1、备战2022年苏科版中考数学分类精练16：二次函数及其应用（2）一、选择题1、以x为自变量的函数：；是二次函数的有（ ）ABCD2、已知函数，若，则函数的最大值是（ ）A8B10C10或8D3、已知某二次函数的图象与轴相交于，两点若该二次函数图象的对称轴是直线，且点的坐标是，则的长为（ ）A5B8C10D114、已知抛物线经过点，若点A在抛物线对称轴的左侧，且，则m的取值范围是（ ）ABCD5、一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A B C D6、（2021浙江宁波市九年级一模）如图，在平面直角坐标系中，有一系列的抛物线（ 为正整数），若和的顶点的连线平行于直线，则该条抛
2、物线对应的的值是（ ）A8B9C11D107、（2021浙江嘉兴市九年级二模）在平面直角坐标系中，已知点，若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是（ ）A或B或C且D或8、如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线：（x0）和抛物线：（x0）交于A，B两点，过点A作CDx轴分别与y轴和抛物线C2交于点C，D，过点B作EFx轴分别与y轴和抛物线C1交于点E，F，则的值为（）ABC D9、（2020云南省中考真题）如图，抛物线yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线x1，与y轴交于点B（0，2），点A（1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（）Aab0 B一元二次方程ax2+bx+c0的正实数
3、根在2和3之间Ca D点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，当实数t时，y1y210、（2020辽宁铁岭市）如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论中：，正确的个数是（ ）A1B2C3D4二、填空题11、将抛物线向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线解析式为_12、若抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A (4，0)与B (2，0)，则抛物线的对称轴为直线x=_13、已知抛物线ya（x+）2+k（a0），点A（4，y1）、B（2，y2）、C（2，y3）是图象上的三个点，则y1、y2、y3的大小关系是_（用“”连接）14、如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物
4、线形，左右两个抛物线形是全等的正常水位时，大孔水面宽度为20m，顶点距水面6m，小孔顶点距水面3m当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为_m 15、（2020山东滨城初三二模）已知二次函数与一次函数图象交于，两点，则关于的不等式的解集为_16、已知二次函数（是常数，）的与的部分对应值如下表：02606下列结论：；当时，函数最小值为；若点，点在二次函数图象上，则；方程有两个不相等的实数根其中，正确结论的序号是_（把所有正确结论的序号都填上）17、如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部
5、分的面积为18、（2020四川内江市中考真题）已知抛物线（如图）和直线我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为和若，取和中较大者为M；若，记当时，M的最大值为4；当时，使的x的取值范围是；当时，使的x的值是，；当时，M随x的增大而增大上述结论正确的是_（填写所有正确结论的序号）三、解答题19、已知函数yax2k的图象经过点和(3，1)（1）求这个函数的表达式，并指出图象的顶点坐标；（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？（3）求将函数yax2k的图象向下平移5个单位所得图象的函数表达式20、（2020江苏阜宁初三二模）已知二次函数（为常数）（1）求证：不论为何值，该二次函数的图象与轴
6、总有公共点（2）求证：不论为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数的图象上（3）已知点、，线段与函数的图象有公共点，则的取值范围是_21、抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为（1）求实数b的值；（2）若点D是抛物线在第一象限内图象上的点，求面积的最大值，及此时点D的坐标22、初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽
7、拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？23、如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C（1）_，_；（2）若点D在该二次函数的图象上，且，求点D的坐标；（3）若点P是该二次函数图象上位于x轴上方的一点，且，直接写出点P的坐标24、（2021湖北黄冈市中考真题）红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少万件其中月销售单价不低于成本设月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当月销售单价是
8、多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值25、（2021黑龙江齐齐哈尔中考真题）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，对称轴为，点D为此抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C，D两点之间的距离是_；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE求面积的最大值；（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接
9、写出点Q的坐标备战2022年苏科版中考数学分类精练16：二次函数及其应用（2）一、选择题1、以x为自变量的函数：；是二次函数的有（ ）ABCD【答案】C【分析】根据二次函数的定义进行判断【详解】解：，符合二次函数的定义，故是二次函数；，符合二次函数的定义，故是二次函数； ，符合二次函数的定义，故是二次函数；，不符合二次函数的定义，故不是二次函数所以，是二次函数的有，故选：C2、已知函数，若，则函数的最大值是（ ）A8B10C10或8D【答案】A【分析】先判断二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质来判断在的范围内，函数的最大值【解析】解：，对称轴为，a=-2-1时y随x增大而减小，当x=0时，y
10、有最大值，y=8；故选：A3、已知某二次函数的图象与轴相交于，两点若该二次函数图象的对称轴是直线，且点的坐标是，则的长为（ ）A5B8C10D11【答案】C【分析】根据抛物线关于对称轴轴对称可知，两点关于对称轴直线对称，据此可求出AB的长【解析】二次函数的图象与轴相交于，两点，对称轴是直线，两点关于对称轴直线对称，的坐标是，的坐标是，.故选：C4、已知抛物线经过点，若点A在抛物线对称轴的左侧，且，则m的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【分析】根据题目中的抛物线，可以得到该抛物线的对称轴，然后根据题意，可知点A和点B在对称轴两侧，从而可以得到m的取值范围，本题得以解决【详解】解：，抛物线开口向
11、下，有最小值1，对称轴为直线x=2，在对称轴左边，随的增大而减小，在对称轴右边，随的增大而增大，点在点左侧，点在对称轴左侧，且，点在对称轴右侧，A在对称轴左侧，故选C5、一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A B C D【答案】C【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论【详解】A. 二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，a0，b0，b0，一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误；C. 二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，a0，b0，一次函数图象应该
12、过第二、三、四象限，故本选项正确；D. 二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，a0，b0，一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误故选C6、（2021浙江宁波市九年级一模）如图，在平面直角坐标系中，有一系列的抛物线（ 为正整数），若和的顶点的连线平行于直线，则该条抛物线对应的的值是（ ）A8B9C11D10【答案】B【分析】将x=1代入抛物线解析式，得到C1的顶点坐标为（1,1），设直线的解析式为+b，将点C1的坐标（1,1）代入求出直线的解析式为-9，再将Cn的顶点坐标为（n，）代入，求出n的值即可【详解】解：当x=1时，抛物线C1的顶点坐标为（1,1）和的顶点的连线平行于直线，设
13、直线的解析式为+b，将点C1的坐标（1,1）代入，得10+b=1，解得b=-9，直线的解析式为-9，将抛物线Cn的顶点坐标为（n，）代入，得，解得n=1或n=9故选：B7、（2021浙江嘉兴市九年级二模）在平面直角坐标系中，已知点，若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是（ ）A或B或C且D或【答案】A【分析】用待定系数法求出AB的解析式，根据二次函数的性质分两种情形讨论求解即可【详解】解：设直线AB的解析式为y=kx+b（k0），则点，解得：； AB的解析式为， 由整理得4ax2-7x-2=0， 由=（-7）2+44a20得，当a0时，当抛物线经过B（2，1）时，则4a-4+1=1，解
14、得a=1当a0时，当抛物线经过点时，则4a+4+1=2，解得综上，a的取值范围为或故选：A8、如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线：（x0）和抛物线：（x0）交于A，B两点，过点A作CDx轴分别与y轴和抛物线C2交于点C，D，过点B作EFx轴分别与y轴和抛物线C1交于点E，F，则的值为（）ABC D【答案】D【分析】可以设A、B横坐标为a，易求得点E、F、D的坐标，即可求得OE、CE、AD、BF的长度即可【解析】设点A、B横坐标为a，则点A纵坐标为，点B的纵坐标为，BEx轴，点F纵坐标为，点F是抛物线上的点，点F横坐标为x=，CDx轴，点D纵坐标为，点D是抛物线上的点，点D横坐标为x=2a，
15、AD=a，BF=，CE=，OE=，则= =，故选D9、（2020云南省中考真题）如图，抛物线yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线x1，与y轴交于点B（0，2），点A（1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（）Aab0 B一元二次方程ax2+bx+c0的正实数根在2和3之间Ca D点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，当实数t时，y1y2【答案】D【分析】由抛物线开口方向得到a0，利用抛物线的对称轴方程得到b2a0，则可对A选项进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，则根据抛物线与x轴的交点问题可对B选项进行判断；把B（0，2
16、），A（1，m）和b2a代入抛物解析式可对C选项进行判断；利用二次函数的增减性对D进行判断【解析】抛物线开口向上，a0，抛物线的对称轴为直线x1，b2a0，ab0，所以A选项的结论正确；抛物线的对称轴为直线x1，抛物线与x轴的一个交点坐标在（0，0）与（1，0）之间，抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，一元二次方程ax2+bx+c0的正实数根在2和3之间，所以B选项的结论正确；把B（0，2），A（1，m）代入抛物线得c2，ab+cm，而b2a，a+2a2m，a，所以C选项的结论正确；点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，当点P1、P2都在直线x1的右侧时，y
17、1y2，此时t1；当点P1在直线x1的左侧，点P2在直线x1的右侧时，y1y2，此时0t1且t+111t，即t1，当t1或t1时，y1y2，所以D选项的结论错误；故选：D10、（2020辽宁铁岭市）如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论中：，正确的个数是（ ）A1B2C3D4【答案】B【分析】由开口方向，对称轴方程，与轴的交点坐标判断的符号，从而可判断，利用与轴的交点位置得到，结合 可判断，利用当 结合图象与对称轴可判断【详解】解：由函数图象的开口向下得 由对称轴为 所以 由函数与轴交于正半轴，所以 故错误；， 故正确； 由交点位置可得：， ， 故错误；由图象知：当 此时点在第三象
18、限， 故正确；综上：正确的有：，故选B二、填空题11、将抛物线向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线解析式为_【答案】【分析】首先确定抛物线y=3x2的顶点坐标，再确定平移后的抛物线顶点坐标，然后可得答案【详解】解：抛物线y=-3x2的顶点坐标为（0，0），先向右平移2个单位，再向上平移5个单位，新的抛物线顶点坐标为（2，5），新抛物线的解析式为：y=-3（x-2）2+5=，故答案为：12、若抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A (4，0)与B (2，0)，则抛物线的对称轴为直线x=_【答案】3【分析】利用点A和点B为对称点确定抛物线的对称轴【详解】解：抛物线y=ax2+bx
19、+c与x轴的两个交点坐标是A (4，0)和B (2，0)，抛物线的对称轴为直线x=(4+2)=3故答案为：313、已知抛物线ya（x+）2+k（a0），点A（4，y1）、B（2，y2）、C（2，y3）是图象上的三个点，则y1、y2、y3的大小关系是_（用“”连接）【答案】y2y3y1【分析】根据题目中的抛物线的解析式可以得到该抛物线的对称轴、开口方向，从而可以判断出y1、y2、y3的大小关系，本题得以解决【解析】抛物线ya（x+）2+k（a0），该函数开口向上，对称轴是直线x，当x时，y随x的增大而增大，当x时，y随x的增大而减小，|4（）|3.5，|2（）|1.5，|2（）|2.5，点A（4
20、，y1）、B（2，y2）、C（2，y3）是图象上的三个点，y2y3y1，故答案为：y2y3y114、如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的正常水位时，大孔水面宽度为20m，顶点距水面6m，小孔顶点距水面3m当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为_m 【答案】10【分析】根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大抛物线的解析式，然后令，求出相应的x的值，即可得到当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度【解析】如图所示：点C为抛物线顶点，坐标为（0，6），则点A的坐标为（10，0），点B的坐标为（10，0），设抛物线ACB的函数解析式为，点A在此抛物线上，解得：，
21、即抛物线ACB的函数解析式为x2+6，当时，x2+6，解得：，当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为：故答案为：15、（2020山东滨城初三二模）已知二次函数与一次函数图象交于，两点，则关于的不等式的解集为_【答案】【分析】先把不等式转化为两个函数解析式的表示形式，然后结合图形，找出二次函数图象在一次函数上面的自变量的取值范围就是不等式的解集【解析】可整理为二次函数与一次函数图象交于，两点，如图，关于的不等式的解集为：，故答案为：16、已知二次函数（是常数，）的与的部分对应值如下表：02606下列结论：；当时，函数最小值为；若点，点在二次函数图象上，则；方程有两个不相等的实数根其中，正确结
22、论的序号是_（把所有正确结论的序号都填上）【答案】【分析】先根据表格中的数据利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可直接判断；由抛物线的性质可判断；把点和点代入解析式求出y1、y2即可；当y=5时，利用一元二次方程的根的判别式即可判断，进而可得答案【解析】解：由抛物线过点（5，6）、（2，6）、（0，4），可得：，解得：，二次函数的解析式是，a=10，故正确；当时，y有最小值，故错误；若点，点在二次函数图象上，则，故正确；当y=5时，方程即，方程有两个不相等的实数根，故正确；综上，正确的结论是：故答案为：17、如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（6，0）和原点O（0，0）
23、，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为【答案】【分析】根据点O与点A的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点P的坐标，过点P作PMy轴于点M，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于四边形NPMO的面积，然后求解即可.【解析】过点P作PMy轴于点M，设PQ交x轴于点N， 抛物线平移后经过原点O和点A（6，0），平移后的抛物线对称轴为x=3.平移后的二次函数解析式为：y=（x+3）2+h，将（6，0）代入得出：0=（6+3）2+h，解得：h=.点P的坐标是（3，）根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，S=18、（2020四川内江市中
24、考真题）已知抛物线（如图）和直线我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为和若，取和中较大者为M；若，记当时，M的最大值为4；当时，使的x的取值范围是；当时，使的x的值是，；当时，M随x的增大而增大上述结论正确的是_（填写所有正确结论的序号）【答案】【分析】根据题目中的较大者M的定义逐个分析即可【详解】解：对于：当时，显然只要，则M的值为，故错误；对于：当时，在同一直角坐标系内画出的图象，如下图所示，其中红色部分即表示M，联立的函数表达式，即，求得交点横坐标为和，观察图形可知的x的取值范围是，故正确；对于：当时，在同一直角坐标系内画出的图象，如下图所示，其中红色部分即表示M，联立的函数
25、表达式，即，求得其交点的横坐标为和，故M=3时分类讨论：当时，解得或，当时，解得，故错误；对于：当时，函数，此时图象一直在图象上方，如下图所示，故此时M=，故M随x的增大而增大，故正确故答案为：三、解答题19、已知函数yax2k的图象经过点和(3，1)（1）求这个函数的表达式，并指出图象的顶点坐标；（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？（3）求将函数yax2k的图象向下平移5个单位所得图象的函数表达式【答案】（1）yx22，(0，2)；（2）x0；（3）yx23【分析】（1）根据待定系数法即可求解，再写出顶点；（2）根据a的值与对称轴即可求解；（3）根据二次函数平移特点即可求解【解析】（1）
26、由题意将x1，y；x3，y1分别代入yax2k，得，解得，这个函数的表达式为yx22，其图象的顶点坐标为(0，2)（2）a0，当x0时，y随x的增大而增大（3）将函数yx22的图象向下平移5个单位可得函数yx225的图象，即得函数yx23的图象函数表达式为yx2320、（2020江苏阜宁初三二模）已知二次函数（为常数）（1）求证：不论为何值，该二次函数的图象与轴总有公共点（2）求证：不论为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数的图象上（3）已知点、，线段与函数的图象有公共点，则的取值范围是_【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）计算判别式的值得到0，从而根据判别式的意义得到结论
27、；（2）利用配方法得到二次函数y=x2-2mx+2m-1的顶点坐标为（m，-（m-1）2），然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断；（3）先计算出抛物线y=-（x-1）2与直线y=-1的交点的横坐标，然后结合图象得到a+20且a2【解析】（1）令，则，一元二次方程有实数根故不论取何值，函数与轴总有公共点（2）该函数的顶点坐标为把代入，得不论为何值，该二次函数的顶点坐标都在函数上（3）当y=-1时，y=-（x-1）2=-1，解得x1=0，x2=2，当a+20且a2时，线段AB与函数y=-（x-1）2的图象有公共点，所以a的范围为-2a2故答案为21、抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C
28、，已知点B坐标为（1）求实数b的值；（2）若点D是抛物线在第一象限内图象上的点，求面积的最大值，及此时点D的坐标【答案】（1）；（2）的面积最大值是1，【分析】（1）直接将点B坐标代入抛物线解析式即可求解；（2）根据题意求出直线BC解析式，设，过点D作轴，交直线BC于点E，则，可得DE的长度，利用，得出关于d的关系式，利用配方法求得SBCD最大值时d的值，继而即可求解【详解】（1）将点代入，得，；（2）由，知，直线BC的解析式为，设，过点D作轴，交直线BC于点E，则，.，时，的面积最大，此时，的面积最大值是122、初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心
29、的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？【答案】（1）y=(x4)2+4；能够投中；（2）能够盖帽拦截成功【分析】（1）根据题意可知：抛物线经过（0，），顶点坐标是（4，4），然后设出抛物线的顶点式，将（0，）代入，即可求出抛物线的解析式，然后判断篮圈的坐标是否满足解析式即可；（2）当时，求出此时的函数值，再与3.1m比较大小即可判断.【解析】解：由题意可知，
30、抛物线经过（0，），顶点坐标是（4，4）设抛物线的解析式是，将（0，）代入，得解得，所以抛物线的解析式是；篮圈的坐标是（7，3），代入解析式得，这个点在抛物线上，能够投中 答：能够投中 （2）当时，3.1，所以能够盖帽拦截成功.答：能够盖帽拦截成功.23、如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C（1）_，_；（2）若点D在该二次函数的图象上，且，求点D的坐标；（3）若点P是该二次函数图象上位于x轴上方的一点，且，直接写出点P的坐标【答案】（1）-2，-3；（2）（，6）或（，6）；（3）（4，5）【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出ABC的面积，设点
31、D（m，），再根据，得到方程求出m值，即可求出点D的坐标；（3）分点P在点A左侧和点P在点A右侧，结合平行线之间的距离，分别求解【详解】解：（1）点A和点B在二次函数图象上，则，解得：，故答案为：-2，-3；（2）连接BC，由题意可得：A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），SABC=6，SABD=2SABC，设点D（m，），即，解得：x=或，代入，可得：y值都为6，D（，6）或（，6）； （3）设P（n，），点P在抛物线位于x轴上方的部分，n-1或n3，当点P在点A左侧时，即n-1，可知点C到AP的距离小于点B到AP的距离，不成立；当点P在点B右侧时，即n3，APC和APB都以AP为底
32、，若要面积相等，则点B和点C到AP的距离相等，即BCAP，设直线BC的解析式为y=kx+p，则，解得：，则设直线AP的解析式为y=x+q，将点A（-1，0）代入，则-1+q=0，解得：q=1，则直线AP的解析式为y=x+1，将P（n，）代入，即，解得：n=4或n=-1（舍），点P的坐标为（4，5）24、（2021湖北黄冈市中考真题）红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少万件其中月销售单价不低于成本设月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的
33、取值范围；（2）当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值【答案】（1）；（2）当月销售单价是70元/件时，月销售利润最大，最大利润是90万元；（3）4【分析】（1）分和两种情况，根据“月销售单价每涨价1元，月销售量就减少万件”即可得函数关系式，再根据求出的取值范围；（2）在（1）的基础上，根据“月利润（月销售单价成本价）月销售量”建立函数关系式，分别利用一次函数和二次函数的性质求解即可得；（3）设该产品的捐
34、款当月的月销售利润为万元，先根据捐款当月的月销售单价、月销售最大利润可得，再根据“月利润（月销售单价成本价）月销售量”建立函数关系式，然后利用二次函数的性质即可得【详解】解：（1）由题意，当时，当时，解得，综上，；（2）设该产品的月销售利润为万元，当时，由一次函数的性质可知，在内，随的增大而增大，则当时，取得最大值，最大值为；当时，由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为90，因为，所以当月销售单价是70元/件时，月销售利润最大，最大利润是90万元；（3）捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元（大于50万元），设该产品捐款当月的月销售利润为万元，由题意得：，整理
35、得：，在内，随的增大而增大，则当时，取得最大值，最大值为，因此有，解得25、（2021黑龙江齐齐哈尔中考真题）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，对称轴为，点D为此抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C，D两点之间的距离是_；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE求面积的最大值；（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或或或【分析】（1）先根据对称轴可得的值，再根据可得点的坐标，代入抛物线的解析式即可得；（2）
36、利用抛物线的解析式分别求出点的坐标，再利用两点之间的距离公式即可得；（3）过点作轴的垂线，交于点，先利用待定系数法求出直线的解析式，再设点的坐标为，从而可得和的坐标，然后根据可得关于的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得；（4）设点的坐标为，分当为矩形的边时，当为矩形的边时，当为矩形的对角线时三种情况，再分别利用待定系数法求直线的解析式、矩形的性质、点坐标的平移变换规律求解即可得【详解】解：（1）抛物线的对称轴为，且点在轴负半轴上，将点代入得：，解得，则抛物线的解析式为；（2）化成顶点式为，则顶点的坐标为，当时，即，则抛物线上两点之间的距离是，故答案为：；（3）如图，过点作轴的垂线，交于点
37、，抛物线的对称轴为，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，设点的坐标为，则，由二次函数的性质得：在内，当时，取最大值，最大值为，即面积的最大值为；（4）设点的坐标为，由题意，分以下三种情况：当为矩形的边时，则，设直线的解析式为，将点代入得：，则直线的解析式为，将点代入得：，即，将点先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到点，四边形是矩形，点平移至点的方式与点平移至点的方式相同，即；当为矩形的边时，则，同（4）的方法可得：点的坐标为；当为矩形的对角线时，则，即，解得或，或，当点的坐标为时，则将点先向左平移2个单位长度，再向下平移个单位长度可得到点，四边形是矩形，点平移至点的方式与点平移至点的方式相同，即；同理可得：当点的坐标为时，点的坐标为，综上，点的坐标为或或或28
