1、考点 17 函数与方程 【命题解读】【命题解读】 函数零点以及求参数范围等问题时高考重点考查的内容，不仅在大题中体现，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上。 【基础知识回顾基础知识回顾】 1 1、函数的零点 (1)函数零点的定义：对于函数 yf(x)，把使方程 f(x)0 的实数 x 称为函数 yf(x)的零点 (2)方程的根与函数零点的关系：函数 yf(x)的零点就是方程 f(x)0 的实数根，也就是函数 yf(x)的图像与 x 轴交点的横坐标所以函数 yf(x)有零点等价于函数 yf(x)的图像与 x 轴有交点，也等价于方程f(x)0 有实根 (3)零点存在性定理： 如果函数 yf(
2、x)在区间(a，b)上的图像是一条连续的曲线，且有 f(a)f(b)0，那么函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c(a，b)，使得 f(c)0，此时 c 就是方程 f(x)0 的根但反之，不成立 2 2、 二分法 对于在区间上连续不断且 f(a)f(b)0)的图像与零点的关系 0 0 0)的图像 交点 (x1，0),_(x2，0) (x1，0) 无交点 零点个数 2 1 0 4、有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多有一个零点 (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数
3、值可能变号，也可能不变号 1、若函数 f(x)axb 有一个零点是 2，那么函数 g(x)bx2ax 的零点为（ ） A. 0 或12 B. 0 C. 12 D. 0 或12 2、函数 f(x)2xx32 在区间(0，2)内的零点个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D.4 3、若函数 f(x)3ax12a 在区间(1，1)内存在一个零点，则 a 的取值范围是（ ） A. 15， B. 1，15 C. (，1) D. (，1)15， 4、函数 f(x)ln xx22x，x0，4x1，x0的零点个数是_ 5、 已知f(x)是定义在R上的奇函数， 当x0时， f(x)x23x 则函数g(x)
4、f(x)x3的零点的集合为_ 7、(一题两空)已知函数 f(x)1x，x1，x3，x1，若 f(x0)1，则 x0_；若关于 x 的方程 f(x)k 有两个不同零点，则实数 k 的取值范围是_ 考向一 判断零点所在的区间 例 1、 （2019 山东师范大学附中高三月考）函数 312xfxx的零点所在区间为（ ） A1,0 B10,2 C1,12 D1,2 变式1、（1） 若abc， 则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间( ) A(a，b)和(b，c)内 B(，a)和(a，b)内 C(b，c)和(c，)内 D(，a)和(c，) （2）已知函数 f(
5、x)lnx212x的零点为 x0，则 x0所在的区间是( ) A. (0，1) B. (1，2) C. (2，3) D. (3，4) （3）若 x0是方程12xx13的解，则 x0属于区间( ) A.23，1 B.12，23 C.13，12 D.0，13 方法总结：确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法： (1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)1，2x11，x1，则 f(x)的零点个数为( ) A0 B1 C2 D3 （2）(2020 惠州质检)函数 f(x)|x2|ln x 在定义域内的零点的个数为( ) A.0 B.1
6、 C.2 D.3 方法总结：函数零点个数的判断方法： (1)直接求零点，令f(x)0，有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理，要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)1，若函数 f(x)的图象与 x 轴有且只有两个不同的交点，则实数 m 的取值范围是_ （2） （2014 江苏卷）已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x0，3)时，f(x)x22x12若函数 yf(x)a 在区间3，4上有 10 个零点(互不相同)，则实数 a 的取值范围是_ 变式 1、(2018 南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）设函数 f(x)ex12，x0，x33mx2
7、，x0(其中 e 为自然对数的底数)有 3 个不同的零点，则实数 m 的取值范围是_ 变式 2、若函数 f(x)(m2)x2mx(2m1)的两个零点分别在区间(1，0)和区间(1，2)内，则 m 的取值范围是_ 方法总结：函数零点求参数范围，其思路是把一个函数拆分为两个基本初等函数，将函数的零点问题转化为两函数图象问题，体现转化与化归思想及数形结合思想，从而体现核心素养中的直观想象 考向四 零点的综合运用 例 4、已知函数 f(x) x1，x0，x22x1，x0，若关于 x 的方程 f2(x)af(x)0 恰有 5 个不同的实数解， 则 a 的取值范围是（ ） A. (0,+ ) B. (0,
8、1) C. (,0) D. (0,2) 变式 1、设函数 f(x)| |xx2ax2(aR) (1)当 a2 时，求函数 yf(x)的零点； (2)当 a0 时，求证：函数 yf(x)在区间(0，)内有且只有一个零点； (3)若函数 yf(x)有 4 个不同的零点，求实数 a 的取值范围 变式 2：(2018 镇江期末）已知 k 为常数，函数 f(x)x2x1，x0，|lnx|，x0，若关于 x 的方程 f(x)kx2 有且只有四个不同解，则实数 k 的取值构成的集合为_ 方法总结：函数零点与二次函数的综合问题，主要考查函数零点、方程的根以及不等式的解法等基础知识和基本方法，考查推理论证和运算
9、求解的能力解决这类问题，一是用零点的定义转化为方程问题，二是利用零点存在定理转化为函数问题，三是利用数形结合的思想转化为图形问题 1、(2018 全国卷)已知函数0( )ln0， ，xexf xxx( )( )g xf xxa若( )g x存在 2 个零点，则a的取值范围是 A 1,0) B0,) C 1,) D1,) 2、 （2020 山东省淄博实验中学高三上期末） 已知函数.若函数在上无零点，则的最小值为_. 3、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟） 已知函数 2,()f xxaxb a bR在区间2,3上有零点，则2aab的取值范围是（ ） A,4 B81,8 C814,8 D81,8 4、 （2020 届浙江省嘉兴市 3 月模拟）已知函数 2ln1f xx， g xa xm，若存在实数0a使 yf xg x在1ee,上有 2 个零点，则m的取值范围为_ 212lnf xaxx f x10,2a
