1、2021 年湖北省年湖北省黄冈市三校黄冈市三校中考数学一模试卷中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 24 分）分） 12021 的绝对值是（ ） A2021 B2021 C D 2下列运算正确的是（ ） A（x+y）2x2+y2 Bx3+x4x7 Cx3 x 2x6 D（3x）29x2 3如图，该立体图形的俯视图是（ ） A B C D 4已知 x1，x2是方程 x23x20 的两根，则 x12+x22的值为（ ） A5 B10 C11 D13 5如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上若135，则2 的度数是（ ）
2、A35 B45 C55 D65 6如图，线段 AB 经过O 的圆心，AC，BD 分别与O 相切于点 C，D若 ACBD4，A45，则 的长度为（ ） A B2 C2 D4 7 如图， E 为矩形 ABCD 的边 AD 上一点， BEBC， 点 P 从点 B 出发沿折线 BED 运动到点 D 停止， 点 Q 从点 B 出发沿 BC 运动到点 C 停止，它们的运动速度都是 1cm/s现 P，Q 两点同时出发，设运动 时间为 x （s） ， BPQ 的面积为 y （cm2） ， 若 y 与 x 的对应关系如图所示， 则矩形 ABCD 的面积是 （ ） A96cm2 B84cm2 C72cm2 D56
3、cm2 8矩形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知 B（2，2），点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上， P 是对角线 OB 上一动点（不与原点重合），连接 PC，过点 P 作 PDPC，交 x 轴于点 D下列结论： OABC2； 当点 D 运动到 OA 的中点处时，PC2+PD27； 在运动过程中，CDP 是一个定值； 当ODP 为等腰三角形时，点 D 的坐标为（，0） 其中正确结论的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 9湖北省为做好“稳就业、保民生
4、”工作，将新建保障性住房 36000000 套，缓解中低收入人群和新参加 工作大学生的住房需求把 36000000 用科学记数法表示应是 10在实数范围内分解因式：xy24x 11计算：（） 12一组数据 1，2，5，x，3，6 的众数为 5则这组数据的中位数为 13如图，在ABC 中，B90，以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AB，AC 于点 D，E，再 分别以 D，E 点为圆心，大于DE 为半径画弧，两弧交于点 F，作射线 AF 交边 BC 于点 G，若 BG1， AC4，则ACG 的面积为 14如图，建筑物 C 上有一杆 AB从与 BC 相距 10m 的 D 处观测旗杆顶部 A
5、 的仰角为 53，观测旗杆底 部 B 的仰角为 45，则旗杆 AB 的高度约为 m（结果取整数，参考数据：sin530.80，cos53 0.60，tan531.33） 15 将被 3 整除余数为 1 的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵， 则第 20 行第 19 个数是 16如图，在平面直角坐标系中，已知 A（3，2），B（0，2），C（3，0），M 是线段 AB 上的 一个动点，连接 CM，过点 M 作 MNMC 交 y 轴于点 N，若点 M、N 在直线 ykx+b 上，则 b 的最大值 是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 72 分）分） 17计算：|2
6、|+（+3）0+2cos30（） 1 18如图在ABC 和ADE 中点 E 在 BC 边上，BACDAE，BD，ABAD （1）求证：ABCADE （2）如果AEC65，将ADE 绕着 A 旋转一个锐角后与ABC 重合，求这个旋转角的大小 19甲口袋中装有 2 个相同小球，它们分别写有数字 1，2；乙口袋中装有 3 个相同小球，它们分别写有数 字 3，4，5；丙口袋中装有 2 个相同小球，它们分别写有数字 6，7从三个口袋各随机取出 1 个小球用 画树状图或列表法求： （1）取出的 3 个小球上恰好有一个偶数的概率； （2）取出的 3 个小球上全是奇数的概率 20如图，一次函数 yk1x+b
7、的图象与反比例函数 y的图象相交于 A、B 两点，其中点 A 的坐标为（ 1，4），点 B 的坐标为（4，n） （1）根据图象，直接写出满足 k1x+b的 x 的取值范围； （2）求这两个函数的表达式； （3）点 P 在线段 AB 上，且 SAOP：SBOP1：2，求点 P 的坐标 21如图，在O 中，B 是O 上的一点，ABC120，弦 AC2，弦 BM 平分ABC 交 AC 于点 D， 连接 MA，MC （1）求O 半径的长； （2）试探究线段 AB，BC，BM 之间的数量关系，并证明你的结论 22为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共 500 吨，乙厂的生产量是甲厂的
8、2 倍 少 100 吨这批防疫物资将运往 A 地 240 吨，B 地 260 吨，运费如下表（单位：元/吨） 目的地 生产厂 A B 甲 20 25 乙 15 24 （1）求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？ （2）设这批物资从乙厂运往 A 地 x 吨，全部运往 A，B 两地的总运费为 y 元求 y 与 x 之间的函数关系 式，并设计使总运费最少的调运方案； （3）当每吨运费均降低 m 元（0m15 且 m 为整数）时，按（2）中设计的调运方案运输，总运费不 超过 5200 元求 m 的最小值 232020 年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求防疫部门为了解学生错峰进入考点进
9、 行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数 y（人）与时间 x（分钟）的变化 情况，数据如下表：（表中 915 表示 9x15） 时间 x（分钟） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 915 人数 y（人） 0 170 320 450 560 650 720 770 800 810 810 （1）根据这 15 分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出 y 与 x 之间的函数关系式； （2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有 2 个，每个检测点每分钟检测 20 人，考生排队 测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检
10、测需要多少时间？ （3）在（2）的条件下，如果要在 12 分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检 测点？ 24如图，抛物线 yax2+bx+2 与 x 轴交于两点 A（1，0）和 B（4，0），与 y 轴交于点 C，连接 AC、 BC （1）求抛物线的解析式； （2） 点 D 是ABC 边上一点， 连接 OD， 将线段 OD 以 O 为旋转中心， 逆时针旋转 90， 得到线段 OE， 若点 E 落在抛物线上，求出此时点 E 的坐标； （3）点 M 在线段 AB 上（与 A、B 不重合），点 N 在线段 BC 上（与 B，C 不重合），是否存在以 C， M，N 为顶点的三角形
11、与ABC 相似，若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案参考答案 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 24 分）分） 12021 的绝对值是（ ） A2021 B2021 C D 【分析】根据绝对值的定义直接求得 解：2021 的绝对值为 2021， 故选：A 2下列运算正确的是（ ） A（x+y）2x2+y2 Bx3+x4x7 Cx3 x 2x6 D（3x）29x2 【分析】直接利用完全平方公式以及合并同类项、同底数幂的乘法运算和积的乘方运算法则分别计算得 出答案 解：A、（x+y）2x2+2xy+y2，故此选
12、项错误； B、x3+x4，不是同类项，无法合并，故此选项错误； C、x3 x 2x5，故此选项错误； D、（3x）29x2，正确 故选：D 3如图，该立体图形的俯视图是（ ） A B C D 【分析】根据几何体的三视图，即可解答 解：如图所示的立体图形的俯视图是 C 故选：C 4已知 x1，x2是方程 x23x20 的两根，则 x12+x22的值为（ ） A5 B10 C11 D13 【分析】利用根与系数的关系得到 x1+x23，x1x22，再利用完全平方公式得到 x12+x22（x1+x2）2 2x1x2，然后利用整体代入的方法计算 解：根据题意得 x1+x23，x1x22， 所以 x12+
13、x22（x1+x2）22x1x2322（2）13 故选：D 5如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上若135，则2 的度数是（ ） A35 B45 C55 D65 【分析】求出3 即可解决问题； 解： 1+390，135， 355， 2355， 故选：C 6如图，线段 AB 经过O 的圆心，AC，BD 分别与O 相切于点 C，D若 ACBD4，A45，则 的长度为（ ） A B2 C2 D4 【分析】连接 OC、OD，根据切线性质和A45，易证得AOC 和BOD 是等腰直角三角形，进而 求得 OCOD4，COD90，根据弧长公式求得即可 解：连接 OC、OD， AC，BD 分别与O 相切于
14、点 C，D OCAC，ODBD， A45， AOC45， ACOC4， ACBD4，OCOD4， ODBD， BOD45， COD180454590， 的长度为：2， 故选：B 7 如图， E 为矩形 ABCD 的边 AD 上一点， BEBC， 点 P 从点 B 出发沿折线 BED 运动到点 D 停止， 点 Q 从点 B 出发沿 BC 运动到点 C 停止，它们的运动速度都是 1cm/s现 P，Q 两点同时出发，设运动 时间为 x （s） ， BPQ 的面积为 y （cm2） ， 若 y 与 x 的对应关系如图所示， 则矩形 ABCD 的面积是 （ ） A96cm2 B84cm2 C72cm2
15、D56cm2 【分析】过点 E 作 EHBC，由三角形面积公式求出 EHAB6，由图 2 可知当 x14 时，点 P 与点 D 重合，则 AD12，可得出答案 解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点 P 运动到点 E 时，x10，y30， 过点 E 作 EHBC 于 H， 由三角形面积公式得：y30， 解得 EHAB6， AE8（cm）， 由图 2 可知当 x14 时，点 P 与点 D 重合， ADAE+DE8+412（cm）， 矩形的面积为 12672（cm2） 故选：C 8矩形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知 B（2，2），点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，
16、 P 是对角线 OB 上一动点（不与原点重合），连接 PC，过点 P 作 PDPC，交 x 轴于点 D下列结论： OABC2； 当点 D 运动到 OA 的中点处时，PC2+PD27； 在运动过程中，CDP 是一个定值； 当ODP 为等腰三角形时，点 D 的坐标为（，0） 其中正确结论的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据矩形的性质即可得到 OABC2；故正确； 由点 D 为 OA 的中点， 得到 ODOA， 根据勾股定理即可得到 PC2+PD2CD2OC2+OD222+ （）27，故正确； 如图，过点 P 作 PFOA 于 F，FP 的延长线交 BC 于 E，PE
17、a，则 PFEFPE2a，根据三角 函数的定义得到 BEPEa，求得 CEBCBE2a（2a），根据相似三角形的 性质得到 FD，根据三角函数的定义得到PDC60，故正确； 当ODP 为等腰三角形时，、ODPD，解直角三角形得到 ODOC，、OPOD， 根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到OCP10590，故不合题意舍去；、OPPD， 根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到OCP10590，故不合题意舍去；于是得到当 ODP 为等腰三角形时，点 D 的坐标为（，0）故错误 解：四边形 OABC 是矩形，B（2，2）， OABC2；故正确； 点 D 为 OA 的中点， ODOA， PC2+
18、PD2CD2OC2+OD222 +（）27，故正确； 如图，过点 P 作 PFOA 于 F，FP 的延长线交 BC 于 E， PEBC，四边形 OFEC 是矩形， EFOC2， 设 PEa，则 PFEFPE2a， 在 RtBEP 中，tanCBO， BEPEa， CEBCBE2a（2a）， PDPC， CPE+FPD90， CPE+PCE90， FPDECP， CEPPFD90， CEPPFD， ， tanPDC， PDC60，故正确； B（2，2），四边形 OABC 是矩形， OA2，AB2， tanAOB， AOB30， 当ODP 为等腰三角形时， 、ODPD， DOPDPO30， ODP
19、120， ODC60， ODOC， 、当 D 在 x 轴的正半轴上时，OPOD， ODPOPD75， CODCPD90， OCP10590，故不合题意舍去； 当 D 在 x 轴的负半轴上时，OPOD， AOB30， DOP150， CPD90， CPO105， COP60， OCP15， BCP75， CPB180753075， BCBP2， ODOP42， D（24，0）； 、OPPD， PODPDO30， OCP15090故不合题意舍去， 当ODP 为等腰三角形时，点 D 的坐标为（24，0）或（，0）故错误， 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小
20、题 3 分，共分，共 24 分）分） 9湖北省为做好“稳就业、保民生”工作，将新建保障性住房 36000000 套，缓解中低收入人群和新参加 工作大学生的住房需求把 36000000 用科学记数法表示应是 3.6107 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 解：将 36000000 用科学记数法表示为：3.6107 故答案为：3.6107 10在实数范围内分解因式：xy24x x（y+2）（
21、y2） 【分析】本题可先提公因式 x，再运用平方差公式分解因式即可求解 解：xy24x x（y24） x（y+2）（y2） 故答案为：x（y+2）（y2） 11计算：（） 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得 到结果 解：原式 故答案为： 12一组数据 1，2，5，x，3，6 的众数为 5则这组数据的中位数为 4 【分析】先根据众数的概念得出 x 的值，再将数据重新排列，从而根据中位数的概念可得答案 解：数据 1，2，5，x，3，6 的众数为 5， x5， 则数据为 1，2，3，5，5，6， 这组数据的中位数为4， 故答案为：4 13如图，
22、在ABC 中，B90，以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AB，AC 于点 D，E，再 分别以 D，E 点为圆心，大于DE 为半径画弧，两弧交于点 F，作射线 AF 交边 BC 于点 G，若 BG1， AC4，则ACG 的面积为 2 【分析】利用基本作图得到 AG 平分BAC，利用角平分线的性质得到 G 点到 AC 的距离为 1，然后根据 三角形面积公式计算ACG 的面积 解：由作法得 AG 平分BAC， G 点到 AC 的距离等于 BG 的长，即 G 点到 AC 的距离为 1， 所以ACG 的面积412 故答案为：2 14如图，建筑物 C 上有一杆 AB从与 BC 相距 10m 的
23、D 处观测旗杆顶部 A 的仰角为 53，观测旗杆底 部 B 的仰角为 45，则旗杆 AB 的高度约为 3 m（结果取整数，参考数据：sin530.80，cos53 0.60，tan531.33） 【分析】根据正切的定义分别求出 AC、BC，结合图形计算即可 解：在 RtBCD 中，tanBDC， 则 BCCDtanBDC10（m）， 在 RtACD 中，tanADC， 则 ACCDtanADC101.3313.3（m）， ABACBC3.33（m）， 故答案为：3 15将被 3 整除余数为 1 的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵，则第 20 行第 19 个数是 625 【分析】根据题目中
24、的数据和各行的数字个数的特点，可以求得第 20 行第 19 个数是多少，本题得以解 决 解：由图可得， 第一行 1 个数，第二行 2 个数，第三行 3 个数，则前 20 行的数字有：1+2+3+19+20210 个数， 第 20 行第 20 个数是：1+3（2101）628， 第 20 行第 19 个数是：6283625， 故答案为：625 16如图，在平面直角坐标系中，已知 A（3，2），B（0，2），C（3，0），M 是线段 AB 上的 一个动点，连接 CM，过点 M 作 MNMC 交 y 轴于点 N，若点 M、N 在直线 ykx+b 上，则 b 的最大值 是 【分析】当点 M 在 AB
25、上运动时，MNMC 交 y 轴于点 N，此时点 N 在 y 轴的负半轴移动，定有AMC NBM；只要求出 ON 的最小值，也就是 BN 最大值时，就能确定点 N 的坐标，而直线 ykx+b 与 y 轴交于点 N（0，b），此时 b 的值最大，因此根据相似三角形的对应边成比例，设未知数构造二次函数， 通过求二次函数的最值得以解决 解：连接 AC，则四边形 ABOC 是矩形， AABO90， 又MNMC， CMN90， AMCMNB， AMCNBM， ， 设 BNy，AMx则 MB3x，ON2y， ， 即：yx2+x 当 x时，y最大（）2+， 直线 ykx+b 与 y 轴交于 N（0，b） 当
26、BN 最大，此时 ON 最小，点 N （0，b）越往上，b 的值最大， ONOBBN2， 此时，N（0，） b 的最大值为 故答案为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 72 分）分） 17计算：|2|+（+3）0+2cos30（） 1 【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质分 别化简得出答案 解：原式2+1+232 2+1+32 18如图在ABC 和ADE 中点 E 在 BC 边上，BACDAE，BD，ABAD （1）求证：ABCADE （2）如果AEC65，将ADE 绕着 A 旋转一个锐角后与ABC 重合，求这
27、个旋转角的大小 【分析】 （1）由BACDAE，BD，ABAD，直接利用 ASA 判定定理判定，即可证得：ABC ADE； （2）由将ADE 绕着 A 旋转一个锐角后与ABC 重合，可得 AEAC，即可求得EAC 的度数，即这 个旋转角的大小 【解答】（1）证明：在ABC 和DAE 中， ， ABCADE（ASA）； （2）解：将ADE 绕着 A 旋转一个锐角后与ABC 重合， AEAC， AEC65， CAEC65， EAC180AECC50， 即这个旋转角的大小是 50 19甲口袋中装有 2 个相同小球，它们分别写有数字 1，2；乙口袋中装有 3 个相同小球，它们分别写有数 字 3，4，5
28、；丙口袋中装有 2 个相同小球，它们分别写有数字 6，7从三个口袋各随机取出 1 个小球用 画树状图或列表法求： （1）取出的 3 个小球上恰好有一个偶数的概率； （2）取出的 3 个小球上全是奇数的概率 【分析】 （1） 画树状图展示所有 12 种等可能的结果， 找出取出的 3 个小球上恰好有一个偶数的结果数， 然后根据概率公式计算； （2）找出取出的 3 个小球上全是奇数的结果数，然后根据概率公式计算 解：（1）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果，其中取出的 3 个小球上恰好有一个偶数的结果数为 5， 所以取出的 3 个小球上恰好有一个偶数的概率； （2）取出的 3 个小球上全是奇数
29、的结果数为 2， 所以取出的 3 个小球上全是奇数的概率 20如图，一次函数 yk1x+b 的图象与反比例函数 y的图象相交于 A、B 两点，其中点 A 的坐标为（ 1，4），点 B 的坐标为（4，n） （1）根据图象，直接写出满足 k1x+b的 x 的取值范围； （2）求这两个函数的表达式； （3）点 P 在线段 AB 上，且 SAOP：SBOP1：2，求点 P 的坐标 【分析】（1）根据一次函数图象在反比例图象的上方，可求 x 的取值范围； （2）将点 A，点 B 坐标代入两个解析式可求 k2，n，k1，b 的值，从而求得解析式； （3）根据 SAOP：SBOP1：2，可得答案 解：（1）
30、点 A 的坐标为（1，4），点 B 的坐标为（4，n） 由图象可得：k1x+b的 x 的取值范围是 x1 或 0 x4； （2）反比例函数 y的图象过点 A（1，4），B（4，n）， k2144，k24n， n1， B（4，1）， 一次函数 yk1x+b 的图象过点 A，点 B， ， 解得：k11，b3， 一次函数的解析式 yx+3，反比例函数的解析式为 y； （3）设直线 AB 与 y 轴的交点为 C， C（0，3）， SAOC 31， SAOBSAOC+SBOC 31+4， SAOP：SBOP1：2， SAOP ， SAOCSAOP，SCOP 1， 3xP1， xP， 点 P 在线段 AB
31、 上， y+3， P（，） 21如图，在O 中，B 是O 上的一点，ABC120，弦 AC2，弦 BM 平分ABC 交 AC 于点 D， 连接 MA，MC （1）求O 半径的长； （2）试探究线段 AB，BC，BM 之间的数量关系，并证明你的结论 【分析】（1）连接 OA、OC，过 O 作 OHAC 于点 H，由圆内接四边形的性质求得AMC，再求得 AOC，最后解直角三角形得 OA 便可； （2）在 BM 上截取 BEBC，连接 CE，证明 BCBE，再证明ACBMCE，得 ABME，进而得结 论 解：（1）连接 OA、OC，过 O 作 OHAC 于点 H，如图 1， ABC120， AMC1
32、80ABC60， AOC2AMC120， AOHAOC60， AC2， AHAC， OA2， 故O 的半径为 2； （2）AB+BCBM，理由如下： 在 BM 上截取 BEBC，连接 CE，如图 2， ABC120，BM 平分ABC， ABMCBM60， BEBC， EBC 是等边三角形， CECBBE，BCE60， BCD+DCE60， ACM60， ECM+DCE60， ECMBCD， CAMCBM60，ACMABM60， ACM 是等边三角形， ACCM， ACBMCE（SAS）， ABME， ME+EBBM， AB+BCBM 22为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共
33、 500 吨，乙厂的生产量是甲厂的 2 倍 少 100 吨这批防疫物资将运往 A 地 240 吨，B 地 260 吨，运费如下表（单位：元/吨） 目的地 生产厂 A B 甲 20 25 乙 15 24 （1）求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？ （2）设这批物资从乙厂运往 A 地 x 吨，全部运往 A，B 两地的总运费为 y 元求 y 与 x 之间的函数关系 式，并设计使总运费最少的调运方案； （3）当每吨运费均降低 m 元（0m15 且 m 为整数）时，按（2）中设计的调运方案运输，总运费不 超过 5200 元求 m 的最小值 【分析】（1）设这批防疫物资甲厂生产了 a 吨，乙厂生产了
34、b 吨，根据题意列方程组解答即可； （2）根据题意得出 y 与 x 之间的函数关系式以及 x 的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可； （3）根据题意以及（2）的结论可得 y4x+11000500m，再根据一次函数的性质以及列不等式解答 即可 解：（1）设这批防疫物资甲厂生产了 a 吨，乙厂生产了 b 吨，则： ，解得， 即这批防疫物资甲厂生产了 200 吨，乙厂生产了 300 吨； （2）由题意得：y20（240 x）+25260（300 x）+15x+24（300 x）4x+11000， ，解得：40 x240， 又40， y 随 x 的增大而减小， 当 x240 时，可以使总运费最少，
35、 y 与 x 之间的函数关系式为 y4x+11000；使总运费最少的调运方案为：甲厂的 200 吨物资全部运往 B 地，乙厂运往 A 地 240 吨，运往 B 地 60 吨； （3）由题意和（2）的解答得：y4x+11000500m， 当 x240 时，y最小4240+11000500m10040500m， 10040500m5200，解得：m9.68， 而 0m15 且 m 为整数， m 的最小值为 10 232020 年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求防疫部门为了解学生错峰进入考点进 行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数 y（人）与时间 x（分钟）
36、的变化 情况，数据如下表：（表中 915 表示 9x15） 时间 x（分钟） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 915 人数 y（人） 0 170 320 450 560 650 720 770 800 810 810 （1）根据这 15 分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出 y 与 x 之间的函数关系式； （2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有 2 个，每个检测点每分钟检测 20 人，考生排队 测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？ （3）在（2）的条件下，如果要在 12 分钟内让全部考生完成体温检测，从一
37、开始就应该至少增加几个检 测点？ 【分析】（1）分两种情况讨论，利用待定系数法可求解析式； （2）设第 x 分钟时的排队人数为 w 人，由二次函数的性质和一次函数的性质可求当 x7 时，w 的最大 值490，当 9x15 时，210w450，可得排队人数最多时是 490 人，由全部考生都完成体温检测 时间每分钟检测的人数总人数，可求解； （3）设从一开始就应该增加 m 个检测点，由“在 12 分钟内让全部考生完成体温检测”，列出不等式， 可求解 解：（1）由表格中数据的变化趋势可知， 当 0 x9 时，y 是 x 的二次函数， 当 x0 时，y0， 二次函数的关系式可设为：yax2+bx， 由
38、题意可得：， 解得：， 二次函数关系式为：y10 x2+180 x， 当 9x15 时，y810， y 与 x 之间的函数关系式为：y； （2）设第 x 分钟时的排队人数为 w 人， 由题意可得：wy40 x， 当 0 x9 时，w10 x2+140 x10（x7）2+490， 当 x7 时，w 的最大值490， 当 9x15 时，w81040 x，w 随 x 的增大而减小， 210w450， 排队人数最多时是 490 人， 要全部考生都完成体温检测，根据题意得：81040 x0， 解得：x20.25， 答：排队人数最多时有 490 人，全部考生都完成体温检测需要 20.25 分钟； （3）设
39、从一开始就应该增加 m 个检测点，由题意得：1220（m+2）810， 解得 m， m 是整数， m的最小整数是 2， 一开始就应该至少增加 2 个检测点 24如图，抛物线 yax2+bx+2 与 x 轴交于两点 A（1，0）和 B（4，0），与 y 轴交于点 C，连接 AC、 BC （1）求抛物线的解析式； （2） 点 D 是ABC 边上一点， 连接 OD， 将线段 OD 以 O 为旋转中心， 逆时针旋转 90， 得到线段 OE， 若点 E 落在抛物线上，求出此时点 E 的坐标； （3）点 M 在线段 AB 上（与 A、B 不重合），点 N 在线段 BC 上（与 B，C 不重合），是否存在以
40、 C， M，N 为顶点的三角形与ABC 相似，若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】（1）将点 A、B 的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）分点 D1在 AC 上、点 E1在 AC上；点 D2在 AB 上、点 E2在 AB上；点 D3在 BC 上、点 E3 在 BC上三种情况，分别求解即可； （3）分MCN 为直角、CMN 为直角、MNC 为直角两种情况，利用三角形相似求解即可 解：（1）点 A（1，0），B（4，0）在抛物线 yax2+bx+2 上， ，解得：， 抛物线的解析式为：yx2+x+2； （2）将ABC 以 O 为旋转中心，逆时针旋转 90，得到AB
41、C， A（1，0），B（4，0），C（0，2）， A（0，1），B（0，4），C（2，0）， 如图 1，当点 D1在 AC 上、点 E1在 AC上时， 设直线 AC的解析式为 ykx+b， 将点 A （0， 1） ， C （2， 0） 代入得， 解得， 直线 AC的解析式为：yx1， 联立并解得：或； E1（2 ，）； 当点 D2在 AB 上、点 E2在 AB上时，即 y 轴与抛物线的交点 E2（0，2） ， 当点 D3在 BC 上、点 E3在 BC上时，与抛物线没有交点， E1（2 ，）或 E2（0，2）； （3）存在，理由： 由点 A、B、C 的坐标得，AB225，BC24+1620，AC
42、21+45， 则 AB2BC2+AC2， 故ABC 为以 AB 为斜边的直角三角形，tanABC； 以 C，M，N 为顶点的三角形与ABC 相似，则CMN 为直角三角形， 由点 B、C 的坐标得，直线 BC 的表达式为 yx+2， 点 N 在 BC 上，故设点 N（n，n+2），设点 M（m，0）； 当MCN 为直角时， 此时点 M 与点 A 重合，不符合题意， 当CMN 为直角时，如图 2， 过点 N 作 NGx 轴于点 G， GMN+CMO90，CMO+MCO90， MCONMG， RtNGMRtMOC， 当MCNABC 时， tanABC，即两个三角形的相似比为 1：2， 则 NGOM，MGOC1， 即n+2m 且 nm1， 解得：n， 故点 N 的坐标为（，）； 当MNCABC 时， 同理可得：n4（舍去）； 当MNC 为直角时，如图 3， 过点 N 作 x 轴的垂线，垂足为点 H，过点 C 作 CGNH 交 NH 的延长线于点 G， 当CMNABC 时， 同理可得：CGNNHM 且相似比为， 则 CGNH，即 n（n+2），解得：n， 故点 N 的坐标为（，）； 当MCNABC 时， 则 MCMB，而 MNBC，则点 N 是 BC 的中点， 由中点公式得，点 N（2，1）； 综上，点 N 的坐标为：（2，1）或（，）或（，）
