1、江苏省连云港市东海县江苏省连云港市东海县 2020-2021 学年八年级上期末考试数学试题学年八年级上期末考试数学试题 一、选择题一、选择题 1 （3 分） 在一些美术字中， 有的汉字是轴对称图形 下面 4 个汉字中， 可以看作是轴对称图形的是 （ ） A B C D 2 （3 分）下列说法正确的是（ ） A27 的立方根是 3 B4 C1 的平方根是 1 D4 的算术平方根是 2 3 （3 分）在平面直角坐标系的第二象限内有一点 M，点 M 到 x 轴的距离为 3，到 y 轴的距离为 4，则点 M的坐标是（ ） A （3，4） B （4，3） C （4，3） D （3，4） 4 （3 分）在
2、等腰三角形 ABC 中，A80则B 的度数不可能为（ ） A20 B40 C50 D80 5 （3 分）如图，已知ABCDCB，下列条件中不能使ABCDCB 的是（ ） AABDC BACDB C12 DAD 6 （3 分）已知一次函数 ykx+3 的图象经过点 A，且 y 随 x 的增大而减小，则点 A 的坐标可以是（ ） A （1，2） B （1，2） C （2，3） D （3，4） 7 （3 分）李强同学去登山，先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，又匀速下山，上山的速度小于下山的速度在登山过程中，他行走的路程 S 随时间 t 的变化规律的大致图象是（ ） A B C D 8 （3 分）如
3、图，ABC 中，ABAC，作BCE，点 A 在BCE 内，点 D 在 BE 上，AD 垂直平分 BE，且BACm，则BEC（ ） A90m B1802m C30+m Dm 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 9 （3 分）是 （填写“有理数”或“无理数” ） 10 （3 分）点 P（3，2）关于 x 轴对称的点的坐标为 11 （3 分）已知变量 y 与 x 满足一次函数关系，且 y 随 x 的变化而变化，若其图象经过第一、二、三象限，请写出一个满足上述要求的函数关系式 12 （3 分）直角三角形斜边上的高和斜边上的中线分别是
4、 6cm 和 8cm，则它的面积是 cm2 13 （3 分）如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“兵”位于点（1，0） ， “炮”位于点（1，1） ，则“马”位于点 14（3分） 如图， 已知函数yx+1和yax+3图象交于点P， 点P的横坐标为1， 则关于x， y的方程组的解是 15 （3 分）如图的三角形纸片中，AB7，AC5，BC6，沿过点 C 的直线折叠这个三角形，使点 A 落在BC 边上的点 E 处，折痕为 CD，则BED 的周长为 16 （3 分）根据教材第 65 页“思考”栏目可以得到这样一个结论：如图，在 RtABC 中，ACB90，A30，则 AB2BC请在这一结论的基
5、础上继续思考：若 AC2，点 D 是 AB 边上的动点，则 CD+AD 的最小值为 三、解答题三、解答题 17解答下列各题： （1）计算：； （2）求 x 的值：2（x1）2180 18已知 y3 与 2x 成正比例，且 x1 时 y6 （1）试求 y 与 x 之间的函数表达式； （2）当 y15 时，求 x 的值 19已知：如图，在 RtABC 中，C90 （1）做A 的平分线交 BC 于点 D（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ； （2）若再作B 的平分线交 AD 于点 P，则APB 的度数为 20 （10 分）在下面的方格纸中作图： （1）先画ABC 关于直线 l1的对称图形A1
6、B1C1，再画A1B1C1关于直线 l2的对称图形A2B2C2； （2）若ABC 向右平移 1 格，则A2B2C2向 平移 格 21 （12 分）已知一次函数 yx+3 （1）在如图所示的网格中画该函数的图象； （2）当 0 x6 时，y 的取值范围是 ； （3）当 y0 时，自变量 x 的取值范围是 22 （10 分）如图，直线 l 经过点 A（1，2）和 B（0，1） （1）求直线 l 的函数表达式； （2）线段 AB 的长为 ； （3）在 y 轴上存在点 C，使得以 A、B、C 为顶点的三角形是以 AB 为腰的等腰三角形，请直接写出点 C的坐标 23 （10 分）小明与爸爸妈妈在公园里荡
7、秋千，如图，小明坐在秋千的起始位置 A 处，OA 与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面 1.2m 高的 B 处接住他后用力一推，爸爸在 C 处接住他，若妈妈与爸爸到 OA 的水平距离 BD、CE 分别为 1.6m 和 2m，BOC90 （1）OBD 与COE 全等吗？请说明理由； （2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？ 24 （10 分）如图，公路上有 A、B、C 三个汽车站，一辆汽车 8：00 从离 C 站 340km 的 A 站出发，向 C 站匀速行驶，15min 后离 C 站 320km （1）设出发 xh 后，汽车离 C 站 ykm，则 y 与 x 之间的函数表达式为
8、； （2）当汽车行驶到离 C 站还有 100km 的 B 站时，司机接到通知要在 12：00 前赶到离 C 站 190km 的服务区 P（在 A、B 之间） 汽车按原速行驶，能否准时到达？说明理由 25 （12 分）问题情境 七下教材第 149 页提出这样一个问题：如图 1，AOB90，OC 平分AOB，把三角尺的直角顶点落在 OC 的任意一点 P 上，并使三角尺的两条直角边分别与 OA、OB 相交于点 E、F，PE 与 PF 相等吗？ （1）七年级学习这部分内容时，我们还无法对这个问题的结论加以证明，八下教材第 59 页第 11 题不仅对这一问题给出了答案： “通过实验可以得到 PEPF”
9、，还要求“现在请你证明这个结论” ，请你给出证明： 变式拓展： （2）如图 2，已知AOB120，OC 平分AOB，P 是 OC 上一点，EPF60，PE 边与 OA 边相交于点 E，PF 边与射线 OB 的反向延长线相交于点 F试解决下列问题： PE 与 PF 还相等吗？为什么？ 试判断 OE、OF、OP 三条线段之间的数量关系，并说明理由 26 （14 分）如图 1，一次函数 yx+4 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B （1）则点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ； （2）如图 2，点 P 为 y 轴上的动点，以点 P 为圆心，PB 长为半径画弧，与 BA 的延长线交于点 E，
10、连接PE，已知 PBPE，求证：BPE2OAB； （3）在（2）的条件下，如图 3，连接 PA，以 PA 为腰作等腰三角形 PAQ，其中 PAPQ，APQ2OAB连接 OQ 则图中（不添加其他辅助线）与EPA 相等的角有 ； （都写出来） 试求线段 OQ 长的最小值 答案与解析答案与解析 一、选择题一、选择题 1 （3 分） 在一些美术字中， 有的汉字是轴对称图形 下面 4 个汉字中， 可以看作是轴对称图形的是 （ ） A B C D 【分析】直接利用轴对称图形的性质分析得出答案 【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意； B、不是轴对称图形，不合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是
11、轴对称图形，不合题意； 故选：C 2 （3 分）下列说法正确的是（ ） A27 的立方根是 3 B4 C1 的平方根是 1 D4 的算术平方根是 2 【分析】根据立方根，算术平方根，平方根的定义对各选项分析判断后利用排除法求解 【解答】解：A、27 的立方根是3，故本选项错误； B、4，故本选项错误； C、1 的平方根是1，故本选项错误； D、4 的算术平方根是 2，故本选项正确 故选：D 3 （3 分）在平面直角坐标系的第二象限内有一点 M，点 M 到 x 轴的距离为 3，到 y 轴的距离为 4，则点 M的坐标是（ ） A （3，4） B （4，3） C （4，3） D （3，4） 【分析】
12、根据第二象限内点的坐标特征，可得答案 【解答】解：由题意，得 x4，y3， 即 M 点的坐标是（4，3） ， 故选：C 4 （3 分）在等腰三角形 ABC 中，A80则B 的度数不可能为（ ） A20 B40 C50 D80 【分析】分A 是顶角和底角两种情况分类讨论求得B 的度数即可确定正确的选项 【解答】解：当A 为顶角， B50； 当B 是顶角，则A 是底角，则B180808020； 当C 是顶角，则B 与A 都是底角，则BA80， 综上所述，B 的度数为 50或 20或 80， 故选：B 5 （3 分）如图，已知ABCDCB，下列条件中不能使ABCDCB 的是（ ） AABDC BAC
13、DB C12 DAD 【分析】由两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，可判定 A 正确；由两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等，可判定 C 正确；由两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，即可判定 D 正确 【解答】解：A、在ABC 和DCB 中， ， ABCDCB（SAS） ；故本选项能使ABCDCB； B、本选项不能使ABCDCB； C、在 ABC 和DCB 中， ， ABCDCB（ASA） ；故本选项能使ABCDCB； D、在ABC 和DCB 中， ， ABCDCB（AAS） ；故本选项能使ABCDCB 故选：B 6 （3 分）已知一次函数 ykx+3 的图象经过点 A，
14、且 y 随 x 的增大而减小，则点 A 的坐标可以是（ ） A （1，2） B （1，2） C （2，3） D （3，4） 【分析】由点 A 的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出 k 值，结合 y 随 x 的增大而减小即可确定结论 【解答】解：A、当点 A 的坐标为（1，2）时，k+32， 解得：k10， y 随 x 的增大而增大，选项 A 不符合题意； B、当点 A 的坐标为（1，2）时，k+32， 解得：k50， y 随 x 的增大而减小，选项 B 符合题意； C、当点 A 的坐标为（2，3）时，2k+33， 解得：k0，选项 C 不符合题意； D、当点 A 的坐标为（3，4）时，3
15、k+34， 解得：k0， y 随 x 的增大而增大，选项 D 不符合题意 故选：B 7 （3 分）李强同学去登山，先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，又匀速下山，上山的速度小于下山的速度在登山过程中，他行走的路程 S 随时间 t 的变化规律的大致图象是（ ） A B C D 【分析】根据题意进行判断，先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，可以排除 A 和 C，又匀速下山，上山的速度小于下山的速度，排除 D，进而可以判断 【解答】解：由登山过程可知： 先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，又匀速下山，上山的速度小于下山的速度 所以在登山过程中，他行走的路程 S 随时间 t 的变化规律的大致图象是 B
16、 故选：B 8 （3 分）如图，ABC 中，ABAC，作BCE，点 A 在BCE 内，点 D 在 BE 上，AD 垂直平分 BE，且BACm，则BEC（ ） A90m B1802m C30+m Dm 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 ABAE，求得ABEAEB，根据等腰三角形的性质得到AECACE，求得BECBEA+ACE，根据三角形的内角和定理即可得到结论 【解答】解：AD 垂直平分 BE， ABAE， ABEAEB， ABAC， AEAC， AECACE， BECBEA+ACE， BACm， ABC+ACB180m， BEC（180ABCACB）180（ABC+ACB）180（180m
17、）m， 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 9 （3 分）是 有理数 （填写“有理数”或“无理数” ） 【分析】根据有理数与无理数的定义求解即可 【解答】解：，是整数，属于有理数 故答案为：有理数 10 （3 分）点 P（3，2）关于 x 轴对称的点的坐标为 （3，2） 【分析】坐标平面内两个点关于 x 轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数 【解答】解：根据轴对称的性质，得点 P（3，2）关于 y 轴对称的点的坐标为（3，2） 故答案为： （3，2） 11 （3 分）已知变量 y 与 x 满足一次函数关系，且 y
18、 随 x 的变化而变化，若其图象经过第一、二、三象限，请写出一个满足上述要求的函数关系式 yx+2（答案不唯一） 【分析】直接利用一次函数的性质结合其增减性进而得出答案 【解答】解：由 y 与 x 满足一次函数关系，且且 y 随 x 的变化而变化，若其图象经过第一、二、三象限， 满足上述要求的函数关系式可以为：yx+2（答案不唯一） 故答案为：yx+2（答案不唯一） 12 （3 分）直角三角形斜边上的高和斜边上的中线分别是 6cm 和 8cm，则它的面积是 48 cm2 【分析】根据直角三角形的斜边上中线性质求出斜边的长，再根据三角形的面积公式求出即可 【解答】解：CD 是 RtACB 斜边
19、AB 上的中线， AB2CD28cm16cm， RtACB 的面积 SABCE61648（cm2） 故答案为：48 13 （3 分）如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“兵”位于点（1，0） ， “炮”位于点（1，1） ，则“马”位于点 （4，2） 【分析】根据炮的坐标建立平面直角坐标系，然后写出马的坐标即可 【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示， “马”位于点（4，2） 故答案为： （4，2） 14（3分） 如图， 已知函数yx+1和yax+3图象交于点P， 点P的横坐标为1， 则关于x， y的方程组的解是 【分析】先把 x1 代入 yx+1，得出 y2，则两个一次函数的交点 P 的
20、坐标为（1，2） ；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解 【解答】解：把 x1 代入 yx+1，得出 y2， 函数 yx+1 和 yax+3 的图象交于点 P（1，2） ， 即 x1，y2 同时满足两个一次函数的解析式 所以关于 x，y 的方程组的解是 故答案为 15 （3 分）如图的三角形纸片中，AB7，AC5，BC6，沿过点 C 的直线折叠这个三角形，使点 A 落在BC 边上的点 E 处，折痕为 CD，则BED 的周长为 8 【分析】 由ACD沿着CD翻折得CDE， 得ADDE， ACCE， 则BED的周长为
21、BD+DE+BEBA+BE，代入即可 【解答】解：ACD 沿着 CD 翻折得CDE， ADDE，ACCE， AC5，BC6， BEBCAC651， BED 的周长为 BD+DE+BEBA+BE8， 故答案为：8 16 （3 分）根据教材第 65 页“思考”栏目可以得到这样一个结论：如图，在 RtABC 中，ACB90，A30，则 AB2BC请在这一结论的基础上继续思考：若 AC2，点 D 是 AB 边上的动点，则 CD+AD 的最小值为 【分析】作射线 AG，使得BAG30，过 D 作 DEAG 于 E，过 C 作 CFAG 于 F，故 DEAD，故 CD+ADCD+DECF，求出 CF 即可
22、 【解答】解：作射线 AG，使得BAG30， 过 D 作 DEAG 于 E，过 C 作 CFAG 于 F， DEAD， CD+ADCD+DECF， CAGCAB+BAG60，AC2， CFACsin60， CD+AD 的最小值为 故答案为： 三、解答题三、解答题 17解答下列各题： （1）计算：； （2）求 x 的值：2（x1）2180 【分析】 （1）根据立方根和平方根的概念，进行化简求值即可； （2）通过对式子的变形，结合平方根的性质，可求解 【解答】解： （1）原式2 （2）2（x1）2180， （x1）29， x13 或 x13， x4 或 x2 18已知 y3 与 2x 成正比例，且
23、 x1 时 y6 （1）试求 y 与 x 之间的函数表达式； （2）当 y15 时，求 x 的值 【分析】 （1）由题意可设 y3k（2x） ，把条件代入可求得 y 与 x 的函数关系式； （2）把 y15 代入函数解析式可求得答案 【解答】解： （1）y3 与 2x 成正比例， 可设 y3k（2x） ， 当 x1 时，y6， 63k（21） ，解得 k3， y33x+6， y 与 x 的函数关系式为 y3x+9； （2）当 y15 时，代入函数解析式可得 153x+9， 解得 x2 19已知：如图，在 RtABC 中，C90 （1）做A 的平分线交 BC 于点 D（要求：尺规作图，保留作图痕
24、迹，不写作法） ； （2）若再作B 的平分线交 AD 于点 P，则APB 的度数为 135 【分析】 （1）根据角平分线的作法即可作A 的平分线交 BC 于点 D； （2）结合（1）根据三角形内角和定理即可求出APB 的度数 【解答】解： （1）如图 AD 即为所求； （2）C90 ABC+BAC90， AD 平分BAC，BP 平分ABC， BAP+ABPBACABC（BAC+ABC）45， APB18045135 故答案为：135 20 （10 分）在下面的方格纸中作图： （1）先画ABC 关于直线 l1的对称图形A1B1C1，再画A1B1C1关于直线 l2的对称图形A2B2C2； （2）若
25、ABC 向右平移 1 格，则A2B2C2向 右 平移 12 格 【分析】 （1）根据题意作出图形即可 （2）利用平移的性质解决问题即可 【解答】解： （1）如图，A1B1C1，A2B2C2即为所求作 （2）若ABC 向右平移 1 格，则A2B2C2向右平移 12 格 故答案为：右，12 21 （12 分）已知一次函数 yx+3 （1）在如图所示的网格中画该函数的图象； （2）当 0 x6 时，y 的取值范围是 3y9 ； （3）当 y0 时，自变量 x 的取值范围是 x3 【分析】 （1）利用两点法就可以画出函数图象； （2）观察函数图象与 y 轴的交点，计算当 x6 时 y9，即可求解； （
26、3）观察函数图象与 x 轴的交点就可以得出结论 【解答】解： （1）一次函数 yx+3当 x0 时，y3，当 y0 时，x3，则图象如图所示： （2）当 x6 时，y9， 由图象得，当 0 x6 时，y 的取值范围是：3y9， 故答案为：3y9； （3）x3 时 y0， 由图象得，当 y0 时，自变量 x 的取值范围是 x3， 故答案为：x3 22 （10 分）如图，直线 l 经过点 A（1，2）和 B（0，1） （1）求直线 l 的函数表达式； （2）线段 AB 的长为 ； （3）在 y 轴上存在点 C，使得以 A、B、C 为顶点的三角形是以 AB 为腰的等腰三角形，请直接写出点 C的坐标
27、【分析】 （1）设直线 l 的函数表达式为 ykx+b，将 A（1，2）和 B（0，1）代入即可得直线 l 的函数表达式为 y3x+1； （2）由 A（1，2） ，B（0，1） ，可得 AB； （3）设 C（0，m） ，则 AC，BC|m1|，若 ABAC，即，可解得 C（0，5） ；若 ABBC，得|m1|，解得 C（0，+1）或（0，+1） 【解答】解： （1）设直线 l 的函数表达式为 ykx+b， 将 A（1，2）和 B（0，1）代入得：， 解得， 直线 l 的函数表达式为 y3x+1； （2）A（1，2） ，B（0，1） ， AB； 故答案为： （3）设 C（0，m） ，则 AC，B
28、C|m1|， 若 ABAC，如图： ， 解得 m1（与 B 重合，舍去）或 m5， C（0，5） ； 若 ABBC，如图： |m1|， 解得 m+1 或 m+1， C（0，+1）或（0，+1） ， 综上所述，以 A、B、C 为顶点的三角形是以 AB 为腰的等腰三角形，则 C 的坐标为（0，5）或（0，+1）或（0，+1） 23 （10 分）小明与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小明坐在秋千的起始位置 A 处，OA 与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面 1.2m 高的 B 处接住他后用力一推，爸爸在 C 处接住他，若妈妈与爸爸到 OA 的水平距离 BD、CE 分别为 1.6m 和 2m，
29、BOC90 （1）OBD 与COE 全等吗？请说明理由； （2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？ 【分析】 （1）由直角三角形的性质得出COEOBD，根据 AAS 可证明COEOBD； （2）由全等三角形的性质得出 CEOD，OEBD，求出 DE 的长则可得出答案 【解答】解： （1）OBD 与COE 全等 理由如下： 由题意可知CEOBDO90，OBOC， BOC90， COE+BODBOD+OBD90 COEOBD， 在COE 和OBD 中， ， COEOBD（AAS） ； （2）COEOBD， CEOD，OEBD， BD、CE 分别为 1.6m 和 2m， DEODOECEBD21
30、.60.4（m） ， AD1.2m， AEAD+DE1.6（m） ， 答：爸爸是在距离地面 1.6m 的地方接住小明的 24 （10 分）如图，公路上有 A、B、C 三个汽车站，一辆汽车 8：00 从离 C 站 340km 的 A 站出发，向 C 站匀速行驶，15min 后离 C 站 320km （1）设出发 xh 后，汽车离 C 站 ykm，则 y 与 x 之间的函数表达式为 y34080 x ； （2）当汽车行驶到离 C 站还有 100km 的 B 站时，司机接到通知要在 12：00 前赶到离 C 站 190km 的服务区 P（在 A、B 之间） 汽车按原速行驶，能否准时到达？说明理由 【
31、分析】 （1）由 y原来的路程速度时间就可以得出结论； （2）先求出汽车到达 B 地所需的时间，再根据 12 点之前到达 P 地进行判断即可 【解答】解： （1）由题意得， 汽车速度为： （340320）80km/h， y 与 x 之间函数表达式为：y34080 x 答：y 与 x 之间的函数表达式为 y34080 x； 故答案为：y34080 x （2）由题意得， 34080 x100，解得 x3， 所以汽车到达 B 地是 11：00， 因为 B、P 两地距离是 19010090km， 而汽车的速度是 80km/h， 汽车按原速行驶，不能准时到达 25 （12 分）问题情境 七下教材第 14
32、9 页提出这样一个问题：如图 1，AOB90，OC 平分AOB，把三角尺的直角顶点落在 OC 的任意一点 P 上，并使三角尺的两条直角边分别与 OA、OB 相交于点 E、F，PE 与 PF 相等吗？ （1）七年级学习这部分内容时，我们还无法对这个问题的结论加以证明，八下教材第 59 页第 11 题不仅对这一问题给出了答案： “通过实验可以得到 PEPF” ，还要求“现在请你证明这个结论” ，请你给出证明： 变式拓展： （2）如图 2，已知AOB120，OC 平分AOB，P 是 OC 上一点，EPF60，PE 边与 OA 边相交于点 E，PF 边与射线 OB 的反向延长线相交于点 F试解决下列问
33、题： PE 与 PF 还相等吗？为什么？ 试判断 OE、OF、OP 三条线段之间的数量关系，并说明理由 【分析】 （1）过点 P 作 PMOB 于 M，PNOA 于 N证明PMFPNE（ASA） ，可得结论 （2）过点 P 作 PMOB 于 M，PNOA 于 N证明PMFPNE（ASA） ，可得结论 结论：OEOFOP证明POMPON（AAS） ，推出 OMON，再由PMFPNE（ASA） ，推出 FMEN，可得结论 【解答】 （1）证明：过点 P 作 PMOB 于 M，PNOA 于 N OC 平分AOB，PMOB，PNOA， PMPN， PMOPNOMON90， MPN36039090， M
34、PNEPF90， MPFNPE， 在PMF 和PNE 中， ， PMFPNE（ASA） ， PFPE （2）解：结论：PEPF 理由：过点 P 作 PMOB 于 M，PNOA 于 N OC 平分AOB，PMOB，PNOA， PMPN， PMOPNO90，MON120， MPN36029012060， MPNEPF60， MPFNPE， 在PMF 和PNE 中， ， PMFPNE（ASA） ， PFPE 解：结论：OEOFOP 理由：在OPM 和OPN 中， ， POMPON（AAS） ， OMON， PMFPNE（ASA） ， FMEN， OEOFEN+ON+（FMOM）2OM， 在 RtOP
35、M 中，PMO90，POMAOB60， OPM30， OP2OM， OEOFOP 26 （14 分）如图 1，一次函数 yx+4 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B （1）则点 A 的坐标为 （3，0） ，点 B 的坐标为 （0，4） ； （2）如图 2，点 P 为 y 轴上的动点，以点 P 为圆心，PB 长为半径画弧，与 BA 的延长线交于点 E，连接PE，已知 PBPE，求证：BPE2OAB； （3）在（2）的条件下，如图 3，连接 PA，以 PA 为腰作等腰三角形 PAQ，其中 PAPQ，APQ2OAB连接 OQ 则图中（不添加其他辅助线）与EPA 相等的角有 QPO，BAQ ；
36、 （都写出来） 试求线段 OQ 长的最小值 【分析】 （1）令 x0，y0 求一次函数与坐标轴的交点； （2）与EPA 相等的角有QPO，BAQ利用三角形内角和定理解决问题； （3）如图 3 中，连接 BQ 交 x 轴于 T证明APEQPB（SAS） ，推出AEPQBP，再证明 OAOT， 推出直线 BT 的解析式为为：， 推出点 Q 在直线 yx+4 上运动， 再根据垂线段最短，即可解决问题 【解答】 （1）解：在 yx+4 中，令 y0，得 0 x+4， 解得 x3， A（3，0） ， 在 yx+4 中，令 x0，得 y4， B（0，4） ； 故答案为： （3，0） ， （0，4） （2）
37、证明：如图 2 中，设ABO，则OAB90， PBPE， PBEPEB， BPE180PBEPEB18022（90） ， BPE2OAB （3）解：结论：QPO，BAQ 理由：如图 3 中，APQBPE2OAB， BPE2OAB， APQBPE APQAPBBPEAPB QPOEPA 又PEPB，APPQ PEBPBEPAQAQP BAQ180EAQ180APQEPA 与EPA 相等的角有QPO，BAQ 故答案为：QPO，BAQ 如图 3 中，连接 BQ 交 x 轴于 T APPQ，PEPB，APQBPE， APEQPB， 在APE 和QPB 中， ， APEQPB（SAS） ， AEPQBP， AEPEBP， ABOQBP， ABO+BAO90，OBT+OTB90， BAOBTO， BABT， BOAT， OAOT， 直线 BT 的解析式为为：， 点 Q 在直线 yx+4 上运动， B（0，4） ，T（3，0） BT5 当 OQBT 时，OQ 最小 SBOT345OQ OQ 线段 OQ 长的最小值为
