1、1 5.1 任意角和弧度制任意角和弧度制 5.1.1 任意角任意角 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解任意角的概念 2掌握终边相同角的含义及其表示(重点、难点) 3掌握轴线角、象限角及区间角的表示方法(难点、易混点) 1.通过终边相同角的计算， 培养数学运算素养 2借助任意角的终边位置的确定，提升逻辑推理素养. 1角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形 2角的表示 如图，(1)始边：射线的起始位置 OA， (2)终边：射线的终止位置 OB， (3)顶点：射线的端点 O. 这时，图中的角 可记为“角 ”或“”或简记为“” 3任意角的分类 (1)按旋
2、转方向分 (2)按角的终边位置分 前提：角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合 2 分类： 4终边相同的角 所有与角 终边相同的角， 连同角 在内， 可构成一个集合 S|k 360 ， kZ， 即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和 思考：终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？ 提示：终边相同的角不一定相等，它们相差 360 的整数倍；相等的角，终边相同 1下列说法正确的是( ) A三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B第四象限的角一定是负角 C60 角与 600 角是终边相同的角 D将表的分针拨慢 10 分钟，则分针转过的角为 60 D A 错误，90
3、角既不是第一象限角也不是第二象限角； B 错误，280 角是第四象限角，但它不是负角； C 错误，600 60 540 不是 360 的倍数； D 正确，分针转一周为 60 分钟，转过的角度为360 ，将分针拨慢是逆时针旋转，拨慢10 分钟转过的角为 360 1660 . 2 50 角的始边与x轴的非负半轴重合， 把终边按顺时针方向旋转2周， 所得角是_ 670 由题意知，所得角是 50 2 360 670 . 3 已知 0 360 ， 且 与 600 角终边相同， 则 _， 它是第_象限角 240 三 因为 600 360 240 ， 所以 240 角与 600 角终边相同， 且 0 240
4、 360 ，故 240 ，它是第三象限角 角的有关概念的判断 3 【例 1】 (1)给出下列说法： 锐角都是第一象限角；第一象限角一定不是负角；小于 180 的角是钝角、直角或锐角；始边和终边重合的角是零角 其中正确说法的序号为_(把正确说法的序号都写上) (2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角 420 .855 .510 . (1) 锐角是大于 0 且小于 90 的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以正确； 350 角是第一象限角，但它是负角，所以错误； 0 角是小于 180 的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以错误；
5、 360 角的始边与终边重合，但它不是零角，所以错误 (2)解 作出各角的终边，如图所示： 由图可知： 420 是第一象限角 855 是第二象限角 510 是第三象限角 1理解角的概念的关键与技巧： (1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念 (2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可 2象限角的判定方法： (1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限 (2)第一步，将 写成 k 360 (kZ,0 360 )的形式； 第二步，判断 的终边所在的象限； 4 第三步，根据 的终边所在的象限，即可确定 的终边所在的象限 提醒：理解任意角这一概念时
6、，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小” 1 已知集合A第一象限角， B锐角， C小于90 的角， 则下面关系正确的是( ) AABC BAC CACB DBCC D 由已知得 B C，所以 BCC，故 D 正确 2给出下列四个命题：75 是第四象限角；225 是第三象限角；475 是第二象限角；315 是第一象限角其中正确的命题有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 D 90 75 0 ，180 225 270 ， 360 90 475 360 180 ，360 315 270 .所以这四个命题都是正确的 终边相同的角的表示及应用 【例 2】 (1)
7、将885 化为 k 360 (0 360 ，kZ)的形式是_ (2)写出与 1 910 终边相同的角的集合， 并把集合中适合不等式720 360 的元素 写出来 思路点拨 (1)根据885 与 k 360 ，kZ 的关系确定 k. (2)先写出与 终边相同的角 k 360 ，kZ，再由已知不等式确定 k 的可能取值 (1)(3)360 195 885 1 080 195 (3) 360 195 . (2)解 与 1 910 终边相同的角的集合为 |k 360 1 910 ，kZ 720 360 ，即720 k 360 1 910 360 (kZ)，31136k61136(kZ)，故取 k4,5
8、,6. k4 时，4360 1 910 470 ； k5 时，5360 1 910 110 ； k6 时，6360 1 910 250 . 5 1在 0 到 360 范围内找与给定角终边相同的角的方法 (1)一般地，可以将所给的角 化成 k 360 的形式(其中 0 360 ，kZ)，其中的 就是所求的角 (2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加 360 的方式；当所给角是正角时，采用连续减 360 的方式，直到所得结果达到要求为止 2运用终边相同的角的注意点 所有与角 终边相同的角，连同角 在内可以用式子 k 360 ，kZ 表示，在运用时需注意
9、以下四点： (1)k 是整数，这个条件不能漏掉 (2) 是任意角 (3)k 360 与 之间用“”连接，如 k 360 30 应看成 k 360 (30 )，kZ. (4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍 提醒：表示终边相同的角，kZ 这一条件不能少 3下面与850 12终边相同的角是( ) A230 12 B229 48 C129 48 D130 12 B 与850 12终边相同的角可表示为 850 12k 360 (kZ)，当 k3 时，850 121 080 229 48. 4在360 360 之间找出所有与下列各角终边相同的角，
10、并判断各角所在的象限 790 ；20 . 解 790 2360 70 3360 290 ， 在360 360 之间与它终边相同的角是 70 和290 ，它们都是第一象限的角 20 360 340 ， 在360 360 之间与它终边相同的角是20 和 340 ，它们都是第四象限的角 任意角终边位置的确定和表示 6 探究问题 1若射线 OA 的位置是 k 360 10 ，kZ，射线 OA 绕点 O 逆时针旋转 90 经过的区域为 D，则终边落在区域 D(包括边界)的角的集合应如何表示？ 提示：终边落在区域 D 包括边界的角的集合可表示为|k 360 10 k 360 100 ，kZ 2若角 与 的
11、终边关于 x 轴、y 轴、原点、直线 yx 对称，则角 与 分别具有怎样的关系？ 提示：(1)关于 x 轴对称：若角 与 的终边关于 x 轴对称，则角 与 的关系是 k 360 ，kZ. (2)关于y轴对称： 若角与的终边关于y轴对称， 则角与的关系是180 k 360 ，kZ. (3)关于原点对称：若角 与 的终边关于原点对称，则角 与 的关系是 180 k 360 ，kZ. (4)关于直线 yx 对称：若角 与 的终边关于直线 yx 对称，则角 与 的关系是 90 k 360 ，kZ. 【例 3】 (1)若 是第一象限角，则2是( ) A第一象限角 B第一、四象限角 C第二象限角 D第二、
12、四象限角 (2)已知，如图所示 分别写出终边落在 OA，OB 位置上的角的集合； 写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合 思路点拨 (1)由的范围写出2的范围确定2是第几象限角 根据角终边的对称性确定2是第几象限角 7 (2) 观察图形 确定终边落在OA，OB位置上的角 由小到大分别标出起始和终止边界对应的角加上360 的整数倍，得所求集合 (1)D 因为 是第一象限角，所以 k 360 k 360 90 ，kZ， 所以 k 180 2k 180 45 ，kZ， 所以2是第一、三象限角， 又因为2与2的终边关于 x 轴对称， 所以2是第二、四象限角 (2)解 终边落在 OA 位置上的角的集
13、合为|90 45 k 360 ， kZ|135k 360 ，kZ； 终边落在 OB 位置上的角的集合为|30 k 360 ，kZ 由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于30 ，135 之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为|30 k 360 135 k 360 ，kZ 1若将本例(2)改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？ 解 在 0 360 范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60 105 与 240 285 ，所以所有满足题意的角 为|k 36060 k 360 105 ，kZ|k 360 240 k 360285 ，k
14、Z |2k 180 60 2k 180 105 ，kZ|(2k1) 180 60 (2k1) 180 105 ，kZ |n 180 60 n 180 105 ，nZ 故角 的取值集合为|n 180 60 n 180 105 ，nZ 2若将本例(2)改为如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？ 解 在 0 360 范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围可表示为：8 150 225 ，则所有满足条件的角 为|k 360 150 k 360 225 ，kZ 1表示区间角的三个步骤： 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界； 第二步：按由小到大分别标出起始和
15、终止边界对应的360 360 范围内的角 和 ，写出最简区间x|x，其中 360 ； 第三步：起始、终止边界对应角 ， 再加上 360 的整数倍，即得区间角集合 2n 或n所在象限的判断方法： (1)用不等式表示出角 n 或n的范围； (2)用旋转的观点确定角 n 或n所在象限 例如：k 120 3k 120 30 ，kZ. 由 0 330 ，每次逆时针旋转 120 可得3终边的位置 提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异 1角的旋转定义给出后，就将原来 0 360 间的角扩展为任意的正角、负角和零角，从而为角和实数之间建立对应关系奠定了基础 2明确象限角的概念，是判断一个角是第几象
16、限角或轴线角的保证 3理解终边相同角的含义，做到会用集合表示终边相同的角，会求符合某种条件的角 1思考辨析 (1)第二象限角大于第一象限角( ) (2)第二象限角是钝角( ) (3)终边相同的角一定相等( ) (4)终边相同的角有无数个，它们相差 360 的整数倍( ) 9 提示 (1)错误如第二象限角 100 小于第一象限角 361 . (2)错误如第二象限角181 不是钝角 (3)错误终边相同的角可表示为 k 360 ，kZ，即 与 不一定相等 (4)都正确 答案 (1) (2) (3) (4) 2下列各个角中与 2 019 终边相同的是( ) A149 B679 C319 D219 D
17、因为 2 019 360 5219 ，所以与 2 019 终边相同的角是 219 . 3 已知角 的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)， 那么角 的集合是_ |k 360 45 k 360 150 ，kZ 观察图形可知，角 的集合是|k 360 45k 360 150 ，kZ 4在 0 到 360 范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角： (1)120 ；(2)640 . 解 (1)与120 终边相同的角的集合为 M|120 k 360 ，kZ 当 k1 时，120 1360 240 ， 在 0 到 360 范围内，与120 终边相同的角是 240 ，它是第三象限的角 (2)与 640 终边相同的角的集合为 M|640 k 360 ，kZ 当 k1 时，640 360 280 ， 在 0 到 360 范围内，与 640 终边相同的角为 280 ，它是第四象限的角
