1、人教人教A版版 必修必修 第一册第一册 2.2 基本不等式（第1课时） 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标 情境导学 思考思考1 1：这图案中含有怎样的几何图形：这图案中含有怎样的几何图形？ 思考思考2 2：你能发现图案中的相等关系或不等关系吗：你能发现图案中的相等关系或不等关系吗？ 三国时期吴国的数学家赵爽，用来证明勾股定理。三国时期吴国的数学家赵爽，用来证明勾股定理。 22222222)2(2)()214cbacaabbabcabab（证明： 情境导学 ab（1）大正方形边长为_， 面积S为_ （2）四个直角三角形_， 面积和S为_ （3）
2、S与S的大小关系是_，故有_ （4）S与S可能相等吗？满足什么条件时相等？ 22ba 22ba 全等ab2SS abba222探究新知 ab上述结论可描述为： abbaba20, 022时，当成立吗？如何证明？为任意实数时，上式还、）当（ba5时取等）。当且仅当证明：baabbabababa(2020)(22222此不等式称为此不等式称为重要不等式重要不等式 探究新知 1 1、基本不等式、基本不等式 0,0, ,ababa b如果我们用分别代替可得到什么结论？22()()2abab2abab替换后得到：替换后得到： 即：即： ), 0, 0(时取等当且仅当baba2abab 即：即： 基本不等
3、式基本不等式 基本不等式 abba2注意：注意： 0, 01ba、时取等、取等条件：当且仅当ba 2叫几何平均数叫算术平均数，、abba23基本不等式 基本不等式的几何解释基本不等式的几何解释 A B C D E a b O 如图如图, AB是圆的直径是圆的直径, O为圆心，点为圆心，点C是是AB上一点上一点, AC=a, BC=b. 过点过点C作垂直于作垂直于AB的的弦弦DE,连接连接AD、BD、OD. 如何用如何用a, b表示表示CD? CD=_ 如何用如何用a, b表示表示OD? OD=_ 2ababOD与与CD的大小关系怎样的大小关系怎样? OD_CD 几何意义：半径不小于半弦长几何意
4、义：半径不小于半弦长 定理定理当点当点C C在什么位置在什么位置时时OD=CDOD=CD？ 此时此时a a与与b b的关系是？的关系是？ 基本不等式的证明基本不等式的证明 2abab证明：要证证明：要证 只要证只要证 _ab 只要证只要证 _0ab 只要证只要证 2(_ _)0显然显然, 上式是成立的上式是成立的.当且仅当当且仅当a=b时取等。时取等。 2abab)0, 0(ba证明不等式：证明不等式： 2 ab2 abba适用范围适用范围 文字叙述文字叙述 “=”成立条件成立条件 222abab2ababa=b a=b 两个正数的算术平均数不两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数小于它们
5、的几何平均数 两数的平方和不两数的平方和不小于它们积的小于它们积的2 2倍倍 a,bR a0,b0 的最小值。求）已知、（例baabba,36, 0, 011解：解： 222 3612(612abababababab+ ?=+Q当且仅当时取等）故的最小值为的最小值为定值时，求和当积常用变形：baababba2典例解析典例解析 的最大值。求）已知（abbaba,18, 0, 02解解： 819(81)218()2(222的最大值为故时取等）当且仅当abbabaabbaab的最大值为定值时，可以求积当和常用变形：abbabaab2)2(典例解析典例解析 1210,( )xf xxx=+例 、（）已
6、知求函数的最小值. 22)1()(2)()(1)(:时有最小值即当且仅当解1xx1xx1xxxxxxf一正一正 典例解析典例解析 有最值，并求其最值。为何值时，函数当函数）已知、（例xxxyx,31, 3225331)3(233-x1)3-x(31y3xxxxx。最小值为时，函数有最小值，即当且仅当54,313xxx二定二定 解：解： 的最大值。求函数）若、（例)21 (,21032xxyx解解: 0 x0. 1 2 y=x(1- -2x)= 2x(1- -2x) 1 2 2 2x+(1- -2x) 2 1 2 1 8 = . 当且仅当当且仅当 时时, 取“取“=”号号. 2x=(1- -2x
7、), 即即 x= 1 4 当当 x = 时时, 函数函数 y=x(1- -2x) 的最大值是的最大值是 . 1 4 1 8 三等三等 30,4 (32 )2xyxx0， y0， 且且1x9y1， 则则 xy 的最小值为的最小值为_ 解析：解析：xy(xy) 1x9y 10yx9xy102yx9xy10616. 即即 x4，y12 时等号成立时等号成立，所以所以 xy 的最小值为的最小值为 16. 答案：答案：16 1 1、重要不等式与基本不等式的内容：、重要不等式与基本不等式的内容： 时取等），当且仅当、baRbaabba(222时取等）当且仅当babaabba, 0, 0(22 2、基本不等
8、式的应用条件：、基本不等式的应用条件： 一正、二定、三相等一正、二定、三相等 3 3、基本不等式的应用：、基本不等式的应用： 求最值求最值 课堂小结课堂小结 2.2 基本不等式（第2课时） 1判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)对任意的a， bR， 若a与b的和为定值， 则ab有最大值 ( ) (2)若 xy4，则 xy 的最小值为 4.( ) (3)函数 f(x)x22x21的最小值为 2 21.( ) 小试牛刀小试牛刀 2已知 xy1 且 x0，y0，则1x1y的最小值是( ) A2 B3 C4 D6 解析：法一：1x1yxyxy1xy1xy224， 当且仅当 xy12时取等号，
9、 法二：1x1yxyxxyy2yxxy4， 当且仅当 xy12时取等号 答案：C 3已知 x0，y0，且 2xy1，则 xy 的最大值是( ) A.14 B.18 C4 D.8 解析：因为 x0，y0，且 2xy1，所以 xy122xy122xy2218，当且仅当 2xy0，即 x14，y12时取等号，此时，xy 的最大值是18.故选 B. 答案：B 问题问题1 1. .用篱笆围成一个面积为用篱笆围成一个面积为100100m m的矩形菜园的矩形菜园，问这个矩形的长问这个矩形的长、 宽各为多少时宽各为多少时，所用篱笆最短所用篱笆最短。最短的篱笆是多少最短的篱笆是多少？ A B D C 问题探究问
10、题探究 解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m. 2xyxyQ2 100,xy 等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m. 结论结论1 1：两个正变量两个正变量积为定值积为定值，则，则和有最小值和有最小值，当且仅当两变量，当且仅当两变量值相等时取最值值相等时取最值. .简记简记“积定和最小积定和最小”. . 2()40 xy问题问题2.2.用段长为用段长为36m36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，
11、最大面积是多少？园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 18922xyxyQ解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则 2（ x + y ）= 36 , x + y = 18 矩形菜园的面积为xym2 81xy当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2 结论结论2 2：两个正变量两个正变量和为定值和为定值，则，则积有最大值积有最大值，当且仅当两变量值相，当且仅当两变量值相等时取最值等时取最值. .简记简记“和定积最大和定积最大”. . 例1:某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m.如
12、果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少? 3m 均值不等式在实际问题中的应用均值不等式在实际问题中的应用 4800z150120(2 3x2 3y)240000720(xy)3 240000720(xy)240000720 2 xy解解:设底面的长为设底面的长为xm,宽为宽为ym,水池总造价为水池总造价为z元元.根据题意根据题意,有有: 由容积为由容积为4800m3,可得可得:3xy=4800 ， 因此因此 xy=1600 z240000720 2 1600z297600 当当x=y,x=y,即即x=y=40 x=y=40时时
13、, ,等号成立等号成立. . 所以所以, ,将水池的地面设计成边长为将水池的地面设计成边长为40m40m的正方形时总造价最低的正方形时总造价最低, , 最低总造价为最低总造价为297600297600元元. . 即： 1.某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为 3 000 m2，其中场地四周(阴影部分)为通道，通道宽度均为 2 m，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S平方米 (1)分别写出用x表示y和S的函数关系式(写出函数定义域)； (2)怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？ 跟踪
14、训练跟踪训练 解析 (1)由已知xy3 000,2a6y， 则y3 000 x(6x500)， S(x4)a(x6)a(2x10)a(2x10)y62(x5)(y6)3 0306x15 000 x(6x0,b0,a+b=1, 所以 1 +1= 1 += 2 +, 同理 1 +1= 2 +, 故 1 +1 1 +1 = 2 + 2 + = 5+2 + 5+4 = 5+4=9. 所以 1 +1 1 +1 9 当且仅当 = =12时,等号成立 . 1.已知：a，b，cR，求证：bcacababcabc. 跟踪训练跟踪训练 证明：由基本不等式：bcacab2 bcacab2c， 同理：cababc2a
15、，abcbcc2b. 三式相加即得： bcacababcabc (当且仅当 abc 时取“”) 利用不等式利用不等式 a2b22ab 和和 ab2 ab (a0，b0)时，关键是对式子恰当地变形，时，关键是对式子恰当地变形， 合理造成合理造成“和式和式”与与“积式积式”的互化，的互化， 必要时可多次应用必要时可多次应用 归纳总结归纳总结 1已知正数a、b满足ab10，则ab的最小值是 ( ) A10 B25 C5 D2 10 D 解析 ab2 ab2 10，等号在ab 10时成立，选D 当堂达标当堂达标 2小王从甲地到乙地和从乙地到甲地的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则 (
16、) Aav ab Bv ab C abvab2 Dvab2 A 解析 设从甲地到乙地的路程为s，则 v2ssasb21a1b2abab2ab2 ab ab a0，va av0,b0,c0,且 a+b+c=1,求证:1+1+19. 证明:因为 a0,b0,c0,且 a+b+c=1, 所以1+1+1= 1+1+1 (a+b+c) =3 + + + + + + 3+2+2+2=9. 当且仅当 a=b=c=13时,等号成立.故1+1+19. 2、利用基本不等式求最值时，要注意、利用基本不等式求最值时，要注意 1、已知、已知 x, y 都是正数都是正数, P, S 是常数是常数. (1) xy=P x+y2 P( (当且仅当当且仅当 x=y 时时, 取“取“=”号号) ). (2) x+y=S xy S2( (当且仅当当且仅当 x=y 时时, 取“取“=”号号) ). 1 4 一正二定三相等一正二定三相等 实际情境，提出问题，建立模型，求解模型，检验结果，实际结果实际情境，提出问题，建立模型，求解模型，检验结果，实际结果 课堂小结 3、数学建模需注意的问题、数学建模需注意的问题
