1、不等式、推理与证明不等式、推理与证明 一、单选题 1（2021 浙江绍兴市 诸暨中学高二期中）若11x ，则22222xxyx有（ ） A最大值1 B最小值1 C最大值1 D最小值1 2（2021 浙江绍兴市 诸暨中学高二期中）若实数, x y满足1020 xyxy ，则点( , )P x y不可能落在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3（2021 广州市 广东实验中学高二期中）下列命题说法正确的是（ ） A函数 22199f xxx的最小值为 2； B0 xR，2001xx ； C“2x”是“ln30 x”的充分不必要条件； D在锐角ABCV中，必有sinsincosc
2、osABAB； 4（2021 全国高三其他模拟（理）若实数, x y满足不等式组20510080 xyxyxy ，且10axy 恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A4,5 B4,5 C5, 14 D51,4 5 （2021 全国高三其他模拟 （理） ） 已知实数, a b满足23,ab则下列不等关系中一定成立的是 （ ） A331515abba B331515abba C22abba D22abba 6（2021 全国高三其他模拟）某校积极落实立德树人，坚持五育并举，计划在新学期开展球类、书法、健美操、棋类等四项社团活动，学校要求每位学生选择其中的两项，学生甲、乙、丙三人都已决定选择球类，三
3、人再从其它三项中各选择一项，恰好三人的选择互不相同，乙比选棋类的人个头高，丙和选书法的人身高不同，选书法的人比甲个头小，则甲、乙、丙所选的第二项社团活动分别为（ ） A书法、健美操、棋类 B健美操、书法、棋类 C棋类、书法、健美操 D棋类、健美操、书法 7（2021 全国高三其他模拟（理）已知数列 na满足：10a ，1ln1nannaeanN，前n项和为nS（参考数据：ln20.693，ln31.099，则下列选项错误的是（ ） A21na是单调递增数列，2na是单调递减数列 B1ln3nnaa C2020670S D212nnaa 8（2020 全国高三专题练习） 传说古希腊毕达哥拉斯学派
4、的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数，如图所示的图形表示的数就是他们研究过的三角形数现从 1 到 50 这 50 个整数中，随机抽取 3 个整数，则这 3 个数恰好都是三角形数的概率为（ ） A3700 B1350 C4455 D3910 9（2020 全国高三专题练习）中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图所示当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位
5、，千位，十万位用横式表示，以此类推例如 3266 用算筹表示就是，则 8771 用算筹可表示为（ ） A B C D 10（2020 全国高三专题练习）分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子， 原子核正电荷的电荷量为q， 这两个相距R的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U.其计算式子为212121111UkcqRRxxRxRx，其中，kc为静电常量，1x、2x分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知12121xxRxxRR，111xRx
6、RR，221xRxRR，且1211xxx ，则U的近似值为（ ） A2123kcq x xR B2123kcq x xR C21232kcq x xR D21232kcq x xR 二、填空题 11（2020 全国高三专题练习）设 p：|x1|1，q：x2（2m+1）x+（m1）（m+2）0若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 m 的取值范围是_ 12（2021 全国高三其他模拟） 已知等比数列 na的各项均为正数，5116a ， 且存在*mN， 使得221mmaa，则1a的最小值为_ 13（2021 全国高二专题练习）已知 2ln40,0f xxaxbx ab在1x 处取得极值，则21a
7、b的最小值为_. 14 （2021 全国高一课时练习）若对任意满足8ab的正数a，b都有14111xabx成立，则实数x的取值范围是_ 15（2021 全国高二单元测试）已知 x1，观察下列不等式： 12,xx 223,xx 334xx 按此规律，第 n 个不等式为_ 16（2021 全国高二课时练习（理）观察下列各式： 211121122C， 3122211211233CC， 41233331112112344CCC， 512344444111121123455CCCC， 照此规律，当*nN时，121111231nnnnCCCnL_ 不等式、推理与证明不等式、推理与证明 一、单选题 1（20
8、21 浙江绍兴市 诸暨中学高二期中）若11x ，则22222xxyx有（ ） A最大值1 B最小值1 C最大值1 D最小值1 【答案】A 【分析】 将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得. 【详解】 因11x ，则0 12x ， 于是得21 (1)11111(1)2 (1)1212121xyxxxxx ，当且仅当111xx，即0 x时取“=”， 所以当0 x时，22222xxyx有最大值1. 故选：A 2（2021 浙江绍兴市 诸暨中学高二期中）若实数, x y满足1020 xyxy ，则点( , )P x y不可能落在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【答案】B
9、【分析】 作出给定的不等式组表示的平面区域，观察图形即可得解. 【详解】 因实数, x y满足1020 xyxy ，作出不等式组1020 xyxy 表示的平面区域，如图中阴影部分， 观察图形知，阴影区域不过第二象限，即点( , )P x y不可能落在第二象限. 故选：B 3（2021 广州市 广东实验中学高二期中）下列命题说法正确的是（ ） A函数 22199f xxx的最小值为 2； B0 xR，2001xx ； C“2x”是“ln30 x”的充分不必要条件； D在锐角ABCV中，必有sinsincoscosABAB； 【答案】D 【分析】 根据基本不等式适用的条件可判断 A；根据特称命题的
10、真假可判断 B；利用充分条件、必要条件的定义可判断 C；利用诱导公式可判断 D. 【详解】 A，函数 222211929299f xxxxx， 等号成立的条件是291x ，此时无解，故 A 错误； B，因为2001yxx，30 ， 所以20010 xx 恒成立，故 B 错误； C，“2x”推不出“ln30 x”，反之成立， 所以“2x”是“ln30 x”的必要不充分条件，故 C 错误； D，因为在锐角ABCV中，2AB， 有022BA， 所以sinsincos2ABB，即sincosAB， 同理sincosBA，故sinsincoscosABAB，故 D 正确. 故选：D 4（2021 全国高
11、三其他模拟（理）若实数, x y满足不等式组20510080 xyxyxy ，且10axy 恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A4,5 B4,5 C5, 14 D51,4 【答案】A 【分析】 根据题意作出可行域，然后结合图形得到0,0 xy，然后分类讨论0 x和0 x两种情况，当0 x时参变分离再数形结合即可求解. 【详解】 作出可行域，如图： 其中5,3 ,0,2 ,3,5 ,0,8 ,0, 1ABCDE, 因为10axy 恒成立，结合图形知0,0 xy， 所以当0 x时，10y 恒成立； 当0 x时，则1yax 恒成立，即max1yax ， 而1yx表示可行域内的点, x y与0, 1
12、E所形成的直线的斜率的相反数， 因此当直线经过点5,3A时，1yx最大，此时3 1455 ，所以45a ， 故选：A. 5 （2021 全国高三其他模拟 （理） ） 已知实数, a b满足23,ab则下列不等关系中一定成立的是 （ ） A331515abba B331515abba C22abba D22abba 【答案】D 【分析】 构造函数 315f xxx，求导分析单调性可判断 A，B；构造函数 2xg xx根据单调性可判断 C，D 【详解】 设 315f xxx，则 235fxx， 当2, 5x时， 2350fxx；当5,3x时， 2350fxx， 所以 f x在2, 5上单调减，在5
13、,3上单调增，因为23ab，故 f a与( )f b大小不定，所以 A，B 错； 设 2xg xx ，则 22ln21xxgxx，当2,3x时， 22ln210 xxgxx 所以 2xg xx在2,3上单调增，因为23ab，所以 g ag b，则22abab 得22abba，故 D 正确 故选：D 6（2021 全国高三其他模拟）某校积极落实立德树人，坚持五育并举，计划在新学期开展球类、书法、健美操、棋类等四项社团活动，学校要求每位学生选择其中的两项，学生甲、乙、丙三人都已决定选择球类，三人再从其它三项中各选择一项，恰好三人的选择互不相同，乙比选棋类的人个头高，丙和选书法的人身高不同，选书法的
14、人比甲个头小，则甲、乙、丙所选的第二项社团活动分别为（ ） A书法、健美操、棋类 B健美操、书法、棋类 C棋类、书法、健美操 D棋类、健美操、书法 【答案】B 【分析】 通过分析得到乙选择了书法，再分析得到丙选择棋类，即得解. 【详解】 乙比选棋类的人个头高，所以乙没有选择棋类， 因为丙和选书法的人身高不同，选书法的人比甲个头小，所以乙选择了书法， 所以排除 AD, 因为乙的个头比甲小， 所以丙比乙的个头小， 所以丙选择棋类，甲选择健美操. 故选：B 7（2021 全国高三其他模拟（理）已知数列 na满足：10a ，1ln1nannaeanN，前n项和为nS（参考数据：ln20.693，ln3
15、1.099，则下列选项错误的是（ ）. A21na是单调递增数列，2na是单调递减数列 B1ln3nnaa C2020670S D212nnaa 【答案】C 【分析】 设nnaeb，则有11nnnbbb， 2211nnnbbb，11nnnb bb，构建21( )1xg xx，求导分析可知导函数恒大于零，即数列21nb，2nb都是单调数列，分别判定13bb，24bb，即得单调性，数列na与 nb的单调性一致，可判定 A 选项正确；B、C 选项利用分析法证明，可知 B 正确，C 错误；D 选项利用数学归纳法证分两边证212512nnbb，即可证得212nnaa. 【详解】 1ln1nannaean
16、N，10a ， 02ln10ln2ae，33ln3ln2ln2a ，4535lnlnln223a ， 设nnaeb，0nb ，1ln(1)111nnnnabannnanbbbeeeb，则1211211nnnnnbbbbb， 令21( )1xg xx，则21( )0(1)g xx，( )g x单调递增， 将2(,)nnbb，2(,)nnb b看作是函数( )yg x图象上两点，则220nnnnbbbb， 数列21nb，2nb都是单调数列， 111abe，同理22b ，332b ，453b ，即13bb，24bb， 21nb单调递增，2nb单调递减，而数列na与 nb的单调性一致， 21na是单调
17、递增数列，2na是单调递减数列，A 正确； 由nnaeb得lnnnab， 11nnnbbb 要证111lnlnln()ln3nnnnn naabbb b，即证13nnb b，即13nb ，即证2nb ， 也即要证1112nnbb，等价于11nb， 显然2n时，11b ，3n时，21211nnnbbb，故11nb成立， 不等式1ln3nnaa成立B 正确； 欲证12ln3nnnaaa，只需证12lnlnlnln3nnnbbb，即12ln()ln3nnnb bb 即123n nnb b b1 2121311nnnnnnnbbbbbbb ，显然成立， 故12ln3nnnaaa1，所以20201998
18、199816663SS ， 故 C 选项错误； 欲证212nnaa，因单调性一致则只需证212nnbb，只需证212512nnbb 因为15112b ，若21512nb，则21212121211151221125112nnnnbbbb； 又因为25122b，若2512nb，则2222211151221125112nnnnbbbb， 由数学归纳法有212512nnbb，则212nnaa成立 故 D 选项正确。 故选：C 【点睛】 本题考查二阶线性数列的综合问题，涉及单调数列的证明，还考查了分析法证明与数学归纳法的证明旨在考查学生分析问题解决问题的能力，考查转化与化归能力，逻辑推理能力，抽象与概括
19、能力属于难题. 8（2020 全国高三专题练习） 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数，如图所示的图形表示的数就是他们研究过的三角形数现从 1 到 50 这 50 个整数中，随机抽取 3 个整数，则这 3 个数恰好都是三角形数的概率为（ ） A3700 B1350 C4455 D3910 【答案】A 【分析】 根据图形，归纳出三角形数从小到大可构成数列 na，且12nn na，nN，然后利用组合知识以及古典概型概率公式求解即可. 【详解】 由题意可得，三角形数从小到大可构成数列 na，且12nn na，nN 从 1 到 50 这 50 个整数中，所有的三角形数依次
20、为 1,3，6，10，15，21，28，36，45， 共 9 个图形 因此从 1 到 50 这 50 个整数中，随机抽取 3 个整数的所有方法种数为35019600C， 其中这 3 个数恰好都是三角形数的取法种数为3984C 由古典概型的概率公式，可得概率393503700CPC 【点睛】 本题主要考查归纳推理的应用，考查了古典概型概率公式，同时考查了数形结合思想以及特殊与一般思想的应用，属于中档题. 9（2020 全国高三专题练习）中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放
21、形式有纵横两种形式，如图所示当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推例如 3266 用算筹表示就是，则 8771 用算筹可表示为（ ） A B C D 【答案】A 【分析】 由算筹含义直接求解 【详解】 根据各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示， 十位、千位、十万位数用横式表示，知 8771 用算筹可表示为， 故选：A. 【点睛】 本题容易，只需找出规律即可求解. 10（2020 全国高三专题练习）分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的
22、作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子， 原子核正电荷的电荷量为q， 这两个相距R的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U.其计算式子为212121111UkcqRRxxRxRx，其中，kc为静电常量，1x、2x分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知12121xxRxxRR，111xRxRR，221xRxRR，且1211xxx ，则U的近似值为（ ） A2123kcq x xR B2123kcq x xR C21232kcq x xR D21232kcq x xR 【答案】D 【分析】
23、将12121xxRxxRR，111xRxRR，221xRxRR代入U，结合1211xxx 化简计算可得出U的近似值. 【详解】 221212121211111111111UkcqkcqxxxxRRxxRxRxRRRRRRR 2222121211221 111xxxxxxxxkcqRRRRRRR 21232kcq x xR . 故选：D. 【点睛】 本题考查U的近似计算，充分理解题中的计算方法是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 二、填空题 11（2020 全国高三专题练习）设 p：|x1|1，q：x2（2m+1）x+（m1）（m+2）0若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 m
24、 的取值范围是_ 【答案】0，1 【分析】 分别求出, p q的范围，再根据p是q的充分不必要条件，列出不等式组，解不等式组 【详解】 由11x得11 1x ，得02x. 由2(21)(1)(2)0 xmxmm，得(1)(2)0 xmxm， 得12mxm ， 若 p 是 q 的充分不必要条件， 则1022mm ，得10mm，得01m， 即实数m的取值范围是0,1. 故答案为：0,1 【点睛】 本题主要考查绝对值不等式和二次不等式的解法，同时考查了充分不必要条件，属于中档题. 12（2021 全国高三其他模拟） 已知等比数列 na的各项均为正数，5116a ， 且存在*mN， 使得221mmaa
25、，则1a的最小值为_ 【答案】4 【分析】 由递推关系结合基本不等式的性质， 得22222122 22 2mmmmaaqqaa， 此时12ma时等号成立，24q ；再由条件4415111216464aa qaa，求得首项的最小值. 【详解】 设等比数列 na的公比为q，0q ，因为0na ，*mN，所以由基本不等式得，22222122 22 2mmmmaaqqaa， 所以24q ，当且仅当22mmaa，即12ma时等号成立 则4415111216464aa qaa， 所以14a ，即1a的最小值为 4 故答案为：4 【点睛】 关键点点睛：利用基本不等式得到24q ，进而利用等比数列的通项公式求
26、解1a的最小值 13（2021 全国高二专题练习）已知 2ln40,0f xxaxbx ab在1x 处取得极值，则21ab的最小值为_. 【答案】3 【分析】 根据在1x 处取得极值，求出23ab，由基本不等式“1”的应用代入求最小值. 【详解】 124fxaxbx，因为 f x在1x 处取得极值，所以 10f ，即1 240a b ，所以23ab. 所以211 2112224133baabababab1225233baab，当且仅当1ab时取等号.把1a ，1b代入 f x检验得，1x 是 f x的极值点，故21ab的最小值为 3. 故答案为：3. 【点睛】 易错点睛： f x在xa处取得极
27、值，则有( )0fa=，反之，若( )0fa=，则在xa处不一定取得极值.所以已知极值点求参数需检验. 14 （2021 全国高一课时练习）若对任意满足8ab的正数a，b都有14111xabx成立，则实数x的取值范围是_ 【答案】,01,U 【分析】 根据题意可知11411minxxab，利用基本不等式求得141ab的最小值，再解分式不等式即可得出答案. 【详解】 若对任意满足8ab的正数a，b都有14111xabx成立， 则11411minxxab， 411411411519191ababababab 41152191abab， 当且仅当411abab，即2,6ab时等号成立， 所以1411
28、minab， 所以111xx，即1101xxx ，即21010 xxx，解得1x 或0 x， 所以实数 x 的取值范围是,01,U. 故答案为：,01,U. 15（2021 全国高二单元测试）已知 x1，观察下列不等式： 12,xx 223,xx 334xx 按此规律，第 n 个不等式为_ 【答案】1nnxnx 【分析】 从每个不等式左边单项式的指数和分式分母的特征，右边整数的特征进行归纳推理即可. 【详解】 12,xx 223,xx 334xx 按此规律，第 n 个不等式为：1nnxnx， 故答案为：1nnxnx 16（2021 全国高二课时练习（理）观察下列各式： 211121122C， 3122211211233CC， 41233331112112344CCC， 512344444111121123455CCCC， 照此规律，当*nN时，121111231nnnnCCCnL_ 【答案】1211nn 【分析】 根据给出的等式，找出运算结果的结构形式，利用归纳推理，即可求解. 【详解】 由已知等式观察，等式右边为21kk形式，其中 k 比等式左侧各组合数下标大 1， 照此规律，当*nN时，1121112112311nnnnnCCCnnL 故答案为：1211nn.
