1、 2022年高三数学精准限时训练（4）（全国甲乙卷版）(建议用时40-45分钟） 一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（2022浙江高二学业考试）集合，用列举法可以表示为（ ）ABCD2（2022全国高三专题练习）已知点在角的终边上，且，则角的大小为（ ）ABCD3（2022全国高三专题练习（理）“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污某乡村一条污染河道的蓄水量为立方米，每天的进出水量为立方米已知污染源以每天个单位污染河水，某一时段（单位：天）河水污染质量指数为（每立方米河水所含的污染物）满足
2、（为初始质量指数），经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是（参考数据：）（ ）A1个月B3个月C半年D1年4（2022全国高三专题练习）在公差大于0的等差数列中，且，成等比数列，则数列的前21项和为（ ）A12B21C11D315（2022全国高三专题练习）过点的直线与圆相切，则直线的方程是（ ）A或BC或D6（2022全国高三专题练习）某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母，中选择，其他四个号码可以从09这十个数字中选择（数字可以重复），有车主第一个号码（从左到右）只想在数字3，5，6
3、，8，9中选择，其他号码只想在1，3，6，9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有（ ）A180种B360种C720种D960种7（2022全国高三专题练习）如图，是正方体棱的中点，是棱上的动点，现有下列命题：存在点使得；存在点使得；存在点使得的正视图和侧视图的面积相等；四面体的体积为定值.其中所有正确命题的序号为（ ）ABCD8（2022全国高三专题练习）已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线交于，两点，且，则的面积为（ ）A3BCD9（2022全国高一期末）已知函数为奇函数，若对任意，恒成立，则的取值范围为（ ）ABCD10（2022全国高三专题练习）已知点都在球的球面上，是边长为
4、1的等边三角形，与平面所成角的正弦值为，若，则球的表面积为（ ）ABCD11（2022全国高三专题练习（文）设，则（ ）ABCD12（2022全国高三专题练习）已知平面向量，（与不共线），满足，设，则的取值范围为（ ）ABCD二填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）13（2022浙江高三）已知非零向量满足，则与的夹角为_.14（2022全国高三专题练习）是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为_.15（2022全国高三专题练习）已知，且满足，则的最小值为_16（2022全国高三专题练习）已知函数，记为的最大值，则的最小值为_.三、解答题：共70分解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤
5、，第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（2022全国高三专题练习）在中，分别为内角的对边，且满足（1）求的大小；（2）从，这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决问题问题：已知_，_，若存在，求的面积，若不存在，请说明理由注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分18（2022全国高三专题练习）新个体经济是中国经济社会数字化转型条件下出现的新生事物，指微商电商，网络直播、职业创作者等，下表是2021年1至4月份某市新增“微商电商”的统计数据：月份1234新增微商电商个数90105125140（1）请利用所给数据求
6、新增微商电商个数y与月份x之间的线性回归方程，并预测该市2021年5月新增“微商电商”的个数（结果用四舍五入法保留整数）；（2）一般认为当时，线性回归方程的拟合效果非常好；当时，线性回归方程的拟合效果良好试问该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由，19（2022全国高三专题练习）已知双曲线经过点，一条渐近线的倾斜角为.（1）求双曲线的标准方程；（2）若斜率为的直线与双曲线交于两个不同的点，线段的中垂线与轴交于点，求实数的取值范围.20（2022全国高三专题练习）如图，三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧面底面，且侧面为菱形，.（1）求二面角所成角的正弦值.（2）分别是棱，的中点
7、，又.求经过三点的平面截三棱柱的截面的周长.21（2022全国高三专题练习）已知函数有两个极值点（1）求的取值范围；（2）求证：（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22（2022全国高三专题练习）在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数）在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.（1）当，时，判断直线与曲线的位置关系；（2）当时，若直线与曲线相交于两点，设，且，求直线的倾斜角选修4-5：不等式选讲（10分）23（2021河南模拟预测（理）已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，求实数的取值范围
8、2022年高三数学精准限时训练（4）一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（2022浙江高二学业考试）集合，用列举法可以表示为（ ）ABCD【答案】C【详解】解：因为，可得；所以.故选：C2（2022全国高三专题练习）已知点在角的终边上，且，则角的大小为（ ）ABCD【答案】B【详解】因为，所以是第二象限角，且，又，所以故选：B3（2022全国高三专题练习（理）“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污某乡村一条污染河道的蓄水量为立方米，每天的进出水量为立方米已知污染源以每天个单位污染河水，某一时
9、段（单位：天）河水污染质量指数为（每立方米河水所含的污染物）满足（为初始质量指数），经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是（参考数据：）（ ）A1个月B3个月C半年D1年【答案】C【详解】由题可知：（天）要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是半年.故选：C.4（2022全国高三专题练习）在公差大于0的等差数列中，且，成等比数列，则数列的前21项和为（ ）A12B21C11D31【答案】B【详解】由题意，公差大于0的等差数列中，可得，即，由，成等比数列，可得，即为，解得或（舍去），所以数列的通项公
10、式，所以数列的前21项和为：.故选：B.5（2022全国高三专题练习）过点的直线与圆相切，则直线的方程是（ ）A或BC或D【答案】B【详解】把圆化为标准方程得：.因为在圆上，所以过P的切线有且只有一条.显然过点且斜率不存在的直线:与圆相交，所以过P的切线的斜率为k.因为切线与过切点的半径垂直，所以，解得：，所以切线方程为：，即.故选：B6（2022全国高三专题练习）某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母，中选择，其他四个号码可以从09这十个数字中选择（数字可以重复），有车主第一个号码（从左到右）只想在数字3，5，6，8，9中选择，其他号码只想在1，3，6，9中选择，则
11、他的车牌号码可选的所有可能情况有（ ）A180种B360种C720种D960种【答案】D【详解】解：按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二个号码有3种选法，其余三个号码各有4种选法.因此车牌号码可选的所有可能情况有（种）.故选：D7（2022全国高三专题练习）如图，是正方体棱的中点，是棱上的动点，现有下列命题：存在点使得；存在点使得；存在点使得的正视图和侧视图的面积相等；四面体的体积为定值.其中所有正确命题的序号为（ ）ABCD【答案】A【详解】设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则.设，则.若，则，即当F为的中点时，故正确；因为，所以不存在点F
12、使得，故错误；当F与重合时，的正视图和侧视图的面积相等，故正确；因为点E到平面的距离为定值，的面积也为定值，所以四面体的体积为定值，故正确.故选：A.8（2022全国高三专题练习）已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线交于，两点，且，则的面积为（ ）A3BCD【答案】C【详解】如图，设双曲线的左焦点为，连接，依题可知，四边形为平行四边形.由可得，.在中，由余弦定理可得：，即，又因为点在双曲线上，则，所以，两式相减得，即，所以，也即为的面积，故选：C.9（2022全国高一期末）已知函数为奇函数，若对任意，恒成立，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【详解】解：因为函数的定义域为，又为奇函数
13、，解得，所以，要使对任意，恒成立，只需，又，即，故选：A.10（2022全国高三专题练习）已知点都在球的球面上，是边长为1的等边三角形，与平面所成角的正弦值为，若，则球的表面积为（ ）ABCD【答案】B【详解】由题设，若是的中点，则是的中心，连接，如下图示：由题设知：，又，则面，而面，即面面，过作面，则必在直线上，易知：为与平面所成角的平面角，又与平面所成角的正弦值为，可得.过作交于，易知：，而，即，又，故为的中点，即是球心，故球的半径为1，球的表面积为.故选：B11（2022全国高三专题练习（文）设，则（ ）ABCD【答案】A【详解】设，当时，在上单调递减，即，所以；设， 当时，在上单调递减
14、，即，所以，所以.故选：A.12（2022全国高三专题练习）已知平面向量，（与不共线），满足，设，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【详解】设，则，所以，即是等腰直角三角形，以为坐标原点，所在的边为轴的正半轴建立平面 直角坐标系，如图，则，因为，所以，因为，所以，所以，两式相加得，所以，因为，所以设，所以，因为不共线，所以不共线，所以，所以，所以，故选：A.二填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）13（2022浙江高三）已知非零向量满足，则与的夹角为_.【答案】【详解】因为，所以，所以.所以与的夹角为.故答案为：14（2022全国高三专题练习）是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的
15、值为_.【答案】【详解】根据复数的运算法则，化简得，因为复数为纯虚数，可得，解得.故答案为：.15（2022全国高三专题练习）已知，且满足，则的最小值为_【答案】【详解】因为，所以，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.16（2022全国高三专题练习）已知函数，记为的最大值，则的最小值为_.【答案】【详解】因为，所以，由可得，由可得，所以在上单调递减，在上单调递增，又因为=，所以，所以当时，又因为为的最大值，所以，两式相加可得：因为，因为二次函数在时单调递增，所以时，取得最小值，所以即，当且仅当，时取等号，的最小值为.故答案为：.三、解答题：共70分解答应写出交字说明、证明过程或演
16、算步骤，第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（2022全国高三专题练习）在中，分别为内角的对边，且满足（1）求的大小；（2）从，这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决问题问题：已知_，_，若存在，求的面积，若不存在，请说明理由注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析【详解】解：（1）因为，由正弦定理可得因为所以即因为所以因为即（2）若选择条件，由余弦定理可得，解得，故，所以若选择条件由正弦定理可得，可得所以若选择条件这样的三角形不存在，理由如下：在三角形中，所以，所
17、以，所以又因为所以与矛盾所以这样的三角形不存在18（2022全国高三专题练习）新个体经济是中国经济社会数字化转型条件下出现的新生事物，指微商电商，网络直播、职业创作者等，下表是2021年1至4月份某市新增“微商电商”的统计数据：月份1234新增微商电商个数90105125140（1）请利用所给数据求新增微商电商个数y与月份x之间的线性回归方程，并预测该市2021年5月新增“微商电商”的个数（结果用四舍五入法保留整数）；（2）一般认为当时，线性回归方程的拟合效果非常好；当时，线性回归方程的拟合效果良好试问该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由，【答案】（1），158个（2）非常好
18、，理由见解析（1），则，故所求回归直线方程为，令，则个，预测该市2021年5月新增“微商电商”的个数约为158个（2），所以故该线性回归方程的拟合效果非常好19（2022全国高三专题练习）已知双曲线经过点，一条渐近线的倾斜角为.（1）求双曲线的标准方程；（2）若斜率为的直线与双曲线交于两个不同的点，线段的中垂线与轴交于点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.（1）依题意，双曲线E的渐近线方程为，因一条渐近线的倾斜角为，即，由双曲线E经过点，得，解得，所以双曲线E的方程为.（2）设直线的方程为，由消去y并整理得，即，则，于是得线段中点为，因此，线段的垂直平分线的方程为，而线段的垂直平分线过
19、点，从而有，化简得，代入得：，解得或，或，且，所以的取值范围为.20（2022全国高三专题练习）如图，三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧面底面，且侧面为菱形，.（1）求二面角所成角的正弦值.（2）分别是棱，的中点，又.求经过三点的平面截三棱柱的截面的周长.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）为的中点，连接，侧面为菱形，为正三角形，侧面底面，侧面底面，侧面，底面，底面为正三角形，为的中点，以为坐标原点，分别以，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.底面是边长为4的正三角形，0，2，设平面的一个法向量为，由得，令，得，又易知为平面的一个法向量.所以二面角所成角的正弦值为.（
20、2）连接，分别是棱，的中点，又因为，经过，三点的平面截三棱柱的截面即为平面，其中，在中，因为三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧面为菱形，由余弦定理得，取的中点，连接，四边形为平行四边形，又因为侧面为菱形，为两个全等的等边三角形，连接，又因为，又因为侧面底面，且侧面底面，平面，又平面，又因为，即，所以截面的周长为：.21（2022全国高三专题练习）已知函数有两个极值点（1）求的取值范围；（2）求证：【答案】（1）(2e，)；（2）证明见解析【详解】（1）因为，所以令，则当时，不成立；当时，令，所以当时，；当时，所以在上单调递增，在上单调递减所以，当时，当时，因此，当时，有2个极值点，即a的取值
21、范围为（2）由（1）不妨设，且所以所以要证明，只要证明，即证明设，即要证明在上恒成立记，所以在上单调递减，所以当时，即，即成立（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22（2022全国高三专题练习）在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数）在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.（1）当，时，判断直线与曲线的位置关系；（2）当时，若直线与曲线相交于两点，设，且，求直线的倾斜角【答案】（1）直线与曲线相交；（2）或.（1）由得：，即，曲线的直角坐标方程为：，则曲线是以为圆心，为半径的圆；当，时，直线普通方程为，即，圆心到直线距离，直线与曲线相交；（2）当时，将其代入曲线直角坐标方程可得：，即，则，设对应的参数为，解得：，又为直线的倾斜角，即，或.选修4-5：不等式选讲（10分）23（2021河南模拟预测（理）已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，求实数的取值范围【答案】（1）（2）（1）当时，即当时，不成立；当时，故；当时，恒成立，故综上所述，不等式的解集为（2）当时，等价于成立当，且时，不合题意；当时，的解集为，所以，故综上所述，实数的取值范围为
