1、2021-2022 学年湖北省武汉市江汉区九年级（上）期中数学试卷学年湖北省武汉市江汉区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有分下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的选项涂黑一个正确，请在答题卡上将正确答案的选项涂黑 1. 下列垃圾分类标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程 2x2+x3 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2，0，3 B. 2，1，3 C. 2，0，3 D. 2，1，3 3. 在下列
2、抛物线中，其顶点是（2，1）的是（ ） A y（x+2）21 B. y（x2）2+1 C. y（x+2）2+1 D. y（x2）21 4. 如图，O 的半径为 5，弦 AB 长为 8，P为弦 AB 上动点，则线段 OP长的取值范围是（ ） A. 3OP5 B. 3OP5 C. 4OP5 D. 4OP5 5. “十一”国庆节，某高校发起了“热爱祖国，说句心里话”的征集活动，某同学将征集活动发在自己的朋友圈，并邀请 x个好友转发，每个好友转发后，又各自邀请 x个好友转发，经此两轮转发后，已知共有241人次参与了转发，则可列方程是（ ） A. x2+x241 B. （x+1）2241 C. x（x1
3、）241 D. x2+x+1241 6. 已知O的直径为 12，直线 l上有一点 P，OP6，则直线 l与O的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相切或相交 7. 关于 x的方程 kx2+（2k1）x+k30有实数根，则 k 的取值范围是（ ） A. k18 B. k18且 k0 C. k18 D. k18且 k0 8. 如图，在ABC中，ABAC，BAC50 ，将ABC绕着点 A 顺时针方向旋转得ADE，AB，CE 相交于点 F，若 ADCE时，则BAE的大小是（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 9. 已知抛物线 yax2+bx+c（a，b，c 为
4、常数且 a0）经过 P1（1，y1） ，P2（2，y2） ，P3（3，y3） ，P4（4，y4）四点，若 y3y2y1，则下列说法中正确的是（ ） A. 抛物线开口向下 B. 对称轴可能为直线 x3 C. y1y4 D. 5a+b0 10. 如图，以 AB 为直径作半圆O，C是半圆中点，P 是BC上一点，AB5 2，PB1，则 PC的长是（ ） A. 92 B. 2 2 C. 522 D. 3 2 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3分，共分，共 18 分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答题卷指定的位置接填在答题
5、卷指定的位置 11. 方程 x2x的解为 _ 12. 将抛物线 yx21 向下平移 3个单位长度得到的抛物线的解析式为_. 13. 在平面直角坐标系中， 已知点 A （2， 4） ， 将点 A绕原点顺时针旋转 90得到点 A， 则 A的坐标为 _ 14. 如图，AB 是O的直径，弦 CDAB，若DOB140，则CBA 的度数为 _ 15. 已知抛物线的解析式为 yx2+2x3关于 x 的一次函数 ykx+3k 的图象与抛物线交点的横坐标分别为x1和 x2，且 x1x21则 k 的取值范围为 _ 16. 如图，C为线段 AB的中点，D为 AB 垂直平分线上一点，连接 BD，将 BD绕点 D 顺时
6、针旋转 60得到线段 DE，连接 AE，若 AB23，AE4，则 CD的长为 _ 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，共小题，共 72 分）下列各题需要在答题卷指定的位置写出文字说明证明过程分）下列各题需要在答题卷指定的位置写出文字说明证明过程演算步骤或画出图形演算步骤或画出图形 17. 解方程：x2x30 18. 如图，在半径为 5的O 中，直径 CD与弦 AB相交于点 E，AEBE，已知 CE2，求 AD的长 19. 如图，一个长为 30cm，宽为 20cm的长方形礼品盒表面镶有宽度相同的四条丝带，若盒子表面未被丝带覆盖的面积为 200cm2，则丝带的宽度为多少厘米？ 20. 如图是
7、44的正方形网格，每个小正方形的边长为 1点 A，B，C，O都在格点上 （1）在图中画出ABC绕点 O 逆时针旋转 90所得到的A1B1C1（其中点 A，B，C 的对应点分别为 A1，B1，C1） ； （2）在图中描出ABC的外心 P，并直接写出点 A到直线 PB的距离 21. 已知： 如图， P为O外一点， 射线 PO交O 于点 A， B， C为O上一点， 连 AC， BC， 过点 O 作 ODAC于点 E，交直线 PC于点 D，AODPCA （1）求证：PC为O的切线； （2）若 BC4，DE1，求O半径 22. 某超市销售一种成本为 30 元/千克食品，设第 x天的销售量为 n 千克，销
8、售价格为 y 元/千克，现已知以下条件：y 与 x 满足一次函数关系，且当 x10时，y50；当 x20时，y45；n与 x的关系式为 n6x+60 （1）直接写出 y与 x的函数关系式； （2）设每天的销售利润为 W元，在整个销售过程中，第几天的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）如果该超市把销售价格在当天的基础提高 a元/千克（a 为整数） ，那么在前 30 天（包含第 30天）每天的销售利润随 x 的增大而增大，求 a 的最小值 23. 已知ABC中，BAC120，ABAC43 （1）将线段 AB绕点 A旋转至如图 1 所示AP处，若 APBC，求ABP的度数； （2） 如图 2， M
9、为边 BC 下方一点， E为线段 BM 的中点， Q 为线段 CM垂直平分线上一点， 若AEQ90，求CQM 的度数； （3）如图 3，D为 BC边上一点，已知 DBDA，将ABC沿 BC翻折至FBC，将线段 BD绕点 B顺时针旋转得到线段 BH，连 FH，N 为 FH 的中点，连 AN，请直接写出在旋转过程中 AN的最大值 24. 已知二次函数 yax25ax+c的最小值为94，其图象与 x轴交于 A，B 两点（A 在 B的左侧） ，且过点D（0，4） （1）求这个二次函数的解析式； （2）如图 1，已知 C（1，0）将线段 CB平移至线段 MN（点 C，B 的对应点分别为 M，N） ，使点
10、 M，N都在抛物线上若直线 l：ykx+b（k0）将四边形 CBNM分成面积相等的两部分，且直线 l与两坐标轴围成的三角形的面积为 1，求 k的值； （3）如图 2，若直线 y3x+m 与抛物线交于 P，Q两点，求证：PAQ的内心在 x 轴上 2021-2022 学年湖北省武汉市江汉区九年级（上）期中数学试卷学年湖北省武汉市江汉区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有分下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的选项涂黑一个正确，请在答题卡上将正确答案
11、的选项涂黑 1. 下列垃圾分类标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用中心对称图形的定义进行解答即可 【详解】解：A不是中心对称图形，故此选项不合题意； B是中心对称图形，故此选项符合题意； C不是中心对称图形，故此选项不合题意； D不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：B 【点睛】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握把一个图形绕某一点旋转 180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形 2. 方程 2x2+x3 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2，0，3 B. 2，1，3 C. 2
12、，0，3 D. 2，1，3 【答案】D 【解析】 【分析】先把方程化为一般式得到 2x2+x30，然后便可得到二次项系数、一次项系数、常数项 【详解】解：先化为一般式为 2x2+x30， 所以二次项系数为 2、一次项系数为 1、常数项为3 故选 D 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2bxc0（a、b、c 为常数，且 a0） ，其中 a 叫二次项系数，b 叫一次项系数，c叫常数项，掌握一元二次方程的一般形式是解题关键 3. 在下列抛物线中，其顶点是（2，1）的是（ ） A. y（x+2）21 B. y（x2）2+1 C. y（x+2）2+1 D. y（x2）21 【答案】C 【解析
13、】 【分析】根据二次函数20ya xhk a 的顶点坐标为, h k ，即可求解 【详解】解：A、y（x+2）21 的顶点为2, 1 ，故本选项不符合题意； B、y（x2）2+1 的顶点为2,1 ，故本选项不符合题意； C、y（x+2）2+1的顶点为2,1 ，故本选项符合题意； D、y（x2）21 的顶点为2, 1 ，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】 本题主要考查了二次函数的顶点坐标， 熟练掌握二次函数20ya xhk a 的顶点坐标为, h k是解题的关键 4. 如图，O 的半径为 5，弦 AB 长为 8，P为弦 AB 上动点，则线段 OP长的取值范围是（ ） A. 3OP5 B.
14、3OP5 C. 4OP5 D. 4OP5 【答案】B 【解析】 【分析】过点 O 作 OCAB 于点 C，连接 OA，则有 AC=4，进而根据勾股定理可得 OC=3，然后问题可求解 【详解】解：过点 O作 OCAB 于点 C，连接 OA，如图所示： O的半径为 5，弦 AB长为 8， 15,42OAACAB， 在 RtACO 中，223OCOAAC， P为弦 AB上动点， 线段 OP长的取值范围是 3OP5； 故选 B 【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键 5. “十一”国庆节，某高校发起了“热爱祖国，说句心里话”的征集活动，某同学将征集活动发在自己的朋友圈，并邀请 x个
15、好友转发，每个好友转发后，又各自邀请 x个好友转发，经此两轮转发后，已知共有241人次参与了转发，则可列方程是（ ） A. x2+x241 B. （x+1）2241 C. x（x1）241 D. x2+x+1241 【答案】D 【解析】 【分析】设邀请 x 个好友转发，每个好友转发后，又各自邀请 x 个好友转发，经此两轮转发后，已知共有241人次参与了转发，即可列出方程 【详解】解：根据题意得：x2+x+1241 故选：D 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键 6. 已知O的直径为 12，直线 l上有一点 P，OP6，则直线 l与O的位置关系是（ ）
16、 A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相切或相交 【答案】D 【解析】 【分析】先计算出半径，将直线到圆心的距离与半径比较判断即可得到答案 【详解】解：O的直径为 12 O的半径为：6r 又6OP OPr 当直线 l到圆心的距离6dr时，直线 l与O 的位置关系是相切； 当直线 l到圆心的距离6dr时，直线 l与O 的位置关系是相交 故选：D 【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，牢记相关的知识点并能灵活应用是解题的关键 7. 关于 x的方程 kx2+（2k1）x+k30有实数根，则 k 的取值范围是（ ） A. k18 B. k18且 k0 C. k18 D. k18且 k0 【答案】A
17、 【解析】 【分析】根据题意可分当 k=0时和 k0 时进行分类结合一元二次方程根的判别式可进行求解 【详解】解：由题意得： 当 k=0时，方程变为-x-3=0，方程有解，符合题意； 当 k0 时，则根据一元二次方程根的判别式可得：2222143441 412810kkkkkkkk ， 解得：18k ， 综上所述：k的取值范围为18k ； 故选 A 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及一元一次不等式的求解，熟练掌握一元二次方程根的判别式及一元一次不等式的求解是解题的关键 8. 如图，在ABC中，ABAC，BAC50 ，将ABC绕着点 A 顺时针方向旋转得ADE，AB，CE 相交于点 F
18、，若 ADCE时，则BAE的大小是（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质可得DAE=BAC=50 ，AE=AC，再由平行线的性质得DAE=AEC=50 ，然后由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得EAC的度数，即可求解 【详解】解：将ABC绕点 A顺时针方向旋转得ADE， DAE=BAC=50 ，AE=AC， ADCE， DAE=AEC=50 ， AE=AC， AEC=ACE=50 ， EAC=180 -50 -50 =80 ， BAE=EAC-BAC=80 -50 =30 ， 故选：C 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质
19、，平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和平行线的性质，求出EAC的度数是解题的关键 9. 已知抛物线 yax2+bx+c（a，b，c 为常数且 a0）经过 P1（1，y1） ，P2（2，y2） ，P3（3，y3） ，P4（4，y4）四点，若 y3y2y1，则下列说法中正确的是（ ） A. 抛物线开口向下 B. 对称轴可能为直线 x3 C. y1y4 D. 5a+b0 【答案】C 【解析】 【分析】先根据 123， y3y2y1，确定 1x3时 y随 x的增大而减小，分两种情况当抛物线开口向下时， 由抛物线的对称轴x1， 当x1时， y随x的增大而减小， 选项A正确， 由y3y2， 得3250
20、yyab ，选项 B与 D不正确，根据增减性 14，14yy,可判断 C 正确；当抛物线开口向上时，抛物线的对称轴 x3, 选项 A 不正确，选项 B不一定正确，由 x3根据 y随 x 的增大而减小，可得 x-14-x，可证14yy，可判断 C 正确，此时选项 D仍不正确，两种情况综合即可 【详解】解：抛物线2yaxbxc（a，b，c为常数且 a0）经过 P1（1，y1） ，P2（2，y2） ，P3（3，y3） ，P4（4，y4） ， 1yabc，242yabc，393yabc，4164aybc， 123， y3y2y1， 1x3 时 y 随 x 的增大而减小， 当抛物线开口向下时，抛物线的对
21、称轴 x1，当 x1时， y随 x 的增大而减小， 由 y3y2，得32934250yyabcabcab ， 选项 B与 D不正确， 14，14yy,此时 C正确， 当抛物线开口向上时，抛物线的对称轴 x3，当 x3时， y随 x 的增大而减小, x-1|4-x|， 14yy，此时 C正确， 此时选项 A不正确，D不正确， 两种情况综合选项 C正确， 故选项 C 【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题关键 10. 如图，以 AB 为直径作半圆O，C是半圆的中点，P 是BC上一点，AB5 2，PB1，则 PC 的长是（ ） A. 92 B. 2 2 C. 522 D. 3 2
22、【答案】D 【解析】 【分析】连接ACBC、，过点C作CQBP交BP延长线于点Q，可得ABCV为等腰直角三角形，根据圆内接四边形的性质可得45QCP，QCP为等腰直角三角形，设CQx，在Rt BCQV中，根据勾股定理求解即可 【详解】解：连接ACBC、，过点C作CQBP交BP延长线于点Q，如下图 C 是半圆的中点 ACBC 又AB为直径 90ACB，45AABC 222BCACAB 又5 2AB 5BCAC 四边形ABPC为圆的内接四边形 45ACPQ QCP为等腰直角三角形 设CQQPx，则1QBx 在Rt BCQV中，根据勾股定理得：222CQBQBC，即222(1)5xx 解得3x 22
23、3 2PCCQQP 故选 D 【点睛】此题考查了圆内角四边形的性质，弦与弧的关系，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解题的关键是根据题意构造出以PC为边的直角三角形 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3分，共分，共 18 分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答题卷指定的位置接填在答题卷指定的位置 11. 方程 x2x的解为 _ 【答案】0 x或1x #x=1 或 x=0 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程即可； 【详解】2xx， 20 xx， 10 x x， 0 x或1x ； 故答案是：0 x或1x 【点睛】本题
24、主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，准确计算是解题的关键 12. 将抛物线 yx21 向下平移 3个单位长度得到的抛物线的解析式为_. 【答案】y=x22 【解析】 【分析】根据抛物线平移的规律（左加右减，上加下减）求解 【详解】抛物线 y=x2+1 向下平移 3个单位得到的解析式为 y=x2+13，即 y=x22 故答案为 y=x22 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键 13. 在平面直角坐标系中， 已知点 A （2， 4） ， 将点 A绕原点顺时针旋转 90得到点 A， 则 A的坐标为 _ 【答案】(4, 2) 【解析】 【分析】
25、根据旋转的性质，即可得出AAOBOCVV，进而得到2ACAB，=4OCOB，据此可得出点A的坐标 【详解】解：如图所示，由旋转可得：90AOABOC，OAOA， BOACOA， 又90ABOACO ()A OCAOAABSVV， 2ACAB，=4OCOB， 点A的坐标为(4, 2)， 故答案为：(4, 2) 【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，并注意象限内点的坐标特征 14. 如图，AB 是O的直径，弦 CDAB，若DOB140，则CBA 的度数为 _ 【答案】20 【解析】 【分析】根据圆周角定理求出C的度数，根据根据直角三角形的性质求出答案 【详解】解：DOB14
26、0 ， C=70 ， CDAB， CBA=90 -70 =20 ， 故答案为：20 【点睛】本题考查了圆周角定理的应用，直角三角形的性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键 15. 已知抛物线的解析式为 yx2+2x3关于 x 的一次函数 ykx+3k 的图象与抛物线交点的横坐标分别为x1和 x2，且 x1x21则 k 的取值范围为 _ 【答案】0k 且4k 【解析】 【分析】由题意可得22330 xk xk ，则有123,1xxk ，进而根据题意可列不等式进行求解 【详解】解：由题意得： 2233xxkxk， 整理得：22330 xk
27、xk ， 310 xxk， 123,1xxk ， x1x21， 31 1k 或131k ， 40k 或4k ， 综上所述：k 的取值范围为0k 且4k ； 故答案为0k 且4k 【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，解题的关键是根据题意由二次函数转化为一元二次方程进行求解 16. 如图，C为线段 AB的中点，D为 AB 垂直平分线上一点，连接 BD，将 BD绕点 D 顺时针旋转 60得到线段 DE，连接 AE，若 AB23，AE4，则 CD的长为 _ 【答案】7 【解析】 【分析】连接 AD、BE，过点 E 作 EHAB 于 H，由旋转知，DE=DB，BDE=60 ，可证BDE 是等边
28、三角形，利用三角形内角和 180 求出BAD=1802ADB，EAD=2801ADE从而得到BAE=3602BDE=150 ，HAE=30 ，接着求出 EH,AH，再利用勾股定理先后求出 BE 和 CD 【详解】解：如图，连接 AD、BE，过点 E 作 EHAB 于 H， 由旋转知，DE=DB，BDE=60 ， BDE是等边三角形， BE=BD C 为 AB 中点，点 D在 AB 的处置平分线上， AD=BD=DE，BC=12AB=122 3=3 BAD=1802ADB，EAD=2801ADE BAD+EAD=360360=22ADBADEBDE 即BAE=3602BDE BDE=60 BAE
29、=150 HAE=180 -150 =30 AE=4 EH=12AE=2，AH=222242AEEH23 BH=AH+AB=23+23=43 BE=22EHBH=2224 3=213 BD=213 CD=22BDBC=222 133=7 故答案为 7 【点睛】本题考查了图形的旋转，三角形内角和，勾股定理以及含 30的直角三角形，通过做辅助线构造出直角三角形是解题的关键 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，共小题，共 72 分）下列各题需要在答题卷指定的位置写出文字说明证明过程分）下列各题需要在答题卷指定的位置写出文字说明证明过程演算步骤或画出图形演算步骤或画出图形 17. 解方程：x2x3
30、0 【答案】11132x，21132x 【解析】 【分析】根据公式法求解一元二次方程即可 【详解】解：230 xx 113abc， 224( 1)4 1 ( 3)130bac 2411322bbacxa 11132x，21132x 【点睛】此题考查了公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法求解一元二次方程 18. 如图，在半径为 5的O 中，直径 CD与弦 AB相交于点 E，AEBE，已知 CE2，求 AD的长 【答案】4 5 【解析】 【分析】连接 AO，根据半径和 CE 的长度求出 OE的长度，然后在AEO 中根据勾股定理求出 AE的长度，然后在AED中根据勾股定理即可求出 AD 的
31、长度 【详解】解：如图所示，连接 AO， O的半径是 5， OC=OD=5， 5 23OEOCCE ， 538DEODOE， 直径 CD与弦 AB相交于点 E，AEBE， ABCD， 在AEO 中，2222534AEAOOE， 在AED 中，2222484 5ADAEDE AD的长度为4 5 【点睛】此题考查了圆的垂径定理的运用，勾股定理的运用，解题的关键是熟练掌握圆的垂径定理和勾股定理 19. 如图，一个长为 30cm，宽为 20cm的长方形礼品盒表面镶有宽度相同的四条丝带，若盒子表面未被丝带覆盖的面积为 200cm2，则丝带的宽度为多少厘米？ 【答案】5 【解析】 【分析】设丝带的宽度为x
32、厘米，根据题意列出方程，解出即可求解 【详解】解：设丝带的宽度为x厘米，根据题意得： 302202200 xx ， 整理得：2251000 xx 解得：15x ，220 x （不合题意，舍去） 答：丝带的宽度为 5 厘米 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键 20. 如图是 44的正方形网格，每个小正方形的边长为 1点 A，B，C，O都在格点上 （1）在图中画出ABC绕点 O 逆时针旋转 90所得到的A1B1C1（其中点 A，B，C 的对应点分别为 A1，B1，C1） ； （2）在图中描出ABC的外心 P，并直接写出点 A到直线 PB的距离 【答案】
33、 （1）见解析； （2）4105 【解析】 【分析】 （1）将OA，OB，OC分别绕点O逆时针旋转90即可得到答案 （2）先利用线段垂直平分线找到圆心P，以点P为圆心，PA长为半径作Pe，再利用面积法即可求解 【详解】解： （1）如图所示，将OA，OB，OC分别绕点O逆时针旋转90，得到1OA，1OB，1OC，连接11AB，11BC，11C A，则111A B C为所求作的三角形； （2）分别作BC，AB的垂直平分线m，n交于点P，连接PA，以点P为圆心，PA长为半径作Pe，则Pe为所求作ABCV的外接圆，点P的位置如图所示： 作ADPB，PEAB垂足为D，E， 借助网格可得10rPAPB，2
34、 2AB 122AEEBAB 221022 2PEPAAE 1122APBSPB ADAB PEQgg 2 22 2410510AB PEADPBg 即点A到PB的距离为4105 【点睛】本题只要考查了旋转作图，以及三角形外接圆的性质，利用等积面积法求三角形的高是解题关键 21. 已知：如图，P为O外一点，射线 PO交O 于点 A，B，C为O上一点，连 AC，BC，过点 O作 ODAC于点 E，交直线 PC于点 D，AODPCA （1）求证：PC为O的切线； （2）若 BC4，DE1，求O的半径 【答案】 （1）见解析； （2）6 【解析】 【分析】 （1）连接 OC，证出CPAOPDV: V
35、，进而得出CDOCAO，再由ODACOCOA，证出90CDOCOD即可解答； （2） 证出CEDOEAV: V， 进而得出CEDEOEAE， 设C E A E x ,则可求出 AB、 AO、 OE， 再代入CEDEOEAE即可求解 【详解】解： （1）连接 OC， AODPCACPAOPD， ， CPAOPDV: V ， ODPCAP ，即CDOCAO ， ODACOCOA， ， 90AODCODCAODOA， ， 90CDOCOD ， 90DCO ，即OCPC ， PC为O的切线； （2）AODPCACEDOEA， ， CEDOEAV: V ， CEDEOEAE ， 设CEAEx , 则22
36、2416ABBCACx ， 24162xAO ， 222OEAOAE ， 12xx , 解得：2x ， 6AO ， O的半径为6 【点睛】本题考查切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理是解题关键 22. 某超市销售一种成本为 30 元/千克食品，设第 x天的销售量为 n 千克，销售价格为 y 元/千克，现已知以下条件：y 与 x 满足一次函数关系，且当 x10时，y50；当 x20时，y45；n与 x的关系式为 n6x+60 （1）直接写出 y与 x的函数关系式； （2）设每天的销售利润为 W元，在整个销售过程中，第几天的销
37、售利润最大？最大利润是多少？ （3）如果该超市把销售价格在当天的基础提高 a元/千克（a 为整数） ，那么在前 30 天（包含第 30天）每天的销售利润随 x 的增大而增大，求 a 的最小值 【答案】 （1）y与 x的函数关系式为1552yx ； （2）当第 20天的时候利润最大，最大利润为 2700 元；（3）a 的最小值为 10 【解析】 【分析】 （1）设 y与 x的函数关系式为ykxb，然后利用待定系数法可进行求解； （2）由（1）及题意可得231201500Wxx ，然后根据二次函数的性质可进行求解； （3）由题意可得提高后的利润为231206150060Wxa xa ，然后根据“前
38、 30 天（包含第 30 天）每天的销售利润随 x 的增大而增大”及结合二次函数的性质可进行求解 【详解】解： （1）设 y与 x函数关系式为ykxb，由题意得： 10502045kbkb，解得：1255kb ， y与 x的函数关系式为1552yx ； （2）由题意得： 2213055306603120150032027002Wynxxxxx ， 30a =- ， 当20 x=时，W有最大值，最大值为 2700， 当第 20 天的时候利润最大，最大利润为 2700元； （3）该超市把销售价格在当天的基础提高 a 元/千克（a 为整数） ， 215525660312061500602Wxaxxa
39、 xa ， 在前 30 天（包含第 30天）每天的销售利润随 x的增大而增大， 1206203026baxaa ， 10a， a的最小值为 10 【点睛】本题主要考查二次函数应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键 23. 已知ABC中，BAC120，ABAC43 （1）将线段 AB绕点 A旋转至如图 1 所示AP处，若 APBC，求ABP的度数； （2） 如图 2， M为边 BC 下方一点， E为线段 BM 的中点， Q 为线段 CM垂直平分线上一点， 若AEQ90，求CQM 的度数； （3）如图 3，D为 BC边上一点，已知 DBDA，将ABC沿 BC翻折至FBC，将线段 BD绕点 B顺时
40、针旋转得到线段 BH，连 FH，N 为 FH 的中点，连 AN，请直接写出在旋转过程中 AN的最大值 【答案】 （1）15 ， （2）60 ， （3）8 【解析】 【分析】 （1）求出BAP的度数，再根据等腰三角形的性质可求ABP 的度数； （2）延长 QE至 G，使 GE=EQ，连接 BG、AG、AQ，证明QMEGBE，再证ACQABG，得出AGB=AQC，导角得出MQC=60； （3）取 BF中点 P，连接 NP、AP、AF，求出 NP、AP 长，即可求出 AN的最大值 【详解】解： （1）BAC120，ABAC43， ABCACB30， APBC， PACACB30， BAP150， A
41、BAP， ABPP15； （2）延长 QE至 G，使 GE=EQ，连接 BG、AG、AQ， BE=EM，BEGMEQ， QMEGBE， BG=QM，BGEMQE， AEQ90，GE=EQ， GA=AQ， Q 为线段 CM垂直平分线上一点， BG=QM=CQ， ACQABG， AGB=AQC，BAG=CAQ， GAQBAC120， AGQAQG30， MQC=AQC+AQM=AGB+AQM=AGQ+EGB +AQM=30 +MQE +AQM=30 +AQE=30 +30 =60 ； （3）取 BF中点 P，连接 NP、AP、AF， DBDA， DBADAB30， BAC120， DAC90， C
42、D2DA， 224 33CDADAD ， 4BDAD，由旋转得，4BHBD， 将ABC 沿 BC 翻折至FBC， FBA是等边三角形， P是 BF 中点， APBF，PAB30， 12 32BPAB， 226APABBP， P是 BF 中点，N为 FH的中点， 122NPHB, 8NANPAP， AN的最大值为 8 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题关键是恰当作辅助线构建全等三角形或中位线进行推理证明 24. 已知二次函数 yax25ax+c最小值为94，其图象与 x 轴交于 A，B两点（A在 B 的左侧） ，且过点D（0，4） （1）求这个二次函数的解
43、析式； （2）如图 1，已知 C（1，0）将线段 CB平移至线段 MN（点 C，B 的对应点分别为 M，N） ，使点 M，N都在抛物线上若直线 l：ykx+b（k0）将四边形 CBNM分成面积相等的两部分，且直线 l与两坐标轴围成的三角形的面积为 1，求 k的值； （3）如图 2，若直线 y3x+m 与抛物线交于 P，Q两点，求证：PAQ的内心在 x 轴上 【答案】 （1）254yxx， （2）12或 2 （3）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据已知求出顶点坐标，设顶点式，利用点 D（0，4）和待定系数法求解析式即可； （2）求出点 M，N坐标，可知直线 l一定经过四边形 CBNM 对角线
44、的交点，再根据直线 l与两坐标轴围成的三角形的面积为 1，求出一次函数解析式即可； （3）表示出 P，Q两点坐标，证明 AB 平分PAQ即可 【详解】 解：（1） 二次函数 yax25ax+c的对称轴为直线5522axa ， 抛物线的顶点坐标为 （52，94） ，设抛物线解析式为259()24ya x， 把 D（0，4）代入得，2594(0)24a，解得1a ， 抛物线解析式为259()24yx即254yxx （2）当 y=0时，2054xx，解得，11x ，24x ； A（1，0） ，B（4，0） ， C（1，0） ， CB=5， 线段 CB平移至线段 MN， 四边形 CBNM是平行四边形，
45、MNx轴，MN=5， 点 M，N 都在抛物线上且二次函数的对称轴为直线52x ，点 C，B 的对应点分别为 M，N， M、N的坐标分别为（0，4） ， （5，4） ；对角线交点 E 是 BM中点，坐标为（2，2） ， 直线 l：ykx+b（k0）将四边形 CBNM 分成面积相等的两部分， 直线 l：ykx+b（k0）一定经过点 E（2，2） ， 代入得，22kb， ykx+b与 x轴交点坐标为（0bk，） ，与 y轴交点为（0，b） ， 直线 l与两坐标轴围成的三角形的面积为 1， 112bbkg，联立两个方程得，11222bbkkb， 解得，11121kb，2222kb ， k 的值为12或 2 （3）设点 P坐标为（3p pm，） ，点 Q 坐标为（3q qm，） ， 代入254yxx得，22354354pmppqmqq， -得，223355pqpqpq，即3()()()5()pqpqpqpq， 0pq， 8pq， 254tan41qqBAQqq， 254tan41ppBAPpp， 4844pqq， BAQBAP ， PAQ的内心在 x轴上 【点睛】本题考查了二次函数的综合，包括解直角三角形、三角形内心、一次函数等知识，解题关键是熟练运用相关知识，通过设坐标建立方程，解决问题
