1、试卷第 1 页，共 6 页 2021-2022 学年中考数学第一轮复习考点分类练习学年中考数学第一轮复习考点分类练习 专题专题 7 锐角三角函数锐角三角函数 时间：40 分钟 一、单选题一、单选题 1如图，河堤横断面迎水坡 AB 的坡度是 1：2，坡面 AB=6 5，则堤高的高度是（ ） A3 B6 5 C6 D3 5 2在Rt ABCV中，C90o，若5sin13A，则cosA的值为（ ） A512 B813 C23 D1213 3如图，O 的外切正六边形 ABCDEF 的边长为 2，则图中阴影部分的面积为（ ） A22 33 B12 33 C132 D233p- 4如图，矩形 OABC 的
2、边 OA，OC 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，点 D 在 OA 的延长线上，若 A（2，0） ，D（4，0） ，以 O 为圆心、OD 长为半径的弧经过点 B，交 y 轴正半轴于点 E，连接 DE，BE，则BED 的度数是（ ） A15 B22.5 C30 D45 5小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度.如图，已知她的目高AB为 1.55 米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为 35 ，再往前走 3 米站在C处，看路灯顶端O的仰角为 65 ，则路灯顶端O到地而的距离为（已知sin350.6，cos350.8，tan350.7，sin650.9 ，cos650.4，tan652.1 ） （
3、） 试卷第 2 页，共 6 页 A3.2 米 B3.9 米 C4.7 米 D5.4 米 6如图，在菱形 ABCD 中，AB=2cm，D=60 ，点 P，Q 同时从点 A 出发，点 P 以 1cm/s 的速度沿 A-C-D的方向运动，点 Q 以 2cm/s 的速度沿 A-B-C-D 的方向运动，当其中一点到达 D 点时，两点停止运动设运动时间为 x（s） ，APQ 的面积为 y（cm2） ，则下列图象中能大致反映 y 与 x 之间函数关系的是（ ） A B C D 7西南大学附中初 2020 级小李同学想利用学过的知识测量一棵树的高度，假设树是竖直生长的，用图中线段 AB 表示，小李站在 C 点
4、测得BCA=45 ，小李从 C 点走 4 米到达了斜坡 DE 的底端 D 点，并测得CDE=150 ，从 D 点上斜坡走了 8 米到达 E 点，测得AED=60 ，B，C，D 在同一水平线上，A、B、C、D、 E 在同一平面内， 则大树 AB 的高度约为 （ ） 米（结果精确到 0.1 米， 参考数据：21.41，31.73） A24.3 B24.4 C20.3 D20.4 8如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 E 是 CD 边上的一点，点 F 是点 D 关于直线 AE 对称的点，连接 AF、BF，若 tanABF2，则 DE 的长是（ ） 试卷第 3 页，共 6 页 A1 B65
5、 C43 D53 9如图，某大楼AB正前方有一栋小楼ED，小明从大楼顶端A测得小楼顶端E的俯角为45度，从大楼底端B测得小楼顶端E的仰角为24度，小楼底端D到大楼前梯坎BC的底端C有90米，梯坎BC长 65 米，梯坎BC的坡度1:2.4i ，则大楼AB的高度为（ ） （结果精确到1米，参考数据：sin240.41，cos240.91，tan240.45） A217 B218 C242 D243 10如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数1kyx和2kyx的图象上，若60BCD，则12kk的值为（ ） A3 B23 C33 D13 二、填空题二、填空题 11用计算器求得 tan65 o _（精
6、确到 0.01） 12有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是BAC，若坡比为2:5，则此斜坡的水平距离AC为_ 13若一个三角形三个内角度数的比为1:2:3，那么这个三角形最小角的正切值为_ 14已知圆内接正三角形的边长为 a，则同圆外切正三角形的面积为_ 15 如图， 半圆 O 的半径为 1， C 是半圆 O 上一点， 且AOC45 ， D 是BC上的一动点， 则四边形 AODC的面积 S 的取值范围是_ 试卷第 4 页，共 6 页 16在 ABC 中，AB5，tanABC12，AC10，则 BC_ 17平面直角坐标系中，已知 ABC 的三个顶点分别为 A（1， 0）
7、，B（1， 0） ，C（3， 2） ，设 ABC的外心为 P，点 P 到直线 y3x3 的距离为_ 18如图，有一个底面直径与杯高均为 15cm 的杯子里而盛了一些溶液，当它支在桌子上倾斜到液面与杯壁呈52才能将液体倒出，则此时杯子最高处距离桌面_cm(sin520.79，cos520.62，tan521.28) 19如图， 在 ABC 中，ABAC5， BAC120 ，D 为边 BC 上一点， 连接 AD，将 AD 逆时针旋转 120得到 AE，F 为边 AC 的中点，连接 EF，则 EF 的最小值为_ 20 如图， 在正方形 ABCD 中， 点 E 在 BC 上，12CEBC，过 B 作B
8、GDE于 G， 交 DC 的延长线于 H，连接 AG 交 DC 的延长线于 F，则tanCBH_，CFDF的值为_ 三、解答题三、解答题 21计算： （1）2sin602cos 30tan451 （2）04132cos60312 试卷第 5 页，共 6 页 22已知tan2A，求2sincos4sin5cosAAAA的值 23如图，点 A 表示一个半径为300m的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有 B，C 两个村庄，且45 ,30BC 如果在 B，C 两村庄之间修一条长500m的笔直公路将两村连通，那么该公路是否会穿过该森林公园？ 24海中有一小岛 P，在以 P 为圆心、半径为16 2nmi
9、le的圆形海域内有暗礁一轮船自西向东航行，它在 A 处时测得小岛 P 位于北偏东60方向上，且 A，P 之间的距离为32nmile若轮船继续向正东方向航行， 轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明 如果有危险， 轮船自 A 处开始沿南偏东多少度的方向航行，能安全通过这一海域？ 25在矩形ABCD中，点 P 在AD上，2AB ，1AP 直角尺的直角顶点放在点 P 处，直角尺的两边分别交AB、BC于点 E、F，连接EF（如图 1） （1）当点 E 与点 B 重合时，点 F 恰好与点 C 重合（如图 2） 求证：APBDCP:； 求PC、BC的长； （2）探究：将直角尺从图 2 中的位置开始，绕点 P
10、 顺时针旋转，当点 E 和点 A 重合时停止，在这个过程试卷第 6 页，共 6 页 中（图 1 是该过程的某个时刻） ，观察、猜想并解答：tanPEF的值是否发生变化？请说明理由； 26如图，矩形 ABCD 中，AB8，AD5，点 O、P 分别在 AB、AD 边上运动，以点 O 为圆心、OA 为半径作O，连接 BP，把O 沿着 BP 翻折得Q （1）若O 的半径 r1 DQ 的最小值为 当 DC 切Q 于点 E 时，求 CE 长 （2）当Q 在运动的过程中与 BC 边始终没有公共点时，请直接写出O 的半径 r 的值或取值范围 答案第 7 页，共 17 页 参考答案参考答案 1C 【解析】解：迎
11、水坡 AB 的坡度是 1：2， 即1tan2BCAAC， 2ACBC 又在Rt ABCV中，222BCACAB， 6 5AB ， 22226 5BCBC 解之得：6BC （取正值） ， 故选：C 2D 【解析】解：如图: 在Rt ABCV中，sinBCAAB，可设 BC=5k，AB=13k 由勾股定理可求得222213512ACABBCkkk 所以，1212cos=1313ACkAABk 故选：D 3C 【解析】解：六边形 ABCDEF 是正六边形， AOB60 ， OAB 是等边三角形，OAOBAB2， 设点 G 为 AB 与O 的切点，连接 OG，则 OGAB， OGOAsin602323
12、， S阴影S OABS扇形OMN12 232603360132 故选：C 答案第 8 页，共 17 页 4C 【解析】解：连接 OB， ， A（2，0） ，D（4，0） ，矩形 OABC， OA=2，OD=OB=4，90OAB， 21sin42OAOBAOB， 30OBA， 90 -30 =60AOB， 1302BEDAOB， 故选：C 5C 【解析】解：过点 O 作 OEAC 于点 E，延长 BD 交 OE 于点 F， 设 DFx，则 BF3x， tan65 OFDF， OFxtan652.1x， tan35 OFBF， OF（3x）tan350.7（3+x） ， 2.1x0.7（3x） ，
13、 x1.5， OF1.5 2.13.15， OE3.151.55=4.7 米， 故选：C 6A 【解析】解：四边形 ABCD 为菱形， 答案第 9 页，共 17 页 ABBCCDDA2cm，BD60 ABC、 ACD 都是等边三角形， CABACBACD60 如图 1 所示，当 0 x1 时，AQ2x cm，APx cm， 作 PEAB 于 E， PEsinPAE AP32x（cm） ， y12AQPE12 2x32x23x2 ， 故 D 选项不正确； 如图 2，当 1x2 时，APx cm，CQ（42x）cm， 作 QFAC 于点 F， QFsinACBCQ32 (42x)（cm） ， y1
14、2APQF12x32 (42x)23x23x， 故 B 选项不正确； 如图 3，当 2x3 时，CQ（2x4）cm，CP（x2）cm， PQCQCP2x4x2（x2）cm， 作 AGDC 于点 G， AGsinACDAC32 23（cm） ， 答案第 10 页，共 17 页 y12AGPQ123 ( x2)32x3 故 C 选项不正确， 故选：A 7B 【解析】解：过 E 作 EGAB 于 G，EFBD 于 F， 则 BG=EF，EG=BF， CDE=150 ， EDF=30 ， DE=8， EF=12DE=4，DF=43， CF=CD+DF=4+43， ABC=90 ，ACB=45 ， AB
15、=BC， GE=BF=AB+4+43，AG=AB-4， AED=60 ，GED=EDF=30 ， AEG=30 ， 43tan30344 3AGABGEAB， 解得：AB=14+6324.4， 故选：B 8C 【解析】解：过点 F 作 FNAB 于点 N，并延长 NF 交 CD 于点 M， ABCD， MNCD， 答案第 11 页，共 17 页 FME90 ， tanABF2， FNBN2， 设 BNx，则 FN2x， AN4x， 点 F 是点 D 关于直线 AE 对称的点， DEEF，DAAF4， AEAE， ADEAFE（SSS） ， DAFE90 ， AN2NF2AF2， （4x）2（2
16、x）242， x10（舍） ，x285， AN4x485125，MF42x416545， EFMAFNAFNFAN90 ， EFMFAN， cosEFMcosFAN， FMEFANAF，即41255=EF4， EF43， DEEF43 故选：C 9B 【解析】解：如图，延长 AB 交 DC 于 H，作 EGAB 于 G， 则四边形 GHDE 为矩形， 答案第 12 页，共 17 页 GH=DE，EG=DH， 梯坎坡度 i=1：2.4， BH：CH=1：2.4， 设 BH=x 米，则 CH=2.4x 米， 在 Rt BCH 中，BC=65 米， 由勾股定理得：x2+（2.4x）2=652， 解得
17、：x=25(负值已舍)， BH=25 米，CH=60 米， EG=DH=CH+CD=60+90=150（米） ， 在 Rt GBE 中，BEG=24 ， BG=EGtan241500.45=67.5（米） ， 在 Rt GAE 中，EAG=90 -45 =45 ， AEG 是等腰直角三角形， AG=EG=150（米） ， AB=AG+BG=150+67.5218（米） ； 故选：B 10D 【解析】解：连接AC、BD， Q四边形ABCD是菱形， ACBD， Q菱形ABCD的顶点分别在反比例函数1kyx和2kyx的图象上， A与C、B与D关于原点对称， AC、BD经过点O， 90BOC， 130
18、2BCOBCDQ， 3tan303OBOC ， 答案第 13 页，共 17 页 作BMx轴于M，CNx轴于N， 90BOMNOCNOCNCO Q， BOMNCO ， 90OMBCNO Q， OMBCNO， 2()BOMCONSOBSOC， 12112132kk， 1213kk ， 故选：D 112.14 【解析】先按 ON 开机，再按 tan，再按 65，再按= 根据显示的结果精确到 0.01 得到 2.14 故答案为 2.14 1275m 【解析】解：坡比为 2：5，BC=30m， 25BCAC,即302=5AC, 解得：AC=75， 故答案为：75m 1333 【解析】解：设这三个内角分别
19、为 x，2x，3x， 由题意得，x+2x+3x=180 ， 解得：x=30 ， 即最小角为 30 ， 则 tan30 =33 故答案为：33 1423a 【解析】解：圆的内接正三角形的内心到每个顶点的距离是等边三角形高的23， 答案第 14 页，共 17 页 从而等边三角形的高为32a，所以该等边三角形的外接圆的半径为33a 同圆外切正三角形的边长233a tan30 2a， 同圆外切正三角形的面积为：12 2a3a3a2 故答案为：3a2 1524S224 【解析】如图，过点 C 作 CF 垂直 AO 于点 F，过点 D 作 DE 垂直 CO 于点 E， COAO1，COA45 ， CFFO
20、22， S AOC12 12224， 则面积最小的四边形面积为 D 无限接近点 C，所以最小面积无限接近24但是不能取到， AOC 面积确定， 要使四边形 AODC 面积最大，则要使 COD 面积最大 以 CO 为底 DE 为高要使 COD 面积最大，则 DE 最长 当COD90 时 DE 最长为半径， S四边形AODCS AOC+S COE24+12 1 1224 24S224， 故答案为：24S224 165或 【解析】解：如图所示，当C 为锐角时，过点 A 作 AEBC 于 E， 答案第 15 页，共 17 页 1tan=2AEABCBE，222ABBEAE，222ACAECE 2BEA
21、E， 22525AEAB， 5AE ， 22 5BEAE，225CEACAE， 3 5BCBECE； 如图所示，当ACB 为钝角时，过点 A 作 AEBC 交 BC 延长线于 E， 1tan=2AEABCBE，222ABBEAE，222ACAECE 2BEAE， 22525AEAB， 5AE ， 22 5BEAE，225CEACAE， 5BCBECE； 故答案为：5或3 5 173 【解析】 答案第 16 页，共 17 页 如图， 设直线33yx与 x 轴、 y 轴分别交于 M、 N， 设ABCV的外心坐标为点( , )P x y， 则P A P B P C，过 P 作 PE 垂直于直线33y
22、x交于点 E， 22(1)PAxy，22(1)PBxy22(3)(2)PCxy， 22222222(1)(1)(1)(3)(2)xyxyxyxy， 解得：03xy， (0,3)P， 令0y ，则330 x， 解得：3x ， 令0 x，则3033y ， ( 3,0)M,(0, 3)N， 3OM，3ON ，6PN ， 在Rt MONV中，3tan3OMONMON， 30ONM，即30PNE， 在RtPEN，1sin632PEPNPNE 1821.15 【解析】解：过最高点作桌面的垂线AD，过流水口B作桌面的垂线BC，作BEAD于点E，如图所示， 在Rt BCF中，有52BFC，15BFcm， si
23、n5215 0.7911.85()BCBFcmg， 11.85DEBCcm， /BECDQ， 52EBFBFC ， 905238ABE ， 903852BAE ， 在Rt ABE中，15ABcm， 答案第 17 页，共 17 页 cos5215 0.629.3()AEABcmg， 9.3 11.8521.15()ADAEDEcm 故答案为：21.15 19254 【解析】解：如图， AE 是 AD 绕 A 逆时针旋转 120 得到， 将 ABD 逆时针旋转 120 时，AE 和 AD 重合， ABDAEC， EF 最小值问题可化为 D 在 BC 上运动时，在何位置距 AB 中点 P 位置最小，
24、显然是 BC 相切于以 P 为圆心 P 到 BC 的距离为半径的圆， AB=AC=5，BAC=120 ，BC 为圆 P 切线， PDB=90 ，ABC=30 ， PD=BPSinABC=52ABsin30 =52 512=254 故答案为：254 2012 23 【解析】解：四边形 ABCD 是正方形， BCD=BCH=90 ，CD=CB， BGDG， BGE=DCE=90 ， BEG=CED， CDE=CBH， DCEBCH（ASA） ， CBH=CDE， 12CEBC， 1tantan2CECBHCDECD, 12EGBG， 设 BE=EC=m，则 BC=CD=2m， 答案第 18 页，共
25、 17 页 2252 5,555EGm BGm DECDECm， 6 53 ,5DHDCCHm DGDEEGm， 22226 53 5(3 )()55GHDHDGmmm， ABFH， FHGABG， FHGHABBG， 3 5522 55mFHmm， FH=3m， DF=6m，CF=4m， 42=63CFmDFm 故答案为：12，23 21 （1）3324； （2）2 34 【解析】解： （1）原式=23322()21 1 =3324； （2）原式=11 122 332 =1 1 1 2 33 =2 34 22313 【解析】解：sintan2cosAAA， sin2cosAA， 2sinco
26、s4coscos34sin5cos8cos5cos13AAAAAAAA 23该公路会穿过森林公园 答案第 19 页，共 17 页 【解析】解：B=45 ，,AHBC tan45 =1AHBH， BH=AH， C=30 ， tan30 =33AHHC， 3HCAH， BC=BH+HC=3AHAH， BC=500， 31500AH， 2503 1AH ， 2503 1300， 该公路会穿过该森林公园 24若轮船继续向正东方向航行，轮船有触礁危险轮船自A处开始至少沿东偏南15度方向航行，才能安全通过这一海域 【解析】解：过P作PBAM于B， 在RtAPB中， 30PABQ， 11321622PBAP
27、nmile， 1616 2Q， 故轮船有触礁危险 为了安全，应改变航行方向，并且保证点P到航线的距离不小于暗礁的半径16 2nmile，即这个距离至少为16 2nmile， 设安全航向为AC，作PDAC于点D， 答案第 20 页，共 17 页 由题意得，32AP nmile，16 2PD nmile， 16 22sin322PDPACAPQ， 在Rt PADV中，45PAC， 453015BACPACPAB 答：若轮船继续向正东方向航行，轮船有触礁危险轮船自A处开始至少沿东偏南15度方向航行，才能安全通过这一海域 25 （1）见解析；2 5PC ，5BC ； （2）tanPEF的值不变，见解析
28、 【解析】解： （1）如图 2，四边形ABCD是矩形 90AD ， 90ABPAPB， 又90BPC， 90APBDPC ， ABPDPC， APBDCP 四边形ABCD是矩形，2CDAB， 2222215BPABAP 又APBDCP APABBPDCDPPC，即1252DPPC 2 5PC ，4DP 5BCADAPDP； （2）tanPEF的值不变 理由如下：如图 1，过 F 作FGAD，垂足为点 G 则四边形ABFG是矩形 答案第 21 页，共 17 页 90APGF ，2FGAB， 在Rt APEV中，1290 ， 又90EPF， 3290 13 APEGFP， 21PFFGPEPA 在
29、RtEPF中，tan2PFPEFPE tanPEF的值不变 26 （1）897；33； （2）r8916或 0r3916时，Q 在运动的过程中与 BC 边始终没有公共点 【解析】解： （1）以 B 为圆心，BO 长为半径画弧，连接 BD 交圆弧于点 Q， 由翻折的性质可得：BO=BQ，且点 Q 在以 B 为圆心，BO 长为半径的圆上， 当 B、Q 、D 三点在一条线上时，DQ 最小， AB=8，OA=1， BQ=BO=8-1=7， DQ 的最小值=BD-BQ=22857897， 故答案是：897； 连接 QE，BQ，过点 Q 作 QMBC， 答案第 22 页，共 17 页 DC 切Q 于点 E
30、，即：QECD， 四边形 MCEQ 是矩形， CM=QE=1，BM=5-1=4， 在Rt BQMV中，MQ=22227433QBBM， CE= MQ=33； （2）如图：当点 P 与点 A 重合时，O 恰好过点 C 时，连接 OC， 设 OC=OP=r，则 OB=8-r， 22285rr，解得：r=8916， 当点 P 在 AD 边上运动，r8916时，Q 在运动的过程中与 BC 边始终没有公共点； 如图：当点 P 与点 D 重合时，Q 恰好过点 C 时，此时点 Q 在 CD 上，连接 OQ 交 BD 于点 M，则 OQ 垂直平分 BD， 答案第 23 页，共 17 页 cosBDC=889DMDCDQBD，DM=1892， 1898289DQ，解得：DQ=8916， r=CQ=AO=8-8916=3916， 当点 P 在 AD 边上运动，0r3916时，Q 在运动的过程中与 BC 边始终没有公共点， 综上所述：r8916或 0r3916时，Q 在运动的过程中与 BC 边始终没有公共点
