1、第第 2 单元单元 一元二次函数、方程与不等式（基础篇）一元二次函数、方程与不等式（基础篇） 基础知识讲解基础知识讲解 一不等式定理一不等式定理 【基础知识】【基础知识】 对任意的 a，b，有 ab ab0；abab0；ab ab0，这三条性质是做差比较法的依据 如果 ab，那么 ba；如果 ab，那么 ba 如果 ab，且 bc，那么 ac；如果 ab，那么 a+cb+c 推论：如果 ab，且 cd，那么 a+cb+d 如果 ab，且 c0，那么 acbc；如果 c0，那么 acbc 二不等式大小比较二不等式大小比较 【技巧方法】【技巧方法】 不等式大小比较的常用方法 （1）作差：作差后通过
2、分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； （2）作商（常用于分数指数幂的代数式） ； （3）分析法； （4）平方法； （5）分子（或分母）有理化； （6）利用函数的单调性； （7）寻找中间量或放缩法； （8）图象法其中比较法（作差、作商）是最基本的方法 三基本不等式三基本不等式 【基础知识】【基础知识】 基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数公式为：（a0，b0） ，变形为 ab（）2或者 a+b2常常用于求最值和值域 四四、基本不等式的应用、基本不等式的应用 【基础知识】【基础知识】 1、求最值 2、利用基本不等式证明不
3、等式 3、基本不等式与恒成立问题 4、均值定理在比较大小中的应用 【技巧方法】【技巧方法】 技巧一：凑项 需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值 技巧二：凑系数 遇到无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值 技巧三：分离 技巧四：换元 一般，令 tx+1，化简原式在分离求最值 技巧五：结合函数 f（x）x+的单调性 技巧六：整体代换 多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错 技巧七：取平方 两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造条件 总结我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意
4、一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式 五五二次函数的性质二次函数的性质 【基础知识】基础知识】 二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化它的一般表达式为：yax2+bx+c（a0） 【技巧方法】【技巧方法】 开口、对称轴、最值与 x 轴交点个数，当 a0（0）时，图象开口向上（向下） ；对称轴 xab2；最值为：f（ab2） ；判别式 b24ac，当 0 时，函数与 x 轴只有一个交点； 0 时，与 x 轴有两个交点；当 0 时无交点 根与系数的关系若 0，且 x1、x2为方程 yax2+bx+c 的两根，则有 x1+x2ab
5、， x1x2ac； 二次函数其实也就是抛物线，所以 x22py 的焦点为（0，2p） ，准线方程为 y2p，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离 平移：当 ya（x+b）2+c 向右平移一个单位时，函数变成 ya（x1+b）2+c； 六六一元二次不等式一元二次不等式 【基础知识】【基础知识】 含有一个未知数且未知数的最高次数为 2 的不等式叫做一元二次不等式 它的一般形式是 ax2+bx+c0 或 ax2+bx+c0（a 不等于 0）其中 ax2+bx+c 是实数域内的二次三项式 【技巧方法】【技巧方法】 （1） 当 b24ac0 时， 一元二次方程 ax2+bx+c0 有两个实根
6、，那么 ax2+bx+c 可写成 a（xx1） （xx2） （2） 当 b24ac0 时， 一元二次方程 ax2+bx+c0 仅有一个实根，那么 ax2+bx+c 可写成 a（xx1）2 （3） 当 b24ac0 时 一元二次方程 ax2+bx+c0 没有实根，那么 ax2+bx+c 与 x 轴没有交点 二二.不等式的解法不等式的解法 （1）整式不等式的解法（根轴法） 步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结） ，定解 特例： 一元一次不等式 axb 解的讨论； 一元二次不等式 ax2+bx+c0（a0）解的讨论 （2）分式不等式的解法：先移项通分标准化， （3）无理不等式：转化为有理不等式求
7、解 （4）指数不等式：转化为代数不等式 （5）对数不等式：转化为代数不等式 （6）含绝对值不等式 应用分类讨论思想去绝对值； 应用数形思想； 应用化归思想等价转化 七七一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系 【基础知识】【基础知识】 一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当 ax2+bx+c0（a0）有解时，不妨设它的解为 x1，x2，那么这个方程可以写成 ax2a（x1+x2）x+ax1x20即 x2（x1+x2）x+x1x20它表示根与系数有如下关系：x1+x2ab，x1x2ac 习题演练习题演练 一一选择题（共选择题（共 12 小题）小题） 1若 a，b，c
8、 是是实数，则下列选项正确的是（ ） A若22acbc，则ab B若abcc，则ab C若22ab，则ab D若ab，则ab 2下列不等式中，正确的是 A若,ab cd，则acbd B若ab，则acbc C若,ab cd，则acbd D若,ab cd，则abcd 3如果实数, a b满足：0ab，则下列不等式中不成立的是 （ ） A0ab B11ab C330ab D11aba 4下列结论正确的是（ ） A若ab，则11ba B若22ab，则ab C若ab，cd则adb c D若ab，则22acbc 5函数2222yxxx的最小值是（ ） A4 B6 C8 D10 6函数2222yxxx的最小
9、值是（ ） A4 B6 C8 D10 7已知0 x，0y ，93xy，则11xy的最小值为（ ） A16 B4 C163 D203 8不等式01xx的解集是（ ） A,0 B0,1 C,01, D1, 9已知不等式240 xax的解集为空集，则实数a的取值范围是（） A 4,4 B( 4,4) C(, 44,) U D(, 4)(4,) 10若不等式222424axaxxx 对任意实数x 均成立，则实数a的取值范围是（ ） A2,2 B, 22, C2,2 D,2 11已知集合3Mx x，23100Nx xx，则MN（ ） A35Mxx B3Mx x C2x x D5x x 12已知集合2|2
10、30 ,|10AxZ xxBx x ，则集合AB I（ ） A2,3 B 1,1 C1,2,3 D 二二填空题（共填空题（共 6 小题）小题） 13不等式2320 xx的解集为_ 14已知0 x，0y ，且182xy，则2xy的最小值为_. 15已知21, 32ab ，则a b的取值范围是_ 16已知正数 a，b 满足2ab，则2238ab的最小值为_ 17已知0a，0b，且24abab ，则ab的最小值为_. 18关于x的不等式20 xbxc的解集是1, 2,2 U，则bc _ 三解析题（共三解析题（共 6 小题）小题） 19已知不等式2520axx的解集是M （1）若2M，求a的取值范围；
11、 （2）若1|22Mxx，求不等式22510axxa 的解集 20已知函数2( )()f xxab xa （1）若关于x的不等式( )0f x 的解集为 12xx，求, a b的值； （2）当1b时，解关于x的不等式( )0f x 21已知关于x的不等式：2230kxkx （1）若不等式的解集为3,12，求k的值； （2）若不等式的解集为R，求k的取值范围 22设函数 2230f xaxbxa （1）若不等式 0f x 的解集为1,3，求, a b的值; （2）若 12f，0a，0b，求14ab的最小值 23已知 233f xxa xa （1）当1a 时，求不等式 0f x 的解集； （2）解
12、关于x的不等式 0f x 24已知函数( )()f xx xm，其中0m （1）若12m ，求不等式( )0f x 的解集； （2）求2( 2)fm的最小值 第第 2 单元单元 一元二次函数、方程与不等式（基础篇）一元二次函数、方程与不等式（基础篇） 基础知识讲解基础知识讲解 一不等式定理一不等式定理 【基础知识】【基础知识】 对任意的 a，b，有 ab ab0；abab0；ab ab0，这三条性质是做差比较法的依据 如果 ab，那么 ba；如果 ab，那么 ba 如果 ab，且 bc，那么 ac；如果 ab，那么 a+cb+c 推论：如果 ab，且 cd，那么 a+cb+d 如果 ab，且
13、c0，那么 acbc；如果 c0，那么 acbc 二不等式大小比较二不等式大小比较 【技巧方法】【技巧方法】 不等式大小比较的常用方法 （1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； （2）作商（常用于分数指数幂的代数式） ； （3）分析法； （4）平方法； （5）分子（或分母）有理化； （6）利用函数的单调性； （7）寻找中间量或放缩法； （8）图象法其中比较法（作差、作商）是最基本的方法 三基本不等式三基本不等式 【基础知识】【基础知识】 基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数公式为：（a0，b0） ，
14、变形为 ab（）2或者 a+b2常常用于求最值和值域 四四、基本不等式的应用、基本不等式的应用 【基础知识】【基础知识】 1、求最值 2、利用基本不等式证明不等式 3、基本不等式与恒成立问题 4、均值定理在比较大小中的应用 【技巧方法】【技巧方法】 技巧一：凑项 需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值 技巧二：凑系数 遇到无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值 技巧三：分离 技巧四：换元 一般，令 tx+1，化简原式在分离求最值 技巧五：结合函数 f（x）x+的单调性 技巧六：整体代换 多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，
15、否则就会出错 技巧七：取平方 两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造条件 总结我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式 五五二次函数的性质二次函数的性质 【基础知识】【基础知识】 二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化它的一般表达式为：yax2+bx+c（a0） 【技巧方法】【技巧方法】 开口、对称轴、最值与 x 轴交点个数，当 a0（0）时，图象开口向上（向下） ；对称轴 xab2；最值为：f（ab2） ；判别式 b24ac，当 0 时，函数与 x
16、 轴只有一个交点； 0 时，与 x 轴有两个交点；当 0 时无交点 根与系数的关系若 0，且 x1、x2为方程 yax2+bx+c 的两根，则有 x1+x2ab， x1x2ac； 二次函数其实也就是抛物线，所以 x22py 的焦点为（0，2p） ，准线方程为 y2p，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离 平移：当 ya（x+b）2+c 向右平移一个单位时，函数变成 ya（x1+b）2+c； 六六一元二次不等式一元二次不等式 【基础知识】【基础知识】 含有一个未知数且未知数的最高次数为 2 的不等式叫做一元二次不等式 它的一般形式是 ax2+bx+c0 或 ax2+bx+c0（a 不
17、等于 0）其中 ax2+bx+c 是实数域内的二次三项式 【技巧方法】【技巧方法】 （1） 当 b24ac0 时， 一元二次方程 ax2+bx+c0 有两个实根，那么 ax2+bx+c 可写成 a（xx1） （xx2） （2） 当 b24ac0 时， 一元二次方程 ax2+bx+c0 仅有一个实根，那么 ax2+bx+c 可写成 a（xx1）2 （3） 当 b24ac0 时 一元二次方程 ax2+bx+c0 没有实根，那么 ax2+bx+c 与 x 轴没有交点 二二.不等式的解法不等式的解法 （1）整式不等式的解法（根轴法） 步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结） ，定解 特例： 一元一次
18、不等式 axb 解的讨论； 一元二次不等式 ax2+bx+c0（a0）解的讨论 （2）分式不等式的解法：先移项通分标准化， （3）无理不等式：转化为有理不等式求解 （4）指数不等式：转化为代数不等式 （5）对数不等式：转化为代数不等式 （6）含绝对值不等式 应用分类讨论思想去绝对值； 应用数形思想； 应用化归思想等价转化 七七一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系 【基础知识】【基础知识】 一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当 ax2+bx+c0（a0）有解时，不妨设它的解为 x1，x2，那么这个方程可以写成 ax2a（x1+x2）x+ax1x20即 x2（x
19、1+x2）x+x1x20它表示根与系数有如下关系：x1+x2ab，x1x2ac 习题演练习题演练 三三选择题（共选择题（共 12 小题）小题） 1若 a，b，c 是是实数，则下列选项正确的是（ ） A若22acbc，则ab B若abcc，则ab C若22ab，则ab D若ab，则ab 【答案】A 【解析】 对于 A，若22acbc，则20c ，ab，故 A 正确； 对于 B，若abcc，0c，则ab，故 B 错误； 对于 C，若1a，0b，则满足22ab，但此时ab，故 C 错误； 对于 D，若1a，0b，则满足ab，但此时ab，故 D 错误. 故选：A. 2下列不等式中，正确的是 A若,ab
20、 cd，则acbd B若ab，则acbc C若,ab cd，则acbd D若,ab cd，则abcd 【答案】A 【解析】 若ab，则acbc ,故 B 错， 设a3,b1,c1,d2 ,则acbd，abcd所以 C、D 错，故选 A 3如果实数, a b满足：0ab，则下列不等式中不成立的是 （ ） A0ab B11ab C330ab D11aba 【答案】D 【解析】 0ab，则0ab ，0abab ，A 正确； 由0ab两边同除以ab得11ab，B 正确； 由ab得33ab，C 正确； 0ab，则0aab，11aab，D 错误 故选：D 4下列结论正确的是（ ） A若ab，则11ba B
21、若22ab，则ab C若ab，cd则adb c D若ab，则22acbc 【答案】C 【解析】 当1,2ab 时，满足ab，但11ba不成立，所以 A 错； 当1,2ab 时，满足22ab，但ab不成立，所以 B 错； 当1,2,0abc时，满足ab，但22acbc不成立，所以 D 错； 因为cd所以dc ，又ab，因此同向不等式相加得adb c ，即 C 对； 故选：C 5函数2222yxxx的最小值是（ ） A4 B6 C8 D10 【答案】C 【解析】 因为22(2)2yxxx， 所以22222242 2148221yxxxxxx， 取等号时2222xx，即3x ， 所以min8y. 故
22、选：C. 6函数2222yxxx的最小值是（ ） A4 B6 C8 D10 【答案】C 【解析】 解：因为2222yxxx， 所以22222242 2248222yxxxxxx， 取等号时2222xx，即3x ， 所以min8y. 故选：C 7已知0 x，0y ，93xy，则11xy的最小值为（ ） A16 B4 C163 D203 【答案】C 【解析】 因为0 x，0y ，93xy， 则11111191169101063333yxxyxyxyxy， 当且仅当9yxxy且93xy即14y ，34x 时取等号 故选：C 8不等式01xx的解集是（ ） A,0 B0,1 C,01, D1, 【答案
23、】B 【解析】 解：不等式01xx，即(1)0 x x， 求得01x， 所以原不等式的解集为0,1 故选：B 9已知不等式240 xax的解集为空集，则实数a的取值范围是（） A 4,4 B( 4,4) C(, 44,) U D(, 4)(4,) 【答案】A 【解析】 欲使不等式240 xax的解集为空集， 即函数24yxax的图像与x轴无交点或只有一个交点， 则216 0a， 解得44a 剟， 故选 A 项. 10若不等式222424axaxxx 对任意实数x 均成立，则实数a的取值范围是（ ） A2,2 B, 22, C2,2 D,2 【答案】C 【解析】 由题意，不等式222424axa
24、xxx，可化为2(2)2(2)40axax， 当20a，即2a时，不等式恒成立，符合题意； 当20a时，要使不等式恒成立，需220424 4(2)0aaa ， 解得22a ， 综上所述，所以a的取值范围为2,2， 故选：C. 11已知集合3Mx x，23100Nx xx，则MN（ ） A35Mxx B3Mx x C2x x D5x x 【答案】C 【解析】 集合3Mx x，2310052025Nx xxx xxxx 则MN2x x 故选：C 12已知集合2|230 ,|10AxZ xxBx x ，则集合AB I（ ） A2,3 B 1,1 C1,2,3 D 【答案】A 【解析】 由223310
25、 xxxx ，解得13x ，所以1,0,1,2,3A .|1Bx x.，所以2,3AB I. 故选：A 四四填空题（共填空题（共 6 小题）小题） 13不等式2320 xx的解集为_ 【答案】2,13 【解析】 由2320 xx得2321 320 xxxx ， 所以不等式2320 xx的解集为2,13 故答案为：2,13. 14已知0 x，0y ，且182xy，则2xy的最小值为_. 【答案】9 【解析】 1816162(2)(2)2810218xyxyxyxyxyyxyx， 29xy，等号成立时32x ，6y . 故答案为：9. 15已知21, 32ab ，则a b的取值范围是_ 【答案】(
26、0,2) 【解析】 因为32b ，则23b ， 又由21a ，根据不等式的基本性质，可得02a b ， 所以a b的取值范围是(0,2). 16已知正数 a，b 满足2ab，则2238ab的最小值为_ 【答案】49 【解析】 因为正数 a，b 满足2ab， 所以229438493749babaababab， 当且仅当64,55ab时，等号成立 故答案为：49 17已知0a，0b，且24abab ，则ab的最小值为_. 【答案】4 【解析】 0aQ，0b， ， 可得224abab，当且仅当ab时取等号 120abab， 2ab 或1ab （舍去） ， 4ab 故ab的最小值为 4. 故答案为：4
27、 18关于x的不等式20 xbxc的解集是1, 2,2 U，则bc _ 【答案】72 【解析】 因为关于x的不等式20 xbxc的解集是1, 2,2 U， 所以关于x的方程20 xbxc的解是12,2xx ， 由根与系数的关系得122122bc ，解得521bc， 所以72bc. 三解析题（共三解析题（共 6 小题）小题） 19已知不等式2520axx的解集是M （1）若2M，求a的取值范围； （2）若1|22Mxx，求不等式22510axxa 的解集 【答案】 （1）2a ； （2）1| 32xx 【解析】 试题分析： （1）由 2 是解集中的元素可知其满足不等式，代入可得a的取值范围； （
28、2）结合三个二次关系可得到a值，代入不等式22510axxa 可求解其解集 试题解析： （1）2M，225 220a ，2a （2）1|22Mxx，1,22是方程2520axx的两个根， 由韦达定理得15221222aa 解得2a 不等式22510axxa 即为：22530 xx 其解集为1| 32xx 20已知函数2( )()f xxab xa （1）若关于x的不等式( )0f x 的解集为 12xx，求, a b的值； （2）当1b时，解关于x的不等式( )0f x 【答案】 （1）21ab； （2）当1a 时，不等式的解集为(, )(1,)aU；当1a 时，不等式的解集为(,1)( ,)
29、aU 【解析】 （1）由条件知，关于x的方程2()0 xab xa的两个根为 1 和 2， 所以121 2aba ，解得21ab （2）当1b时，2( )(1)0f xxaxa，即()(1)0 xa x， 当1a 时，解得xa或1x ；当1a 时，解得1x ； 当1a 时，解得1x或xa 综上可知，当1a 时，不等式的解集为(, )(1,)aU； 当1a 时，不等式的解集为(,1)( ,)aU 21已知关于x的不等式：2230kxkx （1）若不等式的解集为3,12，求k的值； （2）若不等式的解集为R，求k的取值范围 【答案】 （1）1k ； （2）24,0. 【解析】 （1）因为关于x的不
30、等式：2230kxkx的解集为3,12， 所以32和 1 是方程2230kxkx的两个实数根， 由韦达定理可得:33122k ，得1k （2）因为关于x的不等式2230kxkx的解集为R 当0k 时，-30 恒成立. 当0k 时，由220,240kkk ，解得：240k 故k的取值范围为24,0 22设函数 2230f xaxbxa （1）若不等式 0f x 的解集为1,3，求, a b的值; （2）若 12f，0a，0b，求14ab的最小值 【答案】 （1）14ab，（2）9 【解析】 （1）因为不等式 0f x 的解集为1,3， 所以1x和3x 是方程 0f x 的两实根， 从而有 123
31、0393230fabfab，即50310abab ， 解得14ab （2）由 12f，得1ab 因为0a，0b， 所以1414445529babaababababab， 当且仅当4baab，即223ba时等号成立 所以14ab的最小值为 9 23已知 233f xxa xa （1）当1a 时，求不等式 0f x 的解集； （2）解关于x的不等式 0f x 【答案】 （1）1,3； （2）答案见解析. 【解析】 （1）1a 时，不等式 0f x 化为130 xx， 解得13x，不等式的解集为1,3 （2）关于x的不等式 0f x ，即30 xax； 当3a 时，不等式化为230 x，解得R； 当
32、3a 时，解不等式30 xax，得3x或xa； 当3a时，解不等式30 xax，得xa或3x； 综上所述，当3a 时，不等式解集为R； 当3a 时，不等式的解集为,3, a； 当3a时，不等式的解集为,3,a 24已知函数( )()f xx xm，其中0m （1）若12m ，求不等式( )0f x 的解集； （2）求2( 2)fm的最小值 【答案】 （1）1|02xx； （2）最小值为8. 【解析】 （1）当12m 时， 1()02f xx x，解得102x， 不等式( )0f x 的解集为1|02xx （2）222224242 2822fmmmmmmm (0)m 当且仅当22mm，即1m时取等号. 故22 +fm的最小值为8.
