1、2021 年内蒙古鄂尔多斯市东胜区中考数学二模试卷年内蒙古鄂尔多斯市东胜区中考数学二模试卷 一、单项选择题（本大题一、单项选择题（本大题 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1实数 2 的负倒数是（ ） A B2 C D2 2世界上最小的动物是一种代号为 h39 的原生单细胞动物，最大直径长 0.3 微米，即 0.000003 米，只有在显微镜下才能看到其中数字 0.000003 用科学记数法表示为（ ） A0.3105 B3106 C3105 D3105 3下列运算正确的是（ ） A2ab+3ba5a2b2 B（2a2b）36a6b3 C（ab）（ab）a2
2、b2 D2ab3b26ab3 4如图是由几个大小相同的小正方体组合而成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的主视图是（ ） A B C D 5下列尺规作图，能判断 AD 是ABC 边上的中线的是（ ） A B C D 6如图，是小明绘制的他在一周内每天跑步圈数的折线统计图下列结论正确的是（ ） A众数是 9 B中位数是 8.5 C平均数是 9 D方差是 7 7定义新运算：ab，例如：35，3（5），则 y3x（x0）的图象是（ ） A B C D 8如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为 12cm，底面周长为 10cm，在容器内壁离容器底部 3cm
3、的点 B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿 3cm 的点 A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ） Acm B13cm Ccm Dcm 9如图，已知所在圆的半径为 4，弦 AB 长为，点 C 是上靠近点 B 的四等分点，将绕点 A 逆时针旋转 120后得到，则在该旋转过程中，线段 CB 扫过的面积是（ ） A B C D 10如图，已知二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴相交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，OAOC，对称轴为直线 x1，则下列结论：abc0；a+b+c0；ac+b+10；抛物线上有两点 P（x1，y1）和 Q（x2，y2），若 x11
4、x2，且 x1+x22，则 y1y2其中正确的有（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 题，每题题，每题 3 分，共分，共 18 分）分） 11计算：（）1+|32|2cos30 12四张看上去无差别的卡片上分别印有正方形、正五边形、正六边形和圆，现将印有图形的一面朝下，混 合 均 匀 后 从 中 随 机 抽 取 一 张 ， 则 抽 到 的 卡 片 上 印 有 的 图 形 是 中 心 对 称 图 形 的 概 率为 13如图，ABD 内接于O，ADB90，ADB 的角平分线 DC 交O 于 C若 BD8，BC，则 AD 的长为 14下列命题中，是真命题的是 （填序号
5、） 代数式中 x 的取值范围是 x； 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行； 平面直角坐标系中，点 P（4，2）关于 y 轴对称的点的坐标是（4，2）； 点 A 为直线 a 外一点，点 B 是直线 a 上一点，点 A 到直线 a 的距离为 5，则线段 AB 的长度不小于 5 15有一组数 2、，则第 n 个数是 16如图，点 P 是正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点，若 AB，则 AP+BP+DP 的最小值为 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，满分小题，满分 72 分）分） 17（1）解不等式组，并把解集表示在数轴上 （2）先化简，再求值：，其中 x 的值是一元二次方程 x
6、2+x60 的解 18某校 1800 名学生参加“珍爱生命，远离毒品”为主题的知识竞赛活动为了了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中抽取了若干名学生的得分进行统计，制成如下的频数分布表和直方图 成绩 x（分） 频数 50 x60 5 0.025 60 x70 16 0.08 70 x80 a 0.225 80 x90 62 b 90 x100 72 0.36 请你根据不完整的表格，回答下列问题： （1）请直接写出 a，b 的值，并补全频数分布直方图； （2）若得分等级为 50 x60 的 5 名学生中，有 3 名男生和 2 名女生，现在要从 5 名学生中任选 2 名学生进行再教育，请用树状图或列
7、表法求被选中的两名学生恰好为同一性别的概率 19某校一初三学生在学习了“锐角三角函数”的应用后，来到“孔子圣像”的雕像前，如图，想要用所学知识解决“孔子圣像”雕像 AB 的高度，他在雕像前 C 处用自制测角仪测得顶端 A 的仰角为 60，底端 B 的俯角为 45； 又在同一水平线上的 E 处用自制测角仪测得顶端 A 的仰角为 30， 已知 DE6m，求雕像 AB 的高度（结果保留根号） 20如图，一次函数 y1ax+b 与反比例函数 y2的图象相交于 A（1，4），B（4，1）两点，连接 AO 并延长 AO 交反比例函数图象于点 C （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）直接写出 y1
8、y2的自变量 x 的取值范围； （3）连接 OB，将直线 AB 向下平移，得到直线 OM在直线 OM 上找一点 N，使OABCON，求出满足条件的 N 点的坐标 21如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，点 E 是的中点，过点 E 作 EDAC，交 AC 的延长线于点 D （1）求证：DF 是O 的切线； （2）若 BF2，sinCAB，求 DE 的长 22鄂尔多斯旅游业的发展带动了当地的餐饮和住宿消费，某酒店房间实行淡、旺季两种价格标准收费，旺季每间的价格比淡季上涨 据统计， 淡季时该酒店平均每天有 10 间房空余， 每天总收入为 4800 元；旺季时所有房间能全部住满，每天总收入为
9、8000 元 （1）该酒店共有房间多少间？淡季时每间房的日租金是多少元？ （2）经市场调查发现，旺季每个房间的价格每上涨 10 元，每天入住的房间就会减少 1 间，请写出每日房间的入住数 y 间与每个房间涨价 x 元的关系式； （3）在（2）的条件下，不考虑其它因素，每个房间上涨多少元时，该酒店的日收入最高？最高收入是多少元？ 23如图，抛物线 yx2+bx+c 与直线 AB 交于 A（4，4），B（0，4）两点，且点 D 是它的顶点，在y 轴上有一点 C（0，1） （1）求出抛物线的解析式及直线 AB 的解析式； （2）点 E 在直线 AB 上运动，若BCE 是等腰三角形时，求点 E 的坐标
10、； （3）设点 N 是抛物线上一动点，若 SBDNSBDO，求点 N 的坐标 24“隐圆”一般有如下呈现方式：定点定长定圆；定弦定角定圆“隐圆”现身，“圆”来如此简单 【小试牛刀】如图 1，在四边形 ABCD 中，ABACAD，若CAD70，则DBC 度 【大显身手】如图 2，ACD 是等腰直角三角形，CAD90，过点 A 的直线 a 与 CD 平行，点 B 是直线 a 上的一个动点，且CBE90 （1）如图，当 BE 与 AD 的交点 P 在边 AD 上时，试判断 BC，BP 的数量关系是 ； （2）如图，当 BE 与 AD 的交点 P 在 AD 的延长线上时，上述结论是否成立，请说明理由；
11、 （3）如图，当 BE 与 AD 的交点 P 在 DA 的延长线上，且 BP，AD8 时，求 AB 的长 参考答案参考答案 一、单项选择题（本大题一、单项选择题（本大题 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1实数 2 的负倒数是（ ） A B2 C D2 【分析】根据负数和倒数的定义解决此题 解：根据负数和倒数的定义，实数 2 的负倒数为 故选：C 2世界上最小的动物是一种代号为 h39 的原生单细胞动物，最大直径长 0.3 微米，即 0.000003 米，只有在显微镜下才能看到其中数字 0.000003 用科学记数法表示为（ ） A0.3105 B3106
12、C3105 D3105 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n是正整数，当原数绝对值1 时，n 是负整数 解：0.0000033106 故选：B 3下列运算正确的是（ ） A2ab+3ba5a2b2 B（2a2b）36a6b3 C（ab）（ab）a2b2 D2ab3b26ab3 【分析】根据合并同类项的方法可以判断 A，根据积的乘方可以判断 B，根据平方差公式可以判断 C，根据单项式乘单项式可以判断 D 解：2ab+3ba5ab，故选项
13、 A 不符合题意； （2a2b）38a6b3，故选项 B 不符合题意； （ab）（ab）b2a2，故选项 C 不符合题意； 2ab3b26ab3，故选项 D 符合题意； 故选：D 4如图是由几个大小相同的小正方体组合而成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的主视图是（ ） A B C D 【分析】由已知条件可知，主视图有 3 列，每列小正方形数目分别为 2，3，1，据此可得出图形，从而求解 解：观察图形可知，该几何体的主视图为：， 故选：B 5下列尺规作图，能判断 AD 是ABC 边上的中线的是（ ） A B C D 【分析】根据三角形的中线的定义判断即可 解
14、：观察图象可知，选项 A 中，BDCD，故线段 AD 是ABC 的中线； 选项 B 中，ADBC，故线段 AD 是ABC 的高线； 选项 C 中，BADCAD，故线段 AD 是ABC 的角平分线； 选项 D 中，ADAB，不是的任何一条线段； 故选：A 6如图，是小明绘制的他在一周内每天跑步圈数的折线统计图下列结论正确的是（ ） A众数是 9 B中位数是 8.5 C平均数是 9 D方差是 7 【分析】由折线图得到一周内每天跑步圈数的数据，计算这组数据的平均数、中位数、众数、方差，然后判断得结论 解：A数据 10 出现的次数最多，即众数是 10，故本选项错误； B排序后的数据中，最中间的数据为
15、9，即中位数为 9，故本选项错误； C平均数为：（7+8+9+9+10+10+10）9，故本选项正确； D方差为（79）2+（89）2+（99）2+（99）2+（109）2+（109）2+（109）2，故本选项错误； 故选：C 7定义新运算：ab，例如：35，3（5），则 y3x（x0）的图象是（ ） A B C D 【分析】根据题目中的新定义，可以写出 y2x 函数解析式，从而可以得到相应的函数图象，本题得以解决 解：由题意得：y3x， 当 x0 时，反比例函数 y在第一象限， 当 x0 时，反比例函数 y在第二象限， 又因为反比例函数图象是双曲线，因此 D 选项符合 故选：D 8如图，透明
16、的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为 12cm，底面周长为 10cm，在容器内壁离容器底部 3cm 的点 B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿 3cm 的点 A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ） Acm B13cm Ccm Dcm 【分析】将容器侧面展开，作出 A 关于 EF 的对称点 A，根据两点之间线段最短可知 AB 的长度即为所求 解：如图： 高为 12cm，底面周长为 10cm，在容器内壁离容器底部 3cm 的点 B 处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿 3cm 与饭粒相对的点 A 处， AD5（cm），BD123+AE12（cm）， 将容器
17、侧面展开，作 A 关于 EF 的对称点 A， 连接 AB，则 AB 即为最短距离， AB13（cm） 故选：B 9如图，已知所在圆的半径为 4，弦 AB 长为，点 C 是上靠近点 B 的四等分点，将绕点 A 逆时针旋转 120后得到，则在该旋转过程中，线段 CB 扫过的面积是（ ） A B C D 【分析】根据线段 CB 扫过的面积扇形 BAB的面积扇形 CAC的面积求得即可 解：设所在圆的圆心为 O，连接 OC、OA、OB、AC、AC，作 ODAB 于 D， ADBDAB2， OA4， sinAOD， AOD60， AOB120， 点 C 是上靠近点 B 的四等分点， AOC90， AC4，
18、 线段 CB 扫过的面积S扇形ABBS扇形ACC16， 故选：B 10如图，已知二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴相交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，OAOC，对称轴为直线 x1，则下列结论：abc0；a+b+c0；ac+b+10；抛物线上有两点 P（x1，y1）和 Q（x2，y2），若 x11x2，且 x1+x22，则 y1y2其中正确的有（ ） A B C D 【分析】利用抛物线开口方向得到 a0，利用对称轴方程得到 b2a0，利用抛物线与 y 轴的交点位置得到 c0，则可对进行判断；利用对称性可判断点 B 在（2，0）的右侧，则当 x2 时，4a+2b+c0，则可对进
19、行判断；利用 C（0，c），OAOC 得到 A（c，0），把 A（c，0）代入抛物线解析式可对进行判断；根据 P、Q 到对称轴的距离可对进行判断 解：抛物线开口向下， a0， 抛物线的对称轴为直线 x1， b2a0， 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方， c0， abc0，所以正确； 点 A 到直线 x1 的距离大于 1， 点 B 到直线 x1 的距离大于 1， 即点 B 在（2，0）的右侧， 当 x2 时，y0， 即 4a+2b+c0， a+b+c0，所以错误； C（0，c），OAOC， A（c，0）， ac2bc+c0，即 acb+10，所以错误； 若 x11x2，且 x1+x22， 1
20、， 点 P（x1，y1）到对称轴的距离小于点 Q（x2，y2）到对称轴的距离， y1y2，所以正确 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 题，每题题，每题 3 分，共分，共 18 分）分） 11计算：（）1+|32|2cos30 【分析】直接利用绝对值的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简，再利用实数的加减运算法则计算得出答案 解：原式3+232 3+23 故答案为： 12四张看上去无差别的卡片上分别印有正方形、正五边形、正六边形和圆，现将印有图形的一面朝下，混合均匀后从中随机抽取一张，则抽到的卡片上印有的图形是中心对称图形的概率为 【分析】混合均匀后从中随
21、机抽取一张共有 4 种等可能结果，其中抽到的卡片上印有的图形是中心对称图形的有正方形、正六边形和圆这 3 种结果，再根据概率公式求解即可 解：将印有图形的一面朝下，混合均匀后从中随机抽取一张共有 4 种等可能结果，其中抽到的卡片上印有的图形是中心对称图形的有正方形、正六边形和圆这 3 种结果， 所以抽到的卡片上印有的图形是中心对称图形的概率为， 故答案为： 13如图，ABD 内接于O，ADB90，ADB 的角平分线 DC 交O 于 C若 BD8，BC，则 AD 的长为 6 【分析】连接 AC，根据圆周角定理得到 AB 为O 的直径，求得ACB90，根据角平分线的定义得到ADCBDC，得到 AC
22、BC5，求得 ABAC10，根据勾股定理即可得到答案 解：连接 AC， ADB90， AB 为O 的直径， ACB90， CD 平分ADB， ADCBDC， ， ACBC5， ABAC10， BD8， AD6， 故答案为：6 14下列命题中，是真命题的是 （填序号） 代数式中 x 的取值范围是 x； 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行； 平面直角坐标系中，点 P（4，2）关于 y 轴对称的点的坐标是（4，2）； 点 A 为直线 a 外一点，点 B 是直线 a 上一点，点 A 到直线 a 的距离为 5，则线段 AB 的长度不小于 5 【分析】利用二次根式、分式有意义的条件、平行线的判定
23、、关于坐标轴对称的点的坐标特点及垂线段的性质分别判断后即可确定正确的答案 解：代数式中 x 的取值范围是 x，正确，是真命题，符合题意； 平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意； 平面直角坐标系中，点 P（4，2）关于 y 轴对称的点的坐标是（4，2），故原命题错误，是假命题，不符合题意； 点 A 为直线 a 外一点，点 B 是直线 a 上一点，点 A 到直线 a 的距离为 5，则线段 AB 的长度不小于 5，正确，是真命题，符合题意， 真命题由， 故答案为： 15有一组数 2、，则第 n 个数是 【分析】通过观察这组数是分数形式以及分子后一项总
24、是前一项+6，将 2 改写为，可知分数的分子是4，104+6，164+62，224+63，284+64，.，4+6（n1），分母是 220+1，321+1，522+1，923+1，1724+1，.，2n1+1，即可求出答案 解：首先观察序列是个分数，分子后一项总是前一项+6， 将这组数改写为：、， 分子是 4，104+6，164+62，224+63，284+64，.，4+6（n1）6n2， 分母是 220+1，321+1，522+1，923+1，1724+1，.，2n1+1， 故答案为： 16 如图， 点 P 是正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点， 若 AB， 则 AP+BP+DP 的最
25、小值为 2+2 【分析】将ABP 绕点 A 顺时针旋转 60得ABP，连接 PP，可得APP、ABB都是等边三角形，AP+BP+DP 的最小值为 DB的长，利用勾股定理求出 DB的长即可 解：将ABP 绕点 A 顺时针旋转 60得ABP，连接 PP， APAP，ABAB，PAPBAB，BPBP， APP、ABB都是等边三角形， APPP， AP+BP+DPPP+BP+PD， AP+BP+DP 的最小值为 DB的长， 过点 B作 BNCD 于 N，交 AB 于 M， AM， 由勾股定理得 BM， 在 RtBDN 中，DB2+2， AP+BP+DP 的最小值为 2+2， 故答案为：2+2 三、解答
26、题（共三、解答题（共 8 小题，满分小题，满分 72 分）分） 17（1）解不等式组，并把解集表示在数轴上 （2）先化简，再求值：，其中 x 的值是一元二次方程 x2+x60 的解 【分析】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集； （2）先计算括号内分式的加法，再将除法转化为乘法，最后约分即可化简原式，继而根据方程的解的概念得出 x2+x6，代入计算即可 解：（1）解不等式 3（x+2）2x+5，得：x1， 解不等式，得：x3， 则不等式组的解集为1x3， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： （2）原式（+） x（x+1
27、） x2x， x2+x60， x2+x6， 则原式（x2+x）6 18某校 1800 名学生参加“珍爱生命，远离毒品”为主题的知识竞赛活动为了了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中抽取了若干名学生的得分进行统计，制成如下的频数分布表和直方图 成绩 x（分） 频数 50 x60 5 0.025 60 x70 16 0.08 70 x80 a 0.225 80 x90 62 b 90 x100 72 0.36 请你根据不完整的表格，回答下列问题： （1）请直接写出 a，b 的值，并补全频数分布直方图； （2）若得分等级为 50 x60 的 5 名学生中，有 3 名男生和 2 名女生，现在要从 5 名
28、学生中任选 2 名学生进行再教育，请用树状图或列表法求被选中的两名学生恰好为同一性别的概率 【分析】（1）由成绩为 60 x70 的频数除以频率求出抽取的学生人数，即可解决问题； （2）画树状图，共有 20 种等可能的结果，被选中的两名学生恰好为同一性别的结果有 8 种，再由概率公式求解即可 解：（1）抽取的学生人数为：160.08200（人）， a200516627245，b622000.31， 补全频数分布直方图如下： （2）画树状图如下： 共有 20 种等可能的结果，被选中的两名学生恰好为同一性别的结果有 8 种， 被选中的两名学生恰好为同一性别的概率为 19某校一初三学生在学习了“锐角
29、三角函数”的应用后，来到“孔子圣像”的雕像前，如图，想要用所学知识解决“孔子圣像”雕像 AB 的高度，他在雕像前 C 处用自制测角仪测得顶端 A 的仰角为 60，底端 B 的俯角为 45； 又在同一水平线上的 E 处用自制测角仪测得顶端 A 的仰角为 30， 已知 DE6m，求雕像 AB 的高度（结果保留根号） 【分析】设 CDxm，解 RtACD 与 RtDCB，用含 x 的代数式表示出 AD、DB，然后根据ADE 是含30 度角的直角三角形列出方程，解方程即可求 x 的值，进而可得 AB 解：设 CDxm， ACD60，BCD45， ADxtan60 x（m），DBxtan45x（m），
30、AED30，DE6m， ADDEtan3062（m）， x2， 解得 x2（m）， ABAD+DBx+x（2+2）m 答：雕像 AB 的高度为（2+2）m 20如图，一次函数 y1ax+b 与反比例函数 y2的图象相交于 A（1，4），B（4，1）两点，连接 AO 并延长 AO 交反比例函数图象于点 C （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）直接写出 y1y2的自变量 x 的取值范围； （3）连接 OB，将直线 AB 向下平移，得到直线 OM在直线 OM 上找一点 N，使OABCON，求出满足条件的 N 点的坐标 【分析】（1）将 A（1，4），B（4，1）两点代入 yax+b，解方程
31、组即可； （2）观察图象即可得出答案； （3）使OABCON，只要 ONAB，即可得出点 N 的坐标 解：（1）将 A（1，4），B（4，1）两点代入 yax+b，得： ， 解得：， 一次函数的解析式为：yx+5， 将 A（1，4）代入反比例函数 y得： k4， 反比例函数的解析式为：y； （2）由图象可知，当 y1y2时，自变量 x 的取值范围为：1x4； （3）A（1，4），B（4，1）， AB， ABOM， COMOAB， 且直线 OM 的解析式为：yx， OABCON， ONAB3， 设 N（m，m）， m3， m3， N（3，3） 21如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，点
32、E 是的中点，过点 E 作 EDAC，交 AC 的延长线于点 D （1）求证：DF 是O 的切线； （2）若 BF2，sinCAB，求 DE 的长 【分析】（1）连接 OE，根据圆周角定理得到BADCAD，根据等腰三角形的性质得到BADODA，求得CADODA，得到 ODAE，根据平行线的性质得到 DEOD，根据切线的判定定理得到 DF 是O 的切线； （2）设 EF4x，则 OF5x，由锐角三角函数的定义可得出 x1，求出 DF，EF 的长，则可得出答案 【解答】（1）证明：连接 OE， D 是的中点， BADCAD， OAOD， BADODA， CADODA， ODAE， DEAC， DE
33、OD， OE 是O 的半径， DF 是O 的切线； （2）解：ADOE， CABEOF， tanCABEOF， 设 EF4x，则 OF5x， OE3x， BF2， ， x1， AFAB+BF8，EF4， ， DF， DEDFEF 22鄂尔多斯旅游业的发展带动了当地的餐饮和住宿消费，某酒店房间实行淡、旺季两种价格标准收费，旺季每间的价格比淡季上涨 据统计， 淡季时该酒店平均每天有 10 间房空余， 每天总收入为 4800 元；旺季时所有房间能全部住满，每天总收入为 8000 元 （1）该酒店共有房间多少间？淡季时每间房的日租金是多少元？ （2）经市场调查发现，旺季每个房间的价格每上涨 10 元，
34、每天入住的房间就会减少 1 间，请写出每日房间的入住数 y 间与每个房间涨价 x 元的关系式； （3）在（2）的条件下，不考虑其它因素，每个房间上涨多少元时，该酒店的日收入最高？最高收入是多少元？ 【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，进而求得该酒店房间数和淡季每间的价格； （2）根据题意直接写出 y 与 x 的函数关系式； （3）根据总收入每日入住房间数房间的价格列出函数关系式，再根据函数的性质求函数最值 解：（1）设淡季每间的价格为 a 元，酒店房间有 b 间， 由题意，得：， 解得：， 答：该酒店有房间 50 间，淡季每间房的日租金是 120 元； （2）设每个房间价格上涨 x 元
35、，根据题意得， y50 x+50， 每日房间的入住数 y 间与每个房间涨价 x 元的关系式为 yx+50； （3）设该酒店的每日总收入为 w 元，由题意得： w（120+x）（50）x2+34x+8000（x170）2+10890， 0， 当 x170 时，y 有最大值，最大值为 10890， 每个房间上涨 170 元时，该酒店的日收入最高，最高收入是 10890 元 23如图，抛物线 yx2+bx+c 与直线 AB 交于 A（4，4），B（0，4）两点，且点 D 是它的顶点，在y 轴上有一点 C（0，1） （1）求出抛物线的解析式及直线 AB 的解析式； （2）点 E 在直线 AB 上运动，
36、若BCE 是等腰三角形时，求点 E 的坐标； （3）设点 N 是抛物线上一动点，若 SBDNSBDO，求点 N 的坐标 【分析】（1）利用待定系数法即可得出答案； （2）先设出点 E 的坐标，然后分 BCBE，BCEC，BECE 三种情况讨论即可； （3）先求出直线 BD 的解析式，然后设出点 N 的坐标，过点 N 作 NH 平行 x 轴交 BD 于 H 点，根据三角形的面积公式即可得出答案 解：（1）把 A（4，4），B（0，4）代入抛物线的解析式， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为 yx22x+4， 设直线 AB 的解析式为 ymx+n，把 A（4，4），B（0，4）代入直线 AB 的解
37、析式， 得：， 解得：， 直线 AB 的解析式为 y2x+4； （2）设 E（x，2x+4）， 若 BCBE， 则（42x4）2+（0 x）252， 解得 x或 x， E（，）或（，2+4）， 若 BCEC， 则 x2+（12x4）252， 解得 x4 或 x0（舍）， E（4，4）， 若 BECE， 则 x2+（2x）2x2+（2x+5）2， 解得 x， E（，）， 综上，E 的坐标为（，）或（，2+4）或（4，4）或（，）； （3）设点 N 的坐标为（a，a22a+4），由（1）知 D（1，5）， ， ， 点 D（1，5），B（0，4）， 直线 BD 的解析式为 yx+4， 过点 N 作
38、NH 平行 x 轴，交 BD 于 H， 则 H（a2+2a，a22a+4）， NHa2+a， 3， 解得 a3 或 a2， 当 a3 时，a22a+41， 当 a2 时，a22a+44， N（3，1）或（2，4） 24“隐圆”一般有如下呈现方式：定点定长定圆；定弦定角定圆“隐圆”现身，“圆”来如此简单 【小试牛刀】如图 1，在四边形 ABCD 中，ABACAD，若CAD70，则DBC 35 度 【大显身手】如图 2，ACD 是等腰直角三角形，CAD90，过点 A 的直线 a 与 CD 平行，点 B 是直线 a 上的一个动点，且CBE90 （1）如图，当 BE 与 AD 的交点 P 在边 AD
39、上时，试判断 BC，BP 的数量关系是 BCBP ； （2）如图，当 BE 与 AD 的交点 P 在 AD 的延长线上时，上述结论是否成立，请说明理由； （3）如图，当 BE 与 AD 的交点 P 在 DA 的延长线上，且 BP，AD8 时，求 AB 的长 【分析】【小试牛刀】根据 ABACAD，得点 B、C、D 在以 A 为圆心，AB 为半径的圆上，再根据圆周角定理即可； （1） 根据CBPCAP90， 得点 A、 B、 C、 P 在以 CP 为直径的圆上， 则有BPCBAC45，即可证明； （2）由（1）同理可证BCP45，从而证明结论； （3）连接 PC，取 PC 的中点 O，连接 OB
40、，OA，作 PHAB 于 H，由（1）同理可证PCBBPC45，得 BCPB5，由PAH 是等腰直角三角形即可解决问题 解：【小试牛刀】ABACAD， 点 B、C、D 在以 A 为圆心，AB 为半径的圆上， DBCDAC7035， 故答案为：35； （1）BCBP，理由如下： aCD， BACACD， ACD 是等腰直角三角形， ACD45， BAC45， CBPCAP90， 点 A、B、C、P 在以 CP 为直径的圆上， BPCBAC45， BCP 是等腰直角三角形， BCBP， 故答案为：BCBP； （2）成立，理由如下： 如图，连接 PC， 同理可得：点 A、B、C、P 在以 CP 为直径的圆上， BCPBAP， aCD， BAPADC45， BCP45， BCP 是等腰直角三角形， BCBP； （3）如图，连接 PC，取 PC 的中点 O，连接 OB，OA，作 PHAB 于 H， CBPCAP90，OPOC， OBOPOCOA， A、C、B、P 四点共圆， BCPBAP， ABCD， BAPD45， PCBBPC45， BCPB5， PC10， ADAC8， PA6， PAH45，PHA90， PHAH3， 在 RtPBH 中， BH4， ABBH+AH7
