1、人教人教2019A版必修版必修 第一册第一册 2.2.3 二次函数与一元二次方程、二次函数与一元二次方程、不等式（第不等式（第1课时）课时） 第二章 一元二次函数、方程和不等式 情境导学情境导学 问题问题 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉卉若栅栏的长度是若栅栏的长度是，围成的矩形区域的面积要大于围成的矩形区域的面积要大于20m20m2 2，则这个矩形的边长为多少米？则这个矩形的边长为多少米？ 情境导学情境导学 设这个矩形的一条边长为设这个矩形的一条边长为x x，则另一条边长为则另一条边长为（x x） 由题意由题意，得得: :（x x）x
2、 x， 其中其中x xx xx x 整理得整理得 x xx x，x xx xx x 求得不等式求得不等式的解集的解集，就得到了问题的答案就得到了问题的答案 我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 一元二次不等式的定义： 一元二次不等式的一般表达式ax2+bx+c0 (a0) 或ax2+bx+c0. O O 5 5 x x y y x=0 x=0或或5 5 x0 x5x50 x50 x5y=x2-5x 探究1 一元二次不等式的解法 方程 的根为：0，5 052xx 当 时，y=0. 当 时，y0 x -5x0 x x0 x x5x5 x 0 x5x 0 x
3、5 2 2x -5x0 x -5x0新知探究新知探究 不等式 的解集是什么？ 2222ax +bx+c0ax +bx+c0或或ax +bx+c0(ax +bx+c0a 0) )小组活动： 1、仿照上述过程讨论填写“三个二次”乊间的关系表格。 2、讨论总结在这个过程中用到了哪些数学思想和数学方法？ 新知探究新知探究 ax2+bx+c=0 (a0)的根的根 ax2+bx+c0 (a0)的解集的解集 ax2+bx+c0)的解集的解集 ac4b2 0 0 0 x y O x1=x2 y x O x1=x2= ab2没有实根没有实根 y=ax2+bx+c (a0)的图象的图象 x1 x2 x y O 有
4、两相异实根有两相异实根 x1, x2 (x10 解：整理，得解：整理，得 x2 - 2x + 3 0 因为因为= 4 - 12 = - 8 0 方程方程 2 x2 - 3x 2 = 0无实数根无实数根 所以原不等式的解集为所以原不等式的解集为 【点评点评】 若若a 0) (2) 看能否因式分解，不能分解的计算， (3) 求出方程求出方程ax2+bx+c=0 的实根的实根; ;（画出函数图像画出函数图像） (4)（结合函数图象结合函数图象）写出不等式的解集写出不等式的解集. 解一元二次不等式解一元二次不等式ax2+bx+c0、ax2+bx+c0)的步骤：的步骤： 归纳总结归纳总结 思维导图 A.
5、x 12x1 B.x|x1 C.x|x1 或 x2 D. xx12或x1 1.不等式2x2x10的解集是 当堂达标当堂达标 A. x23x12 B. xx23或x12 C. xx12 D. xx32 2.不等式6x2x20的解集是 1 2 3 4 6x2x20，6x2x20， (2x1)(3x2)0，x 或x . 12 23 当堂达标当堂达标 (1) |13xx答案答案: 21(2)|，或32xxx (3) (4) R . 0 5 3 4 0 1 4 4 3 0 2 6 2 0 3 1 2 2 2 2 2 x x x x x x x x ） （ ； ） （ ； ） （ ； ） （ 3.解下列一
6、元二次丌等式： 当堂达标当堂达标 4.若不等式ax28ax210的解集是x|7x1，求a的值。 1 2 3 4 由题意可知7和1为方程ax28ax210的两个根. 7(1) ，故a3. 21a 当堂达标当堂达标 5.若不等式(a2)x22(a2)x40的解集为R，求实数a的取值范围. 当a20，即a2时，原不等式为40， 所以a2时解集为R. 当 a20 时，由题意得 a20，0， 即 a2，4a224a240， 1 2 3 4 解得2a0); （2）计算）计算判别式，判别式，判断方程是否有根判断方程是否有根; （3）如果有根，求出方程的根；）如果有根，求出方程的根； （4）写出不等式的解集，
7、大于取两边、小于取中间。）写出不等式的解集，大于取两边、小于取中间。 3.数学思想方法：数学思想方法： 1.“三个二次”的关系“三个二次”的关系 一、知识上我收获了什么？ 二、方法上我收获了什么？ 数形结合、分类讨论、转化与化归数形结合、分类讨论、转化与化归 课堂小结 2.2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 （第2课时） 1.解下列不等式：解下列不等式： (1)2x27x30； (2)x24x50； (3)4x218x8140； (4)12x23x50； (5)2x23x20. 小试牛刀小试牛刀 解解 (1)因为因为 72423250， 所以方程， 所以方程 2x27x30 有两个不等实根
8、有两个不等实根 x13，x212.又二次函数又二次函数 y2x27x3 的图象开口向上，所以原不等式的解集为的图象开口向上，所以原不等式的解集为x|x12，或或 x3 (2)原不等式可化为原不等式可化为(x5)(x1)0， 所以原不等式的解集， 所以原不等式的解集为为x|1x5 (3)原不等式可化为原不等式可化为 2x9220， 所以原不等式的解集为所以原不等式的解集为 x|x94. (4)原不等式可化为原不等式可化为 x26x100，(6)24040，所以方程所以方程 x26x100 无实根，又二次函数无实根，又二次函数 yx26x10的图象开口向上，所以原不等式的解集为的图象开口向上，所以
9、原不等式的解集为 . (5)原不等式可化为原不等式可化为 2x23x20， 因为因为 942270， 所以方程所以方程 2x23x20 无实根，无实根， 又二次函数又二次函数 y2x23x2 的图象开口向上，的图象开口向上， 所以原不等式的解集为所以原不等式的解集为 R. 典例解析典例解析 例例1 1 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水这条流水线生产的摩托车数量线生产的摩托车数量x x（单位单位：辆辆）与创造的价值与创造的价值y y（单位单位：元元）之之间有如下的关系间有如下的关系：y yx xx x 若这家工厂希望在一个星期内利
10、用这条流水线创收若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收元以上元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？ 解解：设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产x x辆辆摩托车摩托车，根据题意根据题意， 得得x xx x 移项整理移项整理，得得x x x x 对于方程对于方程x x x x， ， 方程有两个实数根方程有两个实数根x x，x x 画出二次函数yx x 110110 x x30003000的图象 结合图象得不等式x x 110110 x x300030000 的解集为xx， 从而原不等
11、式的解集为xx 因为狓只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车 数量在辆时，这家工厂能够获得元以上的收益 1某校园内有一块长为某校园内有一块长为 800 m，宽为，宽为 600 m 的长方形地面，现要对该的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同花卉带的宽度相同)，中间种草坪，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围 解：解：设花卉带的宽度为设花卉带的宽度为 x m，则中间草坪的长为，则中间草坪的长为(8002x) m， 宽为宽为(6002x) m根据
12、题意可得根据题意可得(8002x)(6002x)12800600，整理得整理得 x2700 x6001000，即，即(x600)(x100)0， 所以所以 0 x100 或或 x600，x600 不符合题意，舍去不符合题意，舍去 故所求花卉带宽度的范围为故所求花卉带宽度的范围为(0,100 m. 跟踪训练跟踪训练 例例2 2 某种汽车在水泥路面上的刹车距离某种汽车在水泥路面上的刹车距离 （单位单位：） 和汽车刹车前的车速和汽车刹车前的车速 （单位单位：）之间有如下关系之间有如下关系： =+ + 刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离 在一次交通
13、事故中在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于测得这种车的刹车距离大于， 那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少（精确到精确到）？ 典例解析典例解析 解：根据题意，得+39.5 移项整理，得2+ 9 7110 0 对于方程2+ 9 7110 = 0 ，方程有两个实数1=;9; 285212, 2=;9: 285212 根画出二次函数 = 2+ 9 7110的图象, 结合图象得不等式的解集为vvv，或vv， 从而原不等式的解集为vvv，或vv， 因为车速v，所以v v 而v，所以这辆汽车刹车前的车速至少为 2. 汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑汽车
14、在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离刹车距离” 刹车距离是分析事故的一个重要因素在一个限速刹车距离是分析事故的一个重要因素在一个限速 40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车， 但还是相撞了， 事发后现场测得甲车的刹车距离略超刹车， 但还是相撞了， 事发后现场测得甲车的刹车距离略超过过 12 m，乙车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过 10 m，又知甲、乙两种车，又知甲、乙两种车型的刹车距离型的刹车距离 s(m)与车速与
15、车速 x(km/h)之间有如下关系：之间有如下关系：s甲甲0.1x0.01x2， s乙乙0.05x0.005x2.问： 超速行驶应负主要责问： 超速行驶应负主要责任的是谁？任的是谁？ 跟踪训练跟踪训练 解 由题意知，对于甲车，有 0.1x0.01x212， 即 x210 x12000， 解得 x30 或 x10，即 x210 x20000， 解得 x40 或 x50(不符合实际意义，舍去)， 这表明乙车的车速超过 40 km/h，即超过规定限速， 所以乙应负主要责任 用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤是：用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤是： (1)理解题意，搞清量与量之间的关系；理解
16、题意，搞清量与量之间的关系； (2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中 的一元二次不等式问题；的一元二次不等式问题； (3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解解这个一元二次不等式，得到实际问题的解 归纳总结归纳总结 1已知集合已知集合 Mx|x23x280，Nx|x2x60， 则则 MN 为为( ) Ax|4x2 或或 3x7 Bx|4x2 或或 3x7 Cx|x2 或或 x3 Dx|x2 或或 x3 解析：解析：Mx|x23x280 x|4x7，Nx|x2x60 x|x2 或或 x3 MNx|4x2 或或 3x7 答案：答案：A 当堂达标
17、当堂达标 2二次函数二次函数 y x2 4x 3在 在 y 0时 时 x的取值范围是的取值范围是_ 解析：解析：由由 y0 得得 x24x30，1x3 答案：答案：(1,3) 解析：解析： 由题意可知由题意可知12， 2 是方程是方程 ax2bx20 的两个根的两个根 由根与系数的关系得由根与系数的关系得 122ba，1222a， 解得解得 a2，b3. 答案：答案：2 3 3若不等式若不等式 ax2bx20 的解集为的解集为 x|12x2 ，则实数，则实数a_，实数，实数 b_. 4若关于若关于 x 的不等式的不等式 ax22x20 在在 R 上恒成立，求实数上恒成立，求实数 a 的取的取值
18、范围值范围 解：解：当当 a0 时，原不等式可化为时，原不等式可化为 2x20，其解集不为，其解集不为 R，故，故a0 不满足题意，舍去；当不满足题意，舍去；当 a0 时，要使原不等式的解集为时，要使原不等式的解集为 R，只，只需需 a0，2242a0，解得解得 a12.综上，所求实数综上，所求实数 a 的取值范围为的取值范围为 12， . 5你能用一根长为你能用一根长为 100 m 的绳子围成一个面积大于的绳子围成一个面积大于 600 m2的矩形吗？的矩形吗？ 解：解：设围成的矩形一边的长为设围成的矩形一边的长为 x m， 则另一边的长为则另一边的长为(50 x) m，且，且 0 x50.
19、由题意，得围成矩形的面积由题意，得围成矩形的面积 Sx(50 x)600， 即即 x250 x6000，解得，解得 20 x30. 所以，当矩形一边的长在所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成的范围内取值时，能围成 一个面积大于一个面积大于 600 m2的矩形的矩形 1解一元二次不等式的一般步骤是：解一元二次不等式的一般步骤是： (1)化为标准形式；化为标准形式； (2)确定判别式确定判别式b24ac的符号；的符号； (3)若若0，则求出该不等式对应的二次方程的根；若，则求出该不等式对应的二次方程的根；若0，则对应的，则对应的二次方程无根；二次方程无根； (4)联系二次函数
20、的图象得出不等式的解集特别地，若一元二次不联系二次函数的图象得出不等式的解集特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集(在两根之内或两根之外在两根之内或两根之外) 课堂小结 2.用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤是：用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤是： (1)理解题意，搞清量与量之间的关系；理解题意，搞清量与量之间的关系； (2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中 的一元二次不等式问题；的一元二次不等式问题； (3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解解这个一元二次不等式，得到实际问题的解
