1、 1 2020-2021 学年第二学期八年级数学期中测试题学年第二学期八年级数学期中测试题 一、一、选择题（本大题共选择题（本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 2 2 分，共分，共 2020 分）分） 1计算的结果是（ ） A B4 C8 D4 2当 x3 时，函数 y2x+1 的值是（ ） A5 B3 C7 D5 3若正比例函数 ykx 的图象经过点（2，1） ，则 k 的值为（ ） A B C2 D2 4下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ ） Aa1，b2，c3 Ba2，b3，c4 Ca2，b4，c5 Da3，b4，c5 5正方形的一条对角线之长为 4，则此正方形的面积是（
2、） A16 B4 C8 D8 6在 RtABC 中，C90，AC9，BC12，则点 C 到 AB 的距离是（ ） A B C D 7不能判定一个四边形是平行四边形的条件是（ ） A两组对边分别平行 B一组对边平行且相等 C一组对边平行，另一组对边相等 D两组对边分别相等 8直线 yx+1 不经过象限是（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 9小强所在学校离家距离为 2 千米，某天他放学后骑自行车回家，先骑了 5 分钟后，因故停留 10 分钟，再继续骑了 5 分钟到家 下面哪一个图象能大致描述他回家过程中离家的距离 s （千米） 与所用时间 t （分）之间的关系（ ） 2 10
3、如图， 在ABC 中， C90， AC2， 点 D 在 BC 上， ADC2B， AD， 则 BC 的长为 （ ） A1 B+1 C1 D+1 二、填空题（共二、填空题（共 6 6 小题，每小题小题，每小题 2 2 分，共分，共 1212 分，直接把最简答案填写在题中的横线上）分，直接把最简答案填写在题中的横线上） 11在函数 y中，自变量 x 的取值范围是 12比较大小：4 （填“”或“” ） 13如图所示，每个小正方形的边长为 1，A、B、C 是小正方形的顶点，则ABC 的度数为 14把直线 yx+1 沿 y 轴向下平移 2 个单位，所得直线的函数解析式为 15直线 yx+1 不经过第 象
4、限 16如图是“赵爽弦图” ，ABH、CDF 和DAE 是四个全等的直角三角形，四边形 ABCD 和 EFGH 都是正方形，如果 AH6，EF2，那么 AB 等于 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 9 小题，满分小题，满分 6868 分，解答应写出文字说明、推理过程或演箅步骤）分，解答应写出文字说明、推理过程或演箅步骤） 17.17.（本小题满分（本小题满分 6 6 分，每小题分，每小题 2 2 分）分） （1）计算：； （2）化简：（x0） ； （3）计算： 3 18.18. （本小题满分（本小题满分 7 7 分）分） 如图，在ABCD 中，过点 D 作 DEAB 于点 E，点
5、F 在边 CD 上，DFBE，连接 AF，BF （1）求证：四边形 BFDE 是矩形； （2）若 CF3，BF4，DF5，求证：AF 平分DAB 19.19. （本小题满分（本小题满分 5 5 分）分） 如图反映的过程是：小明从家出发去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家其中 x 表示时间，y 表示小明离他家的距离，小明家，菜地，玉米地在同一直线上根据图象回答下列问题： （1）菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多长时间？小明给菜地浇水用了多长时间？ （2）菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多长时间？ （3）小明给玉米地锄草用了多长时间？ （4）玉米地离小明家多远？小明从玉米地走回家的平均速
6、度是多少？ 20.20. （本小题满分（本小题满分 7 7 分）分） 已知 y 是 x 的一次函数，当 x1 时，y2，当 x2 时，y0，求： （1）求此一次函数的解析式； （2）求当1x3，对应的 y 取值范围 21.21.（本小题满分（本小题满分 7 7 分）分） 已知，如图，在ABC 中，B45，C60，AB3 （1）A ； 4 （2）求点 A 到 BC 的距离； （3）求 BC 的长（结果用根号表示） 22.22.（本小题满分（本小题满分 9 9 分）分） 如图，ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，AECF （1）求证：BOEDOF； （2）连接 DE、BF，若 BDEF，
7、试探究四边形 EBFD 的形状，并对结论给予证明 23.23.（本小题满分（本小题满分 9 9 分）分） 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC、BD 相交于点 O，DHAB 于 H，连接 OH， （1）求证：DHODCO （2）若 OC4，BD6，求菱形 ABCD 的周长和面积 24.24.（本小题满分（本小题满分 1010 分）分） 如图， 一次函数的图象分别与 x 轴、 y 轴交于 A、 B， 以线段 AB 为边在第一象限内作等腰 RtABC，使BAC90 （1）分别求点 A、C 的坐标； （2）在 x 轴上求一点 P，使它到 B、C 两点的距离之和最小 5 25.25.（本小题满
8、分（本小题满分 1212 分）分） 已知，矩形 ABCD 中，AB4cm，AD2AB，AC 的垂直平分线 EF 分别交 AD、BC 于点 E、F，垂足为 O （1）如图 1，连接 AF、CE求证四边形 AFCE 为菱形，并求 AF 的长； （2）如图 2，动点 P、Q 分别从 A、C 两点同时出发，沿AFB 和CDE 各边匀速运动一周，即点 P 自AFBA 停止，点 Q 自 CDEC 停止在运动过程中， 已知点 P 的速度为每秒 5cm，点 Q 的速度为每秒 4cm，运动时间为 t 秒当 A、C、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求 t 的值； 若点 P、Q 的速度分别为 v1、v2（
9、cm/s） ，点 P、Q 的运动路程分别为 a、b（单位：cm，ab0） ，已知A、C、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形，试探究 a 与 b 满足的数量关系 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 二、二、选择题（本大题共选择题（本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 2 2 分，共分，共 2020 分）分） 1计算的结果是（ ） A B4 C8 D4 【分析】根据（a0，b0）进行计算即可 【解答】解：原式4， 故选：B 【点评】此题主要考查了二次根式的乘法，关键是注意结果要化成最简二次根式 6 2当 x3 时，函数 y2x+1 的值是（ ） A5 B3 C7 D5 【分析】把 x
10、3 代入函数解析式求得相应的 y 值即可 【解答】解：当 x3 时， y2x+123+16+15 故选：A 【点评】 本题主要考查了函数值的求解， 把自变量的值代入函数解析式计算即可， 是基础题， 比较简单 3若正比例函数 ykx 的图象经过点（2，1） ，则 k 的值为（ ） A B C2 D2 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，把（2，1）代入 ykx 中即可计算出 k 的值 【解答】解：把（2，1）代入 ykx 得 2k1，解得 k 故选：B 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数 ykx+b， （k0，且 k，b 为常数）的图象是一条直线它与 x 轴的交点坐标是（
11、，0） ；与 y 轴的交点坐标是（0，b） 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式 ykx+b 4下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ ） Aa1，b2，c3 Ba2，b3，c4 Ca2，b4，c5 Da3，b4，c5 【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可 【解答】解：A、1+23，不能构成三角形，故本选项错误； B、22+321342，不能构成直角三角形，故本选项错误； C、22+422052，不能构成直角三角形，故本选项错误； D、32+422552，能构成直角三角形，故本选项正确 故选：D 【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a
12、2+b2c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键 5正方形的一条对角线之长为 4，则此正方形的面积是（ ） A16 B4 C8 D8 【分析】由正方形的对角线互相垂直可得：正方形的面积两条对角线乘积的一半，即可得出结果 7 【解答】解：如图所示： 四边形 ABCD 是正方形， ACBD，ACBD4， 正方形 ABCD 的面积ACBD448； 故选：C 【点评】本题考查了正方形的性质和正方形面积的计算方法；熟练掌握正方形的性质，得出正方形的面积两条对角线乘积的一半是解决问题的关键 6在 RtABC 中，C90，AC9，BC12，则点 C 到 AB 的距离是（ ） A B C D 【分析
13、】根据题意画出相应的图形，如图所示，在直角三角形 ABC 中，由 AC 及 BC 的长，利用勾股定理求出 AB 的长，然后过 C 作 CD 垂直于 AB，由直角三角形的面积可以由两直角边乘积的一半来求，也可以由斜边 AB 乘以斜边上的高 CD 除以 2 来求，两者相等，将 AC，AB 及 BC 的长代入求出 CD 的长，即为 C 到 AB 的距离 【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示： 在 RtABC 中，AC9，BC12， 根据勾股定理得：AB15， 过 C 作 CDAB，交 AB 于点 D， 又 SABCACBCABCD， CD， 8 则点 C 到 AB 的距离是 故选：A 【点评
14、】此题考查了勾股定理，点到直线的距离，以及三角形面积的求法，熟练掌握勾股定理是解本题的关键 7不能判定一个四边形是平行四边形的条件是（ ） A两组对边分别平行 B一组对边平行且相等 C一组对边平行，另一组对边相等 D两组对边分别相等 【分析】根据平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可选出答案 【解答】解：A、两组对边分别平行，可判定该四边形是平行四边形，故 A 不符合题意； B、一组对边平行且相等，可判定该四边形是平行四边
15、形，故 B 不符合题意； C、一组对边平行另一组对边相等，不能判定该四边形是平行四边形，也可能是等腰梯形，故 C 符合题意； D、两组对边分别相等，可判定该四边形是平行四边形，故 D 不符合题意 故选：C 【点评】此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况对于判定定理： “一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ”应用时要注意必须是“一组” ，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形 8直线 yx+1 不经过象限是（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】由 k10，b10，即可判断出图象经过的象限 【解答】解：直线 yx+1 中， k10，b10，
16、 直线的图象经过第一，二，四象限 故选：C 【点评】本题考查了一次函数的图象的性质，同时考查了函数的增减性，即一次函数 ykx+b 中，当 k 9 0 时，y 随 x 的增大而增大；当 k0 时，y 随 x 的增大而减小 9小强所在学校离家距离为 2 千米，某天他放学后骑自行车回家，先骑了 5 分钟后，因故停留 10 分钟，再继续骑了 5 分钟到家 下面哪一个图象能大致描述他回家过程中离家的距离 s （千米） 与所用时间 t （分）之间的关系（ ） 【分析】根据题意分析可得：他回家过程中离家的距离 S（千米）与所用时间 t（分）之间的关系有 3 个阶段； （1） 、行使了 5 分钟，位移减小；
17、 （2） 、因故停留 10 分钟，位移不变； （3） 、继续骑了 5 分钟到家，位移继续减小，直到为 0； 【解答】解：因为小强家所在学校离家距离为 2 千米，某天他放学后骑自行车回家，行使了 5 分钟后，因故停留 10 分钟，继续骑了 5 分钟到家，所以图象应分为三段，根据最后离家的距离 故选：D 【点评】本题要求正确理解函数图象与实际问题的关系，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小，通过图象得到函数是随自变量的增大或减小的快慢 10 如图， 在ABC 中， C90， AC2， 点 D 在 BC 上， ADC2B， AD， 则 BC 的长为 （ ）
18、A1 B+1 C1 D+1 【分析】根据ADC2B，ADCB+BAD 判断出 DBDA，根据勾股定理求出 DC 的长，从而求出 BC 的长 【解答】解：ADC2B，ADCB+BAD， BDAB， DBDA， 在 RtADC 中， DC1， BC+1 10 故选：D 【点评】本题主要考查了勾股定理，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方同时涉及三角形外角的性质，二者结合，是一道好题 二、填空题（共二、填空题（共 6 6 小题，每小题小题，每小题 2 2 分，共分，共 1212 分，直接把最简答案填写在题中的横线上）分，直接把最简答案填写在题中的
19、横线上） 11在函数 y中，自变量 x 的取值范围是 x1 【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以 x10，解不等式可求 x 的范围 【解答】解：根据题意得：x10， 解得：x1 故答案为：x1 【点评】此题主要考查函数自变量的取值范围，解决本题的关键是当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数 12比较大小：4 （填“”或“” ） 【分析】根据二次根式的性质求出4，比较和的值即可 【解答】解：4， ， 4， 故答案为： 【点评】本题考查了二次根式的性质和实数的大小比较等知识点，关键是知道 4，题目较好，难度也不大 13如图所示，每个小正方形的边长为 1，A、B、C 是小
20、正方形的顶点，则ABC 的度数为 45 【分析】 分别在格点三角形中， 根据勾股定理即可得到 AB， BC， AC 的长度， 继而可得出ABC 的度数 【解答】解：如图，连接 AC 根据勾股定理可以得到：ACBC，AB， （）2+（）2（）2，即 AC2+BC2AB2， 11 ABC 是等腰直角三角形 ABC45 故答案为：45 【点评】本题考查了勾股定理，判断ABC 是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点三角形中利用勾股定理 14把直线 yx+1 沿 y 轴向下平移 2 个单位，所得直线的函数解析式为 【分析】根据平移的规则“上加下减”即可得出结论 【解答】解：将直线 yx+1 沿 y
21、 轴向下平移 2 个单位后得到的直线函数解析式为 yx+12，即 yx1 故答案为 yx1 【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是牢记图形平移的规则“左加右减，上加下减” 本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握图形平移的规则是关键 15直线 yx+1 不经过第 象限 【分析】由 k10，b10，即可判断出图象经过的象限 【解答】解：直线 yx+1 中， k10，b10， 直线的图象经过第一，二，四象限 故答案为：三 【点评】本题考查了一次函数的图象的性质，同时考查了函数的增减性，即一次函数 ykx+b 中，当 k0 时，y 随 x 的增大而增大；当 k0 时，y
22、随 x 的增大而减小 16如图是“赵爽弦图” ，ABH、CDF 和DAE 是四个全等的直角三角形，四边形 ABCD 和 EFGH 都是正方形，如果 AH6，EF2，那么 AB 等于 【分析】在直角三角形 AHB 中，利用勾股定理进行解答即可 【解答】解：AH6，EF2， BGAH6，HGEF2， 12 BH8， 在直角三角形 AHB 中，由勾股定理得到：AB10 故答案是：10 【点评】此题考查勾股定理的证明，解题的关键是得到直角三角形 ABH 的两直角边的长度 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 9 小题，满分小题，满分 6868 分，解答应写出文字说明、推理过程或演箅步骤）分，解
23、答应写出文字说明、推理过程或演箅步骤） 17.17.（本小题满分（本小题满分 6 6 分，每小题分，每小题 2 2 分）分） （1）计算：； （2）化简：（x0） ； （3）计算： 【分析】 （1）首先化简二次根式，再合并即可； （2）首先把分子分母化简二次根式，再分母有理化即可； （3）先算乘法，再算减法即可 【解答】 （1）解：2； （2）解：（x0）x （3）原式321 【点评】本题考查了二次根式的混合运算；把二次根式化成最简二次根式是解决问题的关键 18.18.（本小题满分（本小题满分 7 7 分）分） 如图，在ABCD 中，过点 D 作 DEAB 于点 E，点 F 在边 CD 上，D
24、FBE，连接 AF，BF （1）求证：四边形 BFDE 是矩形； （2）若 CF3，BF4，DF5，求证：AF 平分DAB 【分析】 （1）根据平行四边形的性质，可得 AB 与 CD 的关系，根据平行四边形的判定，可得 BFDE 是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案； （2）根据平行线的性质，可得DFAFAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得DAFDFA， 13 根据角平分线的判定，可得答案 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD BEDF，BEDF， 四边形 BFDE 是平行四边形 DEAB， DEB90， 四边形 BFDE 是矩形； （2）解：四边形 ABCD
25、 是平行四边形， ABDC， DFAFAB 在 RtBCF 中，由勾股定理，得 BC5， ADBCDF5， DAFDFA， DAFFAB， 即 AF 平分DAB 【点评】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出DAFDFA 是解题关键 19.19.（本小题满分（本小题满分 5 5 分）分） 如图反映的过程是：小明从家出发去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家其中 x 表示时间，y 表示小明离他家的距离，小明家，菜地，玉米地在同一直线上根据图象回答下列问题： （1）菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多长时间？小明给菜地浇
26、水用了多长时间？ （2）菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多长时间？ （3）小明给玉米地锄草用了多长时间？ （4）玉米地离小明家多远？小明从玉米地走回家的平均速度是多少？ 14 【分析】观察函数图象得到小明用 15 分钟从家去菜地，浇水用了 10 分钟，又去离家 2 千米的玉米地，锄草用了 18 分钟，然后用了 25 分钟回家 【解答】解：由图象得： （1）菜地离小明家 1.1 千米，小明从家到菜地用了 15 分钟，小明给菜地浇水用了 251510（分钟） ； （2）菜地离玉米地 21.10.9（千米） ，小明从菜地到地用了 372512（分钟） ； （3）小明给玉米地锄草用了 5537
27、18（分钟） ； （4）玉米地离小明家 2 千米，小明从玉米地走回家的平均速度24.8（千米/小时） 【点评】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 20.20.（本小题满分（本小题满分 7 7 分）分） 已知 y 是 x 的一次函数，当 x1 时，y2，当 x2 时，y0，求： （1）求此一次函数的解析式； （2）求当1x3，对应的 y 取值范围 【分析】 （1）设一次函数解析式为 ykx+b，把已知 x 与 y 的两对值代入求出 k 与 b 的值，即可确定出一次函数解析式； （2）根据 x 的范围确定出 y 的范围即可 【解答】解： （1）设一次函数解析式为 y
28、kx+b， 把 x1，y2；x2，y0 代入得：022bkbk， 解得：k2，b4 则一次函数解析式为 y2x+4； （2）由1x3，得到2y6， 则 y 的范围为2y6 【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本 15 题的关键 21.21.（本小题满分（本小题满分 7 7 分）分） 已知，如图，在ABC 中，B45，C60，AB3 （1）A ； （2）求点 A 到 BC 的距离； （3）求 BC 的长（结果用根号表示） 【分析】 （1）根据三角形内角和定理计算即可； （2）根据正弦的定义求出 AD； （3）根据正切的定义求出 CD，计算即可
29、【解答】解： （1）A180（B+C）75， 故答案为：75； （2）作 ADBC 于 D， 在 RtABD 中，ADABsinB3， 即点 A 到 BC 的距离为 3； （3）在 RtABD 中，BDABcosB3， 在 RtACD 中，CD， 则 BCBD+CD3+ 16 【点评】本题考查的是解直角三角形，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键 22.22.（本小题满分（本小题满分 9 9 分）分） 如图，ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，AECF （1）求证：BOEDOF； （2）连接 DE、BF，若 BDEF，试探究四边形 EBFD 的形状，并对结论给予证明 【分析】 （1）根
30、据平行四边形的性质可得 BODO，AOCO，再利用等式的性质可得 EOFO，然后再利用 SAS 定理判定BOEDOF 即可； （2）根据 BODO，FOEO 可得四边形 BEDF 是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形 EBDF 为菱形 【解答】证明： （1）四边形 ABCD 是平行四边形， BODO，AOCO， AECF， AOAECOFO， EOFO， 在BOE 和DOF 中， BOEDOF（SAS） ； （2）四边形 EBFD 为菱形，等三角形的判定，以及菱形的判定，关键是掌握 理由：BODO，FOEO， 四边形 BEDF 是平行四边形， BDEF， 四边形 EB
31、FD 为菱形 17 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分对角线互相平分的四边形是平行四边形 23.23.（本小题满分（本小题满分 9 9 分）分） 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC、BD 相交于点 O，DHAB 于 H，连接 OH， （1）求证：DHODCO （2）若 OC4，BD6，求菱形 ABCD 的周长和面积 【分析】 （1）先根据菱形的性质得 ODOB，ABCD，BDAC，则利用 DHAB 得到 DHCD，DHB90，所以 OH 为 RtDHB 的斜边 DB 上的中线，得到 OHODOB，利用等腰三角形的性质得1DHO，然后利用等角的余角相等证
32、明结论； （2）先根据菱形的性质得 ODOBBD3，OAOC4，BDAC，再根据勾股定理计算出 CD，然后利用菱形的性质和面积公式求菱形 ABCD 的周长和面积 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是菱形， ODOB，ABCD，BDAC， DHAB， DHCD，DHB90， OH 为 RtDHB 的斜边 DB 上的中线， OHODOB， 1DHO， DHCD， 1+290， 18 BDAC， 2+DCO90， 1DCO， DHODCO； （2）解：四边形 ABCD 是菱形， ODOBBD3，OAOC4，BDAC， 在 RtOCD 中，CD5， 菱形 ABCD 的周长4CD20， 菱形 AB
33、CD 的面积6824 【点评】本题考查了菱形的性质：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形熟练掌握菱形的性质（菱形具有平行四边形的一切性质； 菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角） 解决（1）小题的关键是判断 OH 为直角三角形斜边上的中线 24.24.（本小题满分（本小题满分 1010 分）分） 如图， 一次函数的图象分别与 x 轴、 y 轴交于 A、 B， 以线段 AB 为边在第一象限内作等腰 RtABC，使BAC90 （1）分别求点 A、C 的坐标； （2）在 x 轴上求一点 P，使它到 B、C 两点的距离之和最小 【分析】 （1）作 CDx 轴，易证
34、OABACD，即可证明ABOCAD，可得 ADOB，CDOA，即可解题； 19 （2）作 C 点关于 x 轴对称点 E，连接 BE，即可求得 E 点坐标，根据点 P 在直线 BE 上即可求得点 P 坐标，即可解题 【解答】解： （1）作 CDx 轴， OAB+CAD90，CAD+ACD90， OABACD， 在ABO 和CAD 中， ， ABOCAD（AAS） ADOB，CDOA， yx+2 与 x 轴、y 轴交于点 A、B， A（3，0） ，B（0，2） ， 点 C 坐标为（5，3） ； （2）作 C 点关于 x 轴对称点 E，连接 BE， 则 E 点坐标为（5，3） ，将（0，2） （5，
35、3） ，代入 yax+c 中， ， 解得： 直线 BE 解析式为 yx+2， 设点 P 坐标为（x，0） ， 20 则（x，0）位于直线 BE 上， 点 P 坐标为（2，0） 【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证ABOCAD 是解题的关键 25.25.（本小题满分（本小题满分 1212 分）分） 已知，矩形 ABCD 中，AB4cm，AD2AB，AC 的垂直平分线 EF 分别交 AD、BC 于点 E、F，垂足为 O （1）如图 1，连接 AF、CE求证四边形 AFCE 为菱形，并求 AF 的长； （2）如图 2，动点 P、Q 分别从 A、C 两点同时
36、出发，沿AFB 和CDE 各边匀速运动一周，即点 P 自AFBA 停止，点 Q 自 CDEC 停止在运动过程中， 已知点 P 的速度为每秒 5cm，点 Q 的速度为每秒 4cm，运动时间为 t 秒当 A、C、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求 t 的值； 若点 P、Q 的速度分别为 v1、v2（cm/s） ，点 P、Q 的运动路程分别为 a、b（单位：cm，ab0） ，已知A、C、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形，试探究 a 与 b 满足的数量关系 【分析】 （1）先证明四边形 ABCD 为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定，根据勾股定理即可求 AF
37、 的长； （2）分情况讨论可知，P 点在 BF 上，Q 点在 ED 上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可； 由的结论用 v1、 v2表示出 A、 C、 P、 Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时所需的时间， 计算即可 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形， ADBC， CADACB，AEFCFE EF 垂直平分 AC， OAOC 在AOE 和COF 中， 21 ， AOECOF（AAS） ， OEOF EFAC， 四边形 AFCE 为菱形 设菱形的边长 AFCFxcm，则 BF（8x）cm， 在 RtABF 中，AB4cm，由勾股定理得：AB2+BF2AF2
38、， 即 42+（8x）2x2， 解得：x5， AF5； （2）解：根据题意得，P 点 AF 上时，Q 点 CD 上，此时 A，C，P，Q 四点不可能构成平行四边形， 同理 P 点 AB 上时，Q 点 DE 或 CE 上，也不能构成平行四边形 只有当 P 点在 BF 上，Q 点在 ED 上时，才能构成平行四边形， 以 A，C，P，Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，PCQA， 点 P 的速度为每秒 5cm，点 Q 的速度为每秒 4cm，运动时间为 t 秒， PC5t，QA124t， 5t124t， 解得：t， 以 A，C，P，Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，t秒； 如图 3，由得，PCQA 时，以 A，C，P，Q 四点为顶点的四边形是平行四边形， 设运动时间为 y 秒， 则 yv112yv2， 解得，y， av1，bv2， ， 如图 4，当 APCQ 时四边形 APCQ 是平行四边形， 22 则 yv212yv1， 解得：y， 同理可得， 如图 5，当 APCQ 时，四边形 APCQ 是平行四边形， 则 yv112yv2， 解得，y， av1，bv2， 【点评】 本题考查的是菱形的判定、 平行四边形的性质和判定， 掌握平行四边形的性质定理和判定定理、菱形的判定定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用
