1、嘉定区嘉定区 2021 学年高三年级第一次质量调研学年高三年级第一次质量调研测试测试数学试卷数学试卷 一、一、填空题（本大题共有填空题（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分，第分，第 16 题每题题每题 4 分，第分，第 712 题每题题每题 5 分）考生应在答题纸分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果的相应位置直接填写结果 1已知集合31xxA，4 , 2 , 0B，则BA_ 2已知i是虚数单位，若复数i)(1iz，则z_ 3若线性方程组的增广矩阵为nm1102，其解为21yx，则nm_ 4在4)2( x的二项展开式中，2x的系数为_ 5若函数2)(log)(2mxxf的反函数的图
2、像经过点) 1 , 3(，则)3(f_ 6已知一个圆锥的底面半径为cm1，侧面积为22cm，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小为_ 7已知实数x、y满足32yx，则yx42 的最小值为_ 8已知数列 na的通项公式为)2(21) 1(1nnann，nS是数列 na的前n项和， 则nnSlim_ 9 已知抛物线pxy22 （0p） 上一点), 1 ( mM到其焦点的距离为5， 双曲线1222byxC： （0b）的左顶点为A，若双曲线C的一条渐近线与直线AM垂直，则双曲线C的焦距为_ 10四名志愿者参加某博览会三天的活动，若每人参加一天，每天至少有一人参加，其中志愿者甲第一天不能参加，则不同的安排
3、方法一共有_种（结果用数值表示） 11已知集合*, 12NnnxxA，*,2NnxxBn，将BA中的所有元素按从小到大的顺序排列构成一个数列 na，设数列 na的前n项和为nS，则使得1000nS成立的最小的n的值为_ 12已知平面向量a，b，c满足1a，2b，baa2，cbc22， 则22bcac的最小值为_ 二、二、选择题（本大题共有选择题（本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分，每题分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13已知Rx，则“1|x”是
4、“1x”的 （ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 14下列命题中，正确的是 （ ） A三点确定一个平面 B垂直于同一直线的两条直线平行 C若直线l与平面上的无数条直线都垂直，则l D若cba、是三条直线，ba/且与c都相交，则直线cba、在同一平面上 15已知函数1)cos3(sinsin2)(xxxxf的定义域为,nm （nm） ，值域为 1 , 2，则mn的值不可能为 （ ） A125 B2 C127 D43 16若存在实数a，使得当mx, 0 （0m）时，都有4122axx，则实数m 的最大值为 （ ） A1 B23 C2 D25 三、解答题（本
5、大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤 17 （本题满分（本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分） 如图，在直三棱柱111CBAABC 中，ACAB ,21AAACAB，点D是BC的中点 （1）求三棱锥ACDC 1的体积； （2）求异面直线AC与DC1所成角的大小（结果用反三角函数值表示） 18 （本题满分（本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）
6、分） 在ABC中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，5a，6b （1）若54cosB，求A和ABC外接圆半径R的值； （2）若三角形的面积4715S，求c 19 （本题满分（本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分） 某公司2021年投资4千万元用于新产品的研发与生产，计划从2022年起，在今后的若干年内，每年继续投资1千万元用于新产品的维护与生产，2021年新产品带来的收入为5 . 0千万元，并预测在相当长的年份里新产品带来的收入均在上年度收入的基础上增长25%记2021年为第1年，)(nf为第1年至此后第n（*Nn）年的
7、累计利润（注：含第n年，累计利润=累计收入累计投入，单位：千万元） ，且当)(nf为正值时，认为新产品赢利 （1）试求)(nf的表达式； （2）根据预测，该新产品将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由 20 （本题满分（本题满分 16 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题满分小题满分 6 分）分） 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆)0(12222babyax：的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F， 且椭圆过点），（50、），（352， 过点F的直线l与椭圆交于P、Q两点 （点P在x轴的上方） （1）求椭圆的标准方程； （2）若0
8、2 QFPF，求点P的坐标； （3）设直线AP、BQ的斜率分别为1k、2k，是否存在常数，使得021 kk？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由 21 （本题满分（本题满分 18 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题满分小题满分 8 分）分） 已知函数)(xfy 的定义域为区间D， 若对于给定的非零实数m， 存在0 x， 使得)()(00mxfxf，则称函数)(xfy 在区间D上具有性质)(mP （1）判断函数2( )f xx在区间1,1上是否具有性质)21(P，并说明理由； （2）若函数xxfsin)(在区间), 0(n
9、（0n）上具有性质)4(P，求n的取值范围； （3） 已知函数)(xfy 的图像是连续不断的曲线， 且)2()0(ff， 求证： 函数)(xfy 在区间0,2上具有性质)31(P 参考答案与评分标准参考答案与评分标准 一一、填空题（本大题共有填空题（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分，第分，第 16 题每题题每题 4 分，第分，第 7-12 题每题题每题 5 分）考生应在答题纸分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果的相应位置直接填写结果 12 , 0 22 36 424 54 63 724 823 95 1024 1136 12327 二二、选择题选择题(本大题共有本大题共有 4
10、题，满分题，满分 20 分，每题分，每题 5 分分)每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13B 14D 15D 16C 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 76 分）分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤 17 （本题满分（本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分） 解： （1）由题意得 ACABSSABCACD21212
11、1 12221212 分 所以三棱锥ACDC 1的体积为 1311CCSVACDACDC322131 即所求三棱锥ACDC 1的体积为 326 分 （2）联结DA1由题意得2222ACABBC， 221BCAD，且AC11CA， 所以直线11CA与DC1所成的角就是异面直线AC与DC1所成的角3 分 在DCA11中，211CA，62222222211）（CDCCDC 62211ADAADA， 由余弦定理得662cos111212121111DCCADADCCADCA，6 分 因为), 0(11DCA，所以66arccos11DCA 因此所求异面直线AC与DC1所成角的大小为 66arccos8
12、 分 18 （本题满分（本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分） 解： （1）因为54cosB，则 ),2(B，且53cos1sin2BB2 分 由正弦定理，得 RBbAa2sinsin，即RA2536sin5， 即21sinA，5R 5 分 又因为ba，所以 6A 即6A，ABC外接圆半径R的值为5 6 分 （2）由CabSsin21得 4765471522sinabSC，2 分 于是 43sin1cos2CC4 分 当43cosC时，由余弦定理，得 164365265222c 当43cosC时，由余弦定理，得 106)43(6
13、5265222c 所以，4c或106c8 分 19 （本题满分（本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分） 解： （1）由题意知，第1年至此后第n（*Nn）年的累计投入为 3) 1(4nn（千万元） 2 分 设第n年的收入为na，前n年的累计收入为nS， 由题意得 211a，nnnaaa45%)251 (1， 所以数列na是以21为首项、以45为公比的一个等比数列，则有 1)45(21nna（千万元） ，nnaaaS 21 1)45(2451)45(1 21nn （千万元） ，5 分 所以3 1)45(2)3()(nnSnfnn，即
14、 5)45(2)(nnfn（千万元） 答：所求)(nf的表达式为5)45(2)(nnfn （*Nn） 6 分 （2）因为1)45(21)() 1(nnfnf，2 分 所以当3n时，0)() 1(nfnf，即)(nf单调递减， 当4n时，0)() 1(nfnf，即)(nf单调递增， 4 分 又027) 1 (f，058452)8(8）（f，059452)9(9）（f， 所以该新产品将从第9年开始并持续赢利 答：该新产品将从2029年开始并持续赢利8 分 20 （本题满分（本题满分 16 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题满分小题
15、满分 6 分）分） 解： （1）因为椭圆过点），（50、），（352，则有 19254522bab，解得 53ba，3 分 所以椭圆的标准方程为 15922yx 4 分 （2）设),11yxP（ （01y） ，),22yxQ（由（1）知，)0 , 2(F因为02 QFPF， 则有 )0 , 0(),2(2),2(2211yxyx， 即 )0 , 0()2,26(2121yyxx， 所以 , 02, 0262121yyxx 解得 ,2,261212yyxx 即 )2,26(11yxQ4 分 分别将P、Q两点的坐标代入 15922yx得 , 15)2926(, 15921212121yxyx（）解
16、得 435,4311yx（舍）或 .435,4311yx 所以所求点P的坐标为435,43 6 分 （3） 设存在常数， 使得021 kk 由题意可设直线l的方程为2 myx， 点),11yxP（、),22yxQ（，则 ) 3() 3(331221221121xyxyxyxykk 2 分 又因为 1592222yx，即 9592222xy，即 22229)3(53yxxy， 所以)3)(3(592121xxyy)5)(5(592121mymyyy 即25)(5 592121221yymyymyy （*）4 分 又由 , 159, 222yxmyx得 02520)95(22myym，0) 1(9
17、002m， 且 9525,9520221221myymmyy代入（*）得 259520595255952592222mmmmmm 51259520595255952592222mmmmmm，即51， 所以存在常数51，使得021 kk 6 分 21 （本题满分（本题满分 18 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题满分小题满分 8 分）分） （1）解：函数2)(xxf在1 , 1上具有性质)21(P 1 分 若220012xx，则014x ， 2 分 因为1 , 141，且1 , 1412141， 所以函数 2f xx在1 , 1
18、上具有性质1( )2P 4 分 （2）解：由题意，存在0(0, )xn，使得00sinsin4xx， 由正弦线的定义得 2400kxx（舍）或0024xkx （Zk） ， 则得 830 kx2 分 因为0830 kx，所以Nk4 分 又因为 ），nkx0(830且 ），nkx0(8540 （Nk） ， 所以 85n，即所求n的取值范围是 ,856 分 （3）证明：设)31()()(xfxfxg，35, 0 x2 分 则有 )31()0()0(ffg，)32()31()31(ffg，) 1 ()32()32(ffg， )3()31()31(kfkfkg，)2()35()35(ffg （6 , 3
19、 , 2 , 1 k） 以上各式相加得 )0()2()35()31()31()0(ffgkggg ， 即0)35()31()31()0( gkggg （6 , 3 , 2 , 1 k） 4 分 （i）当)35()31()31()0(gkggg、 中有一个为0时，不妨设 0)31(ig，6 , 3 , 2 , 1 i，即 0)3()31()31(ififig， 即)3131()31(ifif，6 , 3 , 2 , 1 i， 所以函数)(xfy 在区间2 , 0上具有性质)31(P 6 分 （ii）当)35()31()31()0(gnggg、 中均不为0时，由于其和为0， 则其中必存在正数和负数，不妨设0)31(, 0)31(jgig， 其中ji ，6 , 3 , 2 , 1 ji、 由于函数)(xgy 的图像是连续不断的曲线，所以当ji 时，至少存在一个实数)31,31(0jix（当ji 时，至少存在一个实数)31,31(0ijx） ，其中6 , 3 , 2 , 1 ji、，使得 0)(0 xg，即 0)31()()(000 xfxfxg， 即存在0 x，使得)31()(00 xfxf， 所以函数)(xfy 在区间2 , 0上也具有性质)31(P 综上，函数)(xfy 在区间2 , 0上具有性质)31(P8 分
