1、 1 第第 1 1 讲讲 不等关系与不等式不等关系与不等式 1已知ab，则下列结论正确的是( ) Aa 2b2 Bac 2bc2 C.ab Da1b2 解析：选 D.因为ab时，a与b的符号不确定，所以 A、C 不正确； 当c0 时，B 不正确；对于 D，aba1b1， 又b1b2，所以a1b2 正确 2若1 a 1 b0，则下列结论不正确的是( ) Aa 2b2 Babb 2 Cab|ab| 解析： 选 D.由题可知bayz，且xyz0，下列不等式中成立的是( ) Axyyz Bxzyz Cxyxz Dx|y|z|y| 解析：选 C.因为xyz， 所以 3xxyz0，3z0，z0， yz 得
2、xyxz.故选 C. 2 5对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题： 若ac 2bc2，则 ab； 若ab，cd，则acbd； 若ab，cd，则acbd； 若ab，则1 a 1 b. 其中正确的有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 解析：选 B.由ac 2bc2知 c0，c 20，所以 ab，故正确；由不等式的同向可加性易知 正确；对于，当a1，b4，c2，d3 时，acb，但1 2 1 1不成立，故不正确 6(2019扬州模拟)若a1a2，b1b2，则a1b1a2b2与a1b2a2b1的大小关系是_ 解析：作差可得(a1b1a2b2)(a1b2a2b1)(a1a2)(b1b2
3、)， 因为a1a2，b10， 即a1b1a2b2a1b2a2b1. 答案：a1b1a2b2a1b2a2b1 7已知a，bR R，则ab和1 a 1 b同时成立的条件是_ 解析：若ab0，由ab两边同除以ab得，1 b 1 a， 即1 a 1 b；若 ab0，则1 a 1 b. 所以ab和1 a 1 b同时成立的条件是 a0b. 答案：a0b 8若，满足 11， 123， 则3的取值范围是_ 解析：设3x()y(2) (xy)(x2y). 则 xy1， x2y3，解得 x1， y2. 因为1()1，22(2)6， 两式相加，得 137. 3 所以3的取值范围为1，7 答案：1，7 9设实数a，b
4、，c满足 bc64a3a 2， cb44aa 2. 试确立a，b，c的大小关系 解：因为cb(a2) 20，所以 cb， 又 2b22a 2，所以 b1a 2， 所以baa 2a1 a1 2 2 3 40， 所以ba，从而cba. 10若ab0，cd0，e e （bd） 2. 证明：因为cdd0. 又因为ab0，所以acbd0. 所以 0 1 （ac） 2 1 （bd） 2. 又因为e e （bd） 2. 1已知x，yR R，且xy0，则( ) A. 1 x 1 y0 Bsin xsin y0 C. 1 2 x 1 2 y 0 Dln xln y0 解析：选 C.法一：(通性通法)因为xy0，
5、选项 A，取x1，y1 2，则 1 x 1 y121 0，排除 A；选项 B，取x，y 2 ，则 sin xsin ysin sin 2 10，排 除 B；选项 D，取x2，y1 2，则 ln xln yln(xy)ln 10，排除 D.故选 C. 法二：(光速解法)因为函数y 1 2 x 在 R R 上单调递减，且xy0，所以 1 2 x 1 2 y ，即 1 2 x 4 1 2 y 0，故选 C. 2(2017高考山东卷)若ab0，且ab1，则下列不等式成立的是( ) Aa1 b b 2 alog2(ab) B. b 2 alog2(ab)a1 b Ca1 blog 2(ab) b 2 a
6、 Dlog2(ab)a1 b b 2 a 解析：选 B.根据题意，令a2，b1 2进行验证，易知 a1 b4， b 2 a1 8，log 2(ab)log25 2 1，因此a1 blog 2(ab) b 2 a. 3已知ABC的三边长分别为a，b，c且满足bc3a，则c a的取值范围为( ) A(1，) B(0，2) C(1，3) D(0，3) 解析：选 B.由已知及三角形的三边关系得 ac， acb， 所以 1 c a， 1c a b a， 所以 1b a c a3， 1c a b a1， 两式相加得，02c a4，所以 c a的取值范围为(0，2)，故选 B. 4(2019安徽合肥模拟)已
7、知a，b，c(0，)，若 c ab a bc b ca，则( ) Acab Bbca Cabc Dcba 解析：选 A.由 c ab a bc b ca，可得 c ab1 a bc1 b ca1，即 abc ab abc bc bcca.由abbc可得ac；由b cca可得ba，于是有ca5 时，y1y2； 当ny2. 因此当去的人数为 5 人时，两车队收费相同；多于 5 人时，选甲车队更优惠；少于 5 人时， 选乙车队更优惠 6已知 12a60，15b36，求ab，a b的取值范围 解：因为 15b36，所以36b15. 又 12a60， 所以 1236ab6015， 所以24ab45， 即
8、ab的取值范围是(24，45) 因为 1 36 1 b 1 15， 所以12 36 a b 60 15， 所以1 3 a b0 得x1，即Bx|x1，所以 ABx|1x2 2若不等式ax 2bx20 的解集为 x x 1 3 ，则ab a 的值为( ) A.5 6 B.1 6 C1 6 D5 6 解析：选 A.由题意得ax 2bx20 的两根为1 2与 1 3，所以 b a 1 2 1 3 1 6，则 ab a 1 b a1 1 6 5 6. 3不等式 x4 32x0 的解集是( ) Ax|x4 Bx|3x4 C. x x4 D. x 3 2x4 解析：选 C.不等式 x4 32x0，所以不等
9、式的解集是 x x4 . 4若不等式x 22x5a23a 对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( ) A1，4 B(，25，) C(，14，) D2，5 解析：选 A.x 22x5(x1)24 的最小值为 4，所以 x 22x5a23a 对任意实数x恒 成立， 只需a 23a4 即可，解得1a4. 5 (2019 福建龙岩模拟)已知函数f(x)(ax1)(xb)， 若不等式f(x)0 的解集是(1， 3)，则不等式f(2x)0 的解集是(1， 3)， 故f(x)0 的解集是x|x3， 故f( 2x)0 的解集为x|2x3， 即 x x 1 2 . 6不等式|x(x2)|x(x2)的解集是_
10、 解析：不等式|x(x2)|x(x2)的解集即x(x2)0 的解集，解得 0 x2. 答案：x|0 x0， 1x0， 即 x26x160， 解得2x1， 即原函数的定义域为x|2x1 答案：(2，1) 8(2019江西南昌模拟)在 R R 上定义运算：x*yx(1y)若不等式(xy)*(xy)1 对 一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是_ 解析：由题意，知(xy)*(xy)(xy)1(xy)1 对一切实数x恒成立，所以 x 2xy2y10 对于 xR R 恒成立故1 24(1)(y2y1)0，所以 4y24y 30，解得1 2y0 的解集是 x 1 2x0 的解集 解：(1)由题意知a0，
11、即 2x 25x30，解得3x0 的解集为 3，1 2 . 10(2019合肥市第二次教学质量检测)已知函数f(x) 4|ax2|(a0) (1)求函数f(x)的定义域； (2)若当x0，1时，不等式f(x)1 恒成立，求实数a的取值范围 解：(1)要使函数有意义，需 4|ax2|0，即|ax2|4，|ax2|44ax2 4 2ax6. 当a0 时，函数f(x)的定义域为 x 2 ax 6 a ；当a0， 即 2262a0， 1 261a0， 解得 5a8，又aZ Z，故a6，7，8. 则所有符合条件的a的值之和是 67821. 3对于实数x，当且仅当nxn1(nN N *)时，xn，则关于
12、x的不等式 4x 236x 450 的解集为_ 解析：由 4x 236x450，得3 2x 15 2 ，又当且仅当nxn1(nN N *)时，xn，所 以x2，3，4，5，6，7，所以所求不等式的解集为2，8) 答案：2，8) 4 不等式x 28y2y(xy)对于任意的 x，yR R恒成立， 则实数的取值范围为_ 解析：因为x 28y2y(xy)对于任意的 x，yR R 恒成立， 所以x 28y2y(xy)0 对于任意的 x，yR R 恒成立，即x 2yx(8)y20 恒成 立， 由二次不等式的性质可得， 2y24(8)y2y2(2432)0， 所以(8)(4)0， 解得84. 答案：8，4
13、5某商品每件成本价为 80 元，售价为 100 元，每天售出 100 件若售价降低x成(1 成 10%)，售出商品数量就增加8 5x 成要求售价不能低于成本价 (1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式yf(x)，并写出定义域； (2)若要求该商品一天营业额至少为 10 260 元，求x的取值范围 解：(1)由题意得y100 1 x 10 100 1 8 50 x . 因为售价不能低于成本价， 所以 100 1 x 10 800， 得x2.所以yf(x)20(10 x)(50 10 8x)，定义域为0，2 (2)由题意得 20(10 x)(508x)10 260，化简得 8x
14、230 x130.解得1 2x 13 4 .所以x 的取值范围是 1 2，2 . 6设二次函数f(x)ax 2bxc，函数 F(x)f(x)x的两个零点为m，n(m0 的解集； (2)若a0，且 0 xmn0， 即a(x1)(x2)0. 当a0 时，不等式F(x)0 的解集为x|x2； 当a0 的解集为x|1x0，且 0 xmn1 a， 所以xm0. 所以f(x)m0，即f(x)m. 第第 3 3 讲讲 二元一次不等式二元一次不等式( (组组) )及简单的线性规划问题及简单的线性规划问题 1(2019长春模拟)不等式组 x3y60， xy20 表示的平面区域是( ) 解析：选 B.x3y60
15、表示直线x3y60 以及该直线下方的区域，xy20，在平面直角坐标系内大致画出不等式组 xy0， xy0， ya 表示的平面区域， 结合图形可知，直线zx2y经过直线ya与直线xy0 的交点，即点(a，a)时，zx 2y取得最大值 3，因此a2a3，a1. 答案：1 9.已知D是以点A(4，1)，B(1，6)，C(3，2)为顶点的三角形区域 (包括边界与内部)如图所示 (1)写出表示区域D的不等式组； (2)设点B(1，6)，C(3，2)在直线 4x3ya0 的异侧，求a的 取值范围 解：(1)直线AB、AC、BC的方程分别为 7x5y230，x7y110，4xy100.原 点(0，0)在区域
16、D内，故表示区域D的不等式组为 7x5y230， x7y110， 4xy100. (2)根据题意有 4(1)3(6)a4(3)32a0， 即(14a)(18a)0， 得a的取值范围是18a1) 将平面区域分成面积之比为 14 的两部分，则目标函数zaxy的最大值为_ 解析：如图，平面区域为ABC及其内部，作直线xa(1a4)交BC、AC分别于点E、F. 由题意可知SEFC1 5S ABC，则1 2(4a) 1 4a21 1 5 1 251 1 2，可得 a2，所以目 标函数zaxy即为z2xy，易知z2xy在点C(4，1)处取得最大值，则zmax9. 答案：9 5若x，y满足约束条件 xy1，
17、 xy1， 2xy2， 17 (1)求目标函数z1 2xy 1 2的最值； (2)若目标函数zax2y仅在点(1，0)处取得最小值，求a的取值范围 解：(1)作出可行域如图，可求得A(3，4)，B(0，1)，C(1，0) 平移初始直线1 2xy 1 20，过 A(3，4)时z取最小值2，过C(1，0)时z取最大值 1. 所以z的最大值为 1，最小值为2. (2)直线ax2yz仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知1a 22， 解得4a0，则下列不等式中，恒成立的是( ) Aa 2b22ab Bab2ab C.1 a 1 b 2 ab D.b a a b2 解析：选 D.因为a 2b22ab(
18、ab)20，所以 A 错误对于 B，C，当 a0，b0， 所以b a a b2 b a a b2. 2(2019安徽省六校联考)若正实数x，y满足xy2，且 1 xyM 恒成立，则M的最大值 为( ) A1 B2 C3 D4 解析：选 A.因为正实数x，y满足xy2， 所以xy（xy） 2 4 2 2 41， 所以 1 xy1； 又 1 xyM 恒成立， 所以M1，即M的最大值为 1. 3一段长为L的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，则菜园的最大面积为( ) A.L 2 8 B.L 2 4 C.L 2 2 DL 2 解析：选 A.设菜园的长为x，宽为y，则x2yL，面积Sxy， 因为x2y2 2
19、xy. 所以xy（x2y） 2 8 L 2 8. 当且仅当x2yL 2， 即xL 2，y L 4时， SmaxL 2 8，故选 A. 4(2019广东广雅中学、江西南昌二中联考)已知x0，y0，lg 2 xlg 8ylg 2，则1 x 1 3y的最小值是( ) A2 B2 2 20 C4 D2 3 解析：选 C.因为 lg 2 xlg 8ylg 2，所以 lg(2x8y)lg 2， 所以 2 x3y2，所以 x3y1. 因为x0，y0，所以1 x 1 3y(x3y) 1 x 1 3y 23y x x 3y22 3y x x 3y4，当且仅当 x 3y1 2时取等号所以 1 x 1 3y的最小值
20、为 4.故选 C. 5不等式x 2xa b b a对任意 a，b(0，)恒成立，则实数x的取值范围是( ) A(2，0) B(，2)(1，) C(2，1) D(，4)(2，) 解析：选 C.根据题意，由于不等式x 2xa b b a对任意 a，b(0，)恒成立，则x 2x a b b amin，因为 a b b a2 a b b a2，当且仅当 ab时等号成立，所以x 2x2，求解此 一元二次不等式可知2x1)的最小值为_ 解析：因为yx 211 x1 x1 1 x1x1 1 x12，x1， 所以y2 120， 当且仅当x0 时，等号成立 答案：0 7(2017高考江苏卷)某公司一年购买某种货
21、物 600 吨，每次购买x吨，运费为 6 万元/ 次，一年的总存储费用为 4x万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是 _ 解析： 一年购买600 x 次， 则总运费与总存储费用之和为600 x 64x4 900 x x8 900 x x 240，当且仅当x30 时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是 30. 答案：30 8 已知不等式 2xm 8 x10 对一切 x(1， )恒成立， 则实数m的取值范围是_ 解析：不等式 2xm 8 x10 可化为 2(x1) 8 x1m2， 因为x1，所以 2(x1) 8 x12 2（x1） 8 x18， 当且仅当x3 时取等号 21
22、 因为不等式 2xm 8 x10 对一切 x(1，)恒成立， 所以m210. 答案：(10，) 9(1)已知 0 x4 3，求 x(43x)的最大值； (2)点(x，y)在直线x2y3 上移动，求 2 x4y的最小值 解：(1)已知 0 x4 3，所以 03x0， 所以 a10， 所以 2 a1 1 b2 2 a1 1 2a a12 2 a1 a1 2 2 2 a1 a1 2 2，当且仅当 2 a1 a1 2 和1 a 2 b1 同时成立， 即ab3 时等号成立，所以 2 a1 1 b2的最小值为 2，故选 A. 2已知x0，y0，2xy1，若 4x 2y2 xym0 恒成立，则m的取值范围是
23、( ) A(1，0) 17 16， B. 17 16， C. 17 16，2 D. 1，17 16 解析：选 B.4x 2y2 xym4x 2y2 xy恒成立因为x0，y0，2xy 1，所以 12xy2 2xy，所以 017 16，选 B. 3若a 2abb21，a，b 是实数，则ab的最大值是_ 解析：由a 2abb21， 可得(ab) 213ab13（ab） 2 4 ， 则1 4(ab) 21，2ab2，所以 ab的最大值是 2. 答案：2 4 若对x，y1， 2，xy2， 总有不等式 2x a 4y成立， 则实数 a的取值范围是_ 解析：由题意知a(2x)(4y)恒成立，则只需a(2x)
24、(4y)min， (2x)(4y)84x2yxy 8(4x2y)210(4x2y) 10 4x4 x . 令f(x)10 4x4 x ，x1，2， 则f(x) 44 x 24（1x 2） x 2，f(x)0， 故f(x)在x1，2是减函数， 所以当x2 时f(x)取最小值 0， 即(2x)(4y)的最小值为 0，所以a0. 答案：a0 5已知x0，y0，且 2x8yxy0，求 (1)xy的最小值； (2)xy的最小值 解：(1)由 2x8yxy0， 得8 x 2 y1， 又x0，y0，则 18 x 2 y2 8 x 2 y 8 xy. 得xy64， 当且仅当x16，y4 时，等号成立 所以xy
25、的最小值为 64. (2)由 2x8yxy0，得8 x 2 y1， 24 则xy 8 x 2 y (xy) 102x y 8y x 102 2x y 8y x 18. 当且仅当x12 且y6 时等号成立， 所以xy的最小值为 18. 6.如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果 园种植桃树， 已知角A为 120，AB，AC的长度均大于 200 米， 现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆 (1)若围墙AP，AQ总长度为 200 米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？ (2)已知AP段围墙高 1 米，AQ段围墙高 1.5 米，造价均为每平方米 100 元若围围墙用了
26、20 000 元，问如何围可使竹篱笆用料最省？ 解：设APx米，AQy米 (1)则xy200，APQ的面积S1 2xysin 120 3 4 xy.所以S 3 4 xy 2 2 2 500 3. 当且仅当 xy， xy200，即 xy100 时取“” 即AP与AQ的长度都为 100 米时，可使得三角形地块APQ的面积最大 (2)由题意得 100(x1.5y)20 000，即x1.5y200.要使竹篱笆用料最省，只需其长 度PQ最短， 所以PQ 2x2y22xycos 120 x2y2xy(2001.5y)2y2(2001.5y)y 1.75y 2400y40 0001.75 y800 7 2 120 000 7 0y400 3 ，当y800 7 时，PQ有最小值 200 21 7 ，此时x200 7 . 即AP长为200 7 米，AQ长为800 7 米时，可使竹篱笆用料最省
