1、2021 年内蒙古包头市中考数学一模试卷年内蒙古包头市中考数学一模试卷 一选择题：本大题共有一选择题：本大题共有 12 小题每小题小题每小题 0 分，共分，共 36 分。每小题只有一个正确选项请将答题卡上对应题目分。每小题只有一个正确选项请将答题卡上对应题目 的答案标号涂黑。的答案标号涂黑。 1下列计算结果为正数的是（ ） A|2| B（1）0 C（1） 2 D32 2某种福利彩票特等奖的中奖率为科学记数法表示为（ ） A5107 B5106 C2107 D2106 3如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的 个数，则该几何体的左视图是（ ）
2、A B C D 4若代数式有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax0 Bx1 Cx0 且 x1 Dx1 5小明的作业本上有以下四题：（a1）1a；（a2）3（a3）20；a5+a52a5；（2a） 36a3，做错的题是（ ） A B C D 6在安全教育知识党赛中，某校对学生成绩进行了抽样调查被抽取的 7 名学生的成绩如下（单位：分）： 85，92，93，87，95，94，92，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A92，92 B92，93 C93，92 D87，92 7如图，在平面直角坐标系中，直线 l1：yx+5 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B，直线 l2经过坐标 原点，且
3、l2l1，垂足为 C，则点 C 到 y 轴的距离为（ ） A1 B2 C3 D4 8如图，在ABC 中，B34，将ABC 沿直线 m 翻折，点 B 落在点 D 的位置，则（12）的 度数是（ ） A68 B64 C34 D32 9如图，点 A，B，C 在O 上，四边形 OABC 是平行四边形，若对角线 AC2，则的长为（ ） A B C D 10下列命题正确的是（ ） A若|x|x，则 x0 Bm，n 为整数，若 2ma，2nb，则 2m+3na+b3 C若（x1）01，则 x1 D若 ab0，则 a2b2 11如图，ABCD 的顶点 A，C 在反比例函数 y的图象上，顶点 B、D 在反比例函
4、数 y的图象上， CDy 轴，对角线 AC，BD 的交点恰好是坐标原点 O若ABCD24，k12k2，则 k1的值为（ ） A4 B6 C8 D10 12如图，在正方形 ABCD 中，E 是对角线 BD 上一点（BEDE），将线段 CE 绕点 C 按顺时针方向旋转 90得到线段 CE，连接 AE，DE，EE 下列结论： 若BAE20，则DEE70； BE2+DE22AE2； 若BAE30，则 DEBE； 若 BC9，EC10，则 sinDEC 其中正确的结论有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 二、填空题：本大题共有二、填空题：本大题共有 8 小题，每小题小题，每小题 0 分，共分
5、，共 24 分。请把答案填在答题卡上对应的横线上。分。请把答案填在答题卡上对应的横线上。 13已知 yx3，则代数式 x22xy+y2的值为 14若不等式组的解集是 x3，则 m 的取值范围是 15六个学生进行投篮比赛，投进的个数分别为 14，15，15，17，17，18，这六个数的平均数是 16化简： 17如图，在 RtABC 中，ACB90，D 是 AB 上一点，且 AD，DEBC，DBE90，连接 AE若 AC3，BC4，则 AE 的长为 18如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，把ABC 沿着 DE 翻折，使点 A 恰好落 在边 BC 上的点 P 处若B
6、DP 的周长为 4，CPE 的周长为 5，则的值为 19 如图， 在菱形 ABCD 中， ABC30， AD6， 点 P， M 分别是边 AB 和对角线 BD 上的动点， 则 AM+PM 的最小值为 20在平面直角坐标系中，点 A 和点 B 的坐标分别为（0，2）和（4，2），若抛物线 yax22ax+3（a0） 与线段 AB 有且只有一个交点，则 a 的取值范围是 三、解答题：本大题共有三、解答题：本大题共有 6 小题，共小题，共 60 分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应 位置位置 21 如图， 一个可以自由转
7、动的质地均匀的转盘， 被分成三个面积相等的扇形， 每个扇形分别标有数字3， 1， 2 转动转盘两次， 待转盘自动停止后， 指针指向扇形内的数字分别作为关于 x 的一元二次方程 ax2+2x+c 0 中的 a，c 的值（若指针指向两个扇形的交线，则不计该次转动，重新转动转盘，直到指针指向一个 扇形的内部为止）其中第一次转动转盘后指针指向扇形内的数字记为 a，第二次转动转盘后指针指向 扇形内的数字记为 c （1）请用列表或画树状图的方法写出（a，c）所有可能出现的结果； （2）求出关于 x 的一元二次方程 ax2+2x+c0 有两个实数根的概率 22如图，数学实践活动小组想测量塔 CD 的高度一测
8、量人员在 A 处仰望塔顶，测得仰角为 30，再往 塔的方向前进 60 米至 B 处，测得仰角为 75（测量人员身高不计） （1）求塔 CD 的高度 （2）求测量人员在 B 处时，他到塔 CD 的距离 23某水果店销售一种水果，经市场调查发现，这种水果的日销售量 y（千克）与销售单价 x（元/千克）之 间的函数关系如图所示 这种水果的进价为 a （元/千克）， 日销售利润为 w（元），当销售单价为 14 元， 日销售利润为 384 元 （1）求 y 关于 x 的函数关系式及 a 的值； （2）当这种水果的销售单价是多少时，日销售获得的利润最大？ （3）若该水果店一次性购进这种水果 50 千克，这
9、种水果的保质期为 10 天，按照（2）中获得最大利润 的方式进行销售，能否销售完这批水果？请说明理由 24如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D，过点 D 作 MNAC，垂足为 M，交 AB 的延长线于点 N，过点 B 作 BGMN，垂足为 G，连接 CM （1）求证：直线 MN 是O 的切线； （2）求证：BD2ACBG； （3）若 BNOB，O 的半径为 1，求 tanANC 的值 25如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC6，E 是 AD 上一点，且 AE2，M 是 AB 上一动点 N 是射线 BC 上一动点，连接 ME 并延长交 CD 的延长线于点 F
10、，连接 EN，当MEN90时，连接 NF （1）如图 1，当点 N 在点 C 的左侧时，连接 MN，NF 与 AD 相交于点 H，点 K 在 EF 上，连接 HK 若 NC2，求 AM 的长 在的条件下，若 KF，求证：KHMN； （2）如图 2，当点 N 在点 C 的右侧时，过点 E 作 EGNF，垂足为 G若 CN1，求 MF+EG 的值 26如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+3（a0）与 x 轴交于 A（2，0），B（3，0）两点， 与 y 轴交于点 C，连接 AC，BC （1）求此抛物线的解析式及对称轴； （2）D 是抛物线的对称轴上一点，且位于 x 轴的下方若 SAC
11、D6，求点 D 的坐标； （3）取点 E（0，2），连接 AE，在第四象限内的抛物线上是否存在一点 F，使得BCFCAE？若存 在，求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案参考答案 一选择题：本大题共有一选择题：本大题共有 12 小题每小题小题每小题 0 分，共分，共 36 分。每小题只有一个正确选项请将答题卡上对应题目分。每小题只有一个正确选项请将答题卡上对应题目 的答案标号涂黑。的答案标号涂黑。 1下列计算结果为正数的是（ ） A|2| B（1）0 C（1） 2 D32 【分析】根据绝对值的意义，有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂的运算法则进行计算，从而作出 判断 解：A、|2
12、|20，结果为负数，故此选项不符合题意； B、（1）010，结果为负数，故此选项不符合题意； C、（1） 210，结果为正数，故此选项符合题意； D、3290，结果为负数，故此选项不符合题意； 故选：C 2某种福利彩票特等奖的中奖率为科学记数法表示为（ ） A5107 B5106 C2107 D2106 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n，与较大数的科学记数法 不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 解：0.0000002210 7 故选：C 3如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小
13、正方形中的数字表示该位置上小正方体的 个数，则该几何体的左视图是（ ） A B C D 【分析】根据俯视图中每列正方形的个数，再画出从正面，左面看得到的图形即可 解：从该几何体的俯视图中得到：该几何体有两层，两列组成， 该几何体的左视图是： 故选：D 4若代数式有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax0 Bx1 Cx0 且 x1 Dx1 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列出不等式组求解 解：由题意可得， 解得：x0 且 x1， 故选：C 5小明的作业本上有以下四题：（a1）1a；（a2）3（a3）20；a5+a52a5；（2a） 36a3，做错的题是（ ） A B C D 【分析】根据去
14、括号法则判断；根据幂的乘方法则判断；根据合并同类项法则判断；根据积的乘 方法则判断 解：（a1）1a，正确；（a2）3（a3）20，正确；a5+a52a5，正确；（2a）3 8a3，错误； 故选：D 6在安全教育知识党赛中，某校对学生成绩进行了抽样调查被抽取的 7 名学生的成绩如下（单位：分）： 85，92，93，87，95，94，92，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A92，92 B92，93 C93，92 D87，92 【分析】先把数据从小到大（或从大到小）排列，再得出中位数和众数即可 解：数据从小到大排列为：85，87，92，92，93，94，95，97， 所以这组数据的中位数是
15、92，众数是 92， 故选：A 7如图，在平面直角坐标系中，直线 l1：yx+5 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B，直线 l2经过坐标 原点，且 l2l1，垂足为 C，则点 C 到 y 轴的距离为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】过点 C 作 CDy 轴于点 D，由直线 AB 的解析式求出点 A 和点 B 的坐标，得到 OA 和 OB 的长 度，利用勾股定理求出 AB 的长度，再结合等面积法求出 OC 的长度，然后继续利用勾股定理求 BC，最 后再次利用等面积法求 CD 解：对直线 yx+5，当 x0 时，y5，当 y0 时，x10， A（10，0），B（0，5）， OA10，
16、OB5， AB5， SABOOAOB OCAB， 1055OC， OC2， BC， 过点 C 作 CDx 轴于点 D， SCBOCDOB OCBC， 25CD， CD2，即点 C 到 y 轴的距离为 2 故选：B 8如图，在ABC 中，B34，将ABC 沿直线 m 翻折，点 B 落在点 D 的位置，则（12）的 度数是（ ） A68 B64 C34 D32 【分析】由折叠的性质可得到B 与D 的关系，再利用外角与内角的关系求出（12）的度数 解：EFD 是由EFB 沿 m 翻折后的图形， DB34 1B+3，32+D， 1B+2+D68+2 1268 （12）34 故选：C 9如图，点 A，B
17、，C 在O 上，四边形 OABC 是平行四边形，若对角线 AC2，则的长为（ ） A B C D 【分析】根据平行四边形的性质和 OCOA 得出四边形 OABC 是菱形，再根据垂径定理和三角函数求出 圆心角和半径，即可求出答案 解：连接 OB，交 AC 于 D， 四边形 OABC 是平行四边形，OCOA， 四边形 OABC 是菱形，OBAC， OAOBBC， OAB 是等边三角形，AOB60， 在 RtOAD 中，ADAC， OA2， 的长是 故选：C 10下列命题正确的是（ ） A若|x|x，则 x0 Bm，n 为整数，若 2ma，2nb，则 2m+3na+b3 C若（x1）01，则 x1
18、D若 ab0，则 a2b2 【分析】利用绝对值的意义对 A 进行判断；根据同底数幂的乘法法则和幂的乘方对 B 进行判断；根据零 指数幂的意义对 C 进行判断；根据乘方的意义对 D 进行判断 解：A若|x|x，则 x0，所以 A 选项不符合题意； Bm，n 为整数，若 2ma，2nb，则 2m+3n2m 23n2 m（2n）3ab3，所以 B 选项不符合题意； C若（x1）01，则 x1，所以 C 选项不符合题意； D若 ab0，则 a2b2，所以 D 选项不符合题意 故选：D 11如图，ABCD 的顶点 A，C 在反比例函数 y的图象上，顶点 B、D 在反比例函数 y的图象上， CDy 轴，对
19、角线 AC，BD 的交点恰好是坐标原点 O若ABCD24，k12k2，则 k1的值为（ ） A4 B6 C8 D10 【分析】根据反比例函数的中心对称性对称四边形 ABCD 是平行四边形，从而得出 SCODS四边形ABCD 6，然后根据反比例函数系数 k 的几何意义得到 SCOD（|k1|+|k2|）6，由 k12k2，即可求得 k1 8 解：由题意可知 OAOC，OBOD， 四边形 ABCD 是平行四边形， SCODS 四边形ABCD6， CDy 轴， SCOD （|k1|+|k2|）6， k12k2， 3|k2|12， k20， k24， k2248， 故选：C 12如图，在正方形 ABC
20、D 中，E 是对角线 BD 上一点（BEDE），将线段 CE 绕点 C 按顺时针方向旋转 90得到线段 CE，连接 AE，DE，EE 下列结论： 若BAE20，则DEE70； BE2+DE22AE2； 若BAE30，则 DEBE； 若 BC9，EC10，则 sinDEC 其中正确的结论有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【分析】 首先通过 SAS 证明BCEDCE， 可证DEE是直角三角形， 从而DEEBCEBAE， 故正确；在 RtECE 中，EE2CE2+CE22CE2，由正方形的对称性可知 AECE，故正确；若 BAE30，则DEEBCEBAE30，在 RtEDE 中，DE
21、DE，可知错误；过点 C 作 CMBD，交 BD 于点 M，在 RtCME 中，sinDEC，故正确 解：四边形 ABCD 是正方形， BCCD，BCD90， 线段 CE 绕点 C 按顺时针方向旋转 90得到线段 CE， CECE，ECE90， ECE是等腰直角三角形， EECEEC45， BCDECDECEECD， BCEDCE， 在BCE 与DCE中， ， BCEDCE（SAS）， CDEEBC45，DEBE， EDEEDC+CDE45+4590， DEE是直角三角形， 四边形 ABCD 是正方形，E 在对角线 BD 上， BCEBAE， DECDEE+EECEBC+BCE，EECEBC4
22、5， DEEBCEBAE， BAE20， DEE90DEE70， 故正确； 在 RtEDE 中， EE2ED2+DE2BE2+DE2， 在 RtECE 中， EE2CE2+CE22CE2， 四边形 ABCD 是正方形，E 在对角线 BD 上， AECE， EE22CE22AE2， BE2+DE22AE2， 故正确； 若BAE30，则DEEBCEBAE30， 在 RtEDE 中，DEDE， BEDE， DEBE， 故错误； 如图，过点 C 作 CMBD，交 BD 于点 M， 四边形 ABCD 是正方形，BC9， CM9， 在 RtCME 中，sinDEC， 故正确， 故选：B 二、填空题：本大题
23、共有二、填空题：本大题共有 8 小题，每小题小题，每小题 0 分，共分，共 24 分。请把答案填在答题卡上对应的横线上。分。请把答案填在答题卡上对应的横线上。 13已知 yx3，则代数式 x22xy+y2的值为 9 【分析】求出 xy3，根据完全平方公式得出 x22xy+y2（xy）2，再代入求出答案即可 解：yx3， xy3， x22xy+y2 （xy）2 32 9， 故答案为：9 14若不等式组的解集是 x3，则 m 的取值范围是 m3 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小 找不到确定不等式组的解集 解：解不等式 x+53x1，得：x3
24、， xm 且不等式组的解集为 x3， m3， 故答案为 m3 15六个学生进行投篮比赛，投进的个数分别为 14，15，15，17，17，18，这六个数的平均数是 16 【分析】先根据平均数的定义列出算式，再求出平均数即可 解：平均数为（14+15+15+17+17+18）16， 故答案为：16 16化简： 【分析】根据分式的减法和除法可以解答本题 解： （） ， 故答案为： 17如图，在 RtABC 中，ACB90，D 是 AB 上一点，且 AD，DEBC，DBE90，连接 AE若 AC3，BC4，则 AE 的长为 【分析】根据勾股定理得到 AB5，根据相似三角形的性质得到 BE2，根据 勾股
25、定理即可得到 AE 解：ACB90，AC3，BC4， AB5， AD， BDABAD， DEBC， ABCBDE， CDBE90， ACBEBD， ， ， BE2， AE， 故答案为： 18如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，把ABC 沿着 DE 翻折，使点 A 恰好落 在边 BC 上的点 P 处若BDP 的周长为 4，CPE 的周长为 5，则的值为 【分析】由折叠的性质可得 ADDP，AEPE，ADPE60，通过证明BDPCPE，由相 似三角形的性质可求解 解：ABC 是等边三角形， BCA60， 把ABC 沿着 DE 翻折， ADEPDE， ADDP，AE
26、PE，ADPE60， DPCB+BDPDPE+EPC， BDPEPC， BDPCPE， ， ， 故答案为： 19 如图， 在菱形 ABCD 中， ABC30， AD6， 点 P， M 分别是边 AB 和对角线 BD 上的动点， 则 AM+PM 的最小值为 3 【分析】连接 CM，先说明ABMCBM（SAS），得 AMCM，即 AM+PM 的最小值就是 CM+PM 的最小值，当 P、M、C 三点共垂线时，AM+PM 的最小，即可求解 解：连接 CM， 四边形 ABCD 是菱形， BD 平分ABC，ABCB， ABMCBM， BMBM， ABMCBM（SAS）， AMCM， AM+PM 的最小值就
27、是 CM+PM 的最小值， 当 P、M、C 三点共垂线时，AM+PM 的最小， 在 RtBPC 中，ABC30， PC63 故答案为：3 20在平面直角坐标系中，点 A 和点 B 的坐标分别为（0，2）和（4，2），若抛物线 yax22ax+3（a0） 与线段 AB 有且只有一个交点，则 a 的取值范围是 a 【分析】 根据抛物线的对称轴公式： x计算抛物线的对称轴为： 直线 x1， 得抛物线 yax22ax+3 与 y 轴交于点（0，3），先计算过边界点 B 时，a，对于抛物线 yax22ax+3，当 a0 时，无论 a 取何值，抛物线的对称轴不变，抛物线与 y 轴的交点（0，3）都在点 A
28、（0，2）的上方，随着|a|的值变 大，抛物线的开口越小，可得答案 解：抛物线 yax22ax+3 的对称轴为直线：x 1， 对于 yax22ax+3， 当 x0 时，y3， 抛物线 yax22ax+3 与 y 轴交于点（0，3）， a0， 抛物线的开口向下， 抛物线 yax22ax+3 在平面直角坐标系中的大致位置如图： 当抛物线 yax22ax+3 经过点 B（4，2）时，2a422a4+3， 解得 a， 对于抛物线 yax22ax+3， 当 a0 时， 无论 a 取何值， 抛物线的对称轴不变， 抛物线与 y 轴的交点 （0， 3）都在点 A（0，2）的上方，随着|a|的值变大，抛物线的开
29、口越小， 抛物线 yax22ax+3 与线段 AB 只有一个交点， |a|， 又a0， a（两个负数比较大小，绝对值较大的反而小） a 的取值范围是 a 故答案为：a 三、解答题：本大题共有三、解答题：本大题共有 6 小题，共小题，共 60 分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应 位置位置 21 如图， 一个可以自由转动的质地均匀的转盘， 被分成三个面积相等的扇形， 每个扇形分别标有数字3， 1， 2 转动转盘两次， 待转盘自动停止后， 指针指向扇形内的数字分别作为关于 x 的一元二次方程 ax2+2x+c 0 中的
30、 a，c 的值（若指针指向两个扇形的交线，则不计该次转动，重新转动转盘，直到指针指向一个 扇形的内部为止）其中第一次转动转盘后指针指向扇形内的数字记为 a，第二次转动转盘后指针指向 扇形内的数字记为 c （1）请用列表或画树状图的方法写出（a，c）所有可能出现的结果； （2）求出关于 x 的一元二次方程 ax2+2x+c0 有两个实数根的概率 【分析】（1）画树状图，即可求解； （2）共有 9 种等可能的结果，使关于 x 的一元二次方程 ax2+2x+c0 有两个实数根的结果有 5 种，再由 概率公式求解即可 解：（1）画树状图如下： 共有 9 种等可能的结果，分别为（3，3），（3，1），（
31、3，2），（1，3），（1，1），（1， 2），（2，3），（2，1），（2，2）； （2）由（1）得：共有 9 种等可能的结果，使关于 x 的一元二次方程 ax2+2x+c0 有两个实数根的结果 有 5 种， 关于 x 的一元二次方程 ax2+2x+c0 有两个实数根的概率为 22如图，数学实践活动小组想测量塔 CD 的高度一测量人员在 A 处仰望塔顶，测得仰角为 30，再往 塔的方向前进 60 米至 B 处，测得仰角为 75（测量人员身高不计） （1）求塔 CD 的高度 （2）求测量人员在 B 处时，他到塔 CD 的距离 【分析】（1）过点 B 作 BEAC 于 E，由含 30角的直角三角
32、形的性质得 BEAB30（米），则 AEBE30（米），再证 CEBE30 米，则 ACAE+CE（30 +30）米，然后由含 30角 的直角三角形的性质即可求解； （2）由含 30角的直角三角形的性质 ADCD（45+15）米，即可求解 解：（1）过点 B 作 BEAC 于 E，如图所示： 则AEBCEB90， A30，AB60 米， BEAB30（米）， AEBE30（米）， DBCA+BCE75， BCE753045， BCE 是等腰直角三角形， CEBE30 米， ACAE+CE（30+30）米， 又ADC90，A30， CDAC（15+15）米， 答：塔 CD 的高度为（15+15）
33、米； （2）ADC90，A30， ADCD（45+15）米， BDADAB（1515）米， 答：测量人员在 B 处时，他到塔 CD 的距离为（1515）米 23某水果店销售一种水果，经市场调查发现，这种水果的日销售量 y（千克）与销售单价 x（元/千克）之 间的函数关系如图所示 这种水果的进价为 a （元/千克）， 日销售利润为 w（元），当销售单价为 14 元， 日销售利润为 384 元 （1）求 y 关于 x 的函数关系式及 a 的值； （2）当这种水果的销售单价是多少时，日销售获得的利润最大？ （3）若该水果店一次性购进这种水果 50 千克，这种水果的保质期为 10 天，按照（2）中获得
34、最大利润 的方式进行销售，能否销售完这批水果？请说明理由 【分析】（1）利用待定系数法求解可得，根据“日销售利润单件利润日销售量”列出方程求出 a 即可求解； （2）根据“日销售利润单件利润日销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式即可得出最大值； （3）求出在（2）中情况下，求出日销售量 56 千克，据此求得 10 天的总销售量，比较即可得出 解：（1）设 y 关于 x 的函数关系式为 ykx+b（k0）， 将（10，80）和（14，48）代入， 得：， 解得：， y 关于 x 的函数关系式为 y8x+160， 由图可得，（14a）48384， 解得：a6， a 的值为 6； （2）由题意，得
35、：w（x6）（8x+160）8（x13）2+392， 80， 当 x13 时，w 有最大值，最大值为 392， 这种水果的销售单价是 13 元时，日销售获得的利润最大； （3）能，理由： 按照（2）中获得最大利润的方式进行销售， 由（1）得日销量 y813+16056（千克）， 5650， 该水果店能销售完这批水果 24如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D，过点 D 作 MNAC，垂足为 M，交 AB 的延长线于点 N，过点 B 作 BGMN，垂足为 G，连接 CM （1）求证：直线 MN 是O 的切线； （2）求证：BD2ACBG； （3）若 BNOB，O
36、的半径为 1，求 tanANC 的值 【分析】 （1） 由 AB 是直径得 ADBC， 又 ABAC 得BADCAD， 由 OAOD 得ODABAD， 进而可推出ODM90； （2）由条件推出 BDCD，CMBG，由CDMCAD，进一步可得结论； （3）由条件推得BOD60，进而ABC60，可得ABC 是等边三角形，从而 COAB，进一步 可求得结果 【解答】证：（1）如图 1， 连接 AD，OD， AB 是O 的直径， ADBACD90， 即 ADBC， ABAC， BADCAD，BDCD， OAOD， ODABAD， OADCAD， NMAC， AMN90， DAC+ADM90， ODA+
37、ADM90， 即ODM90， ODMN， 直线 MN 是O 的切线； （2）由（1）知， ADC90，BDCD， ADCDMC90， ACDDCM， CMDCDA， ， CD2ACCM， BD2ACCM， 在BGD 和MCD 中， ， BGDCDM（AAS）， BGCM， BD2ACBG； （3）如图 2， 连接 OD，OC， 由（1）ODN90， ODOBBN1， cosDON， DON60， ABAC， ABC 是等边三角形， OAOB， COAB，OCACcos60， tanANC 25如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC6，E 是 AD 上一点，且 AE2，M 是 AB 上一动点
38、N 是射线 BC 上一动点，连接 ME 并延长交 CD 的延长线于点 F，连接 EN，当MEN90时，连接 NF （1）如图 1，当点 N 在点 C 的左侧时，连接 MN，NF 与 AD 相交于点 H，点 K 在 EF 上，连接 HK 若 NC2，求 AM 的长 在的条件下，若 KF，求证：KHMN； （2）如图 2，当点 N 在点 C 的右侧时，过点 E 作 EGNF，垂足为 G若 CN1，求 MF+EG 的值 【分析】（1）过点 N 作 NPAD 于点 P，可得NPENPD90，利用矩形性质和判定可证四边 形 PNCD 是矩形，进而可证EAMNPE，求得 AM1； 由 ABCF，可得AEM
39、DEF，求得 DF2，FC6，由 DHCN，可证FHDFNC，可得 ，再运用勾股定理求得：EF2，EM，MF3，FK，进而可得，可 证得FKHFMN，得出FKHFMN 即可； （2）如图 2，过点 N 作 NRAD，交 AD 的延长线于点 R，由 RNDC4，CN1，DE4，可得 DR CN1，ER5，运用勾股定理得 EN，可证AMEREN，得出 ME，再由AME DFE，可得 FE，FEEN，再利用三角函数定义即可求得答案 解：（1）如图 1， 过点 N 作 NPAD 于点 P， NPENPD90， 四边形 ABCD 是矩形， ADCBCD90，CDAB4，ADBC6， PDCNCDDPN9
40、0， 四边形 PNCD 是矩形， NPCD4， NC2， DP2， AE2， EPADAEDP6222， MEN90 AEM+PEN90， PNE+PEN90， AEMPNE， EAMNPE90， EAMNPE， ， AM1 证明：ABCF， AMEDFE， AEMDEF， AEMDEF， ， AE2，DE4，AM1， DF2， FCCD+FD6， DHCN， FHDFNC，HFDNFC， FHDFNC， ， 在 RtEDF 中，EF2， 在 RtEAM 中，EM， MFEM+EF+23， FK， ， ， KFHMFN， FKHFMN， FKHFMN， KHMN （2）如图 2，过点 N 作
41、NRAD，交 AD 的延长线于点 R， 则RNCDCDR90， 四边形 CDRN 是矩形， RNDC4， CN1，DE4， DRCN1， ERED+DR5， 在 RtERN 中，EN， AEM+REN90，AME+AEM90， AMEREN， MAEERN90， AMEREN， ， ME， AMEDFE， ， FE， FEEN， NEF90， EFG45， 在 RtEGF 中，EGEFsin45， MF+ME+EF， MF+EG+ 2 26如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+3（a0）与 x 轴交于 A（2，0），B（3，0）两点， 与 y 轴交于点 C，连接 AC，BC （1）
42、求此抛物线的解析式及对称轴； （2）D 是抛物线的对称轴上一点，且位于 x 轴的下方若 SACD6，求点 D 的坐标； （3）取点 E（0，2），连接 AE，在第四象限内的抛物线上是否存在一点 F，使得BCFCAE？若存 在，求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】（1）将 A（2，0），B（3，0）代入 yax2+bx+3，用待定系数法可得抛物线的解析式为 y x2+x+3，即得对称轴为直线 x； （2）过 D 作 DEAC 交 x 轴于 E，连接 CE，由 yx2+x+3 得 C（0，3），设直线 AC 为 ykx+3， 将 A（2，0）代入可求出直线 AC 为 yx+3，设 D
43、（，m），m0，可得直线 DE 为 yx+m， 即得 E（m，0），AEm，故 SACEAEOCm，而 DEAC，SACD6，可得 m6，即得 D（，）； （3）作 A 关于 y 轴的对称点 G，作直线 CG 交抛物线于 F，由 A（2，0），E（0，2），可得CAE 45ACE，由 B（3，0），C（0，3），得BCF45GCO，根据 A、G 关于 y 轴对称，知 ACEGCO，G（2，0），故BCFCAE，即 F 是满足条件的点，设直线 CG 为 ytx+3，将 G （2，0）代入得直线 CG 为 yx+3，解得 F（4，3） 解：（1）将 A（2，0），B（3，0）代入 yax2+bx+
44、3 得： ，解得， 抛物线的解析式为 yx2+x+3， 而， 对称轴为直线 x； （2）过 D 作 DEAC 交 x 轴于 E，连接 CE，如图：， 由 yx2+x+3 得 C（0，3）， 设直线 AC 为 ykx+3，将 A（2，0）代入得：02k+3， k， 直线 AC 为 yx+3， 设 D（，m），m0， 由 DEAC 可设直线 DE 为 yx+b， 将 D（，m）代入得：m+b， bm， 直线 DE 为 yx+m， 在 yx+m中，令 y0 得x+m0， xm， E（m，0）， AE（m）（2）m， SACEAEOC （m）3m， DEAC， SACDSACE， SACD6， m6， m， D（，）； （3）存在一点 F，使得BCFCAE，理由如下： 作 A 关于 y 轴的对称点 G，作直线 CG 交抛物线于 F，如图： A（2，0），E（0，2）， AOE 是等腰直角三角形， AEO45， CAEAEOACE45ACE， B（3，0），C（0，3）， BCO45， BCFBCOGCO45GCO， A、G 关于 y 轴对称， ACEGCO，G（2，0）， BCFCAE，即 F 是满足条件的点， 设直线 CG 为 ytx+3，将 G（2，0）代入得 02t+3， t， 直线 CG 为 yx+3， 解得或， F（4，3）
