1、2022届高三数学（新课标卷）黄金试卷（1）理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知复数满足，则( )。A、 B、C、D、2已知集合，则集合的真子集的个数为( )。A、B、C、D、3王老师是高三的班主任，为了在新型冠状病毒疫情期间更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成。已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数。则该钉钉群人数的最小值为( )。A、
2、B、C、D、4已知，则( )。A、 B、C、D、5设曲线()上任意一点处切线斜率为，则函数的部分图像可以为( )。A、 B、 C、 D、6某公司为了调查产品在、三个城市的营销情况，派甲、乙、丙、丁四人去调研，每人只去一个城市每个城市必须有人去，且甲乙不能去同一个城市，则不同的派遣方法有( )。A、种B、种C、种D、种7在中，点满足，若，则的值为( )。A、B、C、D、8已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )。A、B、C、D、9已知函数为定义在上的奇函数，当时，则关于的函数()的所有零点之和为( )。A、B、C、D、10已知双曲线：(，)的左焦点为，过原点的直线与双曲线左、右两支
3、分别交于点、，且满足，虚轴的上端点在圆内，则该双曲线离心率的取值范围为( )。A、B、C、D、11设，若，恒成立，则实数的取值范围为( )。A、B、C、D、12设棱锥的底面是正方形，且，如果的面积为，则能够放入这个棱锥的最大球的半径为( )。A、B、C、D、二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知向量、为单位向量，若，则与所成角的余弦值为 。14已知实数、满足约束条件，且目标函数的最大值为，则的取值范围是 。15抛物线()的焦点为，准线为，、是抛物线上两个动点，且满足，设线段的中点在上的投影为，则的最大值是 。16在中，角、的对边分别为、，若，则 ， 。(本题第一空2分，第二空
4、3分)三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（12分）已知数列的前项和为，且(，)。(1)设，求证：数列为等比数列；(2)求数列的前项和。18（12分）如左图，在边长为的菱形中，且。将梯形沿直线折起，使平面，如右图，是上的点，。(1)求证：直线平面；(2)求平面与平面所成角的余弦值。19（12分）某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出着十根对其直径(单位：)进行测量，得出这批钢管的直径服从正态分布。(1)当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；(2)
5、如果钢管的直径满足为合格品(合格品的概率精确到)，现要从根该种钢管中任意挑选根，求次品数的分布列和数学期望。(参考数据：若，则，)。20（12分）已知抛物线：，过点的动直线与抛物线交于不同的两点、，分别以、为切点作抛物线的切线、，直线、交于点。(1)求动点的轨迹方程；(2)求面积的最小值，并求出此时直线的方程。21（12分）已知函数，其中，。(1)当时，证明不等式恒成立；(2)若()，证明有且仅有两个零点。请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)。以
6、坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为。(1)写出直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；(2)已知点、，直线过点且与曲线相交于、两点，设线段的中点为，求的值。23选修4-5：不等式选讲（10分）已知函数。(1)当时，解不等式；(2)若存在，使得不等式的解集非空，求的取值范围。2022届高三数学（新课标卷）黄金试卷（1）理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知复数满足，则( )。A、B、C、D、【答案】C【解析】，故选C。2已知集合，则集合的真子集的个数为
7、( )。A、B、C、D、【答案】C【解析】联立解得或或，故，有个元素，则真子集的个数为，故选C。3王老师是高三的班主任，为了在新型冠状病毒疫情期间更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成。已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数。则该钉钉群人数的最小值为( )。A、B、C、D、【答案】C【解析】设教师人数为，家长人数为，女学生人数为，男学生人数为，、，则，则，又“教师人数的两倍多于男学生人数，当时，此时总人数最少为，故选C。4已知，则( )。A、 B、C、D、
8、【答案】D【解析】由可得，故选D。5设曲线()上任意一点处切线斜率为，则函数的部分图像可以为( )。A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】()上任一点处切线率为，该函数为奇函数，且当时，故选D。6某公司为了调查产品在、三个城市的营销情况，派甲、乙、丙、丁四人去调研，每人只去一个城市每个城市必须有人去，且甲乙不能去同一个城市，则不同的派遣方法有( )。A、种B、种C、种D、种【答案】D【解析】人不同组合方案有：若甲、乙各自单独为一组，有种，若甲与丙、丁之一为一组，有种，若乙与丙、丁之一为一组，有种，故不同的派遣方法有种，故选D。7在中，点满足，若，则的值为( )。A、B、C、D、【答案】C【解
9、析】取的中点为，连接，则，设，则，解得，是等边三角形，故选C。8已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )。A、B、C、D、【答案】C【解析】还原空间几何体如图，可知该几何体为底面是正三角形的直三棱柱中的一个五面体，其中为的中点，直三棱柱的高为，底面正三角形的边长为，高为，故该几何体的体积为，故选C。9已知函数为定义在上的奇函数，当时，则关于的函数()的所有零点之和为( )。A、B、C、D、【答案】D【解析】为定义在上的奇函数，先画当时的图像如图，再围绕原点将的图像旋转得到时的图像，的零点可以看做与()的图像的交点，由图像可知交点一共有个，设交点的横坐标从左到右依次为、，则，且满足
10、，解得，故选D。10已知双曲线：(，)的左焦点为，过原点的直线与双曲线左、右两支分别交于点、，且满足，虚轴的上端点在圆内，则该双曲线离心率的取值范围为( )。A、B、C、D、【答案】A【解析】设双曲线的右焦点为连接、，如图所示，由对称性可知，、关于原点对称，则，又，四边形为平行四边形，则，虚轴的上端点在圆内，解得，则，即，得，故选A。11设，若，恒成立，则实数的取值范围为( )。A、B、C、D、【答案】A【解析】将不等式变形为，当时，不等式恒成立；当时，不等式变形为，记，则，而，因此在上单调递增，故，故，的取值范围是，故选A。12设棱锥的底面是正方形，且，如果的面积为，则能够放入这个棱锥的最大
11、球的半径为( )。A、B、C、D、【答案】A【解析】，平面，面面，记是的中点，从而，平面，设球是与平面、平面、平面都相切的球，由图得截面图及内切圆，不妨设平面，于是是的内心，设球的半径为，则，设，当且仅当，即时等号成立，当时，满足条件的球最大半径为，故选A。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知向量、为单位向量，若，则与所成角的余弦值为 。【答案】【解析】由数量积公式得，。14已知实数、满足约束条件，且目标函数的最大值为，则的取值范围是 。【答案】【解析】作图，目标函数改写为，作直线，目标直线斜率为负，且截距最大时也最大，则时目标函数过点，目标直线为，与交于点，则，、，设，表
12、示点到点的斜率，其在为正数时范围为，在负值时范围为，又，则的取值范围为。15抛物线()的焦点为，准线为，、是抛物线上两个动点，且满足，设线段的中点在上的投影为，则的最大值是 。【答案】【解析】设、，如图所示，根据抛物线的定义，可知、，在梯形中，有，在中，又，故的最大值是。16在中，角、的对边分别为、，若，则 ， 。(本题第一空2分，第二空3分)【答案】 【解析】由正弦定理得，又由题意可知得，即，则，即，解得，又，由余弦定理得，；由得，。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（12分）已知数列的前项和为，且(，)。(1)设，求证：数列为等比数列；(2)
13、求数列的前项和。【解析】(1)由已知得，即()， 2分()， 3分又，且，故数列是首项为、公比为的等比数列； 4分(2)由(1)知，则， 5分设， 6分， 7分两式相减得：， 9分解得， 10分数列的前项和。 12分18（12分）如左图，在边长为的菱形中，且。将梯形沿直线折起，使平面，如右图，是上的点，。(1)求证：直线平面；(2)求平面与平面所成角的余弦值。【解析】(1)证明：如图，连接，交于点，连接， 1分、， 2分， 3分平面，平面，平面； 4分(2)解：以点为原点，以、所在直线为、轴建立空回直角坐标系，如图所示，且，则， 5分又、，则、， 6分设平面的法向量为，则， 8分令，则，则，
14、9分又平面的法向量为， 10分设平面与平面所成角的平面角为， 11分则。 12分19（12分）某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出着十根对其直径(单位：)进行测量，得出这批钢管的直径服从正态分布。(1)当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；(2)如果钢管的直径满足为合格品(合格品的概率精确到)，现要从根该种钢管中任意挑选根，求次品数的分布列和数学期望。(参考数据：若，则，)。【解析】(1)、，且， 1分， 3分此事件为小概率事件，该质检员的决定有道理； 4分(2)、，由题意可知钢管直径满足
15、：为合格品， 5分故试钢管为合格品的概率的为，根管中，合格品根，次品根， 6分任意挑选根，则次品数的可能取值为：、， 10分则次品数的分布列为：则次品数的数学期望。 12分20（12分）已知抛物线：，过点的动直线与抛物线交于不同的两点、，分别以、为切点作抛物线的切线、，直线、交于点。(1)求动点的轨迹方程；(2)求面积的最小值，并求出此时直线的方程。【解析】(1)设，以为切点的切线为，整理得：， 1分同理：以为切点的切线为：， 2分联立方程组：，解得， 3分设直线的方程为：，联立方程组得：， 5分，点的轨迹方程为； 6分(2)由(1)知：， 8分又到直线的距离为：， 9分， 11分时，取得最小
16、值，此时直线的方程为。 12分21（12分）已知函数，其中，。(1)当时，证明不等式恒成立；(2)若()，证明有且仅有两个零点。【解析】(1)令，则， 1分当时，在上单调递减， 3分，即不等式恒成立； 4分(2)的定义城为，且，令，则在上单调递增，当时， 6分， 7分故在上有唯一解，从而在上有唯一解，不妨设为，则，当时，在上单调递减，当时， ，在上单调递增，因此是唯一极值点， 8分，即在上有唯一零点， 9分，由(1)可知，即在上有唯一零点， 11分综上，在上有且仅有两个零点。 12分请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。22选修4
17、-4：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)。以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为。(1)写出直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；(2)已知点、，直线过点且与曲线相交于、两点，设线段的中点为，求的值。【解析】(1)由直线的参数方程消去，得到直线的普通方程为：， 2分由得，曲线的直角坐标方程为， 4分(2)由题意可知直线必过点， 5分直线的参数方程为(为参数)， 6分代入中得：，设、点所对应的参数分别为、， 8分，。 10分23选修4-5：不等式选讲（10分）已知函数。(1)当时，解不等式； (2)若存在，使得不等式的解集非空，求的取值范围。【解析】(1)当时，函数，解不等式转化为：，即， 2分，解得，不等式的解为； 4分(2)由得，设，则不等式的解集非空，等价于， 6分由得，由题意知存在，使得上式成立， 8分而函数在上的最大值为，即的取值范围是。 10分
