1、人教人教A版必修第一册版必修第一册 第四章第四章 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 4.3.2 4.3.2 对数的运算对数的运算 课程目标课程目标 1、通过具体实例引入，推导对数的运算性质； 2、熟练掌握对数的运算性质，学会化简，计算. 数学学科素养数学学科素养 1.数学抽象：对数的运算性质； 2.逻辑推理：换底公式的推导； 3.数学运算：对数运算性质的应用； 4.数学建模：在熟悉的实际情景中，模仿学过的数学建模过程解决问题. 自主预习，回答问题自主预习，回答问题 阅读课本阅读课本124-125页，思考并完成以下问题页，思考并完成以下问题 1.对数具有哪三条运算性质？对数具有哪三条运算性质
2、？ 2. 换底公式是如何表述的？换底公式是如何表述的？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 1对数的运算性质若 a 0，且 a1，M 0，N 0，那么：(1)loga(M N)，(2)logaMN，(3)logaMn(nR)logaMlogaN logaMlogaN nlogaM 点睛点睛 对数的这三条运算性质， 都要注意只有当式子中所对数的这三条运算性质， 都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，有的对数都有意义时， 等式才成立例如，等式才成立例如，log2(3) (5)log2(3)log2(5)是错误的是错误的 2换底公式若 c0 且 c1，则 log
3、ablogcblogca(a0，且，且 a1，b0) 知识清单知识清单 1 1判断判断(正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”“”) (1)(1)积、商的对数可以化为对数的和、差积、商的对数可以化为对数的和、差 ( ) (2)(2)loga(xylogax logay. ( ) (3)(3)log2(5)22log2(5) ( ) (4)(4)由换底公式可得由换底公式可得 logablog 2 blog 2 a. ( ) 小试身手小试身手 2 2计算计算 log84log82 等于等于( ) Alog86 B8 C6 D1 答案：D3 3计算计算 log510log52 等于等于(
4、) A log58 B lg 5 C 1 D 2 答案：C4 4log48_. 答案：32例 1 计算下列各式的值:题型分析题型分析 举一反三举一反三 题型一题型一 对数运算性质的应用对数运算性质的应用 (1)log2 796+log224-12log284; (2)lg 52+23lg 8+lg 5 lg 20+(lg 2)2. 解:(1)(方法一)原式=log272496 84=log212=-12.(方法二)原式=12log2796+log2(233)-12log2(2237)=12log27-12log2(253)+3+log23-1-12log23-12log27=-125-12lo
5、g23+2+12log23=-52+2=-12.(2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5(1+lg 2)+(lg 2)2 =2(lg 5+lg 2)+lg 5+lg 2(lg 5+lg 2) =2+lg 5+lg 2=2+1=3. 解题方法解题方法（对数运算性质的应用对数运算性质的应用） 1.对于底数相同的对数式的化简、求值,常用的方法是: (1)“收”,将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数; (2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差). 2.对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式,要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯.lg 2+lg 5=1在计算对数值时会经常用到,同时注意
6、各部分变形要化到最简形式. 1. 计算下列各式的值: 跟踪训练一(1)log327+lg 25+lg 4+7log712+(-9.8)0.(2)2log32-log3329+log38-52log53.解:(1)log327+lg 25+lg 4+7log712+(-9.8)0=log3332+lg 52+lg 22+12+1=32+2lg 5+2lg 2+32=3+2(lg 5+lg 2)题型二题型二 换底公式的应用换底公式的应用 例2 计算下列各式的值: (1)log89 log2732;(2)(log43+log83)lg2lg3.解:(1)原式=lg9lg8lg32lg27 2lg33
7、lg25lg23lg3 109.(2)原式=lg3lg4+lg3lg8lg2lg3 lg32lg2+lg33lg2lg2lg3=lg32lg2lg2lg3 lg33lg2lg2lg3 12 13 56.解题方法解题方法（换底公式的应用换底公式的应用） 1.换底公式的本质是化异底为同底,主要用途是将一般对数化为常用对数或自然对数,解决一般对数的求值问题. 2.利用换底公式计算、化简、求值的一般思路: 跟踪训练二 1.化简: (1)log23 log36 log68; (2)(log23+log43)(log32+log274). 解:(1)原式=log23log26log23log28log26
8、=log28=3.(2)原式= log23+12log23 log32+23log32=32log23 53log32 52log23log32=52log231log23 52.题型三题型三 对数的综合应用对数的综合应用 例3 (1)若3x=4y=36,求2 1 的值;(2)已知 3x=4y=6z,求证:1 12 1 .解:(1)3x=4y=36,x=log336,y=log436, 2 2log336 2log3636log363=2log363=log369,1 1log436 1log3636log364=log364.2 1 =log369+log364=log3636=1.(2)设
9、3x=4y=6z=m,则x=log3m,y=log4m,z=log6m. 所以1 1log3 =logm3,1 1log4 =logm4,1 1log6 =logm6.故1 12 =logm3+12logm4=logm3+logm412=logm3+logm2=logm(32)=logm6=1 .解题方法解题方法（对数的综合应用对数的综合应用） 对数概念的实质是给出了指数式与对数式之间的关系,因此如果遇到条件中涉及指数幂的连等式时,常引入辅助变量,利用指数与对数间相互转化的关系,简化求解过程. 跟踪训练三 1.已知 3a=7b=M,且2 1 =2,求 M的值?解:因为3a=7b=M,所以a=log3M,b=log7M, 所以2 1 2log3 1log7 =2logM3+logM7=logM9+logM7=logM63=2,所以M2=63,因为M0,所以M= 63=3 7.
