1、第第 6 章章 一元二次函数一元二次函数 【知识衔接】 初中知识回顾 1、形如)0(2acbxaxy的函数叫做二次函数，其图象是一条抛物线。 2、二次函数的解析式的三种形式： 10 一般式 )0(2acbxaxy 20 顶点式 )0()(2anmxay，其中顶点为(m，n) 30 零点式 )0)()(21axxxxay，其中1x，2x是02cbxax的两根。 高中知识链接 二次函数的性质 khxay2 2yaxbxc 21xxxxay 开口方向 0a 开口向上函数有最小值顶点为最低点 0a 开口向下函数有最大值顶点为最高点 对称轴 直线x h 直线2bxa 直线122xxx 顶点坐标 ()hk
2、， 24()24bac baa， (2- ()121224xxa xx，) 增减性 当0a时，在对称轴左侧，y 随着 x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随着 x 的增大而增大；当0a时，在对称轴左侧，y 随着 x 的增大而增大；在对称轴右侧，y随着 x 的增大而减少； 最值 当x h时， yk最值 当2bxa时， 244ac bya最值 当122xxx时， y最值=2- ()124a xx(或用代入法):Zxxk.Com (1)a决定抛物线的开口方向 0a开口向上； 0a开口向下 (2)c决定抛物线与 y 轴交点的位置 0c 图象与 y 轴交点在 x 轴上方； 0c 图象过原点； 0c 图象
3、与 y 轴交点在 x 轴下方 (3)ab、决定抛物线对称轴的位置(对称轴：2bxa ) ab、同号对称轴在 y 轴左侧； 0b对称轴是 y 轴； ab、异号对称轴在 y 轴右侧，简记为：左同右异中为 0 (4)顶点坐标24()24bac baa， (5)24bac 决定抛物线与 x 轴的交点情况 0抛物线与 x 轴有两个不同交点； =0抛物线与 x 轴有唯一的公共点(相切)； 2. 4如图，一段抛物线：y=x(x2)(0 x2)记为 C1，它与 x 轴交于两点 O，A1；将 C1绕 A1旋转 180 得到C2，交 x 轴于 A2；将 C2绕 A2旋转 180 得到 C3，交 x 轴于 A3；如
4、此进行下去，直至得到 C6，若点 P(11，m)在第 6 段抛物线 C6上，则 m= 【答案】1 【分析】将这段抛物线 C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与 x 轴的交点，由旋转的性质可以知道 C1与C2的顶点到 x 轴的距离相等，且 OA1=A1A2，照此类推可以推导知道点 P(11，m)为抛物线 C6的顶点，从而得到结果学=科网 故答案为：1 【实战演练】 先作初中题 夯实基础 A 组组 1一个二次函数的图象的顶点坐标为(3，-1)与 y 轴的交点(0，-4)这个二次函数的解析式是( ) A42312xxy B42312xxy C1)3(312xy D1262xxy 【答案】B 【解析】
5、试题分析：二次函数的图象的顶点坐标是(3，1)，设这个二次函数的解析式为2(3)1ya x， 把(0，4)代入得13a ，这个二次函数的解析式为2211(3)12433yxxx 故选 B 2如图是二次函数 y=x2+2x+4 的图象，使 y1 成立的 x 的取值范围是( ) A1x3 Bx1 Cx1 Dx1 或 x3 【答案】D 3已知二次函数2yaxbxc的图象如图所示，记2mabcabc ， 2nabcabc 则下列选项正确的是( ) Amn Bmn Cmn Dm、n 的大小关系不能确定 【答案】A 【解析】 试题分析：抛物线开口向下，a0，对称轴在 y 轴右边，b0，抛物线经过原点，c=
6、0，ab+c0；x=1 时，y0，a+b+c0，c=0，a+b0； (1)当对称轴12bxa 时，20ab ， 2mabcabc =()(2)abab=2abab =2ba， 2nabcabc =(2)abab=2a ba b =2ba， a0，22baba，mn 4已知一次函数1ykxm(k0)和二次函数22yaxbxc(a0)的自变量和对应函数值如表： x 1 0 2 4 y1 0 1 3 5 x 1 1 3 4 y2 0 4 0 5 当21yy时，自变量 x 的取值范围是( ) Ax1 Bx4 C1x4 Dx1 或 x4 【答案】D 【分析】先在表格中找出点，用待定系数法求出直线和抛物线
7、的解析式，用21yy建立不等式，求解不等式即可 5如图是二次函数2yaxbxc图象的一部分，图象过点 A(3，0)，对称轴为直线 x=1，给出四个结论： c0； 若点 B(32，1y)、C(52，2y)为函数图象上的两点，则12yy； 2ab=0； 244acba0，其中，正确结论的个数是( ) A1 B2 C3 D4 【答案】B 【分析】根据抛物线 y 轴交点情况可判断；根据点离对称轴的远近可判断；根根据抛物线对称轴可判断；根据抛物线与 x 轴交点个数以及不等式的性质可判断 【解析】由抛物线交 y 轴的正半轴，c0，故正确； 对称轴为直线 x=1，点 B(32，1y)距离对称轴较近，抛物线开
8、口向下，12yy，故错误； 对称轴为直线 x=1，2ba-=1，即 2ab=0，故正确； 由函数图象可知抛物线与 x 轴有 2 个交点，24bac0 即24acb0，a0，244acba0，故错误； 综上，正确的结论是：，故选 B 考点：二次函数图象与系数的关系 6如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象过 A(2，0)，B(0，1)和 C(4，5)三点 (1)求二次函数的解析式； (2)设二次函数的图象与 x 轴的另一个交点为 D，求点 D 的坐标； (3)在同一坐标系中画出直线 y=x+1，并写出当 x 在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值 【答案】(1)211122yxx
9、；(2)(1，0)；(3)1x4 (2)当 y=0 时，得2111022xx ，解得 x1=2，x2=1，点 D 坐标为(1，0)； (3)图象如图， 当一次函数的值大于二次函数的值时，x 的取值范围是1x4 再战高中题 能力提升 B 组组 1如图在同一个坐标系中函数2ykx和2ykx(0k )的图象可能的是( ) A B C D 【答案】D 2 二次函数2yaxbxc(0a)的图象如图， 给出下列四个结论： 240acb； 42acb ； 320bc；()m ambba(1m)，其中正确结论的个数是( ) A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【答案】B 抛物线的对称轴是直线1x，yabc
10、的值最大， 即把(m，0)(1m)代入得：2yambmcabc ，2ambmab， 即()m ambba，正确；即正确的有 3 个，故选 B 3如图，已知抛物线2yxbxc 与 x 轴交于 A(1，0)、B(3，0)两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的对称轴与抛物线交于点 P、与直线 BC 相交于点 M，连接 PB (1)求该抛物线的解析式； (2)在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点 D，使得 BCD 的面积最大？若存在，求出 D 点坐标及 BCD 面积的最大值；若不存在，请说明理由 (3)在(1)中的抛物线上是否存在点 Q，使得 QMB 与 PMB 的面积相等？若存在，求出点 Q
11、的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)223yxx ；(2)D(32，154)， BCD 面积的最大值是278；(3)Q(2，3)或 Q(3172，1172)或 Q(3172，1172) 试题解析：(1)由10930bcbc ，得：23bc，则抛物线的解析式为223yxx ； (2)设 D(t，223tt)，过点 D 作 DHx 轴，则 S BCD=S梯形OCDH+S BDHS BOC= 22111(233)(3)(23)3 3222tttttt =23922tt，302，当932322 ()2t 时，D 点坐标是(32，154)， BCD 面积的最大值是278； (3)设过点P与BC平
12、行的直线与抛物线的交点为Q， P点的坐标为(1， 4)， 直线BC的解析式为3yx ，过点P 与BC 平行的直线为5yx ， 由2523yxyxx 得Q的坐标为(2， 3)， PM的解析式为 x=1，直线 BC 的解析式为3yx ，M 的坐标为(1，2)，设 PM 与 x 轴交于点 E，PM=EM=2，过点 E与 BC 平行的直线为1yx ，由2123yxyxx ，得或，点 Q 的坐标为(3172，1172)，(3172，1172)，使得 QMB 与 PMB 的面积相等的点 Q 的坐标为(2，3)，(3172，1172)，(3172，1172) 4如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直
13、线1x，与 y 轴负半轴交于 C 点，与 x 轴交于 A、B 两点，其中 B 点的坐标为(3，0)，且 OBOC (1)求此抛物线的解析式；学！科网 (2)若点 G(2， y)是该抛物线上一点， 点 P 是直线 AG 下方的抛物线上一动点， 当点 P 运动到什么位置时， APG的面积最大？求出此时 P 点的坐标和 APG 的最大面积. (3)若平行于 x 轴的直线与该抛物线交于 M、N 两点(其中点 M 在点 N 的右侧)，在 x 轴上是否存在点 Q，使 MNQ 为等腰直角三角形？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 31721172xy 31721172xy 【答案】(1)32
14、2xxy；(2)P 点的坐标为415,21，APGS的最大值为278；(3)Q(5，0)或(5，0)或(25，0)或(52，0)或(1，0) (2)过点 P 作 y 轴的平行线与 AG 交于点 F，求出点 G 的坐标(2，3)，设直线 AG 为)0( knkxy，代入得到320nknk，求出方程组的解得出直线 AG 为1xy，设 P(x，322 xx)，则 F(x，x1)，PF22xx，根据三角形的面积公式求出 APG 的面积，化成顶点式即可； (3)存在根据 MNx 轴，且 M、N 在抛物线上，得到 M、N 关于直线 x=1 对称，设点 M 为(m，322 mm)且 m1，得到 MN=2(m
15、1 )，当QMN=90 ，且 MN=MQ 时，由 MNQ 为等腰直角三角形，得到32)1(22mmm，求出 m 的值，得出点 M 和点 Q 的坐标；当QNM=90 ，且 MN=NQ 时，同理可求点 Q 的坐标，当NQM=90 ，且 MQ=NQ 时，过 Q 作 QEMN 于点 E，则 QE=12MN，根据抛物线及等腰直角三角形的轴对称性，得到点 Q 的坐标 试题解析：(1)设抛物线的解析式为)0(2acbxaxy，由已知得：C(0，3)，A(1，0)， 30390ccbacba，解得321cba，抛物线的解析式为322xxy； (3)存在 MNx 轴，且 M、N 在抛物线上，M、N 关于直线 x
16、=1 对称， 设点 M 为(m，322 mm)且1m，) 1(2mMN， 当QMN=90 ，且 MN=MQ 时， MNQ 为等腰直角三角形，MQMN 即 MQx 轴， 32)1(22mmm，即32) 1(22mmm或)32() 1(22mmm， 解得125m ，225m (舍)或51m，52m(舍)， 点 M 为(25，22 5)或(5，522)，点 Q 为(25，0)或(5，0)， 当QNM=90 ，且 MN=NQ 时， MNQ 为等腰直角三角形，同理可求点 Q 为(5，0)或(52，0)， 当NQM=90 ，且 MQ=NQ 时， MNQ 为等腰直角三角形，过 Q 作 QEMN 于点 E，则 QE=21MN，212(1)232mmm，方程有解，由抛物线及等腰直角三角形的轴对称性知点 Q 为(1，0)， 综上所述，满足存在满足条件的点 Q，分别为(5，0)或(5，0)或(25，0)或(52，0)或(1，0)
