7；（3）AOB的周长为5+【分析】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形和多边形的面积以及完全平方公式的运用，属于常考题型，熟练掌握上述知识、灵活应用整体的思想是解题的关键（1）由四边形ABCD是正方形可得AB=BC，ABE=BCF=90，根据余角的性质可得BAO=CBF，然后根据ASA可证ABEBCF，进而可得结论；（2）如图4，
42、作辅助线，构建平行四边形AMEG和平行四边形BNFH，得AM=GE，BN=FH，由（1）题的结论知ABMBCN，进而可得FH的长；（3）根据正方形的面积和阴影部分的面积可得：空白部分的面积为2520=5，易得AOB的面积与四边形OECF的面积相等，设AO=a，BO=b，则易得ab=5，根据勾股定理得：a2+b2=52，然后根据完全平方公式即可求出a+b，进一步即得结果【解析】解：（1）AE=BF，理由是：如图1，四边形ABCD是正方形，AB=BC，ABE=BCF=90，AOB=90，BAO+ABO=90，又CBF+ABO=90，BAO=CBF，ABEBCF（ASA）AE=BF；（2）在图2中，过点A作AMGE交BC于M，
