1、2021 年江苏省扬州市仪征市中考数学一模试卷年江苏省扬州市仪征市中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共有一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1下列四个数中，最大的实数是（ ） A2021 B1 C1 D2021 2下列计算正确的是（ ） A（a3）2a5 Ba3 a 5a8 Ca5+a2a7 Da6a2a3 3若代数式有意义，则实数 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx1 Cx1 Dx1 4已知 m 是一元二次方程 x2x20 的一个根，则 2021m2+m 的值为（ ） A2020 B2019 C2018 D2017 5 曲桥是我国古代经
2、典建筑之一， 它的修建增加了游人在桥上行走的路程， 有利于游人更好地观赏风光 如 图，A、B 两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（ ） A两点之间，线段最短 B平行于同一条直线的两条直线平行 C垂线段最短 D两点确定一条直线 6如图，菱形 AOBC 的边 BO 在 x 轴正半轴上，点 A（2，2），反比例函数 y图象经过点 C，则 k 的值为（ ） A12 B C D 7关于 x 的方程 x2+ax+b0，有下列四个命题： 甲：x1 是该方程的根 乙：该方程两根之和为 2 丙：x3 是该方程的根 丁：该方程两根异号 如果有一个命题是假命题，则该命题是（ ） A
3、甲 B乙 C丙 D丁 8如图，点 E 是正方形 ABCD 边 BC 的中点，连接 AE，将ABE 沿 AE 翻折，得到AFE，延长 EF，交 AD 的延长线于点 M，交 CD 于点 N下列结论：sinAME；AD3DM；BE+DNEN；AM EM其中正确的结论是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共有二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 9据数据显示，截至 2020 年初，扬州市户籍人口约为 4570000，将“4570000”这个数字用科学记数法表 示为 10分解因式：2a28 11圆锥的母线长为 4，底面半径为 3，圆锥的侧面积为
4、（结果保留 ） 12如图是第四套人民币 1 角硬币，该硬币边缘镌刻的正多边形的外角的度数为 13为了了解某班数学成绩情况，抽样调查了 20 份试卷成绩，结果如下：a 个 140 分，b 个 135 分，5 个 120 分，1 个 110 分，2 个 100 分，3 个 90 分则这组数据的中位数为 分 14已知O 是正方形 ABCD 的外接圆，点 P 为圆上一点（与点 A、B 不重合），则APB 的度数 为 15我国古代数学名著九章算术记录了很多经典问题，其中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，有 人送来米 1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹
5、谷约为 石（精确到个位） 16已知实数 a、b 满足 2021a+2020b3，2a+b1，则的值为 17如图，O 的圆心为原点，半径为 1，过点（a，a1）可以作O 的两条切线，则 a 的取值范围 是 18 设 a1、 a2、 a3， ， a2021是从1， 0， 2 这三个数中取值的一列数， 若 a1+a2+a3+a20219， a12+a22+a32+ +a2021251，则 a13+a23+a33+a20213 三解答题（本大题共有三解答题（本大题共有 10 小题，共小题，共 96 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文
6、字说明、 解题过程或演算步骤）解题过程或演算步骤） 19（1）计算：|2|（1）1+2sin60； （2）先化简，再求值：（x1）（x+1）（x2）2，其中 x 20解不等式组：，并写出它的正整数解 21网络学习已经被越来越多的学生所喜爱，某中学随机抽取了部分学生进行调查要求每位学生从“优 秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果现将调 查的结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中的所给信息解答下列问题 （1） 这次活动共调查了 名学生， 扇形统计图中， 等次为 “良好” 所占圆心角的度数是 ； （2）请通过计算补全条形统计图； （3）若该学校共有
7、 1200 名学生，估计该学校网络学习等次为“优秀”的学生有多少人？ 22每年的 6 月 26 日为“国际禁毒日”，甲、乙两所学校分别有一男一女共 4 名学生参加“无毒青春健康 人生”主题征文竞赛 （1）若从这 4 名学生中随机选 1 名，则选中的是男学生的概率是 （2） 若从参赛的 4 名学生中分别随机选 2 名，用画树状图或列表的方法求出这两名学生来自不同学校的 概率 23为迎接 2021 年扬州世园会顺利开幕，园区在道路两侧加强了美化措施市园林工程处决定在公路旁栽 1440 棵树，由于志愿者的支援，实际每天栽树比原计划多，结果提前 4 天完成任务请你根据以上信 息，提出一个用分式方程解决
8、的问题，并写出解答过程 24如图，在ABC 中，ABAC，D 为 BC 中点，AEBD，且 AEBD （1）求证：四边形 AEBD 是矩形； （2）连接 CE 交 AB 于点 F，若ABE30，AE2，求 EF 的长 25如图，CD 为O 的直径，ABCD，BC 平分ACD，延长 CA，过 B 作 BECA，垂足为 E （1）求证：BE 是O 的切线； （2）已知 BE，求O 的半径 26（1）如图 1，在ABC 中，点 P 在边 AC 上 AB2，AC4，ABPC，求 AP 长； ABm，ACn（nm）当 AP 时，APBABC； （2）如图 2，已知ABC（ABAC），请用直尺和圆规在直线
9、 AB 上求作一点 P，使 AC 是线段 AB 和 AP 的比例中项（保留作图痕迹，不写作法） 27在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（a，b），若点 A1的坐标是（a，|ab|），则称点 A1是点 A 的“关 联点” （1）点（1，3）的“关联点”坐标是 ； （2）点 A 在函数 y2x3 上，若点 A 的“关联点”A1与点 A 重合，求点 A 的坐标； （3）点 A（a，b）的“关联点”A1是函数 yx2的图象上一点，当 0a2 时，求线段 AA1长度的最大 值 28阅读感悟： “数形结合”是一种重要的数学思想方法，同一个问题有“数”、 “形”两方面的特性，解决数学问题， 有的从“数”入
10、手简单，有的从“形”入手简单，因此，可能“数”“形”或“形”“数”，有的 问题需要经过几次转化这对于初、高中数学的解题都很有效，应用广泛 解决问题： （1）如图 1，ABCD，AB15，AD14，AC13，求 tanB； （2）已知函数 y1x2，y2ax1，当 x时，y1y2，则整数 a 可取的最大值与最小值的和是 ； （3）如图 2，矩形 ABCD 的边长 AB2，BC3，点 E、F 分别是 AD、BC 边上的动点（与矩形顶点不 重合），连接 BE、CE，过 F 作 FGCE 交 BE 于 G，作 FHBE 交 CE 于 H当EFG 面积最大时， 求的值 参考答案参考答案 一、选择题（本大
11、题共有一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1下列四个数中，最大的实数是（ ） A2021 B1 C1 D2021 【分析】先根据实数的大小比较法则比较大小，再得出选项即可 解：2021112021， 最大的实数是 2021， 故选：D 2下列计算正确的是（ ） A（a3）2a5 Ba3 a 5a8 Ca5+a2a7 Da6a2a3 【分析】分别根据幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，合并同类项法则以及同底数幂的除法法则 逐一判断即可 解：A、（a3）2a6，故本选项不合题意； B、a3 a 5a8，故本选项符合题意； C、a5与 a2不是同
12、类项，所以不能合并，故本选项不合题意； D、a6a2a4，故本选项不合题意； 故选：B 3若代数式有意义，则实数 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx1 Cx1 Dx1 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案 解：由题意得：x+10， 解得：x1， 故选：C 4已知 m 是一元二次方程 x2x20 的一个根，则 2021m2+m 的值为（ ） A2020 B2019 C2018 D2017 【分析】把 xm 代入方程 x2x20 得 m2m2，再把 2021m2+m 变形为 2021（m2m），然 后利用整体代入的方法计算 解：把 xm 代入方程 x2x20 得 m
13、2m2， 所以 m2m2， 所以 2021m2+m2021（m2m）202122019 故选：B 5 曲桥是我国古代经典建筑之一， 它的修建增加了游人在桥上行走的路程， 有利于游人更好地观赏风光 如 图，A、B 两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（ ） A两点之间，线段最短 B平行于同一条直线的两条直线平行 C垂线段最短 D两点确定一条直线 【分析】利用两点之间线段最短进而分析得出答案 解：这样做增加了游人在桥上行走的路程，其中蕴含的数学道理是：利用两点之间线段最短，可得出曲 折迂回的曲桥增加了游人在桥上行走的路程 故选：A 6如图，菱形 AOBC 的边 BO
14、 在 x 轴正半轴上，点 A（2，2），反比例函数 y图象经过点 C，则 k 的值为（ ） A12 B C D 【分析】利用勾股定理求得 OA，即可得到 C 的坐标，代入解析式即可求得 k 的值 解：点 A（2，2）， OA4， 菱形的边长为 4， C（6，2）， k6212， 故选：C 7关于 x 的方程 x2+ax+b0，有下列四个命题： 甲：x1 是该方程的根 乙：该方程两根之和为 2 丙：x3 是该方程的根 丁：该方程两根异号 如果有一个命题是假命题，则该命题是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 【分析】因为只有一个假命题，所以可以利用假设法，逐判断即可 解：若甲是假命题，则乙丙丁是真命题
15、， 解得 x13，则 x21，符合题意； 若乙是假命题，则甲丙丁是真命题， 两根之和不为 2，而 x1l，x23 与两根异号矛盾，与题意不符； 若丙是假命题，则甲乙丁是真命题， 令 x1l，则 x2l，与题意不符， 若丁是假命题，则甲乙丙是真命题， x1+x242，与题意不符； 故选：A 8如图，点 E 是正方形 ABCD 边 BC 的中点，连接 AE，将ABE 沿 AE 翻折，得到AFE，延长 EF，交 AD 的延长线于点 M，交 CD 于点 N下列结论：sinAME；AD3DM；BE+DNEN；AM EM其中正确的结论是（ ） A B C D 【分析】根据正方形的性质，等腰三角形的判定和性
16、质，直角三角形的边角关系以及翻折变换的性质， 逐项进行判断即可 解：连接 AN， 四边形 ABCD 是正方形， ABBCCDDA，ABCBCDCDADAB90， 由翻折得， ABAF，ABEAFE90，BEFE， 在 RtAFN 和ADN 中， AFAD，ANAN， RtAFNADN（HL）， DNFN， ENEF+FNBE+DN，因此正确； 由 ADBC 得，DAEAEB， AEBAEM， DAEAEM， AMEM，因此正确； 过点 M 作 MHAE 于 H， AMEM， AHEH，AMHEMH， 设 BEa，则 EFa，ABAD2a， 在 RtABE 中， AE a， AHHEa， MAH
17、+AMH90，BAE+MAH90， BAEAMH， sinBAEsinAMH， 即， AMa， DMa2aa， AD2a， AD4DM，因此不正确； 在 RtAMF 中， sinAME，因此正确； 综上所述，正确的有， 故选：C 二、填空题（本大题共有二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 9据数据显示，截至 2020 年初，扬州市户籍人口约为 4570000，将“4570000”这个数字用科学记数法表 示为 4.57106 【分析】将一个数表示成 a10n，1a10，n 是正整数的形式，叫做科学记数法，根据此定义即可得 出答案 解：根据科学记
18、数法的定义，45700004.57106， 故答案为：4.57106 10分解因式：2a28 2（a+2）（a2） 【分析】先提取公因式 2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 解：2a28 2（a24）， 2（a+2）（a2） 故答案为：2（a+2）（a2） 11圆锥的母线长为 4，底面半径为 3，圆锥的侧面积为 12 （结果保留 ） 【分析】圆锥的侧面积底面半径母线长，把相应数值代入即可求解 解：圆锥的母线长为 4，底面半径为 3， 该圆锥的侧面积为：3412 故答案为：12 12如图是第四套人民币 1 角硬币，该硬币边缘镌刻的正多边形的外角的度数为 40 【分析】正多边形的外角和是
19、360，这个正多边形的每个外角相等，因而用 360除以多边形的边数， 就得到外角的度数 解：正多边形的外角和是 360， 360940 故答案为：40 13为了了解某班数学成绩情况，抽样调查了 20 份试卷成绩，结果如下：a 个 140 分，b 个 135 分，5 个 120 分，1 个 110 分，2 个 100 分，3 个 90 分则这组数据的中位数为 120 分 【分析】直接根据中位数的定义求解即可 解：20 份试卷成绩，结果如下：a 个 140 分，b 个 135 分，5 个 120 分，1 个 110 分，2 个 100 分，3 个 90 分， 所以第 10，11 个数是 120，
20、这组数据的中位数为 120， 故答案为：120 14已知O 是正方形 ABCD 的外接圆，点 P 为圆上一点（与点 A、B 不重合），则APB 的度数为 45 或 135 【分析】连接 OA，OB，根据正方形的性质得到AOB90，根据圆周角定理解答即可 解：连接 OA，OB， 当点 P 在优弧上时， 四边形 ABCD 是O 的内接正方形， AOB90， 由圆周角定理得，APBAOB45， 当点 P 在劣弧上时，APB18045135， 故答案为：45或 135 15我国古代数学名著九章算术记录了很多经典问题，其中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，有 人送来米 1534 石， 验得米内夹谷， 抽
21、样取米一把， 数得 254 粒内夹谷 28 粒， 则这批米内夹谷约为 169 石（精确到个位） 【分析】根据 254 粒内夹谷 28 粒，可得比例，再乘以 1534 石，即可得出答案 解：根据题意得： 1534169（石）， 故答案为：169 16已知实数 a、b 满足 2021a+2020b3，2a+b1，则的值为 【分析】联立已知两个等式，求出 a 与 b 的值，代入原式计算即可求出值 解：联立得：， 由得；b12a， 把代入得：2021a+2020（12a）3， 去括号得：2021a+20204040a3， 移项合并得：2019a2017， 解得：a， 把 a代入得：b1， 则 故答案为
22、： 17如图，O 的圆心为原点，半径为 1，过点（a，a1）可以作O 的两条切线，则 a 的取值范围是 a 1 或 a0 【分析】由题意可知，点（a，a1）在O 的外部且到圆心的距离大于半径 1，可得不等式，解不等式 即可得到 a 的取值范围 解：过点（a，a1）可以作O 的两条切线， 点（a，a1）在O 的外部且到圆心的距离大于半径 1， ， a2+（a1）21， 2a（a1）0， a0，a10 或 a0，a10， a1 或 a0， 故答案为：a1 或 a0 18 设 a1、 a2、 a3， ， a2021是从1， 0， 2 这三个数中取值的一列数， 若 a1+a2+a3+a20219， a
23、12+a22+a32+ +a2021251，则 a13+a23+a33+a20213 69 【分析】设这一列数中有 x 个1，y 个 2，根据已知列方程组得，解方程组可得 x 和 y 的值， 最后代入可得答案 解：设这一列数中有 x 个1，y 个 2， a1+a2+a3+a20219，a12+a22+a32+a2021251， x+2y9，（1）2x+22y51， ， 解得：， a13+a23+a33+a20213x（1）3+y23x+8y11+8069 故答案为：69 三解答题（本大题共有三解答题（本大题共有 10 小题，共小题，共 96 分请在答题卡分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出
24、必要的文字说明、指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、 解题过程或演算步骤）解题过程或演算步骤） 19（1）计算：|2|（1）1+2sin60； （2）先化简，再求值：（x1）（x+1）（x2）2，其中 x 【分析】（1）先根据绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行计算，再算乘法，最后算加减即 可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可 解：（1）原式2+1+2 2+1+ 3； （2）（x1）（x+1）（x2）2， x21x2+4x4 4x5， 当 x时，原式454 20解不等式组：，并写出它的正整数解 【分析】分别求出不等式组中两不等式
25、的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确 定出正整数解即可 解：， 由得：x4， 由得：x2， 不等式组的解集为2x4， 则不等式组的正整数解为 1，2，3 21网络学习已经被越来越多的学生所喜爱，某中学随机抽取了部分学生进行调查要求每位学生从“优 秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果现将调 查的结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中的所给信息解答下列问题 （1） 这次活动共调查了 200 名学生， 扇形统计图中， 等次为 “良好” 所占圆心角的度数是 144 ； （2）请通过计算补全条形统计图； （3）若该学校共有 1200
26、 名学生，估计该学校网络学习等次为“优秀”的学生有多少人？ 【分析】（1）根据一般的人数和所占的百分比求出总人数，用 360乘以“良好”所占的百分比即可； （2）用总人数减去其他学习效果的人数，求出不合格的人数，从而补全统计图； （3）用该校的总人数乘以等次为“优秀”的学生所占的百分比即可 解：（1）这次活动共调查的学生数是：5025%200（名）， 扇形统计图中，等次为“良好”所占圆心角的度数是：360144； 故答案为：200，144； （2）不合格的人数有：20030805040（名），补全统计图如下： （3）1200180（人）， 答：估计该学校网络学习等次为“优秀”的学生有 180
27、人 22每年的 6 月 26 日为“国际禁毒日”，甲、乙两所学校分别有一男一女共 4 名学生参加“无毒青春健康 人生”主题征文竞赛 （1）若从这 4 名学生中随机选 1 名，则选中的是男学生的概率是 （2） 若从参赛的 4 名学生中分别随机选 2 名，用画树状图或列表的方法求出这两名学生来自不同学校的 概率 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）将甲学校两人记为 a、b，将乙学校两人记为 c、d，画树状图得出所有等可能结果，从中找到这两 名学生来自不同学校的结果数，再根据概率公式求解即可 解：（1）从这 4 名学生中随机选 1 名，则选中的是男学生的概率是， 故答案为：； （2）将甲
28、学校两人记为 a、b，将乙学校两人记为 c、d，画树状图如下： 共有 12 种等可能的结果数，其中这两名学生来自不同学校的结果数为 8， 所以这两名学生来自不同学校的概率为 23为迎接 2021 年扬州世园会顺利开幕，园区在道路两侧加强了美化措施市园林工程处决定在公路旁栽 1440 棵树，由于志愿者的支援，实际每天栽树比原计划多，结果提前 4 天完成任务请你根据以上信 息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程 【分析】提出问题：求原计划每天栽多少棵树？设原计划每天栽 x 棵树，由题意：市园林工程处决定在 公路旁栽 1440 棵树，由于志愿者的支援，实际每天栽树比原计划多，结果提前 4
29、天完成任务列出分 式方程，解方程即可 解：提出问题：求原计划每天栽多少棵树？ 设原计划每天栽 x 棵树，则实际每天栽（1+）x 棵树， 由题意得：， 解得：x90， 经检验，x90 是原分式方程的解， 答：原计划每天栽 90 棵 24如图，在ABC 中，ABAC，D 为 BC 中点，AEBD，且 AEBD （1）求证：四边形 AEBD 是矩形； （2）连接 CE 交 AB 于点 F，若ABE30，AE2，求 EF 的长 【分析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断 （2）证明AEFBCF，推出，由此即可解决问题 【解答】（1）证明：AEBD，AEBD， 四边形 AEBD 是平行四
30、边形， ABAC，D 为 BC 的中点， ADBC， ADB90， 四边形 AEBD 是矩形 （2）解：四边形 AEBD 是矩形， AEB90， ABE30，AE2， BE2，BC4， EC2， AEBC， AEFBCF， ， EFEC 25如图，CD 为O 的直径，ABCD，BC 平分ACD，延长 CA，过 B 作 BECA，垂足为 E （1）求证：BE 是O 的切线； （2）已知 BE，求O 的半径 【分析】（1）连接 OB，OA，根据平行的性质，角平分线的性质以及同圆中同弧所对的圆心角是圆周角 的二倍，证明出OBE90即可； （2）先根据已知条件证明四边形 ACOB 是菱形，再求出EAB
31、60，在直角三角形 AEB 中求出 AB 长 度即可 【解答】（1）证明：连接 OB，OA， ABCD， ABCBCD， 又BC 平分ACD， ACBBCDACD， BOD2BCD， BODACD， CEOB， CEB+OBE180， BECA，即CEB90， OBE90， BE 是O 的切线； （2）解：ABCD，AEBO， 四边形 ACOB 是平行四边形， OBOC， ACOB 是菱形， ACOCOA， ACD60， 又ABCD， BAE60， 在 RtABE 中，AB4， OCAB4， O 的半径为 4 26（1）如图 1，在ABC 中，点 P 在边 AC 上 AB2，AC4，ABPC，
32、求 AP 长； ABm，ACn（nm）当 AP 时，APBABC； （2）如图 2，已知ABC（ABAC），请用直尺和圆规在直线 AB 上求作一点 P，使 AC 是线段 AB 和 AP 的比例中项（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】（1）证明ABPACB，推出，可得结论 当时，APBABC，由此可得结论 （2）在 CA 的下方作ACPABC，CP 交 AB 的延长线于 P 解：（1）AA，ABPC， ABPACB， ， AP1 AA， 当时，APBABC， ， AP， 故答案为： （2）如图 2 中，点 P 即为所求 27在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（a，b），若点 A1的坐标是（a，
33、|ab|），则称点 A1是点 A 的“关 联点” （1）点（1，3）的“关联点”坐标是 （1，4） ； （2）点 A 在函数 y2x3 上，若点 A 的“关联点”A1与点 A 重合，求点 A 的坐标； （3）点 A（a，b）的“关联点”A1是函数 yx2的图象上一点，当 0a2 时，求线段 AA1长度的最大 值 【分析】（1）根据“关联点”的定义即可得出答案； （2）先设出点 A 的坐标，再根据“关联点”的定义写出 A1的坐标，由两个点重合即可得出答案； （3）先写出点 A 的“关联点”的坐标，代入 yx2求出 a 和 b 的关系，将 AA1的长度用含 a 的式子表示 出来，根据 a 的取值范
34、围即可求出 AA1长度的最大值 解：（1）|13|4， 根据“关联点”的定义，点（1，3）的“关联点”坐标是（1，4）， 故答案为（1，4）； （2）点 A 在 y2x3 上，设点 A（m，2m3）， 则|m（2m3）|m+3|， A1的坐标为（m，|m+3|）， 点 A 的“关联点”A1与点 A 重合， 2m3|m+3|， 解答 m0 或 m2， 点 A 的坐标为（0，3）或（2，1）； （3）由题意知点 A（a，b）的“关联点”A1的坐标为（a，|ab|）， 把（a，|ab|）代入 yx2得：|ab|a2， 若 ab，则 baa2，若 ab，则 ba+a2， 因为点 A 的坐标为（a，b）
35、，A1的坐标为（a，|ab|）， AA1|ab|b， 当 ab 时，AA1abba2ba2（aa2）2a2a， 0a2， 2a2a 的最大值为 22226， 当 ab 时，AA1baba， 0a2， a 的最大值为 0， 综上，AA1长度的最大值为 6 28阅读感悟： “数形结合”是一种重要的数学思想方法，同一个问题有“数”、 “形”两方面的特性，解决数学问题， 有的从“数”入手简单，有的从“形”入手简单，因此，可能“数”“形”或“形”“数”，有的 问题需要经过几次转化这对于初、高中数学的解题都很有效，应用广泛 解决问题： （1）如图 1，ABCD，AB15，AD14，AC13，求 tanB；
36、 （2）已知函数 y1x2，y2ax1，当 x时，y1y2，则整数 a 可取的最大值与最小值的和是 1 ； （3）如图 2，矩形 ABCD 的边长 AB2，BC3，点 E、F 分别是 AD、BC 边上的动点（与矩形顶点不 重合），连接 BE、CE，过 F 作 FGCE 交 BE 于 G，作 FHBE 交 CE 于 H当EFG 面积最大时， 求的值 【分析】（1）如图 1，过点 A 作 AEBC 于点 E，设 BEx，则 CE14x，运用勾股定理得 AB2BE2 AC2CE2，建立方程可求得：BE9，CE5，再运用勾股定理求得 AE12，根据三角函数定义即可 求得答案； （2）分两种情况：a0
37、或 a0，当 a0 时，令 x，则 y1（）2，求得 K（，），代 入 y2ax1，求得 a ，即可得出 0a； 当 a0 时，令 y1y2，可得 x2ax+10，由0，可得 a2，即可得出2a0； （3）如图 3，设 BFx，则 CF3x，表示出 SEFG（x）2+，利用二次函数性质得出 BF CF，再利用平行线分线段成比例定理即可求得答案 解：（1）如图 1，过点 A 作 AEBC 于点 E， 四边形 ABCD 是平行四边形， BCAD14， 设 BEx，则 CE14x， ABE 和ACE 是直角三角形， AB2BE2AC2CE2， 即 152x2132（14x）2， 解得：x9， BE9
38、，CE5， AE12， tanB； （2）如图 2，y1x2，y2ax1，当 x时，y1y2， 分两种情况：a0 或 a0， 当 a0 时，令 x，则 y1（）2， K（，）， 将 K（，）代入 y2ax1， 得：a1， 解得：a， 当 0a时，y1y2， 当 a0 时，令 y1y2， 得 x2ax1， x2ax+10， 当直线 y2ax1 与抛物线 y1x2只有一个交点 T 时，0， a240， 解得：a2， a0， a2， 当2a0 时，y1y2， 综上，当 x时，y1y2，a 的取值范围为 0a或2a0，即2a， a 的最大整数为 2，最小整数为1， 整数 a 可取的最大值与最小值的和是 2+（1）1， 故答案为：1； （3）如图 3，设 BFx，则 CF3x， FGCE，FHBE， BFGBCE，FCHBCE，SEFGSEGFH， （）2，（）2， SBCEBCAB 323， SBFGx2，SFCH （3x）2， SEFGSEGFH （SBCESBFGSFCH） 3x2（3x） 2 （x）2+， 当 x时，SEFG的最大值为， 此时，BF，CFBCBF3， BFCF， FHBE， 1
