1、 2021-2022 学年八年级学年八年级上上期中考试数学试卷期中考试数学试卷 一、选择题（本大题一、选择题（本大题 1010 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 3030 分分. .请将下列各题的答案涂在答题卡相应的位置上）请将下列各题的答案涂在答题卡相应的位置上） 1下列四个图形中，不是轴对称图形的是（ ） 2下列图形具有稳定性的是（ ） A三角形 B四边形 C五边形 D六边形 3一定能确定ABCDEF 的条件是（ ） AABDE，BCEF，AD BAE，ABEF，BD CAD，ABDE，BE DAD，BE，CF 4已知等腰三角形的一边长为 4cm，周长是 18cm，则它的腰长
2、是（ ） A4cm B7cm C10 cm D4cm 或 7cm 5如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ） AASA BSAS CAAS DSSS 6下列命题中正确的是（ ） A一个三角形最多有 2 个钝角 B直角三角形的外角不可以是锐角 C三角形的两边之差可以等于第三边 D三角形的外角一定大于相邻内角 7如图，把长方形 ABCD 沿 EF 对折，若150，则AEF 的度数为（ ） A110 B115 C120 D130 8在如图的三角形纸片中，AB8cm，BC6cm，AC5cm，沿过点 B 的直
3、线折叠这个三角形，使点 C 落在 AB 上的点 E 处，折痕为 BD，则AED 的周长为（ ） A5cm B6cm C7cm D8cm 9一个多边形少算一个内角，其余内角之和是 1500，则这个多边形的边数是（ ） A8 B9 C10 D11 10如图，ACB 和DCE 均为等腰直角三角形，且ACBDCE90，点 A、D、E 在同一条线上，CM 平分DCE，连接 BE以下结论：ADCE；CMAE；AEBE+2CM；SCOESBOE，正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（本大题二、填空题（本大题 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分分.请将下列各
4、题的答案写在答题卡相应的位置上）请将下列各题的答案写在答题卡相应的位置上） 11在平面直角坐标系中，点（2，1）关于 x 轴对称的点的坐标为 12若从一个 n 边形的一个顶点出发，最多可以引 9 条对角线，则 n 13如图，在ABC 中，ABAC，D 为 BC 中点，BAD35，则C 的度数为 14如图，在ABC 中，BD 和 CD 分别平分ABC 和ACB，若D130，则A 的大小为 15已知ABC 的周长为 30，面积为 20，其内角平分线交于点 O，则点 O 到边 BC 的距离为 16如图ABC，DE 垂直平分线段 AC，AFBC 于点 F，AD 平分FAC，则 FD：DC 17ABC
5、中，已知点 D，E，F 分别是 BC，AD，CE 边上的中点，且 SABC16cm2，则 SCDF的值为 三、解答题（本大题三、解答题（本大题 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.请将各题的详细答案写在答题卡相应的位置上）请将各题的详细答案写在答题卡相应的位置上） 18如图，AC 和 BD 相交于点 O，OAOC，OBOD求证：DCAB 19在ABC 中，BA+20，CB+20，求ABC 的三个内角的度数 20如图，ABC 是等腰直角三角形，BDAE，CEAE，垂足为 D，E，CE3，BD7， （1）求证：ABDCAE； （2）求 DE 的长度 四、解答题（本大题四、解
6、答题（本大题 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分分.请将各题的详细答案写在答题卡相应的位置上）请将各题的详细答案写在答题卡相应的位置上） 21如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，ABC 在网格中的位置如图所示，ABC 的三个顶点都在格点上将点 A、B、C 的横坐标和纵坐标都乘以1，分别得到点 A1、B1、C1 （1）写出A1B1C1，三个顶点的坐标 ； （2）若ABC 与A2B2C2关于 x 轴对称，在平面直角坐标系中画出A2B2C2； （3）若以点 A、C、P 为顶点的三角形与 ABC 全等，直接写出所有符合条件的点 P 的坐标 22如图，在四边形 ABC
7、D 中，AC90，BE 平分B，DF 平分D，求证：BEDF 23如图，在ABC 中，ACBC，ACB90，D 为ABC 内一点，BAD15，ADAC，CEAD于 E，且 CE5 （1）求 BC 的长； （2）求证：BDCD 五、解答题（本大题五、解答题（本大题 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分分.请将各题的详细答案写在答题卡相应的位置上）请将各题的详细答案写在答题卡相应的位置上） 24如图，已知ABC 中 ABAC12 厘米，BC9 厘米，点 D 为 AB 的中点 （1）如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段
8、 CA 上由 C 点向A 点运动 若点 P 点 Q 的运动速度相等，经过 1 秒后，BPD 与CQP 是否全等，请说明理由； 若点 P 点 Q 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使BPD 与CQP 全等？ （2） 若点 Q 以中的运动速度从点 C 出发， 点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发， 都逆时针沿ABC三边运动， 求经过多长时间， 点 P 与点 Q 第一次在ABC 的哪条边上相遇？此时相遇点距到达点 B 的路程是多少？ 25在等腰ABC 中，ABAC，点 D 是 AC 上一动点，点 E 在的 BD 延长线上，且 ABAE，AF 平分CAE 交 DE 于点 F，连
9、接 FC （1）如图 1，求证：ABEACF； （2）如图 2，当ABC60时，求证：AF+EFFB； （3）如图 3，当ABC45，且 AEBC 时，求证：BD2EF 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题一、选择题（本大题 1010 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 3030 分分. .请将下列各题的答案涂在答题卡相应的位置上）请将下列各题的答案涂在答题卡相应的位置上） 1下列四个图形中，不是轴对称图形的是（ ） 【分析】轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴 【解答】解：A、不是
10、轴对称图形，故本选项符合题意； B、是轴对称图形，故本选项不合题意； C、是轴对称图形，故本选项不合题意； D、是轴对称图形，故本选项不合题意； 故选：A 【点评】本题考查轴对称图形，解题的关键是理解轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴 2下列图形具有稳定性的是（ ） A三角形 B四边形 C五边形 D六边形 【分析】根据三角形具有稳定性解答 【解答】解：具有稳定性的图形是三角形 故选：A 【点评】本题考查了三角形具有稳定性，是基础题，需熟记 3一定能确定ABCDEF 的条件是（ ） AABDE，BCEF，AD BA
11、E，ABEF，BD CAD，ABDE，BE DAD，BE，CF 【分析】全等三角形的判定定理有 SAS，ASA，AAS，SSS，看看每个选项是否符合定理即可 【解答】解： A、根据 ASA 即可推出ABCDEF，故本选项正确； B、根据AE，BD，ABDE 才能推出ABCDEF，故本选项错误； C、根据 ABDE，BCEF，BE 才能推出ABCDEF，故本选项错误； D、根据 AAA 不能推出ABCDEF，故本选项错误； 故选：C 【点评】 本题考查了对全等三角形的判定定理的应用， 注意： 全等三角形的判定定理有 SAS， ASA， AAS，SSS 4已知等腰三角形的一边长为 4cm，周长是
12、18cm，则它的腰长是（ ） A4cm B7cm C10 cm D4cm 或 7cm 【分析】根据等腰三角形的性质分为两种情况解答 【解答】解：分情况考虑：当 4 是腰时，则底边长是 18810，此时 4，4，10 不能组成三角形，应舍去； 当 4 是底边时，腰长是（184）7， 4，7，7 能够组成三角形此时腰长是 7 故选：B 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键 5如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书
13、上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ） AASA BSAS CAAS DSSS 【分析】全等三角形的判定定理有 SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理得出即可 【解答】解：画一个三角形 ABC，使AA，ABAB，BB， 符合全等三角形的判定定理 ASA， 故选：A 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有 SAS，ASA，AAS，SSS，直角三角形全等还有 HL 定理 6下列命题中正确的是（ ） A一个三角形最多有 2 个钝角 B直角三角形的外角不可以是锐角 C三角形的两边之差可以等于第三边 D三角形
14、的外角一定大于相邻内角 【分析】利用三角形的内角的性质、直角三角形的性质、三角形的三边关系及三角形的外角的性质分别判断后即可确定正确的选项 【解答】解：A、一个三角形最多有 1 个钝角，故原命题错误，不符合题意； B、直角三角形的外角不可以是锐角，正确，符合题意； C、三角形的两边之差小于第三边，故原命题错误，不符合题意； D、三角形的外角不一定大于相邻的内角，故原命题错误，不符合题意， 故选：B 【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形的内角的性质、直角三角形的性质、三角形的三边关系及三角形的外角的性质等知识，难度不大 7如图，把长方形 ABCD 沿 EF 对折，若150，则A
15、EF 的度数为（ ） A110 B115 C120 D130 【分析】 根据折叠的性质及150可求出BFE 的度数， 再由平行线的性质即可得到AEF 的度数 【解答】解：根据折叠以及150，得 BFEBFG（1801）65 ADBC， AEF180BFE115 故选：B 【点评】本题考查的是平行线的性质及图形翻折变换的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等 8在如图的三角形纸片中，AB8cm，BC6cm，AC5cm，沿过点 B 的直线折叠这个三角形，使点 C 落在 AB 上的点 E 处，折痕为 BD，则AED 的周长为（ ） A5cm
16、 B6cm C7cm D8cm 【分析】 先根据折叠的性质可得 BEBC， DECD， 再求出 AE 的长， 然后求出ADE 的周长AC+AE，即可得出答案 【解答】解：由折叠的性质得：BEBC6cm，DEDC， AEABBEABBC862（cm） ， AED 的周长AD+DE+AEAD+CD+AEAC+AE5+27（cm） ， 故选：C 【点评】本题考查了翻折变换的性质以及三角形周长；熟练掌握翻折变换的性质的解题的关键 9一个多边形少算一个内角，其余内角之和是 1500，则这个多边形的边数是（ ） A8 B9 C10 D11 【分析】根据 n 边形的内角和是（n2） 180，可以得到内角和一
17、定是 180 度的整数倍，即可求解 【解答】解：15001808， 则多边形的边数是 8+1+211 故选：D 【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，掌握 n 边形的内角和是（n2） 180是解题的关键 10如图，ACB 和DCE 均为等腰直角三角形，且ACBDCE90，点 A、D、E 在同一条线上，CM 平分DCE，连接 BE以下结论：ADCE；CMAE；AEBE+2CM；SCOESBOE，正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】由“SAS”可证ACDBCE，可得 ADBE，ADCBEC，可判断，由等腰直角三角形的性质可得CDECED45CMAE，
18、可判断，由三角形的面积公式可判断，由线段和差关系可判断，即可求解 【解答】解：ACB 和DCE 均为等腰直角三角形， CACB，CDCE，ACBDCE90， ACDBCE， 在ACD 和BCE 中， ， ACDBCE（SAS） ， ADBE，ADCBEC，故错误， DCE 为等腰直角三角形，CM 平分DCE， CDECED45，CMAE，故正确， CDCE，CMDE， DMME DCE90， DMMECM AEAD+DEBE+2CM故正确， SCOEOECM，SBOEOEBE， CM 不一定大于 BE， SCOE不一定大于 SBOE，故错误， 故选：B 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质
19、，等腰直角三角形的性质，证明ACDBCE 是本题的关键 二填空题（共二填空题（共 7 小题）小题） 11在平面直角坐标系中，点（2，1）关于 x 轴对称的点的坐标为 （2，1） 【分析】直接利用关于 x 轴对称点的性质得出答案 【解答】解：点（2，1）关于 x 轴对称的点的坐标为（2，1） 故答案为： （2，1） 【点评】此题主要考查了关于 x 轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键 12若从一个 n 边形的一个顶点出发，最多可以引 9 条对角线，则 n 12 【分析】可根据 n 边形从一个顶点引出的对角线与边的关系：n3，列方程求解 【解答】解：设多边形有 n 条边， 则 n3
20、9，解得 n12 故多边形的边数为 12，即它是十二边形 故答案为：12 【点评】本题考查了多边形的对角线解题的关键是明确多边形有 n 条边，则经过多边形的一个顶点所有的对角线有（n3）条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n2）个三角形 13如图，在ABC 中，ABAC，D 为 BC 中点，BAD35，则C 的度数为 55 【分析】由等腰三角形的三线合一性质可知BAC70，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论 【解答】解：ABAC，D 为 BC 中点， AD 是BAC 的平分线，BC， BAD35， BAC2BAD70， C（18070）55 故答案为：5
21、5 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键 14如图，在ABC 中，BD 和 CD 分别平分ABC 和ACB，若D130，则A 的大小为 80 【分析】在BCD 中利用三角形内角和定理可得出DBC+DCB，由角平分线的定义可求出ABC+ACB，再在ABC 中利用三角形内角和定理可求出A 的大小 【解答】解：D130， DBC+DCB180D50 BD 和 CD 分别平分ABC 和ACB， ABC2DBC，ACB2DCB， ABC+ACB2（DBC+DCB）100， A180（ABC+ACB）80 故答案为：80 【点评】 本题考查了三角形内角和定理以
22、及角平分线的定义， 牢记三角形内角和是 180是解题的关键 15已知ABC 的周长为 30，面积为 20，其内角平分线交于点 O，则点 O 到边 BC 的距离为 【分析】过 O 作 ODBC 于 D，OEAB 于 E，OFAC 于 F，连接 OA、OB、OC，根据三角形的内心和角平分线的性质得出 OEODOF，再根据三角形的面积公式求出即可 【解答】 解： 如图， 过 O 作 ODBC 于 D， OEAB 于 E， OFAC 于 F， 连接 OA、 OB、 OC， O 是ABC 内角平分线的交点， OEOFOD， ABC 的面积是 20， SAOB+SBOC+SAOC20， 20， （AB+B
23、C+AC）OD40， ABC 的周长为 30， AB+BC+AC30， OD， 即 O 到 BC 的距离是， 故答案为： 【点评】本题考查了三角形的内心，角平分线的性质和三角形的面积等知识点，能求出 ODOEOF是解此题的关键 16如图ABC，DE 垂直平分线段 AC，AFBC 于点 F，AD 平分FAC，则 FD：DC 1：2 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 DADC，得到DACC，根据角平分线的定义、直角三角形的性质求出DAF30，根据直角三角形的性质解答即可 【解答】解：DE 垂直平分线段 AC， DADC， DACC， AD 平分FAC， DACDAF， DACCDAF， AFB
24、C， DAF30， AD2DF， FD：DC1：2， 故答案为：1：2 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键 17 ABC 中， 已知点 D， E， F 分别是 BC， AD， CE 边上的中点， 且 SABC16cm2， 则 SCDF的值为 4cm2 【分析】 根据等底等高的三角形的面积相等用ABC 的面积表示出BDE 和CDE 的面积， 从而得到BCE 的面积，再次利用等底等高的三角形的面积相等即可得到BEF 的面积与ABC 的面积的关系，然后代入数据进行计算即可得解 【解答】解：点 D，E 分别是
25、BC，AD 边上的中点， SABDSACDSABC， SBDESABDSABC， SCDESACDSABC， SBCESBDE+SCDESABC+SABCSABC， F 是 CE 边上的中点， SBEFSBCESABCSABC， D 是 BC 边上的中点， SCDFSCBFSBEF81SABC SABC16cm2， SCDF81164cm2 故答案为：2cm2 【点评】本题考查了三角形的面积，根据等底等高的三角形面积相等推出BEF 和ABC 的面积的关系是解题的关键，也是本题的难点 三解答题（共三解答题（共 8 小题）小题） 18如图，AC 和 BD 相交于点 O，OAOC，OBOD 求证：D
26、CAB 【分析】由条件可证AOBCOD，可求得AC，则可证得 DCAB 【解答】证明： 在ODC 和OBA 中 ODCOBA （SAS） ； CA， DCAB（内错角相等，两直线平行） 【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即 SSS、SAS、ASA、AAS和 HL）和全等三角形的性质（全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键 19在ABC 中，BA+20，CB+20，求ABC 的三个内角的度数 【分析】先把把BA+20代入CB+20中求出C 与A 的关系，Ax，再用 x 表示出B 与C，根据三角形内角和定理求出各角的度数即可 【解答】解：在ABC 中，
27、 BA+20，CB+20， CA+40， 设Ax，则Bx+20+，Cx+40， A+B+C180， 得 x+（x+20）+（x+40）180， 解得 x40 A40，B60，C80 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是 180是解答此题的关键 20如图，ABC 是等腰直角三角形，BDAE，CEAE，垂足为 D，E，CE3，BD7， （1）求证：ABDCAE； （2）求 DE 的长度 【分析】求出BDAAEC90，ABDEAC，证ABDCAE，推出 ADCE，BDAE，根据 AEAD+DE 求出 BDDE+CE，代入求出即可 【解答】证明：BDAE，CEAE， BDAAEC
28、90， ABD+BAD90， BAC90， BAD+EAC90 ABDEAC， 在ABD 和CAE 中， ， ABDCAE（AAS） ， (2)由（1）可知：ABDCAE（AAS） ADCE，BDAE， AEAD+DE， BDDE+CE， CE3，BD7， DE734 【点评】 本题考查了全等三角形的性质和判定， 三角形的内角和定理的应用， 关键是推出 BDDE+CE 21如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，ABC 在网格中的位置如图所示，ABC 的三个顶点都在格点上将点 A、B、C 的横坐标和纵坐标都乘以1，分别得到点 A1、B1、C1 （1）写出A1B1C1，三个顶点的坐标
29、A1（3，1） 、B1（1，4） 、C1（1，1） ； （2）若ABC 与A2B2C2关于 x 轴对称，在平面直角坐标系中画出A2B2C2； （3）若以点 A、C、P 为顶点的三角形与 ABC 全等，直接写出所有符合条件的点 P 的坐标 【分析】 （1）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可； （2）纵坐标乘以1 变为原来的相反数，再根据网格结构找出对应点的位置，然后顺次连接即可； （3） 根据全等三角形对应边相等， 分CAPACB90和ACPACB90两种情况讨论求解 【解答】解： （1）A1（3，1） 、B1（1，4） 、C1（1，1） ； 故答案为：A1（3，1） 、B1（1，4） 、C1
30、（1，1） ； （2）如图所示， （3）若CAPACB90，则点 P 的坐标为（3，2）或（3，4） ， 若ACPACB90，则点 P 的坐标为（1，2） ， 综上所述，点 P 的坐标为（3，2） 、 （3，4） 、 （1，2） 【点评】本题考查了轴对称变换以及全等三角形的判定，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键 22如图，在四边形 ABCD 中，AC90，BE 平分B，DF 平分D，求证：BEDF 【分析】根据角平分线的定义和四边形的内角和进行解答即可 【解答】证明：在四边形 ABCD 中，AC90， ABC+ADC180， BE 平分B，DF 平分D， EBF+FDC90，
31、 C90， DFC+FDC90， EBFDFC， BEDF 【点评】此题考查平行线的判定，关键是根据角平分线的定义和四边形的内角和进行解答 23如图，在ABC 中，ACBC，ACB90，D 为ABC 内一点，BAD15，ADAC，CEAD于 E，且 CE5 （1）求 BC 的长； （2）求证：BDCD 【分析】 （1）求出BAC，求出CAD30，求出 AC2CE10，即可求出 BC； （2）过 D 作 DFBC 于 F，求出ECDDCF15，证 CECF5，推出 BFCF，根据线段垂直平分线的性质求出即可 【解答】 （1）解：在ABC 中， ACBC，ACB90， BAC45， BAD15，
32、CAD30， CEAD，CE5， AC10， BC10； （2）证明：过 D 作 DFBC 于 F 在ADC 中，CAD30，ADAC， ACD75， ACB90， FCD15， 在ACE 中，CAE30，CEAD， ACE60， ECDACDACE15， ECDFCD， DFDE 在 RtDCE 与 RtDCF 中， ， RtDCERtDCF（HL） ， CFCE5， BC10， BFBCCF5， BFFC， DFBC， BDCD 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，含 30 度角的直角三角形性质，线段垂直平分线性质等知识点的应用 24如图，已知ABC 中 ABAC
33、12 厘米，BC9 厘米，点 D 为 AB 的中点 （1）如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由 C 点向A 点运动 若点 P 点 Q 的运动速度相等，经过 1 秒后，BPD 与CQP 是否全等，请说明理由； 若点 P 点 Q 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使BPD 与CQP 全等？ （2） 若点 Q 以中的运动速度从点 C 出发， 点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发， 都逆时针沿ABC三边运动， 求经过多长时间， 点 P 与点 Q 第一次在ABC 的哪条边上相遇？此时相遇点距到达点 B 的路程
34、是多少？ 【分析】 （1）先求得 BPCQ3，PCBD6，然后根据等边对等角求得BC，最后根据 SAS即可证明； 因为 VPVQ，所以 BPCQ，又BC，要使BPD 与CQP 全等，只能 BPCP4.5，根据全等得出 CQBD6，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和 CQ 的长即可求得 Q 的运动速度； （2）因为 VQVP，只能是点 Q 追上点 P，即点 Q 比点 P 多走 AB+AC 的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得 【解答】解： （1）t1（秒） ， BPCQ3（厘米） AB12，D 为 AB 中点， BD6（厘米） 又PCBCBP936（厘米） PCBD ABAC， BC，
35、 在BPD 与CQP 中， ， BPDCQP（SAS） ， VPVQ， BPCQ， 又BC， 要使BPDCPQ，只能 BPCP4.5， BPDCPQ， CQBD6 点 P 的运动时间 t1.5（秒） ， 此时 VQ4（厘米/秒） （2）因为 VQVP，只能是点 Q 追上点 P，即点 Q 比点 P 多走 AB+AC 的路程， 设经过 x 秒后 P 与 Q 第一次相遇，依题意得 4x3x+212， 解得 x24（秒） 此时 P 运动了 24372（厘米） 又ABC 的周长为 33 厘米，72332+6， 所以此时相遇点距到达点 B 的路程是 6 厘米， 点 P、Q 在 BC 边上相遇，即经过了 2
36、4 秒，点 P 与点 Q 第一次在 BC 边上相遇 【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，以及数形结合思想的运用，解题的根据是熟练掌握三角形全等的判定和性质 25在等腰ABC 中，ABAC，点 D 是 AC 上一动点，点 E 在的 BD 延长线上，且 ABAE，AF 平分CAE 交 DE 于点 F，连接 FC （1）如图 1，求证：ABEACF； （2）如图 2，当ABC60时，求证：AF+EFFB； （3）如图 3，当ABC45，且 AEBC 时，求证：BD2EF 【分析】 （1）利用 SAS 定理证明ACFAEF，根据全等三角形的性质得到EACF，根据等腰三角形的性质
37、得到EABE，等量代换证明结论； （2）在 FB 上截取 BMCF，连接 AM，证明ABMACF，根据全等三角形的性质得到 AMAF，BAMCAF，进而证明AMF 为等边三角形，结合图形证明结论； （3）延长 BA、CF 交于 N，证明BFNBFC，得到 CN2CF2EF，再证明BADCAN，得到BDCN，等量代换得到答案 【解答】证明： （1）AF 平分CAE， EAFCAF， ABAC，ABAE， AEAC， 在ACF 和AEF 中， ， ACFAEF（SAS） ， EACF， ABAE， EABE， ABEACF； （2）如图 2，在 FB 上截取 BMCF，连接 AM， ACFAEF，
38、 EFCF，EACFABM， 在ABM 和ACF 中， ， ABMACF（SAS） ， AMAF，BAMCAF， ABAC，ABC60， ABC 是等边三角形， BAC60， MAFMAC+CAFMAC+BAMBAC60， AMAF， AMF 为等边三角形， AFAMMF， AF+EFBM+MFFB； （3）如图 3，延长 BA、CF 交于 N， AEBC， EEBC， ABAE， ABEE， ABFCBF， ABC45， ABFCBF22.5，ACB45，BAC180454590， ACFABF22.5， BFC18022.54522.590， BFNBFC90， 在BFN 和BFC 中， ， BFNBFC（ASA） ， CFFN，即 CN2CF2EF， BAC90， NACBAD90， 在BAD 和CAN 中， ， BADCAN（ASA） ， BDCN， BD2EF 【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键
