1、2.2 2.2 基本不等式（第基本不等式（第 1 1 课时）课时） 本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修 1 第二章第二节基本不等式第 1 课时。从内容上看学生原有知识的掌握情况为：初中的勾股定理知识及三角形相似的知识、圆的相关知识，会用作差比较法证明简单的不等式，所以在学法上要指导学生：从代数与几何的角度理解基本不等式。引导学生学会观察几何图形，进行几何与代数的结合运用，培养数学结合的思想观点，发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养。 课程目标 学科素养 A. 推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当两个数相
2、等； B. 通过实例探究抽象基本不等式； 通过多媒体体会基本不等式abba2等号成立条件, 进一步掌握基本不等式； C. 积极倡导同学们进行几何与代数的结合运用， 发现各种事物之间的普遍联系. a.数学抽象：将问题转化为基本不等式； b.逻辑推理： 通过图形， 分析法与综合法等证明基本不等式； c.数学运算：准确熟练运用基本不等式； d.直观想象：运用图像解释基本不等式； e.数学建模： 将问题转化为基本不等式解决； 1.教学重点： 从不同角度探索不等式的证明过程， 会用此不等式求某些简单函数的最值； 2.教学难点：基本不等式abba2等号成立条件； 多媒体 2abab教学过程 教学设计意图
3、核心素养目标 （一） 、（一） 、情景导学情景导学 如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标， 会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，赵爽是为了证明勾股定理而绘制了弦图。 弦图既标志着中国古代的数学成就，又象一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们。 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系 思考 1：这图案中含有怎样的几何图形？ 思考 2：你能发现图案中的相等关系或不等关系吗？ （二） 、探索新知（二） 、探索新知 1探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形 ABCD 中有 4 个全等的直角三角形设直角三角形的两条直角边 长为 a,b（ab）, 那么正
4、方形的边长为 这样，4 个直角三角形的面积的和是 2ab，正方形的面积为 由于 4 个直角三角形的面积之和小于正方形的面积， 我们就得到了一个不等式： 当直角三角形变为等腰直角三角形，即 a=b 时， 正方形 EFGH 缩为一个点， 这时有 （通过几何画板演示当 a=b 时的图像） 2得到结论（重要不等式） ：一般的，对于任意实数 a,b，我们有，当且仅当 a=b 时，等号成立。 3思考证明：你能给出它的证明吗？（设计意图：证明：因为 ， 当且仅当 a=b 时等号成立 通过介绍第 24 届国际数学家大会会标 的背景，进行设问，引导学生观察分析，发现图形中蕴藏的基本不等式，培养学生数学抽象和逻辑
5、推理的核心素养，同时渗透数学文化，和爱国主义教育。 通过图形得到了重要不等式的 几何解释，为了更准确地感知和理解，再从数学的逻辑方面给出证明，不仅培养了学生严谨的数学态度，而且还可以从中学习到分析法证明的大体过程，培养和发展数学抽象和逻辑推理的核心素养，增强数形结合的思想意识。 22ba 22ba abba222222abab222abab2222baabba02baabba222ab4 （1） 基本不等式： 如果 a0,b0,我们用、分别代替 a、 b ，可得， 通常我们把上式写作： 基本不等式（a0,b0)（当且仅当a=b时，取等号） 5.基本不等式： （1）在数学中，我们称为a、b的算术
6、平均数，称为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.此不等式又叫均值不等式。 （2）从不等式的性质推导基本不等式 如果学生类比重要不等式的证明给出证明，再介绍书上的分析法。 用分析法证明：证明不等式 证明：要证 只要证 只要证 只要证 显然，是成立的 当且仅当 a=b 时， （3）中的等号成立 （3）理解基本不等式的几何意义 探究：探究：你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？ 在右图中，AB 是圆的直径，点 C 是 AB 上的一点，AC=a,BC=b过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE， 连接 AD、 BD (1)AB 表示什么?(2)表示哪个
7、线段？(3)对应哪个线段呢？ （4）OD 与 CD 的大小关系如何？ 从不同的侧面理解不等式，培养学生数形结合的思想意识。 ； ab2abababba22ba ab0, 02baabbaabba2abba202abba, 02baabba22abab2ba ab易证tADtDB，那么D2A B 即D. 这个圆的半径为，显然，它大于或等于 CD，即，其中当且仅当点 C 与圆心重合，即 ab 时，等号成立. 因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦半径不小于半弦” 【归纳总结】 1、由赵爽弦图我们得到了重要不等式： (1)通过换元我们得到了基本不等式： （2）两个不等式的区别和联系：区别： a,
8、b 范围不同;联系:等号成立的条件相同 （3）从形的角度来看，基本不等式具有特定的几何意义； 从数的角度来看， 基本不等式揭示了“和”与“积”这两种结构间的不等关系 （三）典例（三）典例解析解析 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值 10,0,36,ababa b=+（）已知求的最小值。 解析： 222 3612(6ababababab+ ?=Q当且仅当时取等） 20,0,18,aba bab+ =（ ）已知求 的最大值。 解析： 2218,()()81222(981abababababab+=Q当且仅当时取等）故的最大值为 基本不等式的使用条件基本不等式的使用条件 1210,( )xf
9、xxx=+-（ ）已知函数当 为何值时，函数有最值，并求其最值。 解析： x3111y(x-3)32 (3)353x-33xxxx=+=+ ?=-Q 13,435xxx-=-当且仅当即时，函数有最小值，最小值为 。 130,(1 2 )2xyxx=-（ ）若求函数的最大值。 解解: 102x轾+-=-=鬃-=犏犏臌Q 当且仅当当且仅当 2x=(1-2x), 即即14x =时时, 取“取“=”号号. 当当14x =时时, 函数函数 y=x(1-2x) 的最大值是的最大值是. 跟踪训练30,4 (32 )2xyxx=-1.设求函数的最大值。 2303-20223292 2(32 )2 ()2233
10、232042xxxxyxxxxx+ -= 鬃-= -=?Q解：当且仅当即（ ，）时取等 221( )22f xxx=+2.函数能否用基本不等式求最小值？ 22222221122222212212xxxxxxx+?+=+=+由基本不等式知当且仅当即时取等，而这是不可能的，故此函数不能用基本不等式求最小值。 三、达标检测 1下列不等式中，正确的是( ) Aa4a4 Ba2b24ab C. abab2 Dx23x22 3 解析：选 D.a0，则 a4a4 不成立，故 A 错；a1，b1，a2b24ab，故 B 错，a4，b16，则 abab2，故 C 错；由基本不等式可知 D 项正确 2若 a1，则
11、 a1a1的最小值是( ) A2 Ba C.2 aa1 D3 解析：选 D.a1，所以 a10， 所以 a1a1a11a112（a1）1a113. 当且仅当 a11a1即 a2 时取等号 3若 a，b 都是正数，则1ba14ab的最小值为( ) A7 B8 C9 D10 解析：选 C.因为 a，b 都是正数，所以 1ba14ab5ba4ab52ba4ab9， 当且仅当 b2a0 时取等号 4已知 x0，y0，且1x9y1，则 xy 的最小值为_ 解析：xy(xy)1x9y10yx9xy 102yx9xy10616. 即 x4，y12 时等号成立，所以 xy 的最小值为 16. 通过练习巩固本节
12、所学知识，提高学生运用基本不等式解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的逻辑推理和数学运算素养。 四、小结 本节课， 我们学习了重要不等式 a2b22ab； 基本不等式； 两正数 a、b 的算术平均数 （） ， 几何平均数 （） 及它们的关系 （）.它们成立的条件不同，前者只要求 a、b 都是实数，而后者要求 a、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用). 五、作业 1. 习题 2.2 1,2,4,5 题 2. 预习下节课内容 生学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点； 2ba ab
13、2ba ab2.22.2.2 .2 基本不等式（第基本不等式（第2 2课时）课时） 本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修 1 第二章第二节基本不等式第 2 课时。从内容上看是对基本不等式在实际问题中应用的学习，通过问题解决，发展学生数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理等数学核心素养。在学法上要指导学生：从实际问题中列出数量关系式，进而运用基本不等式解应用题，数学建模能力也是本节要体现的重要素养。对例题的处理可让学生先思考，然后师生共同对解题思路进行概括总结，使学生更深刻地领会和掌握解应用题的方法和步骤。 课程目标 学科素养 A. 能够运用基本不等式解决生活中的应用问题； B. 围
14、绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。例题的安排从易到难、从简单到复杂，适应学生的认知水平； C.进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性. a. 数学抽象：在实际问题中抽象出不等式； b.逻辑推理：运用基本不等式求最值的条件； c.数学运算：灵活运用基本不等式求最值； d.直观想象：运用图像解释基本不等式； e.数学建模：将问题转化为基本不等式解决； 1.重点：在实际问题中建立不等关系，并能正确运用基本不等式求最值； 2.难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件 多媒体 教学过程 教学设计意图 核心素养目标 （一） 、（一） 、小试牛刀小试牛刀
15、 1判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)对任意的 a，bR，若 a 与 b 的和为定值， 则 ab 有最大值( ) (2)若 xy4，则 xy 的最小值为 4.( ) (3)函数 f(x)x22x21的最小值为 2 21.( ) 答案： （1） （2） （3） 2已知 xy1 且 x0，y0，则1x1y的最小值是( ) A2 B3 C4 D6 解析：法一：1x1yxyxy1xy1xy224， 当且仅当 xy12时取等号， 法二：1x1yxyxxyy2yxxy4，当且仅当 xy12时取等号 答案：C （二） 、探索新知（二） 、探索新知 问题 1.用篱笆围成一个面积为 100m 的矩形
16、菜园，问这个矩形的长、 宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？ 解： （1）设矩形菜园的长为 m,宽为 m,则 篱笆的长为 2（）m 由 ， 可得 ，2（） 等号当且仅当，因此，这个矩形的长、宽为 10 m 时， 所用篱笆最短，最短篱笆为 40m 结论结论 1：两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅当两变量值相：两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅当两变量值相等时取最值等时取最值.简记简记“积定和最小积定和最小”. 问题 2.用段长为 36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的 通过课堂小测，了解学生对基本不等式的掌握情况，暴露问题及时纠正。通过解题培养学生数学抽象和逻辑推
17、理的核心素养。 通过简单的应用性问题，让学生体会在实际问题中运用基本不等式的步骤。 培养和发展数学抽象和数学建模的核心素养。 xy100,xy xy2xyxy2 100 xyxy4010 xyxy时成立，此时长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 解： 设矩形菜园的长为 m,宽为 m,则 2 （） =36，=18，矩形菜园的面积为， 由 可得 , 可得等号当且仅当 因此，这个矩形的长、宽都为 9 m 时，菜园的面积最大，最大面积为81 结论结论 2：两个正变量和为定值，则积有最大值，当且仅当两变量值相：两个正变量和为定值，则积有最大值，当且仅当两变量值相等时取最值等时取最值.简记简
18、记“和定积最大和定积最大”. （三）典例解析（三）典例解析 均值不等式在实际问题中的应用均值不等式在实际问题中的应用 例 1、 某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为 4800深为 3 m。如果池底每平方米的造价为 150 元， 池壁每平方米的造价为 120 元， 怎样设计水池能使总造价最低？最低造价为多少元？ 分析：若底面的长和宽确定了，水池的造价也就确定了，因此可转化为考察底面的长和宽各为多少时，水池的总造价最低。 解：设底面的长为 m,宽为 m, 水池总造价为 元， 根据题意，有 由容积为 4800可得 由基本不等式与不等式性质，可得 通过典型例题解析，发展学生数学抽象和数学建模的核
19、心素养。 ； xyxyxyxy2m189,22xyxy81xy9xyxy时成立，此时2m3,mxyz4800150120(2 32 3 )3zxy 240000720()xy3,m34800 xy 1600 xy 即 ， 可得等号当且仅当 所以,将水池的地面设计成边长为 40 m 的正方形时总造价最低,最低造价为 297600 元 跟踪训练 1.某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为 3 000 m2，其中场地四周(阴影部分)为通道，通道宽度均为 2 m，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积
20、为 S 平方米 (1)分别写出用 x 表示 y 和 S 的函数关系式(写出函数定义域)； (2)怎样设计能使 S 取得最大值，最大值为多少？ 解析 (1)由已知 xy3 000,2a6y， 则 y3 000 x(6x500)， S(x4)a(x6)a(2x10)a(2x10)y62(x5)(y6)3 0306x15 000 x(6x0,b0,a+b=1, 所以 1 +1= 1 += 2 +, 同理 1 +1= 2 +, 5+2(+)5+4= 5+4=9. 所以(1 +1)(1 +1) 9(当且仅当 = =12时,等号成立) 跟踪训练 1.已知：a，b，cR，求证：bcacababcabc. 证
21、明：由基本不等式：bcacab2 bcacab2c， 同理：cababc2a，abcbcc2b. 三式相加即得：bcacababcabc (当且仅当 abc 时取“”) 【归纳总结】利用不等式利用不等式 a2b22ab 和和 ab2 ab (a0，b0)时，关键是对式子恰当地变形，时，关键是对式子恰当地变形， 合理造成合理造成“和式和式”与与“积式积式”的互化，必要时可多次应用的互化，必要时可多次应用 三、达标检测 1已知正数 a、b 满足 ab10，则 ab 的最小值是( ) A。10 B25 C5 D2 10 解析 ab2 ab2 10，等号在 ab 10时成立，选 D 2小王从甲地到乙地
22、和从乙地到甲地的时速分别为 a 和 b(ab)，其全程的平均时速为 v，则( ) Aav ab Bv ab C abvab2 Dvab2 解析 设从甲地到乙地的路程为 s，则 v2ssasb21a1b2abab2ab2 ab ab a0，va av0,b0,c0,且 a+b+c=1,求证:1+1+19. 证明:因为 a0,b0,c0,且 a+b+c=1, 所以1+1+1= (1+1+1)(a+b+c) =3 + (+) + (+) + (+)3+2+2+2=9. 当且仅当 a=b=c=13时,等号成立.故1+1+19. 四、小结 1.利用基本不等式来解题时， 要学会审题及根据题意列出函数表达式,要懂得利用基本不等式来求最大（小）值 2.利用基本不等式解决实际问题的一般步骤：先建目标函数，再用基本不等式求函数的最值，从而得出实际问题的解。 五、作业 1. 课时练 2. 预习下节课内容 生学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；
